Elektrodynamika klasyczna/Elektrodynamika klasyczna

Elektrodynamika klasyczna

Elektrodynamika klasyczna

Elektrostatyka

Tutaj będziemy się zajmować polami elektrycznymi, które nie zmieniają się w czasie.

Prawo Coulomba

Prawo Coulomba mówi, jak oddziałują dwa punktowe ładunki q i Q, jeśli ich odległość jest R. Siłę, jaką jeden ładunek oddziaływuje z drugim przedstawiamy wedle wzoru:

$\vec{F}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qQ}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}$

(1.1)

W powyższym wektorze występuje wektor $\vec{R}\;$, który ma kierunek przechodzący przez dwa oddziaływające ładunki, wartość tego wektora równa się odległości między tymi obiektami, a zwrot jest w stronę ładunku, dla której liczymy tą siłę, z jaką oddziaływuje ładunek Q z ciałem o ładunku q. Ta siła jest wyrażona przez wzór (1.1).

• gdzie stała występująca w powyższym wzorze jest nazywana stałą przenikalności elektrycznej, a wartość jej jest równa $_{\epsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}{{C^2}\over{Nm^2}}}$.

Przypominając jeszcze raz o wielkości $\vec{R}\;$ jest to odległość ładunku q od ładunku Q, czyli powinno zachodzić $R=\vec{r}-\vec{r}^'$, gdzie $\vec{r}$ jest to wektor wodzący cząstki o wartości ładunku, nazwijmy go q, a $\vec{r}^'$ jest to wektor wodzący źródło pola elektrostatycznego o ładunku Q, i jeśli oba te ładunki są jednakowego znaku, to one się odpychają i dlatego wzór na $\vec{F}$ nie zawiera w sobie minusa.

Pole elektryczne punktowego ładunku Q

Linie pola pochodzące od ładunku dodatniego i ujemnego oraz obojętnego

Natężeniem pola elektrycznego nazywamy wielkość zdefiniowaną wedle wzoru:

$\vec{E}={{\vec{F}}\over{q}}\;$

(1.2)

jest on równy sile działającej na ładunek próbny q podzielonej przez wartość tego ładunku. Wykorzystując wzór (1.2) i siłę $\vec{F}\;$ działającą na ładunek próbny q (1.1) ze strony punktowego ładunku elektrycznego, wtedy dostajemy wzór na natężenie pola elektrostatycznego wytwarzane przez ładunek Q.

$\vec{E}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Q}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}\;$

(1.3)

Wzór (1.3) przestawia natężenie pola elektrycznego wytwarzane przez ładunek Q w odległości R od tego ładunku. Kierunek tej wielkości pokrywa się z prostą przechodzącą przez ten ładunek Q i przez punkt, w którym liczymy to właśnie natężenie, a zwrot jej zależy od znaku ładunku Q i jest przeciwny do ładunku Q na tej prostej, gdy ładunek Q ma znak dodatni, gdy ma ujemny znak, to w stronę tegoż wspomnianego ładunku.

Wypadkowe pole elektryczne

Załóżmy, że pole elektryczne pochodzi od ładunków q₁,q₂,...,q_N, to wtedy całkowita siła działająca na ładunek q jest sumą sił działających od tych ładunków i wyrażona jest:

$\vec{F}=\sum^N_{i=1}\vec{F}_i=\sum^N_{i=1}{{qq_i}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{R_i^2}}\hat{\vec{R}}_i={{q}\over{4\pi\epsilon_0}}\sum^N_{i=1}{{q_i}\over{R_i^2}}\hat{\vec{R_i}}$

(1.4)

Oznaczmy przez $\vec{E}\;$ natężenie pola elektrycznego i zapiszmy je jako stosunek siły działającej na ładunek próbny q przez ten ładunek i zapisujemy go podobnie jak w punkcie (1.2) dla jednego ładunku elektrycznego, wtedy całkowite natężenie pola elektrycznego wytwarzane przez układ ładunków, który na ładunek próbny q działa z siłą (1.4) i według definicji natężenie pola (1.2) pochodzącej od tych ładunków jest napisane:

$\vec{E}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\sum^N_{i=1}{{q_i}\over{R_i^2}}\hat{\vec{R}}_i=\sum_i \vec{E}_i$

(1.5)

Jak widzimy całkowite pole elektryczne jest równe sumie pól wytwarzanych przez punktowe ładunki q_i.

Wypadkowe pole elektryczne dla ciągłego rozkładu ładunków

Określmy, że nieskończenie mały ładunek znajdujący się w położeniu $\vec{r}\;$, który piszemy według:

$dq(\vec{r})=\rho(\vec{r})dV$

(1.6)

Pole elektryczne w dowolnym punkcie A jest wyrażone podobnie jak według wzoru (1.5), ale tutaj zamiast q_i są ładunki nieskończenie małe, całkowite natężenie pola elektrycznego jest sumą przyczynków natężeń pól elektrycznych pochodzących od infinitezymalnych ładunków (1.6), czyli $dq(\vec{r})$, to natężenie pola elektrycznego dla rozciągłego rozkładu ładunków jest wyrażone:

$\vec{E}(\vec{r})=\int_V d\vec{E}(\vec{r}^')=\int_V{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{dq(\vec{r}^')}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V{{\rho(\vec{r}^')}\over{R^2}} \hat{\vec{R}}dV^'$

(1.7)

Tutaj przyjęliśmy taką samą definicję wektora $\vec{R}$, co poprzednio, wyznaczając infinitezymalne natężenie pola elektrycznego pochodzące od nieskończenie małego pojedynczego przyczynku, i na tej podstawie wyznaczyliśmy całkowite pole pochodzące od ciągłego rozkładu ładunków, to natężenie (1.7) jest to stosunek siły działający na ładunek próbny q przez ten ładunek, i jego ładunek jest na tyle mały, by jego pole nie zakłócało ciągłego rozkładu ładunków. Rozkład natężenia pola elektrycznego zależy od gęstości ładunku elektrycznego tego rozkładu i jest napisany przez ρ(r).

Różniczkowe i całkowe prawa dla elektrostatyki

Jeśli zdefiniujemy, że polem wektorowym nazywamy pole dla którego w każdym punkcie w przestrzeni odpowiada pewien wektor $\vec{E}$, to można zdefiniować odpowiednie prawa różniczkowe i całkowe dla elektrostatyki.

Strumień pola elektrostatycznego

Niekończenie mały strumień pola elektrostatycznego dΦ zdefiniujmy jako iloczyn natężenia pola elektrycznego $\vec{E}\;$ panujące na nieskończenie małej powierzchni przez nieskończenie mały wektor tej powierzchni, którego wartość jest taka jak nieskończenie małe pole powierzchni i o zwrocie prostopadłym do tej powierzchni.

$d\Phi=\vec{E}d\vec{S}$

(2.1)

Całkowity strumień pola elektrostatycznego dla powierzchni zamkniętej, w której małe wektory pola $d\vec{S}\;$ są zwrócone jak umówiono się na zewnątrz tej powierzchni, jest wyrażony:

$\Phi=\oint d\Phi$

(2.2)

Całkowe prawo Gaussa

Policzmy całkę (2.2) dla kuli o powierzchni sfery o promieniu r, w którym w środku znajduje się punktowy ładunek o wartości q, który wytwarza pole elektryczne wokół niego $\vec{E}\;$:

$\Phi=\oint \vec{E}d\vec{S}=\oint{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q}\over{R^2}}dS={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_0^{4\pi} {{q}\over{R^2}}d\omega R^2= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}q\int_0^{4\pi} d\omega={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}q4\pi={{q}\over{\epsilon_0}}$

(2.3)

A zatem na podstawie obliczeń (2.3) wynika, że całkowity strumień po powierzchni zamkniętej jest równy z dokładnością do odwrotności przenikalności elektrycznej ładunkowi zgromadzonemu w ściśle określonej objętości, którą ogranicza zamknięta powierzchnia. To prawo jest znane jako prawo Gaussa i zapisujemy je wedle:

$\oint \vec{E}d\vec{S}={{q}\over{\epsilon_0}}$

(2.4)

Ponieważ założyliśmy, że mieliśmy sferę o promieniu r, w której środku znajduje się ładunek q, to wtedy dla tej sfery prawo (2.4) jest na pewno spełnione, ale z wiadomości z analizy matematycznej wiadomo, że gdy mamy dowolną powierzchnię okalająca ładunek q, to całkowity strumień też wynosi:$_{{{q}\over{\epsilon_0}}}$. Załóżmy, że mamy N ładunków w nieokreślonej objętości V, to całkowite natężenia pola elektrycznego i całkowity ładunek jest napisany wedle:

$\vec{E}=\sum_i^N\vec{E}_i$ (2.5)

$q=\sum_i^N q_i$ (2.6)

Ponieważ dla ładunku i-tego prawo Gaussa (2.4) jest również słuszne, którego zapis:

$\oint \vec{E}_id\vec{S}={{q_i}\over{\epsilon_0}}$

(2.7)

to dodając N takich równań (2.7) i wykorzystywać będziemy wnioski sumacyjne na całkowite natężenie pola elektrycznego (2.5) i na całkowity ładunek (2.6) dla dowolnego rozkładu ładunków punktowych w danej objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia S, sumując te równania otrzymujemy całkowe prawo Gaussa dla dowolnego rozkładu ładunków czy to ciągłych lub dyskretnych znajdujących się w ściśle określonej objętości.

$\oint \vec{E}d\vec{S}={{q}\over{\epsilon_0}}$

(2.8)

Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnego rozkładu ładunków o całkowitym ładunku q i dla dowolnej powierzchni zamkniętej, w której znajdują się te ładunki.

Różniczkowe prawo Gaussa

Powyżej wyprowadziliśmy całkową postać prawa Gausa, a teraz wyprowadźmy jej różniczkową postać. Wiadomo jednak, że zachodzi z twierdzenia Gaussa, że lewa strona wzoru (2.8) można zamienić na całkowanie po pewnej powierzchni zamkniętej przez całkowanie po objętości ograniczonej tą właśnie powierzchnię:

$\oint \vec{E}d\vec{S}=\int\operatorname{div}\vec{E}dV$

(2.9)

a także z definicji gęstości ładunku elektrycznego i jego addywności dla całkowitego ładunku q znajdujących się wewnątrz tej powierzchni, znając rozkład gęstości objętościowej ładunku ρ, w pewnej objętości, to całkowity ładunek q znajdującej się w tej powierzchni:

$q=\int \rho dV$

(2.10)

to wykorzystując prawo całkowe Gaussa (2.8) i podstawiając do obu jego stron, tzn. do lewej jego strony wzór (2.9), a do jego prawej jego strony wzór (2.10), wtedy otrzymamy wyrażenie napisane z obu stron za pomocą całek objętościowych:

$\int\operatorname{div}\vec{E}dV={{1}\over{\epsilon_0}}\int \rho dV\Rightarrow \int\left(\operatorname{div}\vec{E}-{{\rho}\over{\epsilon_0}}\right)dV=0$

(2.10)

Ponieważ wzór (2.10) zachodzi dla dowolnej objętości, to dochodzimy do wniosku, że jego część podcałkowa jest równe zero, zatem można ten nasz ostatni wzór wynikająca z naszej całki o dowolnej objętości V, zapisać w formie:

$\operatorname{div}\vec{E}={{\rho}\over{\epsilon_0}}$

(2.11)

Jest to różniczkowe prawo Gaussa, które jest słuszne dla pewnego określonego punktu, w której znajduje się nieskończenie mały ładunek o gęstości ładunku ρ i w której natężenie pola elektrycznego jest $\vec{E}\;$, mający pewną dywergencję w tymże punkcie.

Β==Dywergencja natężenia pola elektrycznego dla ciągłego rozkładu ładunków== Aby sprawdzić, czy spełnione jest prawo Gausa, należy wyznaczyć wyrażenie, korzystając przy tym ze wzoru na natężenie pola wytwarzanego przez ciągły rozkład ładunków (1.7):

$\operatorname{div}\vec{E}=\nabla\cdot\vec{E}= \nabla\cdot\left(\int{{\rho(\vec{r}^')}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV\right)= \int{{\rho(\vec{r}^')}\over{4\pi\epsilon_0}}\nabla{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV= \int{{\rho(\vec{r}^')}\over{4\pi\epsilon_0}}4\pi\delta^3(\vec{R})dV=\;$ $={{\int\rho(\vec{r}^')\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')dV^'}\over{\epsilon_0}}={{\rho(\vec{r})}\over{\epsilon_0}}\;$

(2.12)

• gdzie:$\vec{r}^'\;$ jest to wektor wodzący ładunku infinitezymalnego należący do pewnego rozkładu ładunków.
• $\vec{r}\;$ jest to wektor wodzący pewnego ściśle określonego punktu, w którym liczymy natężenie pola elektrycznego.

Napiszmy wyrażenie, która jest całką wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, by potem otrzymać znane twierdzenie z namiastką o dystrybucjach, które to twierdzenie zastosowaliśmy w punkcie (2.12), zatem:

$\int_V\nabla{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV=\int {{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}d\vec{S}=\int_0^{4\pi}{{1}\over{R^2}}d\omega R^2=\int_0^{4\pi}d\omega=4\pi\Rightarrow \nabla{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}=4\pi\delta^3(\vec{R})\;$

(2.13)

Jeśli obierzemy sobie kulę o promieniu R, wtedy zwiększając promień takiej kuli na podstawie (2.13) nie zmieniamy wartości całki, jedyną osobliwością występującą w (2.13) jest R=0, zatem dla tego R do całki jest wnoszony wkład, zatem aby powyższa całka była spełniona, to z własności delty Diraca, otrzymujemy, że dywergencja naszej wielkości radialnej jest równa według końcowego wyrażenia według (2.13). A także w (2.12) skorzystaliśmy z definicji wektora odległości pewnego infinitezymalnego ładunku do punktu, w którym liczymy pewne wielkości, czyli przez $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}^'$, zatem z definicji delty Diraca możemy napisać końcowe obliczenia w (2.12). Co kończy dowód tego prawa dla ciągłego rozkładu ładunków.

Całkowe prawo Stokesa

Obierzmy okrąg o promieniu r, policzmy cyrkulację pola elektrycznego, z wiadomości o prawie Coulomba mamy, że wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do tego okręgu, zatem dostajemy prawo:

$\oint \vec{E}d\vec{l}=0$

(2.14)

Czyli dla dowolnej linii zamknętej okalającej ładunek z wiadomości analizy matematycznej też jest równa zero cyrkulacja pola elektrycznego, zatem dla tego konturu również jest spełnione twierdzenie (2.14). Wedle wzorów (2.5) prawo Stokesa (2.14) jest również spełnione dla dowolnego rozkładu ładunków punktowych q_i, którego cząstkowe natężenia jest liczona wedle wzoru (1.3).

Różniczkowe prawo Stokesa

Znamy już całkową postać prawa Stokesa (2.14), a teraz wyprowadźmy jego podstać różniczkową. Aby wyznaczyć różniczkowe prawo Stokesa, to wtedy należy policzyć całkę i zamienić te całkowanie po pewnym konturze na całkowaniem po powierzchni, który ogranicza ten właśnie kontur:

$\oint \vec{E}d\vec{l}=\oint\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}$

(2.15)

Zatem z prawa całkowego Stokesa (2.14) i przekształcenia (2.15) dostajemy całkowe równanie, które jest pewnym rodzajem, ale inaczej zapisanym całkowym prawem Stokesa:

$\oint\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0$

(2.16)

Ale powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej linii zamkniętej, to wtedy dla pola elektrostatycznego stałego, funkcja podcałkowa (2.16) jest równa zero, wtedy mamy prawo różniczkowe:

$\operatorname{rot}\vec{E}=0$

(2.17)

Jest to różniczkowe prawo Stokesa dla elektrostatyki.

