Elektrodynamika klasyczna/Dynamika cząstki naładowanej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Całka działania cząstki swobodnej o masie m jest proporcjonalna do długości łuku wzdłuż trajektorii

S=mc\int ds =\int d\tau L_0 .

Oddziaływanie z polem cechowania elektrodynamiki postulujemy jako całkę

S=-q \int A =\int d\tau L_I

gdzie A=Aμdxμ jest jednoforma pola cechowania. Cząstkę o masie m i ładunku elektrycznym q opisuje funkcja Lagrange'a

L=L_0 + L_I = mc\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}-q A_{\mu}u^{\mu}

gdzie u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau} jest czterowektorem prędkości. Równania ruchu Eulera-Lagrange'a

\frac{dp_{\mu}}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial u^{\mu}}-\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}=F_{\mu}

opisuje już teraz cząstkę na którą działa zęwnetrzna siła Fμ. Cząstka ma też nietrywialny pęd uogólniony:

p_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial u^{\mu}}=mc u_{\mu}-q A_{\mu}.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona ciągle jest słuszna w teorii relatywistycznej. Musimy tylko zamienić trójwymiarowy pęd \vec{p} na czterowektor pędu pμ. Równania ruchu Eulera-Lagrange'a dają uogólnione równanie Newtona

\frac{dp_{\mu}}{d\tau}=F_{\mu}

z siłą Minkowskiego Fμ równą:

Fμ = qFμνuν.

W przestrzeni 3-wymiarowej otrzymujemy stąd zwykłe równanie Newtona

m\frac{du^i}{dt}=F^i

z siłą Lorentza \vec{F}=F^i \vec{e}_i

\vec{F}=q \vec{E} + q (\vec{v} \times \vec{B})

Równania te są niezmiennicze ze względu na symetrię cechowania.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Elektrodynamika_klasyczna/Dynamika_cz%C4%85stki_na%C5%82adowanej”