Rotacja natężenia pola elektrycznego dla ciągłego rozkładu ładunków

Aby sprawdzić, czy spełnione jest różniczkowe prawo Stokesa dla ciągłego rozkładu ładunków, skorzystajmy ze wzoru (1.7), mamy wyrażenie:

$\operatorname{rot}\vec{E}=\nabla\times\vec{E}= \nabla\times\left(\int{{\rho(\vec{r}^')}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV^'\right)= \int{{\rho(\vec{r}^')}\over{4\pi\epsilon_0}}\nabla\times{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV^'$

(2.18)

Aby dokończyć różniczkowanie w punkcie (2.18) należy zauważyć, że $_{{{1}\over{R}}}\;$, zależy tylko od współrzędnych radialnych, zatem powyższe obliczenia możemy dokończyć, korzystając z definicji rotacji we współrzędnych kulistych, którego to definicja jest napisana w punkcie (MMF-7.58), co te obliczenia dokończamy dla współrzędnych w tym operatorze, w której występuje różniczkowanie po odległości radialnej, a pozostałe współrzędne tego operatora pomijamy, bo one są równe zero, zatem:

$\nabla\times{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}=\nabla\times{{\hat{\vec{r}}}\over{r^2}}= {{1}\over{r}}\left[{{\partial}\over{\partial r}}\left(r\cdot 0\right)-{{\partial}\over{\partial\phi}}\left({{1}\over{r^2}}\right)\right]\vec{e}_{\theta}+ {{1}\over{r}}\left[{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\left({{1}\over{r^2}}\right)-{{\partial}\over{\partial r}}\left(r\cdot 0\right)\right]\vec{e}_{\phi}=0$

(2.19)

Ostatecznie otrzymujemy na podstawie (2.19) i późniejszych rozważań, że prawo Stokesa (2.18) dla ciągłego rozkładu ładunków według (1.7) jest również spełnione.

Co kończy dowód różniczkowego prawa Stokesa.

Pole skalarne

Polem skalarnym nazywamy pole, w której w każdym punkcie w przestrzeni odpowiada pewien skalar.

Potencjał elektryczny

Niech mamy dwa punkty, w której w punkcie A i punkcie B występują pewne pola elektryczne statyczne, to zmiana potencjału skalarnego pola elektrycznego definiujemy jako:

$\Delta_A^B \varphi=-\int_A^B\vec{E}d\vec{l}\;$

(3.1)

Dla pola elektrycznego skalarnego zakładamy, że zmiana potencjału nie zależy od jej drogi na drodze dowolnej z A do B, całka z różniczki zupełnej jest tak właśnie skonstruowana, by ona nie zależała od trajektorii między oba określonymi punktami, a zatem z definicji różniczki zupełnej, różniczkę zupełną pod całką możemy rozpisać wedle schematu poniżej:

$\Delta_A^B \varphi=\int_A^Bd\varphi=\int_A^B\left[{{\partial \varphi}\over{\partial x}}dx+{{\partial \varphi}\over{\partial y}}dy+{{\partial \varphi}\over{\partial z}}dz\right]=\int_A^B \operatorname{grad}\varphi d\vec{l}\;$

(3.2)

Porównajmy wzór (3.1) ze wzorem (3.2), bo oba wzory oznaczają to samo, zmianę potencjału na drodze z A do B, która w ogólności nie jest odcinkiem prostym i przenosząc wszystko na lewą stronę tak by po lewej stronie była całka z pewną funkcją podcałkową, a po prawej stronie zero:

$\int_A^B \operatorname{grad}\varphi d\vec{l}=-\int_A^B\vec{E}d\vec{l}\Rightarrow \int_A^B\left(\operatorname{grad}\varphi+\vec{E}\right)d\vec{l}=0\;$

(3.3)

Wzór (3.3) jest spełniony dla dowolnej linii łączącej punkt początkowy A z punktem końcowym B, zatem wnioskujemy we wspomnianym wzorze funkcja podcałkowa jest równa zero, czyli

$\operatorname{grad}\varphi+\vec{E}=0\;$

(3.4)

zatem ostatecznie z (3.4) wyznaczając wektor natężenia pola elektrycznego, wtedy dostajemy wzór na tą wielkość w zależności od gradientu potencjału skalarnego wziętych z minusem:

$\vec{E}=-\operatorname{grad}\varphi\;$

(3.5)

Addytywność potencjału elektrycznego

Jeśli potencjał pola skalarnego jest wielkością addytywną, to natężenie pola elektrycznego jest też addytywne, i odwrotne. Określmy i nazwijmy ją całkowitym potencjałem elektrycznym pola elektrycznego jako sumę potencjałów elektrycznych pochodzących od N ładunków:

$\varphi=\sum_{i=1}^N \varphi_i\;$

(3.6)

I policzmy wyrażenie poniżej, korzystając ze wzoru (3.6), wtedy dojdziemy do wzoru (1.5), że natężenie natężenia elektrycznego jest wielkością addytywną, co jest prawdą, tzn:

$-\operatorname{grad}\varphi=\operatorname{grad}\sum_{i=1}^N \varphi_i=-\sum^N_{i=1}\operatorname{grad}\varphi_i=\sum^N_{i=1}\vec{E}_i=\vec{E}\;$

(3.7)

Dowodząc odwrotnie z addywności natężeń elektrycznych dostajemy addywność potencjałów elektrycznych w postaci (3.6), prowadząc obliczenia w przeciwnym kierunku, niż w dowodzie (3.7). Dochodzimy, że jeśli pole skalarne, których jest potencjał elektryczny jest addytywny, to stąd wynika, że pole elektryczne wektorowe też jest jest wielkością addytywną, co otrzymujemy prawidłowo dotyczące właściwości natężenia pola elektrycznego, która z kolei wynika niezależności działania sił elektrycznych pochodzący od różnych ładunków.

Równanie Poissona a równanie Laplace'a

Równania Poissona można udowodnić korzystając z (2.11) i z definicji natężenia pola elektrycznego poprzez jego potencjał skalarny w danym punkcie (3.5), zatem łącząc obydwa te dwa równania, otrzymujemy:

$-\operatorname{div}\operatorname{grad}\varphi={{\rho}\over{\epsilon_0}}\;$

(3.8)

co równaniu (3.8) rozpisujemy operator $\operatorname{div}\operatorname{grad}\;$ i dochodzimy do wniosku, że ten nasz wspomniany operator jest to po prostu laplasjan, czyli kwadrat operatora dywergencji.

$\Delta \varphi=-{{\rho}\over{\epsilon_0}}\;$

(3.9)

Równanie Laplace'a otrzymujemy z (3.9), gdy zachodzi ρ=0, czyli gęstość objętościowa ładunku elektrycznego jest równa zero, a zatem mamy:

$\Delta \varphi=0\;$

(3.10)

Korzystając z równania na natężenie pola elektrycznego poprzez jego potencjał skalarny (3.5) i z różniczkowego prawa Stokesa (2.17), dostajemy:

$\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=(\nabla\times\nabla)\varphi= \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_k\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_k+\epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_k\right)\varphi=\;$ $= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_j\right)\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_{k}\nabla_j\right)\varphi=\;$ $= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\right)\varphi=0\;$

(3.11)

Czyli wyliczając natężenie pola elektrostatycznego należy z korzystać z równania Poissona (3.9) i potem z obliczeń potencjału skalarnego wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, należy pamiętać, że przy definicji potencjału elektrycznego różniczkowe prawo Stokesa jest automatycznie spełnione jak pokazano w dowodzie (3.11).

Praca podczas przesuwania ładunku próbnego

Wiadomo, że jednak praca wykonana podczas przesuwania ładunku q w polu o ładunku Q jest napisana wzorem poniżej, wiedząc że źródło nie porusza się i środek układu współrzędnych znajduje się, gdzie jest nasze źródło pola i wtedy zachodzi na pewno$\vec{R}=\vec{r}$, zatem:

$W=\int_A^B dW=-\int_A^B \vec{E}d\vec{r}=-\int_A^B EdR=-\int_A^B{{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}{{dR}\over{R^2}}=-{{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_A^B{{dR}\over{R^2}}=\;$ $=-{{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}\left[-{{1}\over{R}}\right]_A^B= {{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}\left[{{1}\over{R_B}}-{{1}\over{R_A}}\right]\;$

(3.12)

A zatem pracę wykonana nad ładunkiem q w polu o ładunku Q jest zależna od odległości od ładunku Q z jaką ładunek q zostaje przesunięty od R_A do R_B, i ta praca jest zatem wyrażona:

$W={{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}\left[{{1}\over{R_B}}-{{1}\over{R_A}}\right]\;$

(3.13)

Energia potencjalna ładunku q w polu ładunku Q

Zakładamy, że energia elektryczna ładunku q w polu ładunku Q, nieskończenie daleko od Q jest równa zero, a zatem praca (3.13) wykonana podczas przesuwania ładunku q z $R_A=\infty\;$ do odległości R między tymi punktami przy nieruchomym ładunku Q, jest z definicji energią potencjalną omawianego ładunku w odległości R od ładunku Q, jest wyrażona:

$W={{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}\left[{{1}\over{R}}-{{1}\over{\infty}}\right]={{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{R}}=E_p\;$

(3.14)

Energia ładunku q w polu elektrycznym na podstawie wzoru (3.14) jest wyrażona poprzez odległość R między tymi ładunkami i od wartości naszych ładunków q i Q oraz jest ona napisana:

$E_p={{Qq}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{R}}\;$

(3.15)

Alternatywna definicja potencjału elektrycznego

Potencjałem elektrycznym nazywamy iloraz energii potencjalnej (3.15) ładunku próbnego przez wartość tego ładunku, by ten ładunek nie zaburzał pół pochodzących od innych ładunków w przestrzeni:

$\varphi={{E_p}\over{q}}\;$

(3.16)

Dla ładunku punktowego potencjał elektryczny zdefiniowanej wedle wzoru (3.16), będziemy skorzystać z definicji energii potencjalnej dla ładunku punktowego q (3.15) w polu ładunku Q, zależy ona tylko o wartości ładunku Q i odległości R od tego ładunku, w którym liczymy ten potencjał, jest wyrażony poprzez:

$\varphi={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Q}\over{R}}\;$

(3.17)

Poniżej zakładamy, że źródło pola elektrycznego nie porusza się. Zbadajmy równoważność wzoru na potencjał skalarny (3.17) z definicją potencjału skalarnego otrzymanego ze wzoru (3.5) mając już znane natężenie pola elektrycznego, zatem zbadajmy czy dla ładunku punktowego znając te obydwa wspomniane wzory, w której czy dostaniemy prawidłową definicję natężenia pola elektrycznego ładunku punktowego (1.3).

$\operatorname{grad}\varphi={{\partial \varphi}\over{\partial R}}\operatorname{grad}R={{\vec{R}}\over{R}}{{\partial \varphi}\over{\partial R}}= {{\vec{R}}\over{R}}{{\partial }\over{\partial R}}\left[{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Q}\over{R}}\right]=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Q}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}=-\vec{E}\;$

(3.18)

Z obliczeń (3.18) otrzymujemy wyrażenie na natężenia pola elektrycznego poprzez jego potencjał skalarny, czyli (3.17). Dochodzimy więc do wniosku, że definicja potencjału elektrycznego jako iloraz energii potencjalnej i wartości ładunku punktowego (3.16) jest poprawną definicją.

Potencjał dla ciągłego rozkładu ładunków

Z definiujmy, że ładunek infinitezymalny znajdujący się w danym punkcie przestrzeni przez (1.6), wtedy potencjał elektryczny w punkcie A jest wyrażona przez całkę infitezymalnych potencjałów elektrycznych, ponieważ jak udowodniliśmy potencjały elektryczne, nawet te infitezymalne są wielkościami addtywnymi według (3.6) i dowodu tej addywności (3.7), które te potencjały są wyrażone zamiast przy pomocy ładunku Q w (3.15), przez infinitezymalne ładunki, wyrażone przez gęstość objętościową pomnożoną przez infitezymalną objętość zajmowany przez nasz infinitezymalny ładunek w danym punkcie o wektorze wodzącym $\vec{r}^'\;$:

$\varphi(\vec{r})=\int_V d\varphi(\vec{r}^')= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V{{\rho(\vec{r}^')}\over{R}}dV^'\;$

(3.19)

Zatem nasz całkowity potencjał występujący w punkcje A wedle (3.19) jest zależny od gęstości ładunków znajdujących się w danych punktach w objętości V oraz wyrażona jest:

$\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V{{\rho(\vec{r}^')}\over{R}}dV^'\;$

(3.20)

Jest to ogólny wzór na rozkład ciągły ładunków w ściśle określonej przestrzeni.

Całkowita energia układu dyskretnego w wzajemnym polu elektrycznym

Całkowita energia potencjalna dyskretnego układu ładunków jest wyrażona w postaci sumy energii potencjalnej układu ładunków, które te składniki są iloczynem potencjału elektrycznego i danego ładunku, ponieważ energia potencjalna układu dwóch ładunków jest rozłożona pomiędzy nimi jednokrotnie, więc po sumowaniu po wszystkich ładunkach wynika, że wynik należy podzielić przez dwa, aby energia danych dwóch ładunków najpierw po sumowaniu po pierwszym, a potem po drugim ładunku, aby się nie powtarzała, ponieważ wedle wzoru (3.16) (definicja potencjały cząstki), a potem (3.15) (energia pojedynczej cząstki) energia układu jest symetryczna względem przestawień ładunków, i jest wyrysowana:

$E_p={{1}\over{2}}\sum^N_{i=1}q_i \varphi_i\;$

(3.21)

Powyżej dlatego występuje czynnik:$_{{{1}\over{2}}}\;$, bo pomiędzy dwoma cząstkami jest rozłożona cząstkowa energia potencjalna, a zatem znając definicję φ_i, to całkowita energia układu jest wyrażona przez:

$E_p={{1}\over{2}}\sum^N_{i=1}q_i\sum^N_{j=1}{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q_j}\over{r_{ij}}}={{1}\over{8\pi\epsilon_0}}\sum^N_{i,j=1}{{q_iq_j}\over{r_{ij}}}\;$

(3.22)

Energia ciągłego rozkładu ładunku

Energia ciągłego rozkładu ładunku na podstawie jej dyskretnego przedstawienia (3.21), dalej zamieniając dyskretne ładunki punktowe na ich infinitezymalne odpowiedniki, a to z kolei wykorzystywać będziemy wzór (1.6) zamieniając sumę na całkowanie po infinitezymalnej objętości, w której zawarte są te ładunki:

$E_p={{1}\over{2}}\int\rho \varphi dV\;$

(3.23)

Jeśli wiadomo, że z (2.11) wynika wzór na gęstość ładunku w danym punkcie w zależności od dywergencji natężenia pola elektrycznego:

$\operatorname{div}\vec{E}={{\rho}\over{\epsilon_0}}\Rightarrow \rho=\epsilon_0\operatorname{div}\vec{E}\;$

(3.24)

Zatem nasza energia potencjalna (3.23) dla naszego układu, gdy gęstość ładunku występuje w danym punkcie jest wyrażone wedle wzoru (3.24), to wtedy całkowita energia układu ciągłego ładunków jest wyrażona poprzez dywergencję natężenia pola elektrycznego, przyjmuje postać:

$E={{\epsilon_0}\over{2}}\int \operatorname{div}\vec{E}\varphi dV\;$

(3.25)

Dokonajmy całkowania przez części równania (3.25), korzystając przy tym, że całka $_{\int_S\vec{E}\varphi d\vec{S}}\;$ jest równa zero obierając kulę o nieskończenie dużym promieniu, wtedy potencjał skalarny tam jest równy zero i wtedy ten wyraz znika, zatem dostajemy, że energia potencjalna układu ładunków rozmieszczonych w próżni jest równa:

$E_p={{\epsilon_0}\over{2}}\int \operatorname{div}\vec{E}\varphi dV= {{\epsilon_0}\over{2}}\left[\oint_S\vec{E}\varphi d\vec{S}-\int\vec{E}\operatorname{grad}\varphi dV\right]=\;$ $= -{{\epsilon_0}\over{2}}\int\vec{E}\operatorname{grad}\varphi dV={{\epsilon_0}\over{2}}\int E^2dV\;$

(3.26)

Całkowita energia w układu ciągłego ładunków wedle wzoru (3.26) jest wyrażona w postaci:

$E_p={{\epsilon_0}\over{2}}\int E^2dV\;$

(3.27)

Energia potencjalna układu ładunków o bardzo dużej objętości i jest to całka kwadratu natężenia pola elektrycznego wytwarzanych przez te ładunki całkowaną względem objętości.

Łamanie superpozycji dla pola elektrycznego

Połóżmy, jako że całkowite natężenie pola jako suma dwóch natężeń pochodzących od dwóch rozkładów ładunków ciągłych wedle prawa (1.5), którego całkowite natężenia pola elektrycznego jest sumą natężeń rozkładów cząstkowych w postaci:

$\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2\;$

(3.28)

to wyrażenie (3.27) na podstawie superpozycji natężeń pól elektrycznych (3.28) jest napisana przez całkę:

$W={{\epsilon_0}\over{2}}\int E^2dV={{\epsilon_0}\over{2}}\int \left(\vec{E}_1+\vec{E}_2\right)^2dV={{\epsilon_0}\over{2}}\int \left(E_1^2+E_2^2+2\vec{E}_1\vec{E}\right)dV=$ $=W_1+W_2+\epsilon_0\int \vec{E}_1\vec{E}_2dV\;$

(3.29)

W ten sposób udowodniliśmy, że energia układu cząstek (3.29) nie jest wielkością addytywną, czyli nie jest sumą energii dwóch rozkładów ciągłych ładunków, ponieważ w powyższym wzorze występuje ostatni człon, oprócz energii potencjalnej dwóch rozkładów ładunków występuje również człon, która jest całką iloczynu skalarnego natężeń pochodzących od dwóch rozkładów ładunków ciągłych całkując po objętości, która w ogólności jest różna od zera. Ten człon jest odpowiedzialny za wzajemną energię potencjalną między tymi dwoma rozkładami.

Przewodniki

W izolatorach każdy elektron jest związany, ze ściśle określonym atomem, w przewodniki np. metalach jeden elektron lub więcej należących do określonego atomu może przemieszczać się w odrębnie określonego metalu.

Charakterystyka wewnątrz przewodnika

Wewnątrz przewodnika pole elektryczne wynosi zero E=0, albowiem gdyby pole elektryczne było nierówne zero to mielibyśmy problem nie elektrostatyczny, i wtedy układ próbował by siebie doprowadzić do stanu stacjonarnego.

Gęstość ładunku w wewnątrz przewodnika

Wewnątrz przewodnika gęstość ładunków jest równa zero, ponieważ mamy problem elektrostatyczny, to natężenie pola elektrycznego wynosi zero. Można powiedzieć, że powierzchnia przewodnika stanowi jakoby układ ekwipotencjalny, czyli potencjał na nim jest równy zero. Stąd wynika, że pole elektryczne w pobliżu przewodnika jest prostopadłe do niego, gdy ciało jest naładowane pewnym ładunkiem, lub gdy występuje niejednorodny rozkład ładunków na jej powierzchni, gdy mamy w pobliżu niego inny ładunek oddziaływający z tą właśnie powierzchnią. Gdy by tak nie było, to nasz wektor można rozłożyć na równoległy i prostopadły wektor natężenia pola elektrycznego do rozważanego punktu danej powierzchni, ponieważ na powierzchni ma stały potencjał, wiec wektor równoległy do powierzchni znika i pozostaje prostopadły. Czyli stąd wynika, że pole wektorowe jest takie jak wcześniej w prowadziliśmy, to jako tezę.

Ładunki indukowane

Załóżmy, że mamy bardzo duży ładunek q>0, rozmieszczony na małej objętości. Jeśli ten ładunek umieścimy blisko pewnego przewodnika, to ładunki dodatnie oddalą się od tego ładunku punktowego, a ładunki ujemne zbliżą się do niego.

Całkowity ładunek, który obejmuje powierzchnię Gausa jest określona przez wzór:

$Q_{wew}=q+q_{ind}\;$ (4.1)

$Q_{wew}=0\;$ (4.2)

to stąd wynika q_ind=-q, czyli całkowity ładunek indukowany jest równy co do wartości ładunkowi, za pomocą którego indukujemy, ale ma przeciwny do niego znak.

Ładunki powierzchniowe

Pole wewnątrz przewodnika jest równe zero, prowadząc powierzchnię równoległościanu w taki sposób względem przewodnika, którego dolna podstawa jest wewnątrz przewodnika, a górna na zewnątrz, by obie podstawy były blisko powierzchni, przy jego powierzchni na zewnątrz natężenie pola elektrycznego ma wartość niezerową. A wewnątrz tego przewodnika przy dolnej podstawie znajdującej się w tym przewodniku wartość pola elektrostatycznego wynosi zero, tak jak wcześniej o tym powiedzieliśmy. Boczne ścianki tego równoległościanu są tak obrane, by natężenie pola elektrycznego było równoległe do tych ścianek.

$\vec{E}\left(\vec{n}S\right)={{q}\over{\epsilon_0}}\Rightarrow\vec{E}\vec{n}={{\sigma}\over{\epsilon_0}}\Rightarrow \vec{E}={{\sigma}\over{\epsilon_0}}\vec{n}$

(4.1)

Ładunki na nieskończenie dużej płaszczyźnie

Nieskończenie duża jednorodnie naładowana płaszczyzna.

Gęstość powierzchniowa ładunków na nieskończonej płaszczyźnie jest taka sama, więc ona nie wyróżnia żadnych kierunków dla badanej płaszczyzny naładowanej, zatem jedynym kierunkiem wyróżnionym jest kierunek prostopadły. Dochodzimy więc do wniosku, z symetrii, że nie odróżniamy kierunku dolnego od górnego względem płaszczyzny, zatem natężenie pola elektrycznego dla takiej samej odległości od płaszczyzny po obu stronach co do kierunku i wartości ma taką samą wartość i kierunek, tylko te natężenia różnią się zwrotami. Obierzmy sobie walec o wysokościach takich samych pod i nad płaszczyzną, co pokażemy na rysunku obok. Natężenie pola elektrycznego na bokach tego walca wynosi zero, ze względu na symetrię jaką reprezentuje nieskończenie duża naładowana płaszczyzna, zatem strumień pola elektrycznego na ściankach bocznych jest równy zero, tylko mamy strumienie niezerowe na podstawach tej figury. Zatem można powiedzieć z prawa całkowego Gaussa (2.8), w ten sposób by wynikało z niego:

$ES+ES={{q}\over{\epsilon_0}}\Rightarrow E={{\sigma}\over{2\epsilon_0}}$

(4.2)

Na podstawie powyższego wzoru dochodzimy do wniosku, że wartość natężenia pola elektrycznego jest wszędzie takie same nad lub pod płaszczyzną z osobna i tylko zależy od gęstości powierzchniowej ładunku.

Kondesatory a natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kondensatora

Kondensator elektryczny

Ładunek dwóch jednakowych równoległych płaszczyzn mają taką samą wartość, ale przeciwne ładunki. Stąd wynika, że pole elektryczne na zewnątrz takiego kondensatora jest równe zero. Bo przeciwne natężenia pochodzące od dwóch jednakowych rozkładów ładunków co do wartości, ale różniących się znakiem od tych dwóch płaszczyzn zeruje się. Między okładkami takiego kondensatora panuje natężenie pola elektrycznego, które jest wyrażone wzorem:

$E=2 {{\sigma}\over{2\epsilon_0}}\Rightarrow E={{\sigma}\over{\epsilon_0}}$

(4.3)

Widzimy, że natężenie pola elektrycznego zależy od gęstości powierzchniowej ładunków znajdujących się na okładkach kondensatora o ładunku dodatnim, gęstość ładunku na okładce o ładunku ujemnym ma taką samą wartość bezwzględna, ale co do znaku, różni się właśnie nim.

Pojemność elektryczna kondensatora

Jeśli przez Q oznaczymy wartość bezwzględna ładunku znajdującego się na okładkach kondensatora, na okładkach znajduje się ładunek o przeciwnych znakach, różnica potencjałów jest równa U, zatem z definicji pojemności elektrycznej i wykorzystując wzór na natężenie pola elektrycznego wewnątrz kondensatora (4.3), i z definicji gęstości powierzchniowej na okładkach kondensatora, dostajemy wzór na pojemność omawianego obiektu:

$C={{Q}\over{U}}={{Q}\over{Ed}}={{\sigma S}\over{d{{\sigma}\over{\epsilon_0}}}}={{S\epsilon_0}\over{d}}$

(4.4)

Pojemność kondensatora zależy od odległości pomiędzy okładkami kondensatora i ich powierzchni wspólnej.

Rozwinięcia kwadrupolowe

Będziemy zajmować się multipolami elektrycznymi w celu obliczenia ich natężenia pola elektrycznego w pewnej w odległości od naszego multipola.

Dipol elektryczny

Rysunek obrazujący pole elektryczne pochodzące od dipola elektrycznego

Potencjał elektryczny w pewnej odległości od dwóch źródeł q i -q dipola elektrycznego, czyli w punkcie O przedstawia się jako suma potencjałów pochodzących od tych ładunków o przeciwnych znakach:

$\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\left({{q}\over{R_+}}-{{q}\over{R_-}}\right)= {{q}\over{4\pi\epsilon_0}}\left({{1}\over{R_+}}-{{1}\over{R_-}}\right)$

(5.1)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie odległości R_± za pomocą rysunku obok, przy pomocy odległości pomiędzy tymi omawianymi ładunkami q i -q, oraz przy pomocy odległości łączący środek tego dipola z punktem O, w którym liczymy potencjał elektryczny pochodzący od tego obiektu. Wyznaczmy kwadrat odległości ładunku q od tego ściśle określonego punktu O, w którym liczymy potencjał elektryczny. Jak się przekonamy ona jest zależna od odległości środka dipola elektrycznego od punktu O, jak i odległości w tym obiekcje ładunku q od ładunku przeciwnego -q:

$R^2_+=r^2+\left({{d}\over{2}}\right)^2-2r{{d}\over{2}}\cos\phi=r^2+{{d^2}\over{4}}-rd\cos\phi$

(5.2a)

Wyznaczmy kwadrat odległości ładunku -q od tego ściśle określonego punktu O, w którym liczymy potencjał elektryczny. Jak się przekonamy ona jest zależna od odległości środka dipola od punktu O, jak i odległości w dipolu elektrycznym ładunku q od ładunku przeciwnego -q:

$R^2_-=r^2+\left({{d}\over{2}}\right)^2-2r{{d}\over{2}}\cos(\pi-\phi)=r^2+{{d^2}\over{4}}+rd\cos\phi$

(5.2b)

Co do wzorów (5.2a) (ona przedstawia odległość ładunku q od punktu O) i (5.2b) (ona przedstawia odległość ładunku -q od punktu O), co można zapisać te dwa wzory równoważnie obejmującą oba te przypadki, za pomocą znaku plus minus, czyli znaku ±, wedle:

$R^2_{\pm}=r^2+{{d^2}\over{4}}\mp rd\cos\phi$

(5.3)

Policzmy odwrotności wielkości R_± zapisanej ogólnie wedle wzoru (5.3), które są z osobna odległościami ładunku q i -q od rozważanego punktu O, mamy stąd wniosek:

${{1}\over{R_{\pm}}}={{1}\over{\left(r^2+{{d^2}\over{4}}\mp rd\cos\phi\right)^{{{1}\over{2}}}}}\simeq {{1}\over{r\left(1\mp{{d\cos\phi}\over{r}}\right)^{{{1}\over{2}}}}}\simeq {{1}\over{r}}\left(1\pm {{d}\over{2r}}\cos\phi\right)$

(5.4)

Policzmy wyrażenie, które mówi nam jaka jest wartość potencjału elektrycznego w naszym omawianym punkcie, czyli według wzoru (5.1), korzystając ze wzoru ogólnego (5.4), mówiący jakie są odległości ładunku q lub -q od naszego punktu, zatem policzmy najpierw ostatni czynnik tej tożsamości:

${{1}\over{R_+}}-{{1}\over{R_-}}={{1}\over{r}}\left(1+ {{d}\over{2r}}\cos\phi\right)-{{1}\over{r}}\left(1- {{d}\over{2r}}\cos\phi\right)={{d}\over{r^2}}\cos\phi$

(5.5)

By potem napisać nasz potencjał (5.1) wedle wzoru (5.5), przedstawiający różnicę odwrotności ładunków q i -q od punktu O, której ten potencjał jest równy wyrażeniu:

$\varphi(\vec{r})={{q}\over{4\pi\epsilon_0}}{{d}\over{r^2}}\cos\phi={{qd\cos\phi}\over{4\pi\epsilon_0 r^2}}$

(5.6)

Potencjał elektryczny pochodzący od dipola będziemy liczyli w pewnej odległości od niego, korzystając z definicji momentu dipolowego o wartości:

$p=qd\;$

(5.7)

• gdzie d jest to odległość łącząca ładunki q (ładunek dodatni) i -q (ładunek ujemny) w dipolu elektrycznym.

jeśli moment dipolowy przedstawić jako wektor, to jego kierunek pokrywa się z prostą łączącą oba te ładunki, a zwrot jest od ładunku ujemnego do dodatniego. Potencjał skalarny (5.6) jest taki, że wykorzystując wzór na wartość momentu dipolowego (5.7), wtedy wyraża się on:

$\varphi(\vec{r})={{p\cos\phi}\over{4\pi\epsilon_0 r^2}}$

(5.8)

Jest to wzór na potencjał skalarny dipola, który jest funkcją jego momentu dipolowego, odległości środka dipola od punktu, w którym ten potencjał skalarny istnieje, a także od kąta pomiędzy wektorem łączący dwa skrajne ładunki w dipolu elektrycznym, a wektorem łączący środek dipola elektrycznego z punktem, w którym liczymy nasz wspomniany potencjał.

Rozwinięcie multipolowe potencjału skalarnego

Rozwinięcie multipolowe dla pola elektrycznego

Mamy sobie pewien rozkład ładunków i będziemy liczyli potencjał skalarny w pewnym punkcie, którego wektor wodzący jest $\vec{r}\;$ względem pewnego punktu, również znamy wektory wodzące $\vec{r}^'\;$ infinitezymalnych objętości. Na podstawie tych naszych dysput możemy wyznaczyć odległość infinitezymalnego ładunków, który stanowi jakoby punkt od punktu, w której znajduje się infinitezymalna objętość, do punktu O. Mając już obliczony odległość R, które możemy wykorzystać do liczenia potencjału skalarnego do wzoru napisanego w punkcie (3.19). Ta nasza wspomniana odległość R, którą będziemy wyznaczać wedle rysunku obok, jest napisana:

$R^2=r^2+(r^')^2-2rr^'\cos\phi=r^2\left[1+\left({{r^'}\over{r}}\right)^2-2\left({{r^'}\over{r}}\right)\cos\phi\right]$

(5.9)

Widzimy, że ona jest funkcją r i odległości r^', które są wyznaczane względem pewnego punktu, który nazwiemy punktem bazowym. Obierzmy odległość R (5.9) poprzez parametr ε, który jest zdefiniowany w wspomnianym wzorze w sposób równoważny wedle:

$R=r\sqrt{1+\epsilon}$

(5.10)

• gdzie ten nasz wspomniany parametr ε jest opisany wzorem:

$\epsilon=\left({{r^'}\over{r}}\right)\left({{r^'}\over{r}}-2\cos\phi\right)$

(5.11)

Odwrotność promienia R (5.10) przy definicji parametru ε (5.11) możemy wyrazić jako:

${{1}\over{R}}={{1}\over{r}}\left(1+\epsilon\right)^{-{{1}\over{2}}}\simeq {{1}\over{r}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-{{5}\over{16}}\epsilon^3+....\right)$

(5.12)

Wykorzystajmy definicję parametru ε, który jest opisana według wzoru (5.11) do wzoru, który jest odwrotnością R (5.12), mamy:

${{1}\over{R}}={{1}\over{r}}\Bigg[1-{{1}\over{2}}\left({{r^'}\over{r}}\right)\left({{r^'}\over{r}}-2\cos\phi\right)+ {{3}\over{8}}\left({{r^'}\over{r}}\right)^2\left({{r^'}\over{r}}-2\cos\phi\right)^2+\;$ $-{{5}\over{16}}\left({{r^'}\over{r}}\right)^3\left({{r^'}\over{r}}-2\cos\phi\right)^3\Bigg]=$ $={{1}\over{r}}\Bigg[ 1-{{1}\over{2}}\left({{r^'}\over{r}}\right)^2+{{r^'}\over{r}}\cos\phi+ {{3}\over{8}}\left({{r^'}\over{r}}\right)^2\left(\left({{r^'}\over{r}}\right)^2+4\cos^2\phi-4{{r^'}\over{r}}\cos\phi\right)+$ $-{{5}\over{16}}\left({{r^'}\over{r}}\right)^3\left(\left({{r^'}\over{r}}\right)^3+8\cos^3\phi- 6{{(r^')^2}\over{r^2}}cos\phi+12{{r^'}\over{r}}\cos^2\phi\right) \Bigg]$

(5.13)

We wzorze (5.13) w nawiasie grupujemy kolejne wyrazy względem potęg $_{{{r^'}\over{r}}}$, a zatem do dzieła.

${{1}\over{R}}={{1}\over{r}}\left[ 1+{{r^'}\over{r}}\cos\phi+\left({{r^'}\over{r}}\right)^2{{(3\cos^2\phi-1)}\over{2}}+\left({{r^'}\over{r}}\right)^3{{\left(5\cos^2\phi^3-3\cos\phi\right)}\over{2}}+... \right]$

(5.14)

Rozszerzając powyższy wzór (5.14), który można tak rozszerzyć na wszystkie wyrazy zależne od współczynnika n dla P_n(x), które są wielomianami Legendre'a.

${{1}\over{R}}={{1}\over{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\left({{r^'}\over{r}}\right)^nP_n(\cos\phi)$

(5.15)

Całkowity potencjał elektryczny (3.19) i korzystając przy tym z (5.15) na odwrotność promienia R, wyrażona jest w postaci całki po ładunkach należących do tego rozkładu według wzoru:

$\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}} \sum_{n=0}^{\infty}{{1}\over{r^{n+1}}}\int(r^')^n P_n(\cos\phi)\rho(\vec{r}^')dV^'$

(5.16)

lub w postaci jawnej biorąc ze wzoru (5.16) trzy pierwsze wyrazy, a pozostałe oznaczając wielokropkami:

$\varphi(\vec{r})=\;$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\left[ {{1}\over{r}}\int\rho(\vec{r}^')dV^'+{{1}\over{r^2}}\int r^'\cos\phi\rho(\vec{r}^')dV^'+{{1}\over{r^3}}\int (r^')^2\left({{3}\over{2}}\cos^2\phi dV^'-{{1}\over{2}}\right)\rho(\vec{r^'})dV^'+.... \right]$

(5.17)

Patrząc na powyższe rozwinięcie mamy dla n=0 człon monopolowy, dla n=1 człon dipolowy i ostatecznie dla b=3 człon kwadrupolowy. Potencjał elektryczny można liczyć w prowadzając pewne poprawki jako multipole.

Człon monopolowy i dipolowy w rozwinięciu multipolowym

Człon monopolowy występujący we wzorze (5.17) jest dokładnie taki sam jak w równaniu (3.20) na potencjał skalarny wytwarzanej przez rozciągły rozkład ładunków nieskończenie małych z pewnymi gęstościami objętościowymi ładunków elektrycznych.

$\varphi_0(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int{{\rho(\vec{r}^')}\over{r}}dV^'$

(5.18)

A człon dipolowy występujący również w tym samym równaniu jest zależny od gęstości objętościowej ładunków w danej badanej objętości i od kąta φ wedle kulistego układu współrzędnych, potencjał elektryczny pochodzący od dipoli jest wyrażony:

$\varphi_1(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r^2}}\int r^'\cos\phi\rho(\vec{r^'})dV^'$

(5.19)

Określmy jako:$\hat{r}\vec{r}^'=r^'\cos\phi$,

• gdzie:$\hat{r}$ jest wektorem równoległym i jednostkowym do wektora wodzącego $\vec{r}\;$, w którym ta ostatnia łączy punkt O z pewnym punktem, którego ma początek wspomniany wektor, i na końcu tego wektora będziemy liczymy potencjał elektryczny skalarny pola wytwarzanego przez pewien rozkład ładunków, i która z $\vec{r}^'$ tworzy pewien kąt.

Dochodzimy do wniosku, że wyrażenie (5.19) możemy napisać:

$\varphi_1(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r^2}}\int \hat{r}\vec{r}^'\rho(\vec{r^'})dV^'\Rightarrow \varphi_1(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r^2}}\hat{r}\int\vec{r}^'\rho(\vec{r^'})dV^'$

(5.20)

Jeśli zdefiniujemy, że wektor momentu dipolowego dielektryka jako całkę objętościową z iloczynu gęstości objętościowej ładunków jakie panują w danym punkcie przez położenie tego punktu określonej przez wektor $_{\vec{r}^'}\;$:

$\vec{p}=\int\vec{r}^'\rho(\vec{r}^')dV^'$

(5.21)

Po wykorzystaniu wzoru na moment dipolowy zdefiniowanej w linijce (5.21) do wyrażenia na potencjał skalary pochodząca od pewnego rozciągłego dipola elektrycznego (5.20), wtedy:

$\varphi_1(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\vec{p}\cdot\hat{r}}\over{r^2}}$

(5.22)

W postaci dyskretnej, gdy ładunki nie są infinitezymalnie małe, ale mają wartości skończone i rozłożone są jakoś w przestrzeni, wtedy moment dipolowy takiego rozkładu ładunków jest napisany:

$\vec{p}=\sum^n_{n=0}q_nr^'_n$

(5.23)

Całkowity ładunek indukowany w dielektryku wynosi zero. A zatem ładunkowi ujemnemu odpowiada ładunek dodatni o takim samym co do wartości ładunku. Jeśli mamy:

$\vec{p}=q\vec{r}^'_+-q\vec{r}^'_-=q(\vec{r}^'_+-\vec{r}^'_-)=q\vec{d}$

(5.24)

To dochodzimy do wniosku, że definicja momentu dipolowego dla układu w postaci ciągłej (5.21) jak i dla układów dyskretnych dipoli (5.23) jest poprawną definicją.

Natężenie pola elektrycznego dipola

Poli linii natężenia pola elektrycznego dipola elektrycznego

Dotąd zajmowaliśmy jedynie potencjałami elektrycznymi jako wielkościami skalarnymi. Teraz będziemy zajmować się wyznaczaniem pola wektorowego w postaci natężenia pola elektrycznego, co tutaj będziemy wyznaczali tą wielkość we współrzędnych kulistych. Potencjał elektryczny dipola jest określony według wzoru (5.8), i wtedy aby otrzymać pole wektorowe natężenia pola elektrycznego należy policzyć gradient potencjału elektrycznego wedle wzoru (3.5), korzystać będziemy z definicji tego gradientu we współrzędnych sferycznych:

$\operatorname{grad}=\left({{\partial}\over{\partial r}},{{1}\over{r\sin\phi\partial\theta}},{{1}\over{r}}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right)\;$

Wtedy poszczególne współrzędne w układzie kulistym natężenia pola elektrycznego wyrażamy, korzystając z definicji gradientu, który ostatnio wspominaliśmy, są wyrażone przez:

$\begin{cases} E_r=-{{\partial \phi}\over{\partial r}}={{2p\cos\phi}\over{4\pi\epsilon_0 r^3}}\\ E_{\theta}=-{{\partial \phi}\over{r\sin\phi\partial\theta}}=0\\ E_{\phi}=-{{1}\over{r}}{{\partial \phi}\over{\partial\phi}}={{p\sin\phi}\over{4\pi\epsilon_0 r^3}}\end{cases}$

(5.25)

Wektor natężenia pola elektrycznego wytwarzane przez dipol elektryczny przedstawia się:

$\vec{E}={{1}\over{4\pi\epsilon_0 r^3}}\left(2\cos\phi\hat{e}_r+\sin\phi\vec{e}_{\phi}\right)$

(5.26)

Jest to natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola elektrycznego w układzie kulistym i jest funkcją odległości środka dipola z punktem, w którym liczymy tą wielkość, która to (5.26) wyznacza wielkość wektorową zależna od wersorów pochodzących od układu kulistego w tym punkcie.

Elementarne właściwości materii w polu elektrostatycznym

Materię można podzielić na metale i izolatory (dielektryki), metale można potraktować jako nieskończony zbiór elektronów. W dielektrykach prawie każda cząsteczka ma pewien moment dipolowy, które mogą ustawiać się z zgodnie lub przeciwnie do pola elektrycznego. Jeśli potraktować dielektryk jak zbiór dipoli elektrycznych, to tutaj będziemy się zajmować się dipolami elektrycznymi w polu elektrycznym, czyli zajmować będziemy się właściwościami elementarnymi tychże obiektów.

Indukowany moment dipolowy w polu elektrostatycznym

Każdy atom jest elektrycznie obojętny, a więc pola elektryczne nie powinno na niego działać, ale w każdym bądź razie atom to jest elektrycznie dodatnie jądro z elektronami krążących wokół niego, a więc posiada rozkład ładunku elektrycznego po ustaleniu równowagi między polem elektrycznym a atomem podczas działania na niego pola elektrycznego. Napiszmy wzór mówiący jaki jest moment dipolowy materii w polu elektrycznym, gdy właściwości tej materii nie zależą od kierunku jakie to pole posiada w danym punkcie tego dielektryka.

$\vec{p}=\alpha\vec{E}$

(6.1)

• skalarny współczynnik proporcjonalności α nazywamy polaryzowalnością atomową.

Wzór (6.1) nie zależy od kierunku natężenia pola elektrycznego, ale w rzeczywistości tak nie jest, wtedy w takim przypadku, to moment dipolowy elektryczny wyrażony jest wzorem w zależności do prostopadłego kierunku wyróżnionego, lub nawet też do równoległego:

$\vec{p}=\alpha_{\bot}\vec{E}_{\bot}+\alpha_{||}\vec{E}_{||}$

(6.2)

• gdzie parametry $\alpha_{\bot}\;$ i $\alpha_{||}\;$ są to wielkości stałe, lub bardzie ogólnie można zapisać zależność (6.2) w sposób:

$\vec{p}=\hat{\alpha}\vec{E}$

(6.3)

• gdzie: $\hat{\alpha}$ jest tensorem polaryzowalności atomowej.

Co rozpisując wzór (6.3), stosując tensor polaryzowalności atomowej, jako ogólnie niediagonalnej macierzy:

$\begin{bmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_{xx}&\alpha_{xy}&\alpha_{xz}\\ \alpha_{yx}&\alpha_{yy}&\alpha_{yz}\\ \alpha_{zx}&\alpha_{zy}&\alpha_{zz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{bmatrix}$

(6.4)

Elementy macierzy $\hat{\alpha}$, zależą od bazy trójwymiarowej, w której wyrażone jest polaryzowalność atomowa. Widzimy, że wedle wzoru (6.4) wektor momentu dipolowego nie jest w ogólności równoległy do kierunku pola elektrycznego działająca na dipol elektryczny. Można wyrażać powyższą macierz$\hat{\alpha}$ w bazie wektorów własnych, wtedy ta macierz ma tylko diagonalne elementy, a pozadiagonalne elementy znikają.

Całkowity moment sił oraz siła działające na dipol elektryczny w jednorodnym lub niejednorodnym polu elektrycznym

Ilustracja dipola elektrycznego

Dipol elektryczny jest to obiekt niepunktowy, a więc może posiadać pewien moment siły w polu elektrycznym działających na niego. Moment siły możemy rozłożyć względem środka dipola elektrycznego na dwa składniki. Pierwszy składnik jest opisany dla ładunku q, a drugi dla -q, zatem całkowity moment dipolowy jest opisany:

$\vec{N}=\left(\vec{r}_+\times\vec{F}_-\right)+\left(\vec{r}_+\times\vec{F}_+\right)= \left[\left(-{{\vec{d}}\over{2}}\right)\times\left(-q\vec{E}\right)\right]+$ $+\left[\left({{\vec{d}}\over{2}}\right)\times\left(q\vec{E}\right)\right]=q\vec{d}\times\vec{E}=\vec{p}\times\vec{E}$

(6.5)

Powyżej skorzystano z definicji wektora momentu dipolowego, który jest funkcją ładunku bezwzględnej wartości na obu jego końcach osobno i wektora $\vec{d}\;$ łączącego ładunek ujemny z dodatnim.

$\vec{p}=q\vec{d}$

(6.6)

Udowodniono, że moment siły działający na ciało na podstawie (6.5) jest równy:

$\vec{N}=\vec{p}\times\vec{E}$

(6.7)

Gdy mamy pole jednorodne, którego otacza nasz dipol, to siła działający na środek masy dipola jest równa zero, a jeśli jest niejednorodne dla względnie małych dipoli, to ta siła jest wyrażona:

$\vec{F}=\vec{F}_++\vec{F}_-=q\vec{E}_{+}+(-q)\vec{E}_{-}=q\left(\vec{E}_+-\vec{E}_-\right)= q\delta \vec{E}=q\operatorname{div}\vec{E}\vec{d}=q\left(\vec{d}\cdot\operatorname{div}\vec{E}\right)=$ $=\left(\vec{p}\cdot\nabla\right)\vec{E}$

(6.8)

A zatem wypadkowa siła działająca na środek masy dipola elektrycznego jest równa:

$\vec{F}=\left(\vec{p}\cdot\nabla\right)\vec{E}$

(6.9)

Jest ona funkcją momentu dipolowego dipola elektrycznego oraz zależy od zmiany pola elektrycznego na obu końcach tego obiektu. Prowadząc bardziej bardziej ogólne rozważania, to całkowity moment siły działający na dipol w polu niejednorodnym jest równy:

$\vec{N}=\left(\vec{p}\times\vec{E}\right)+\left(\vec{r}\times\vec{F}\right)$

(6.10)

W polu jednorodnym drugi człon znika, bo zmiana siły działający na dipol elektryczny jest równa zero, bo:$\vec{F}=0$ wedle tożsamości (6.9).

Energia dowolnego dipola

Infinitezymalna praca wykonana przez dipol elektryczny, na które działa pole elektryczne o momencie siły $\vec{N}\;$(6.7) przy obrocie jego o kąt radialny $d\vec{\alpha}\;$ jest napisana:

$dW=\vec{N}\cdot d\vec{\alpha}$

(6.11)

Wiedząc, że definicję momentu siły$\vec{N}$ dla dipola elektrycznego jest wyrażona wedle (6.7), dla naszego dipola, oraz kierunek zmiany kąta jest równoległy do wektora momentu siły działającego na dipol, dla pola jednorodnego wartość infinitezymalnej pracy wykonanej przez siły pola elektrycznego (6.11) przy obrocie jego od kąta α₁=π/2 do α₂ przedstawia się:

$U=\int\vec{N}\cdot d\vec{\alpha}=\int\left(\vec{p}\times\vec{E}\right)d\vec{\alpha}=\int p E\sin\alpha d\alpha=-pE\cos\alpha|^{\alpha_2}_{\alpha_1={{\pi}\over{2}}}=$ $=-pE\sin\alpha_1=-\vec{p}\cdot\vec{E}$

(6.12)

A więc energia dipola elektrycznego, która znajdujący się polu elektrycznym jednorodnym, jest równa:

$U=-\vec{p}\cdot\vec{E}$

(6.13)

Energia dipola elektrycznego zależy od natężenia pola elektrycznego jednorodnego i od wektora momentu dipolowego dipola elektrycznego. Energia dipola elektrycznego jest równa zero, gdy kąt pomiędzy wektorem momentu dipolowego, a wektorem natężenia pola elektrycznego jest kątem prostym.

Wpływ pola elektrycznego na polaryzację dielektryka

Dla układów, których polaryzacja jest taka sama w całej objętości V, to moment dipolowy ciała spolaryzowanego w zależności od pola elektrycznego jakie istnieje w tym ciele wyraża się wzorem (6.3). Jeśli nieskończenie małą polaryzowalnością atomową w ciele spolaryzowanym w danym punkcie oznaczymy jako $d\hat{\alpha}\;$, to można powiedzieć, że infinitezymalny moment dipolowy małej cząstki materii ciała spolaryzowanego w danym punkcie w zależności od natężenia pola elektrycznego jakie w nim istnieją jest napisana:

$d\vec{p}=d\hat{\alpha}\vec{E}$

(6.14)

Polaryzacją elektryczną nazywamy stosunek nieskończenie małego momentu dipolowego znajdującego się infinitezymalnej objętości przez tą właśnie objętość, którą definiujemy:

$\vec{P}={{d\vec{p}}\over{dV}}\;$

(6.15)

Aby policzyć polaryzację elektryczną ośrodka należy do wzoru na definicję polaryzacji elektrycznej (6.15) podstawić nieskończenie małą wielkość momentu dipolowego małej cząstki ciała spolaryzowanego (6.14), wtedy dostajemy:

$\vec{P}={{d\hat{\alpha}}\over{dV}}\vec{E}\Rightarrow \vec{P}=\hat{\beta}\vec{E}$

(6.16)

Można w ogólności powiedzieć, że wektor polaryzacji nie jest równoległy do wektora natężenia pola elektrycznego. Gdy zachodzi:$\hat{\beta}=\hat{I}\beta$, wtedy mamy że:$\vec{P}||\vec{E}$, czyli wtedy polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego panującego w danym punkcie.

Ciało spolaryzowane a jego pole

Ciało spolaryzowane ma pewien moment dipolowy, a to dlatego, że poszczególne cząsteczki są tak poukładane, że całkowity moment dipolowy ma wartość niezerową.

Potencjał elektryczny ciała spolaryzowanego

Potencjał w danym punkcie przestrzeni odległej o R od danej cząstki ciała spolaryzowanego wedle wzoru na potencjał elektryczny pochodzący od dipola elektrycznego (5.22), ale tutaj dla infitezymalnego wektora momentu dipolowego dipola elektrycznego, wyraża się przez:

$d\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\vec{n}\cdot d\vec{p}}\over{R^2}}\;$

(7.1)

Powyższej użyto $d\vec{p}\;$ zamiast $\vec{p}\;$, bo moment dipolowy bardzo małej cząstki ciała spolaryzowanego jest bardzo mały. Ale $\vec{n}$ jest wektorem jednostkowym i równoległy do $\vec{R}$, który ma początek, gdzie znajduje się infinitezymalny spolaryzowany ładunek o końcu w którym liczymy infinitezymalny potencjał elektryczny. Określmy infinitezymalny moment dipolowy przez polaryzację zdefiniowanej ze wzoru (6.15) znajdującego się w infinitezymalnej objętości dV przez:

$d\vec{p}(\vec{r}^')=\vec{P}(\vec{r}^')dV^'\;$

(7.2)

• gdzie $\vec{P}\;$ nazywamy polaryzacją elektryczną.

a zatem nasz potencjał pochodzący od ciała spolaryzowanego jest całką infinitezymalnych potencjałów elektrycznych wyrażonych wzorem (7.1) pochodzących od bardzo małego dipola w objętości $dV^'\;$:

$\varphi(\vec{r})=\int d\varphi(\vec{r}^')={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V{{\vec{n}\cdot \vec{P}(\vec{r}^')}\over{R^2}}dV^'\;$

(7.3)

Policzmy wyrażenie poniżej, które będzie nam bardzo potrzebne poniżej, czyli dywergencję odwrotności promienia R, który w rezultacie wyjdzie nam z obliczeń wektor jednostkowy $\vec{n}\;$ podzielonej przez kwadrat promienia R:

$\nabla^'\left(R^{-1}\right)={{\partial}\over{\partial\vec{{r}^'}}}{{1}\over{R}}={{\vec{{n}}}\over{R^2}}\;$

(7.4)

Mając warunek (7.4) i korzystając przy tym z definicji pochodnej iloczynu, można napisać, że potencjał ciała spolaryzowanego (7.3) jest wyrażony:

$\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V{{\vec{n}\vec{P}}\over{R^2}}= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V\vec{P}\nabla^'\left({{1}\over{R}}\right)dV^'={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\left[\int_V\nabla^'\left({{\vec{P}}\over{R}}\right)dV^'-\int_V{{1}\over{R}}\left(\nabla^'\cdot\vec{P}\right)dV^'\right]\;$

(7.5)

Z korzystajmy z twierdzenia o dywergencji dla pierwszego wyrazy w końcowej równości (7.5) i zamieniając ją na całkę po powierzchni ciała spolaryzowanego, wtedy otrzymujemy:

$\varphi(r)={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\oint{{\vec{P}}\over{R}}d\vec{S}^'-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}} \int_V{{1}\over{R}}\left(\nabla^'\cdot\vec{P}\right)dV^'\;$

(7.6)

Również dobrze wzór na potencjał elektryczny możemy wyrazić poprzez ładunki powierzchniowe i objętościowe, którego całkowity potencjał skalarny w danym punkcie $\vec{r}\;$ jest wyrażony:

$\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\oint_S {{\sigma_{zw}}\over{R}}dS+{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int_V{{\rho_{zw}}\over{R}}dV^'\;$

(7.7)

Porównując wzory (7.6), który wyprowadziliśmy z definicji potencjału skalarnego pochodzącego od różnych infinitezymalnych dipoli w ciele spolaryzowanym i (7.7) będących naturalną definicją potencjału skalarnego pochodzących od ładunków objętościowych i powierzchniowych, dochodzimy wtedy do wniosku, że gęstość powierzchniowa i objętościowa jest wyrażone:

$\sigma_{zw}=\vec{P}\vec{n}\;$ (7.8)

$\rho_{zw}=-\nabla\vec{P}\;$ (7.9)

Znając polaryzację ośrodka spolaryzowanego w danym punkcie i na powierzchni, możemy wyznaczyć jej gęstość powierzchniową i objętościową ładunków związanych.

Pole indukcji elektrycznej

Całkowita gęstość ładunków w ciele spolaryzowanym jest sumą ładunków związanych i swobodnych, wyraża się:

$\rho=\rho_{zw}+\rho_{sw}\;$

(7.10)

• gdzie ρ_zw, jest to gęstość ładunków tzw. związanych, które powstają w wyniku zewnętrznego pola elektrycznego w wyniku polaryzacji, a ρ_sw, jest to gęstość ładunków, które nie powstają przez pole elektryczne, ale są w prowadzone przez eksperymentatora do układu badawczego.

Z prawa Gaussa wyprowadzonego w punkcie (2.11), gdy pole elektryczne jest wytwarzane przez ładunki, którego w danym punkcie występuje pole elektryczne $\vec{E}\;$, która inaczej mówiąc jest wytwarzane przez gęstość objętościową ładunków objętościowych swobodnych jest $\rho\;$ i związanych ρ_zw (7.9), a także korzystając na samym końcu ze wzoru (7.10) na całkowitą gęstość ładunku poprzez gęstość ładunków swobodnych i związanych w danej objętości, otrzymujemy:

$\nabla \vec{E}={{1}\over{\epsilon_0}}\rho\Rightarrow \epsilon_0\nabla \vec{E}=\rho_{zw}+\rho_{sw}\;$

(7.11)

Ponieważ mamy wzór na gęstość ładunków związanych (7.9), które wyprowadziliśmy z definicji potencjału elektrycznego pochodzącego od maleńkich dipoli elektrycznych w ciele spolaryzowanym, wtedy równanie (7.11) przyjmuje takową postać:

$\epsilon_0\nabla\vec{E}=-\nabla\vec{P}+\rho_{sw}$

(7.12)

Po przeniesieniu wyrazu z polaryzacją elektryczną w $\nabla\vec{P}\;$ w (7.12) na jej lewą stronę, w rezultacie dostajemy zwartą postać wspomnianego powyższego równania:

$\epsilon_0\nabla {E}+\nabla\vec{P}=\rho_{zw}\Rightarrow \nabla\left(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\right)=\sigma_{sw}$

(7.13)

Oznaczmy jako indukcję elektryczną , która jest funkcją natężenia elektrycznego panującego w danej objętości ciała spolaryzowanego i polaryzowalności $\vec{P}\;$, to ich suma wyraża się:

$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$

(7.14)

Zapisując prawo Gaussa (7.13) z użyciem definicji wektora $\vec{D}$ (7.14), w postaci różniczkowej, wtedy dostajemy inny równoważny wzór do naszego prawa:

$\nabla\vec{D}=\rho_{sw}$

(7.15)

Wyrażenie (7.15) możemy zapisać również w postaci całkowej, całkując obustronnie wspomniane wyrażenie, wtedy prawa strona jest to po prostu ładunek swobodny znajdujący się w pewnej objętości, a lewa strona zamieniając całkowanie po objętości całkowaniem po powierzchni zamknietej okalającą tą właśnie omawianą objętość, wtedy otrzymujemy wzór Gaussa dla ciał spolaryzowanych w postaci całkowej:

$\oint \vec{D}d\vec{S}=q_{sw}$

(7.16)

Jest to uogólnienie wzoru Gaussa (2.8) dla ciał spolaryzowanych, a pierwszy nasz wzór był spełniony tylko dla próżni.

Wektor indukcji elektrycznej a jego rotacja

Aby udowodnić czemu jest równa rotacja wektora indukcji elektrycznej, w tym celu wykorzystamy definicję indukcji elektrycznej (7.14) i policzymy jego rotację wykorzystując przy tym, że rotacja pola elektrostatycznego $\vec{E}\;$ jest równa zero wedle wzoru (2.17):

$\nabla\times \vec{D}=\nabla\times\left(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\right)=\epsilon_0\nabla\times \vec{E}+\nabla\times\vec{P}=\nabla\times\vec{P}$

(7.17)

A zatem udowodniliśmy na podstawie obliczeń (7.17), otrzymujemy ostateczny wzór łączący indukcję elektryczną (7.14) z polaryzowalnością elektryczną danego punktu ośrodka spolaryzowanego:

$\nabla\times\vec{D}=\nabla\times\vec{P}$

(7.18)

co (7.18) zapisując za pomocą symolu rot jest równoważne wzorowi w postaci:

$\operatorname{rot}\vec{D}=\operatorname{rot}\vec{P}$

(7.19)

Nie jest wcale oczywiste w (7.19), że zachodzi:$\operatorname{rot}\vec{P}=0$, co w ogólności nie jest spełnione, mimo że elektrostatyce rotacja pola elektrycznego jest równa zero.

Energia związana z dielektrykami

Załóżmy, że mamy pewien dielektryk, i do którego wprowadzamy do niego ładunki swobodne, wtedy energia dielektryka zmienia się wedle:

$\delta W=\int\delta q_{sw} \varphi=\int \delta \rho_{sw} \varphi dV$

(7.20)

Dla ciał spolaryzowanych jest spełnione prawo Gaussa wedle (7.15). Jeśli to prawo podstawimy do wzoru (7.20) określająca zmianę energii całkowitej ciała spolaryzowanego, to otrzymamy równoważny wzór w postaci:

$\delta W=\int\nabla\left(\delta\vec{D}\right) \varphi dV$

(7.21)

Z twierdzenia iloczynu pochodnej mamy wyrażenie, które będzie nam potrzebne w (7.21), które piszemy wedle:

$\nabla\left[(\delta D)\varphi\right]=\nabla(\delta D)\varphi+\delta D\nabla \varphi$

(7.22)

Wykorzystując związek (7.22), dla równania zmiany energii ciała spolaryzowanego (7.21) otrzymamy wynikowe równanie do wspomnianego:

$\delta W=\int \nabla\left[(\delta D)\varphi\right]dV-\int \delta D\delta \varphi dV= \int\nabla\left[(\delta D)\varphi\right]dV+\int(\delta \vec{D})\vec{E}dV=$ $=\int (\delta D)\varphi d\vec{S}+\int(\delta \vec{D})\vec{E}dV$

(7.23)

Jeśli weżniemy na tyle dużą powierzchnię zamkniętą, tak by w sobie zawierał wszystkie ładunki, i założymy, że na tej powierzchni potencjał elektryczny jest w przybliżeniu równy zero, to wtedy pierwszy wyraz znika w wyrażeniu (7.23), wtedy:

$\delta W=\int(\delta \vec{D})\vec{E}dV$

(7.24)

Biorąc warunek (6.16) i zakładając, że tensor $\hat{\beta}\;$ nie zmienia się w całej objętości ciała spolaryzowanego, a także wyrażenie (7.14), który jest definicją indukcji elektrycznej poprzez natężenie pola elektrycznego i polaryzację, wtedy (7.24) zapisujemy równoważnie:

$\delta W=\int(\delta(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}))^T\vec{E}dV= \int\delta[(\epsilon_0 I+\hat{\beta})\vec{E}^T]\vec{E}dV= \int(\epsilon_0 I+\hat{\beta}^T)\delta \vec{E}\vec{E}=$ $=\int(\epsilon_0 I+\hat{\beta}^T){{1}\over{2}}\delta E^2 =\int\delta\left[{{1}\over{2}}\left(\epsilon_0 E+\hat{\beta}^T\vec{E}\right)\vec{E}\right]= \int\delta\left[{{1}\over{2}}\left(\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}\right)\vec{E}\right]= \int\delta\left[{{1}\over{2}}\vec{D}\vec{E}\right]$

(7.25)

Ostateczny wzór na infinitezymalną energię jakieś małej objętości w danym punkcie ciała spolaryzowanego wynikający ze wzoru (7.25) jest w postaci:

$U={{1}\over{2}}\int\vec{D}\vec{E}dV$

(7.26)

Zatem na podstawie (7.26) gęstość energii w danym punkcie ciała spolaryzowanego jest iloczynem indukcji elektrycznej $\vec{D}\;$(7.14) i natężenia pola elektrycznego $\vec{E}\;$ podzielonej przez liczbę dwa.

Warunki brzegowe na granicy między dielektrykami

Wycinek powierzchni granicznej i zastosowanie prawa Gaussa.

Prostopadłościan tak dobieramy dla ułatwienia, na małym wycinku powierzchni między dwoma ośrodkami elektrycznymi, w którym należy w ogólności pamiętać, że w granicy pomiędzy dwoma ośrodkami może być płaszczyzną niepłaską, dla tak zdefiniowanego prostopadłościanu podstawy są tak zdefiniowane by były równoległe do wycinka powierzchni dielektryka, a jego boczne ścianki były prostopadłe do omawianej powierzchni naszego spolaryzowanego ciała na tym wycinku. Wewnątrz tego prostopadłościanu znajduje się ładunek q. Rozważmy prawo całkowe Gaussa (7.16) licząc strumień bocznych ścianek, według rysunku obok. Zatem to prawo dla naszego prostopadłościanu zapisujemy wedle wzoru:

$q=S_{nad}D^{\bot}_{nad}-S_{pod}D^{\bot}_{pod}+S_{prawy}D^{\bot}_{prawy}-S_{lewy}D^{\bot}_{lewy}+S_{przez}D^{\bot}_{przed}-S_{za}D^{\bot}_{za}$

(7.27)

Przy liczeniu strumienia względem jakieś ścianki, to strumień indukcji elektrycznej oznaczmy jako iloczyn średniej wartości indukcji magnetycznej panujący na danej ściance przez pole tej ścianki, jak można trywialnie udowodnić powyższe wnioski. Przy czym zakładamy, że wektory powierzchni są prostopadłe do tych ściśle określonych ścianek i ich wartości równe są powierzchni tych ścianek, na które wskazują, i dlatego rozważamy części prostopadłe wektorów indukcji do tych ścianek, bo w prawie Gaussa dla dielektryków pod całką mamy iloczyn skalarny, który wycina ich części prostopadłe wektorów indukcji do wektorów powierzchni, pozostawiając ich części równoległe do wektorów powierzchni. Zakładamy, że powierzchnie wszystkich ścianek dążą do zero, tak by iloraz powierzchni jakikolwiek ścianki bocznej przez pola jakikolwiek ścianki podstawy była w przybliżeniu równa zero, a matematycznie dążyła do zera, ale pamiętamy pola podstaw są bardzo małe i wynoszą S, zatem średnia wartość natężenia pola elektrycznego jest równa natężeniu pola magnetycznego w danym punkcie dla podstaw blisko przy powierzchni dwóch ośrodków, przez którą przechodzi bardzo mały prostopadłościan, zatem dla prawa Gaussa dla dielektryków (7.27) po podzieleniu wspomnianego równania przez $S=S_{nad}=S_{pod}\;$ i potem przechodzimy do granicy stosunku pola ścianek bocznych do pola ścianek podstawy, które dążą do zera, wtedy zapisujemy to w postaci:

${{q}\over{S}}=D^{\bot}_{nad}-D^{\bot}_{pod}+{{S_{prawy}}\over{S}}D^{\bot}_{prawy}-{{S_{lewy}}\over{S}}D^{\bot}_{lewy}+{{S_{przez}}\over{S}}D^{\bot}_{przed}-{{S_{za}}\over{S}}D^{\bot}_{za}\rightarrow {{q}\over{S}}=D^{\bot}_{nad}-D^{\bot}_{pod}$

(7.28)

Gęstość ładunku powierzchniowego nazywamy iloraz ładunku znajdujący się w omawianym prostopadłościanie podzielona przez powierzchnię okładek równoległych do powierzchni dielektryka i przedstawia się:

$\sigma={{q}\over{S}}$

(7.29)

Ostatecznie nasze równanie (7.28) po wykorzystaniu (7.29), wtedy wyrażać ją możemy przez wartość indukcji pola magnetycznego wektora prostopadłego do powierzchni na danym wycinku w danym punkcie nad i pod granicą pomiędzy ośrodkami:

$\sigma=D^{\bot}_{nad}-D^{\bot}_{pod}$

(7.30)

Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Stokesa i wniosków, korzystający z tego prawa. Obierzmy sobie prostokąt, którego powierzchnia jest prostopadła do powierzchni dielektryka, którego odcinki górne są równoległe do powierzchni dielektryka, a boczne są prostopadłe, i wiedząc że całka po odcinku dla iloczynu natężenia pola elektrycznego przez nieskończenie małą długością, która jest częścią danego boku, jest równa średniej natężenia pola elektrycznego panujące na danym boku przez długość tego boku.

Wycinek powierzchni granicznej i zastosowanie prawa Stokesa

Jeśli długości boku górnego i dolnego należącego do prostokąta są bardzo małe przy powierzchni granicy dwóch ośrodków, którą przechodzi bardzo mały prostokąt a właściwie infinitezymalny przy założeniu, że długość boku górnego lub dolnego jest o wiele większa niż długość dla boków bocznych (lewego i prawego), czyli: h/l<<1. Zatem z tego prawa dostajemy, że:

${E}^{||}_{nad}l+{E}^{||}_{lewy}h-{E}^{||}_{pod}l-{E}^{||}_{prawy}h=0$

(7.31)

• gdzie:$l\;$ jest to długość odcinków górnych tego prostokąta
• $h\;$ długość odcinków bocznych prostokąta.
• ${E}^{||}_{nad}\;$ lub ${E}^{||}_{pod}\;$ są to części wektorów równoległych natężenia pola elektrycznego równoległe do ścianki górnej lub dolnej a właściwie ich wartości.
• ${E}^{||}_{lewy}\;$ lub ${E}^{||}_{prawy}\;$ są to części równoległe, a właściwie ich wartości natężenia pola elektrycznego.

Zatem przy powyższych założeniach, co do prostokąta, to równanie (7.31) podzielmy przez h obustronnie i przechodzimy go granicy ilorazu długości boku lewego lub prawego przez długość boku dolnego lub górnego dążącą do zera, wtedy ono przechodzi w:

${E}^{||}_{nad}+{E}^{||}_{lewy}{{h}\over{l}}-{E}^{||}_{pod}-{E}^{||}_{prawy}{{h}\over{l}}=0\xrightarrow[{{h}\over{l}}\rightarrow 0]{} {E}^{||}_{nad}-{E}^{||}_{pod}=0$

(7.32)

Końcowa równość w (7.32) możemy zapisać równoważnie w postaci:

${E}^{||}_{nad}={E}^{||}_{pod}$

(7.33)

Na podstawie wzoru (7.33) dostajemy, że składowa równoległa do powierzchni dielektryka jest wartością niezmienną. Znając funkcję $\vec{P}$, a $\vec{E}_{zew}$, można udowodnić jaka jest zmiana wektora:$\vec{E}$ na granicy między dwoma dielektrykami.

Dielektryki liniowe

Będziemy się tutaj zajmować dielektrykami liniowymi dla których zachodzi jego tensorowa wersja (6.16), ale w tym przypadku liniowym:

$\vec{P}=\epsilon_0\chi\vec{E}$

(7.34)

• gdzie χ jest to podatność elektryczna ośrodka liniowego.

Wektor polaryzacji elektrycznej jest wektorem równoległym do wektora natężenia pola elektrycznego w danym punkcie ciała spolaryzowanego. Dla próżni względna podatność elektryczna ośrodka liniowego jest równa zero.

Dielektryki liniowe, podatność elektryczna i przenikalność elektryczna

Ale mamy do czynienia z dielektrykami linowymi, dla którego zachodzi (7.34), zatem wektor indukcji elektrycznej zdefiniowanej wedle wzoru (7.14) z definicji liniowości wektora polaryzacji elektrycznej do wektora natężenia pola elektrycznego jest wyrażony:

$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\chi\vec{E}=\epsilon_0(1+\chi)\vec{E}\;$

(7.35)

Wektor indukcji elektrycznej według (7.35) jest równoległy do wektora natężenia pola elektrycznego dla dielektryków liniowych. Przyjmijmy, że współczynnik proporcjonalności występujący w (7.35) jest przenikalnością elektryczną i napiszmy go jako:

$\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r\;$

(7.36)

• gdzie ε_r jest to względna przenikalność elektryczna i zachodzi:

$\epsilon_r=1+\chi\;$

(7.37)

• gdzie ε_r jest to przenikalność elektryczna ośrodka, ona jest sumą jedynki i podatności elektrycznej badanego ośrodka, dla próżni, która jest ośrodkiem liniowym, dla której względna przenikalność ośrodka jest równa jeden, dla której podatność ośrodka jest równa zero.

Wykorzystując definicję indukcji elektrycznej (7.35) i na względną przenikalność elektryczną (7.36), czyli dla ośrodka liniowego, którego tą naszą definicję dla tego ośrodka piszemy:

$\vec{D}=\epsilon_0\epsilon_r\vec{E}$

(7.38)

czyli pole indukcji elektrycznej w tym przypadku jest równoległe do pola natężenia pola elektrycznego. Można udowodnić, z praw elektrostatyki, że dywergencja polaryzacji dla ośrodków liniowych jest ona równa zero, czyli:

$\nabla\times \vec{P}=0$

(7.39)

a oto dowód, który korzysta ze wzoru wyprowadzonego wcześniej (7.19):

$\nabla\times\vec{D}=\nabla\times\vec{P}=\nabla\times \epsilon_0\chi\vec{E}=\chi\epsilon_0\nabla\times\vec{E}=0$

(7.40)

Gdy cała przestrzeń jest wypełniona dielektrykiem linowym spełniającego zależność (7.38) i gdy dywergencja indukcji elektrycznej (7.40) jest równa zero, to siła działająca w takim w dielektryku, w którym znajduje się ładunek Q, który działa na ładunek q, jest wyrażona:

$\vec{F}={{1}\over{4\pi\epsilon}}{{qQ}\over{R}}$

(7.41)

Warunki brzegowe dla dielektryków liniowych

Naszym celem jest obliczenie gęstości ładunków związanych wykorzystując związek polaryzacji z gęstością ładunków związanych według (7.9), a także wykorzystując związek polaryzacji z natężeniem pola elektrycznego, by potem skorzystać ze wzoru (7.38) dla dielektryków liniowych, a także z prawa Gaussa dla dielektryków (7.15):

$\rho_{zw}=-\nabla\vec{P}= -\nabla\chi\vec{E}=-\chi\nabla{{\vec{D}}\over{\epsilon}}= -{{\chi}\over{\epsilon}}\vec{D}=-{{\chi}\over{\epsilon}}\rho_{sw}=-{{\chi}\over{1+\chi}}\rho_{sw}$

(7.42)

Wedle wzoru (7.42) mamy udowodnioną zależność pomiędzy gęstością objętościową ładunków związanych, a swobodnych, ten związek zapisujemy jako:

$\rho_{zw}=-{{\chi}\over{1+\chi}}\rho_{sw}$

(7.43)

Na podstawie (7.43), jeśli mamy gęstość objętościowa ładunków swobodnych, która jest równa zero, to gęstość objętościowa ładunków związanych też jest równa zero. Ze wzoru (7.38) przy definicji przenikalności elektrycznej (7.36) mamy wzór łączący wartość indukcji elektrycznej przez wartość natężenia pola elektrycznego:

$D=\epsilon E\;$

(7.44)

Możemy wykorzystać (7.44) podstawiając go do wzoru (7.30) jako warunku brzegowego uwzględniając odpowiednio przenikalności elektryczne dla ośrodków stykających:

$\epsilon_{nad}E^{||}_{nad}-\epsilon_{pod}E^{||}_{pod}=\sigma_{sw}$

(7.45)

Z definicji natężenia pola elektrycznego w zależności od wektora położenia, korzystając przy tym ze wzoru (3.5), można napisać nasz wzór dla składowej prostopadłej natężenia pola elektrycznego do powierzchni dielektryka:

$E^{\bot}=-{{\partial V}\over{\partial \vec{n}}}$

(7.46)

• gdzie:$\vec{n}\;$ jest to wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni dielektryka.

Jeśli wykorzystamy wzór na natężenie prostopadłe pola elektrycznego (7.46) i podstawiając go do wzoru (7.45), wtedy mamy wzór na warunek brzegowy pomiędzy dwoma dielektrykami:

$\epsilon_{nad}{{\partial V_{nad}}\over{\partial \vec{n}}}-\epsilon_{pod}{{\partial V_{pod}}\over{\partial \vec{n}}}=-\sigma_{sw}$

(7.47)

Należy pamiętać, że pole skalarne potencjału elektrycznego na granicy pomiędzy dielektrykami zmienia się w sposób ciągły.

Ładunek a płaszczyzna z indukowanymi ładunkami

Schemat z ładunkiem q i płaszczyzna z indukowanymi ładunkami

Weźmy sobie wektor jednostkowy prostopadły do rozważanej powierzchni według rysunku obok, ma ona kierunek i zwrot zgodny do kierunku osi zetowej, i licząc dalej gęstość powierzchniową ładunków, wykorzystując wzór (7.8) i na samym końcu dla dielektryków linowych wykorzystując wzór (7.34), zatem tą wspomnianą gęstość możemy policzyć w zależności od współrzędnej zetowej pola elektrycznego:

$\sigma_{zw}=\vec{P}\hat{n}=\epsilon_0\chi\vec{E}\hat{n}=\epsilon_0\chi E_z$

(7.48)

Naszym krokiem jest obliczenie składowej zetowej natężenia pola elektrycznego, jednak wiadomo, że zwrot tej składowej jest przeciwny do osi z. Z prawa Coulumba wartość natężenia pola elektrycznego (1.3) wyraża się:

$E=-{{q}\over{4\pi\epsilon_0\left(r^2+d^2\right)}}$

(7.59)

Składowa zetowa pola elektrycznego, wedle wzoru (7.5) i licząc $\cos\theta\;$, jest wyrażona:

$E_z=E\cos\theta=-{{q\cos\theta}\over{4\pi\epsilon_0\left(r^2+d^2\right)}}=-{{qd}\over{4\pi\epsilon_0\left(d^2+r^2\right)^{{{3}\over{2}}}}}$

(7.50)

Pole pochodzące od ładunków związanych jest określone wedle (4.2) nad powierzchnią, ale tym razem tuż pod powierzchnią natężenie pola elektrycznego zachowuje się jakoby było wytwarzane przez nieskończoną powierzchnię, wtedy natężenie pola elektrycznego jest wyrażone w zależności od ładunków powierzchniowych o gęstości powierzchniowej σ_zw:

$E_{zw}=-{{\sigma_{zw}}\over{2\epsilon_0}}$

(7.51)

Zatem całkowite pole elektryczne blisko przy powierzchni płyty (z=0), jest sumą natężenia pola elektrycznego ładunku q (7.50) i natężenia pola elektrycznego ładunków związanych (7.51), jest równe:

$E^c_z=E_z+E_{zw}=-{{qd}\over{4\pi\epsilon_0\left(d^2+r^2\right)^{{{3}\over{2}}}}}-{{\sigma_{zw}}\over{2\epsilon_0}}$

(7.52)

Jeśli z korzystając przy tym ze wzoru (7.48), biorąc po lupę wzór (7.52), który przedstawia natężenie pola elektrycznego tuż przy powierzchni, to gęstość powierzchniowa ładunku związanego możemy napisać jako:

$\sigma_{zw}=\epsilon_0\chi\left[-{{qd}\over{4\pi\epsilon_0\left(d^2+r^2\right)^{{{3}\over{2}}}}}-{{\sigma_{zw}}\over{2\epsilon_0}}\right]$

(7.53)

A zatem gęstość ładunku związanego, co można uzyskać ze wzoru (7.53) wyznaczając gęstość powierzchniową tego ładunku, jest wyrażona:

$\sigma_{zw}(1+{{1}\over{2}}\chi)=-\chi{{qd}\over{4\pi\left(d^2+r^2\right)^{{{3}\over{2}}}}}\Rightarrow\sigma_{zw}{{2+\chi}\over{2\chi}}=-{{qd}\over{4\pi\left(d^2+r^2\right)^{{{3}\over{2}}}}}$

(7.54)

I ostatecznie gęstość ładunków powierzchniowych na badanej powierzchni, która jest funkcją odległości punkowego ładunku q od powierzchni, który polaryzuje naszą badaną płaszczyznę i promienia r, która jest odległością radialną r od punku na płaszczyźnie, który to punkt, który ma początek, który jest rzutem prostopadłym ładunku q na płaszczyznę, w której są indukowane ładunki, a koniec tego odcinka jest w punkcie, w którym będziemy wyznaczali gęstość powierzchniową ładunków, zatem wyznaczając wspomnianą gęstość powierzchniową ze wzoru (7.54) otrzymujemy jako ostateczny warunek:

$\sigma_{zw}=-{{1}\over{2\pi}}\left({{\chi}\over{\chi+2}}\right){{qd}\over{\left(r^2+d^2\right)^{{{3}\over{2}}}}}$

(7.55)

Jest to gęstość ładunków powierzchniowych indukowanych na powierzchni płyty poprzez ładunek punkowy q znajdujący się od powierzchni odległej od ładunku "q" o "d"

Siły działające na dielektryk

Siły działające na dielektryk

Na dielektryk działa siła ze strony pola elektrycznego i należy ją zrównoważyć siłą:$\vec{F}_z=-\vec{F}$, aby dielektryk poruszał się bardzo powoli. Infinitezymalna praca wykonana przez siły zewnętrzne przy przesuwaniu dielektryka znajdującego się między dwoma okładkami jest wyrażona przez:

$dW=\vec{F}_zdx=-\vec{F}dx$

(7.56)

Można powiedzieć, że wyrażając siła działająca na okładki kondensatora przez pole elektryczne, to praca nad dielektrykiem jest równa ilorazowi infinitezymalnej pracy przez nieskończenie małe przesunięcie ładunku q , i to wszystko razem wzięte z minusem:

$F=-{{dW}\over{dx}}$

(7.57)

Nasz rozważany kondensator składa się z dwóch dielektryków. Pierwszym dielektrykiem jest powietrze o szerokości x i względnej przenikalności elektrycznej w przybliżeniu jest równy jeden i drugi dielektryk o grubości l-x o względnej przenikalności elektrycznej ε_r. Korzystać przy tym będziemy z definicji pojemności elektrycznej kondensatora (4.4), którym dielektrykiem nie jest w ogólności powietrze, ale pewien dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej ε_r, zatem pojemności tych dwóch kondensatorów przestawiamy:

Pojemność elektryczna kondensatora powietrznego	Pojemność elektryczna kondensatora z dielektrykiem
$C_p={{xw\epsilon_0 }\over{d}}$ (7.58)	$C_d={{(l-x)w\epsilon_r\epsilon_0}\over{ d}}$ (7.59)

Pojemność całego układu równoległych kondensatorów (powietrznego i z dielektrykiem), korzystać przy tym będziemy z definicji pojemności elektrycznej mniejszych kondensatorów (7.58) i (7.59), wyraża się według:

$C=C_p+C_d={{xw\epsilon_0}\over{d}}+{{(l-x)w\epsilon_0\epsilon_r}\over{d}}={{w\epsilon_0}\over{d}}\left(x+(l-x)\epsilon_r\right)=$ $={{w\epsilon_0}\over{d}} \left(x+(l-x)(1+\chi)\right)={{w\epsilon_0}\over{d}}\left(x+l\epsilon_r-x(1+\chi)\right)= {{w\epsilon_0}\over{d}}\left(l\epsilon_r-x\chi\right)$

(7.60)

Całkowita energia kondensatora, która jest funkcją pojemności kondensatora i ładunku elektrycznego znajdującego się na okładkach kondensatora, jest napisana przez:

$W={{1}\over{2}}{{Q^2}\over{C}}$

(7.61)

Napiszmy pochodną energii kondensatora (7.61) względem przesunięć dielektryka znajdującego się w kondensatorze:

${{dW}\over{dx}}=-{{1}\over{2}}{{Q^2}\over{C^2}}{{dC}\over{dx}}+{{1}\over{2}}{{2Q}\over{C}}{{dQ}\over{dx}}=-{{1}\over{2}}{{Q^2}\over{C^2}}{{dC}\over{dx}}+{{Q}\over{C}}{{dQ}\over{dx}}$

(7.62)

Ponieważ bateria zasilająca kondensator również wykonuje prace, zatem:

$dW_c=dW+UdQ={{dW}\over{dx}}dx+UdQ\;$

(7.63)

W ogólności potencjał i ładunek na okładkach kondensatora może się zmieniać, a więc siła działająca na dielektryk, wykorzystując dodatkowy człon w (7.63) oparty o pracę baterii elektrycznej, wyrażona jest:

$F_c=-{{dW_c}\over{dx}}={{1}\over{2}}{{Q^2}\over{C^2}}{{dC}\over{dx}}-{{Q}\over{C}}{{dQ}\over{dx}}-U{{dQ}\over{dx}}$

(7.64)

Ponieważ mamy z definicji pojemności elektrycznej kondensatora jako funkcję ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora i różnicy potencjałów U, stąd wyznaczmy potencjał elektryczny U między okładkami omawianego kondensatora:

$C={{Q}\over{U}}\Rightarrow U={{Q}\over{C}}$

(7.65)

Korztystając przy tym z końcowego wyrażenia wynikowego (7.65), wtedy dochodzimy do wniosku, że siła F_c jest napisana:

$F_c={{1}\over{2}}{{Q^2}\over{C^2}}{{dC}\over{dx}}-{{Q}\over{C}}{{dQ}\over{dx}}+{{Q}\over{C}}{{dQ}\over{dx}}\Rightarrow F_c={{1}\over{2}}{{Q^2}\over{C^2}}{{dC}\over{dx}}={{1}\over{2}}U^2{{dC}\over{dx}}=-U^2{{\epsilon_0 w\chi}\over{2d}}$

(7.66)

Powyższy wniosek jest spełniony, gdy mamy stałe Q i zmienia się U lub odwrotnie, albo oba, w każdym bodź razem siła działająca na nasz dielektryk powoduje, że on próbuje się wsunąć pod okładki kondensatora w stronę niższych x.

Magnetostatyka

Magnetostatyka nazywamy działem elektrodynamiki klasycznej, w której pole magnetyczne opisywane przez ten dział fizyki jest stałe, nie zależy od czasu we wszystkich punktach w przestrzeni.

Własności wielkości charakterystycznych pola w magnetostatyce

Pole w magnetostatyce jest to pole, którymi przyczynkami są prądy stałe płynące w jakiś przewodnikach, natężenie prądu źródła jest niezmienne, wtedy pole magnetyczne nie zmienia się, wtedy mówimy, że pole jest stałe, wtedy doczynienia mamy z magnetostatyką.

Siły magnetyczne

Załóżmy, że mamy jeden przewodnik, w którym płynie stały prąd, przewodnik ten nie jest w ogólności linią prostą. Jeśli w tym polu umieścimy ładunek próbny, które porusza się z jakoś prędkością, w ogólności nie prostopadłą do wektora indukcji pola magnetycznego, to wtedy na ten ładunek działa siłę magnetyczna:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})\;$

(8.1)

• gdzie:$\vec{B}\;$- jest to wektor indukcji magnetycznej charakteryzujący pole magnetyczne.
• $\vec{v}\;$ jest to prędkość ładunku q.

Widzimy jednak, gdy wektor prędkości ładunku próbnego jest równoległy do wektora indukcji pola magnetycznego, czyli:$\vec{v}||\vec{B}\;$, to wtedy siła działająca ze strony pola na ten ładunek jest równa zero ($\vec{F}=0\;$).

Gdy prędkość cząstki jest prostopadła do wektorów indukcji magnetycznej pola, czyli zachodzi:$\vec{v}\bot\vec{B}\;$w danym punkcie, to wtedy na ładunek próbny pole magnetyczne działa z maksymalną siłą o wartości:

$F_{max}=qvB\;$

(8.2)

Wartością wektora indukcji nazywamy stosunek maksymalnej siły działającej na ładunek q ze strony pola magnetycznego przez iloczyn ładunku elektrycznego posiadanej przez to ciało w tym polu przez wartość jego prędkości. Należy pamiętać, że siła w ogólności działająca na ciało o ładunku q zależy od kąta pomiędzy wektorem indukcji pola i prędkością badanej cząstki.

Siły Lorentza

Jeśli oprócz sił magnetycznych (8.1) uwzględnimy siły elektryczne (1.2) (po wyznaczeniu z niego wektora siły), to siła Lorentza działająca na ciało o ładunku q jest równa sumie tych siły, tzn. siły pochodzących od pola elektrycznego i od pola magnetycznego, wynosi:

$\vec{F}=q\vec{E}+q(\vec{v}\times\vec{B})\Rightarrow \vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})\;$

(8.3)

• gdzie:$\vec{E}\;$ jest wektor natężenia pola elektrycznego.

Czy siły magnetyczne wykonują pracę

Praca wykonywana przez siły magnetyczne jest równa zero ze względu na prostopadłość sił magnetycznych do prędkości cząstki o ładunku q, co udowodnimy poniżej:

$W=\int dW=\int \vec{F}d\vec{r}=\int q(\vec{v}\times\vec{B})\vec{v}dt=0\;$

(8.4)

• ponieważ zachodzi:$\vec{F}\bot \vec{v}\;$

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że siły magnetyczne nie wykonują pracy na podstawie dowodu (8.4).

Objętościowa gęstość prądu

Rozpatrzmy pewne rozumowanie, które jest natężeniem prądu wyrażone w zależności od koncentracji elektronów w nośniku n, jego przekroju S oraz średniej wartości prędkości tychże cząstek v:

$I={{dq}\over{dt}}={{ne Sv dt}\over{dt}}=neSv\;$

(8.5)

Zdefiniujmy gęstość prądu jako iloraz natężenia prądu przez przekrój przewodnika, w którym płynie ten prąd jako:

$\vec{J}={{I}\over{S}}\vec{n}\;$

(8.6)

• gdzie :$\vec{n}\;$ jest to kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu.

Natężenie prądu wyrażone wedle (8.5) podstawiamy do wzoru na wektor gęstości prądu elektrycznego, co w ostatecznych perypetiach ta wielkość wyrażamy poprzez iloczyn koncentracji ładunków e pomnożonej przez ten ładunek i wektor prędkości ładunków prądu elektrycznego, co ostatecznie możemy tą wielkość przestawić jako:

$\vec{J}=ne\vec{v}\;$

(8.7)

Widzimy, że wektor gęstości prądu elektrycznego jest równoległy do prędkości nośników omawianego obiektu.

Prądy objętościowe a siły magnetyczne

Reguła lewej ręki

Policzmy jakie siły działają na nieskończenie mały element długości przewodnika z prądem:

$d\vec{F}=dq(\vec{v}\times\vec{B})=dq\left({{d\vec{l}}\over{dt}}\times\vec{B}\right)={{dq}\over{dt}}(d\vec{l}\times\vec{B})=I(d\vec{l}\times\vec{B})=$ $=dl(\vec{I}\times\vec{B})\;$

(8.8)

• gdzie $d\vec{l}\;$ ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu elektrycznego w przewodniku.

Zwrot elementarnej siły :$d\vec{F}$, określamy regułą lewej ręki, co jest pokazane na rysunku obok. Całkowia siła pola magnetycznego działająca na przewodnik z prądem jest wyrażona:

$\vec{F}=\int d\vec{F}=\int I(d\vec{l}\times\vec{B})\;$

(8.9)

Powyższy wzór uwzględnia również kształt przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I.

Powierzchniowa gęstość prądu

Zakładamy tutaj, że prąd płynie po nieskończenie małym wycinku z minus nieskończoności do plus nieskończoności, przy czym zakładamy, że ten wycinek nie jest w ogólności linią prostą.

Powierzchniowa gęstość ładunku jest wyrażona przez:

$\vec{K}={{d\vec{I}}\over{dl_{\bot}}}\;$

(8.10)

Inaczej wyrażając różniczkę natężenia prądu płynącego w przewodniku o szerokości $dl_{\bot}\;$ przez iloczyn gęstości powierzchniowej i prędkości nośników prądu, tak jak w (8.5), tylko zamiast gęstości objętościowej jest gęstość powierzchniowa, a zamiast przekroju S jest szerokość przewodnika powierzchniowego.

$\vec{K}={{d\vec{I}}\over{dl_{\bot}}}={{\sigma dl_{\bot}\vec{v}}\over{dl_{\bot}}}=\sigma \vec{v}\;$

(8.11)

Dochodzimy do wniosku wedle wyprowadzenia (8.11), że gęstość powierzchniowa prądu jest równa iloczynowi prędkości nośników prądu przez gęstość powierzchniową ładunków nośników prądu płynącej na powierzchni, zatem dochodzimy do wniosku:

$\vec{K}=\sigma\vec{v}\;$

(8.12)

Prądy powierzchniowe a siły magnetyczne

Różniczka siły działająca na nieskończenie mały przewodnik powierzchniowy, w zależności od gęstości powierzchniowej (8.10) i szerokości przewodnika, w którym panuje pola magnetyczne zewnętrzne o indukcji $\vec{B}\;$, jest równa:

$d\vec{F}=dq\vec{v}\times\vec{B}=(\vec{v}\times\vec{B})\sigma dS= (\vec{K}\times{B})dS\;$

(8.13)

A całkowita siła działająca na ten przewodnik z prądem, którego szerokość jest infinitezymalna, jest napisana:

$\vec{F}=\int (\vec{K}\times{B})dS\;$

(8.14)

Całkowita siła magnetyczna działająca na przewodnik powierzchniowy z prądem jest zależna od szerokości tego przewodnika, która jest równa $dl_{\bot}\;$.

Zasada zachowania ładunku

W układzie zamkniętym, na danej objętości lub powierzchni, suma wszystkich ładunków w dowolnym czasie jest wielkością stałą. Zmiana gęstości powierzchniowej lub objętościowej przy pomocy prądów powierzchniowych lub objętościowych nie może zmieniać (zaburzać) całkowitego ładunku w danej powierzchni lub objętości.

W układzie dyskretnym zachodzi:

$\sum_i q_i=\operatorname{const}\;$

(8.15)

lub dla układu ciągłego zastępując sumę całką, a dyskretne ładunki o numerze "i" ich infinitezymalnymi ładunkami, które wyrazimy przez gęstość objętościową, którego ładunki są w danej objętości dV wedle wzoru (1.6), wtedy to prawo ma się w postaci:

$\int_V\rho(\vec{r})dV=\operatorname{const}\;$

(8.16)

Powyższe dwa wzory stanowią globalną zasadę zachowania ładunku dla rozkładu dyskretnego (8.15) i ciągłego (8.16).

Całkowita zmiana ładunku w danej objętości musi być stała w magnetostatyce, tzn.

$\Delta q=\int_V \vec{J}d\vec{S}dt\Rightarrow \Delta q=\int_V\nabla\cdot\vec{J}dVdt\;$

(8.17)

Ale ponieważ zmiana ładunku w dowolnym czasie $\Delta t\;$ jest równa zero, wtedy równanie (8.17) możemy zapisać wedle sposobu:

$0=\int_V\nabla\cdot\vec{J}dV\;$

(8.18)

Powyższe równanie jest słuszne dla dowolnej objętości, bo w magnetostatyce rozkład ładunków nie zmienia się, bo pole magnetyczne lub elektryczne musi być stałe w czasie w danym punkcie w przestrzeni, zatem otrzymujemy:

$\nabla\cdot\vec{J}=0\Rightarrow\operatorname{div}\vec{J}=0\;$

(8.19)

Co jest treścią lokalną zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków objętościowych.

Formułując zasadę dla prądów powierzchniowych, można uzyskać podobną lokalną zasadę zachowania ładunku do (8.19):

$\operatorname{div}\vec{K}=0$

(8.20)

Co jest prawdziwe dla dwuwymiarowego układu współrzędnych związanego z tą płaszczyzną, w której płynie prąd powierzchniowy, ale nie dla trzech. Dla trzech wymiarów należy stosować prawo (8.19). Prawo (8.20) jest treścią lokalnej zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków powierzchniowych.

Wektor indukcji magnetycznej

Poprzednio zdefiniowaliśmy wektor indukcji magnetycznej, ale nie podaliśmy jak je liczyć według jakiego wzoru, co uczynimy poniżej.

Prawo Biota-Savarta

Załóżmy, że mamy stałe prądy, wtedy ten prąd wytwarza ogólnie w nieliniowym przewodniku stałe pola magnetyczne wokół niego. Obliczmy jaki przyczynek wnosi mały przycinek :$d\vec{B}$, do pola magnetycznego wokół przewodnika w ściśle określonym położeniu. Pole magnetyczne liniowego prądu stałego jest określone przez prawo Biota-Savarta napisana przez:

$\vec{B}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}I\int{{d\vec{l}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}$

(9.1)

• gdzie R jest to odległość odcinka $d\vec{l}$ do punktu, w którym liczymy indukcję pola magnetycznego pochodzącą od nieskończenie małych przycinków o długości dl, który to przyczynek ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu $d\vec{l}\;$ do pola magnetycznego.
• I- natężenie prądu stałego w przewodniku
• μ₀ jest to przenikalność magnetyczna próżni równą wartości: $_{4\pi\cdot 10^{-7}{{N}\over{A^2}}}$.

Prawo Biota-Savarte zależne od prędkości źródła pola magnetycznego

Mając pierwotny wzór na indukcję pola elektrycznego nieskończonego przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I, wtedy wyprowadźmy wzór jakie jest pole magnetyczne wytwarzane przez ładunek q, poruszający się z prędkością $\vec{v}$:

$\vec{B}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int {{dq}\over{dt}}{{d\vec{l}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int dq{{\vec{v}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}$

(9.2)

Powyższym prawie wektor indukcji magnetycznej wyznaczamy dla punktu ściśle określonego pochodzącego od ruchu każdego ładunku dq pędzącego z prędkościami $\vec{v}\;$ znajdującego się w ogólności w nieskończonym przewodniku, który na przykład może nie być liniowy. Jeśli mamy mały i punktowy ładunek q, który pędzi z prędkością $\vec{v}\;$, to wytwarzane przez niego pole magnetyczne w danym punkcie według wzoru (9.2) w odległości od niego o wektor $\vec{R}\;$ przedstawia się:

$\vec{B}(\vec{R})={{\mu_0}\over{4\pi}}{{q\vec{v}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}$

(9.3)

Według tego wzoru, każdy ładunek pędzący z prędkością $\vec{v}\;$ wytwarza wokół siebie pole magnetyczne, które wyznaczamy dla każdego punktu według ostatniego wzoru.

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych

Prawo Biota-Savarte dla prądów powierzchniowych, mając definicję gęstości powierzchniowej prądu, wtedy wzór na wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzane przez nieskończony przewodnik z prądem (9.1), jest napisany wedle:

$\vec{B}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int I{{d\vec{l}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int K a{{d\vec{l}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{K}\times\vec{R}}\over{R^3}}dS$

(9.4)

Zatem mając wzór (9.4), który jest w formie całkowej w zależności od gęstości prądu powierzchniowego wytwarzanego przez daną cząstkę powierzchni dS, w której płynie prąd powierzchniowy, a ich całka daje całkowite pole magnetyczne o indukcji $\vec{B}\;$ wytwarzaną przez daną powierzchnię, w której płyną pewne prądy.

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych

Prawo Biota-Savarte dla prądów objętościowych piszemy, znając definicję gęstości objętościowej prądu (8.6), wtedy wzór (9.1) na całkowity wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcie zapisujemy:

$\vec{B}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int I{{d\vec{l}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int J S{{d\vec{l}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int {{\vec{J}\times\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV$

(9.5)

Mając wzór (9.5) wektor indukcji pola magnetycznego jest całką po objętości, w której w danym punkcie płynie prąd o gęstości prądu $\vec{J}\;$ i oddalonym od punktu, w którym wyznaczamy wektor indukcji pola magnetycznego o wektor $\vec{R}\;$.

Różniczkowe prawo Gaussa dla pola magnetostatycznego

Wyznaczmy wyrażenie na dywergencję pola magnetycznego $\vec{B}$ w danym punkcie przestrzeni wytwarzanej przez nieskończony przewodnik z prądem wedle równania (9.1), piszemy ją mając w całce pewne wielkości zależne od przewodnika, które oznaczać je będziemy primami, tzn. gęstość prądu i elementarną objętość:

$\nabla\cdot\vec{B}= {{1}\over{4\pi}}\int_V\nabla\left(\vec{J}^'\times{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right)dV^'= {{1}\over{4\pi}}\int_V\left[{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\left(\nabla\times\vec{J}^'\right)-\vec{J}^'\left(\nabla\times{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right)\right]dV^'$

(9.6)

Wyrażenie $\nabla\times\vec{J}^'$ jest równe zero, ponieważ różniczkujemy po współrzędnych nienależących do wektora gęstości prądu elektrycznego płynącego w danym punkcie. Zatem na podstawie powyższych wywodów i z obliczeń (9.6) i tożsamości (2.19) dostajemy wzór na prawo Gaussa, która jest dywergencją pola magnetycznego w danym punkcie, która jest równa zero.

$\operatorname{div}\vec{B}=0$

(9.7)

Jest to różniczkowe prawo Gaussa dla magnetostatyki.

Całkowe prawo Gausa dla pola magnetostatycznego

Przecałkujmy obustronnie różniczkowe prawo Gaussa, w lewej jego strony zamieńmy całkowanie po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia według twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamieniając na całkowanie po tej powierzchni:

$\int_V\operatorname{div}\vec{B}dV=0\Rightarrow \int_V\nabla\vec{B}dV=0\Rightarrow\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$

(9.8)

Zatem na podstawie obliczeń (9.8) całka indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej jest równa zero, co znaczy, że pole magnetyczne jest bezźródłowe.

$0=\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$

(9.9)

Różniczkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego

Wyznaczmy rotację pola magnetycznego wytwarzanej przez nieskończenie duży przewodnik z prądem i oznaczając zmienne zależne primami, które są to tzn. gęstość prądu i infinitezymalna objętość, wtedy korzystając z prawa Biota-Savarte na wektor indukcji pola magnetycznego pochodzącego od tego przewodnika:

$\nabla\times\vec{B}= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int_V\nabla\times\left(\vec{J}^'\times{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right)dV^'= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int_V\vec{J}^'\left(\nabla{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right)dV^'-{{\mu_0}\over{4\pi}}\int_V\left(\vec{J}^'\nabla\right){{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV^'$

(9.10)

Aby sprawdzić, czy drugi wyraz znika w (9.10) policzmy wyrażenie występujące jako drugi wyraz wspomnianym wyrażeniu:

$\int_V\left({J}^'\nabla\right){{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}dV^'=\int_V\left(J^'_i\nabla_i \left(\vec{k}_j{{\hat{R}_j}\over{R^2}}\right)\right)dV^'= \int_V\vec{k}_j \left(J^'_i\nabla_i\left({{\hat{R}_j}\over{R^2}}\right)\right)dV^'=$ $=\vec{k}_j\left(\int_V\nabla_i\left( J_i^'{{\hat{R}_j}\over{R^2}}\right)dV^'-\int_V{{\hat{R}_j}\over{R^2}}\nabla_iJ^'_idV\right)$

(9.11)

Drugi wyraz w (9.11) znika, ponieważ różniczkowanie gęstości prądu elektrycznego jest po innych zmiennych niż ona zależy. Dla pierwszego wyrazy wspomnianym równaniu zapisujemy je wedle sposobu:

$\int_V\nabla_i J_i^'{{\hat{R}_j}\over{R^2}}dV^'=\int_V\nabla\left(J{{\hat{R}_j}\over{R^2}}\right)dV= \int_S{{JR_j}\over{R^3}}d\vec{S}$

(9.12)

Określmy powierzchnię S na tyle dużą, w (9.12) tak by ona zawierała wszystkie ładunki i prądy wewnątrz tej powierzchni ale nie na niej, wtedy na tej powierzchni gęstość prądu $\vec{J}\;$ jest równa zero. A więc na podstawie powyższych rozważań i z tożsamości (2.13) znanego z wiadomości o dystrybuantach, rotacja indukcji pola magnetycznego (9.10) jest równa prawej stronie poniższej równości:

$\nabla\times\vec{B}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int_V\vec{J}4\pi\delta^3\left(\vec{R}\right)dV^'\Rightarrow\nabla\times\vec{B}=\int_V\mu_0\vec{J}\delta^3\left(\vec{R}\right)dV^'\Rightarrow\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$

(9.13)

Ostatecznie różniczkowe prawo Stokesa mówi, że rotacja indukcji pola magnetycznego w danym punkcie jest równa gęstości prądu panującego w tymże punkcie pomnożona przez przenikalność magnetyczną próżni:

$\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{J}$

(9.14)

Całkowe prawo Stokesa dla pola magnetostatycznego

Przeprowadźmy obustronne całkowanie po pewnej powierzchni różniczkowego prawa Stokesa (9.14), którego ogranicza pewny zamknięty kontur, korzystając z twierdzenia Stokesa dla jego lewej strony i z definicji gęstości prądu elektrycznego (8.6) jako pochodną malutkiego natężenia prądu elektrycznego płynącego przez malutką powierzchnię, przez którą płynie ten prąd i zwrocie zgodnym z kierunkiem płynięcia rozważanego prądu:

$\int_S\operatorname{rot}\vec{B}d\vec{S}=\mu_0\int\vec{J}d\vec{S}\Rightarrow \oint_l\vec{B}d\vec{l}=\mu_0\int_S dI\Rightarrow \oint_l\vec{B}d\vec{l}=\mu_0 I\;$

(9.15)

• gdzie:$_{I=\sum^N_{i=1}I_i}\;$ jest to natężenie prądu elektrycznego płynącego przez pewną powierzchnię, którą ogranicza ściśle określony kontur, jest ona sumą wszystkich prądów we wszystkich przewodnikach spełniającego te dysputy.

Magnetyczny potencjał wektorowy

W elektrostatyce udowodniliśmy, że wektor natężenia elektrycznego można było przedstawić jako gradient potencjału elektrycznego, to w magnetyzmie wektor indukcji magnetycznej można przedstawić jako rotację potencjału wektorowego.

Potencjał wektorowy

Przedstawmy wektor indukcji magnetycznej przez wektor potencjału wektorowego, jako rotację wektora potencjału wektorowego:

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$

(10.1)

W ogólności można powiedzieć, że potencjał wektorowy nie jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej, mimo że: $_{\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{A})}$, ponieważ ∇ jest operatorem, a nie wektorem. Gdyby był wektorem, to rzeczywiście było by powyższe wyrażenie równe zero.

Znając definicję wektora indukcji magnetycznej $\vec{B}$ przez wektor potencjału wektorowego$\vec{A}$ w postaci rotacji potencjału wektorowego czyli (10.1), wtedy rotację wektora indukcji magnetycznej przy pomocy ostatnio wspomnianego wzoru zapisujemy:

$\nabla\times\vec{B}=\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\nabla\vec{A})-\Delta\vec{A}$

(10.2)

Ostatecznie prawo Ampera (9.14), wedle przedstawienia rotacji wektora indukcji magnetycznej (10.2), która jest funkcją wektora potencjału wektorowego, zapisujemy:

$\nabla(\nabla\vec{A})-\Delta\vec{A}=\mu_0\vec{J}$

(10.3)

Równanie (10.3) jest jest bardzo trudne do rozwiązania, ze względu na jego skomplikowaną postać, a więc wprowadźmy cechowanie w postaci zwanej cechowaniem Coulomba.

$\nabla\vec{A}=0$

(10.4)

Prawo Ampere'a w przedstawieniu przez potencjał wektorowy po wykorzystaniu cechowania Coulomba (10.4), obrazuje się to według równania:

$\Delta \vec{A}=-\mu_0\vec{J}$

(10.5)

Rozwiązując równanie różniczkowe (10.5), otrzymujemy równanie tak jak dla równania Poissona w elektrostatyce (2.11), tylko w postaci wektorowej a nie skalarnej, ponieważ w prawie Ampera mamy gęstość prądu elektrycznego zamiast gęstości ładunku:

$\vec{A}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{J}(\vec{r})}\over{R}}dV$

(10.6)

Widzimy, że natężenie potencjału wektorowego pola magnetycznego w danym punkcie jest zależne od gęstości natężenia prądu elektrycznego jakie płyną w punkcie o wektorze wodzącym $\vec{r}\;$ w odległości R od tego punktu, w którym liczymy wspomnianą wielkość. Iloczyn gęstości prądu i infinitezymalnej objętości, w której ta gęstość występuje możemy przedstawić jako iloczyn wielkości natężenia prądu elektrycznego i z infinitezymalnej długości o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem płynięcia prądu:

$JdV={{I}\over{S}}dV={{I}\over{S}}Sdl=Idl\Rightarrow \vec{J}dV=Id\vec{l}$

(10.7)

Prawo (10.6) mówi jaki jest potencjał wektorowy pola magnetycznego w ściśle określonym punkcie, a w nim występującą wielkość $\vec{J}dV=Idl\;$ możemy przedstawić przy pomocy obliczeń (10.7) dla prądów liniowych:

$\vec{A}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{I}}\over{R}}dl={{\mu_0 I}\over{4\pi}}\int{{d\vec{l}}\over{R}}$

(10.8)

Obierzmy pewną płaszczyznę o grubości dh, w której płynie prąd, kierunek w której płynie prąd jest równoległy do powierzchni płaszczyzny, którego małym elementem jest dS. Rozważaną szerokość, w której płynie prąd, którego kierunek jest prostopadły do grubości płaszczyzny czyli dl. Iloczyn wektora gęstości prądu elektrycznego i infinitezymalnej objętości, w której płynie ten prąd jest równy iloczynowi wektora gęstości prądu powierzchniowego i elementu nieskończenie małego jego powierzchni, co dowód tej zależności przedstawiamy poniżej:

$JdV={{dI}\over{dS}}dV={{dI}\over{dldh}}dl dh da= {{dI}\over{dh}}dlda=KdS\Rightarrow \vec{J}dV=\vec{K}dS$

(10.9)

Dla prądów powierzchniowych w przedstawieniu (10.9) równanie (10.6) możemy przedstawić wedle:

$\vec{A}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{K}}\over{R}}dS$

(10.10)

Wzory (10.6), (10.8) i (10.10) stanowią jak obliczać potencjał wektorowy na prądów powierzchniowych, liniowych i powierzchniowych.

Prawo Gaussa a definicja potencjału wektorowego

Możemy wykorzystać z definicji potencjału wektorowego dla pola magnetycznego wedle wzoru (10.1), wtedy lewa strona prawa Gaussa dla pola magnetycznego (9.7) możemy zapisać wedle:

$\nabla\cdot\vec{B}=\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})= \nabla_i\epsilon_{ijk}\nabla_jA_k= {{1}\over{2}}\left( \epsilon_{ijk}\nabla_i\nabla_j+\epsilon_{ijk}\nabla_i\nabla_j\right)A_k=\;$ ${{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_i\nabla_j+\epsilon_{jik}\nabla_j\nabla_i\right)A_k= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_i\nabla_j-\epsilon_{ijk}\nabla_i\nabla_j\right)A_k=0$

(10.11)

A zatem taka definicją potencjału wektorowego (10.1) załatwia, że prawo Gausa jest automatycznie spełnione. Podobnie jest w elektrostatyce, że mając definicje potencjału skalarnego (3.5), załatwia że prawo Stokesa dla elektrostatyki (2.17) jest też automatycznie spełnione.

Potencjał wektorowy a prawo Biota-Savarta dla prądów liniowych

Możemy wyrazić indukcję pola magnetycznego poprzez potencjał magnetyczny jako rotację tejże wielkości dla prądów liniowych, którego potencjał wektorowy dla prądów liniowych jest zdefiniowany wedle wzoru (10.8), wtedy wzór nas wektor indukcji pola magnetycznego obliczamy według:

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}= \nabla\times\left({{\mu_0I}\over{4\pi}}\int{{d\vec{l}^'}\over{R}}\right)= {{\mu_0I}\over{4\pi}}\int\nabla\times{{d\vec{l}^'}\over{R}}$

(10.12)

Wyznaczmy rotację ilorazu wektora różniczki małego odcinka linii $d\vec{l}\;$, w której płynie prąd liniowy przez odległość do punktu od tego odcinka linii, w którym będziemy wyznaczać wektor indukcji pola magnetycznego wyrażającego się wedle wzoru (10.12), zatem to nasze wyrażenie, które chcemy przekształcić napiszmy go wedle:

$\nabla\times{{d\vec{l}^'}\over{R}}=k_i \epsilon_{ijk}\nabla_j{{d\vec{l}^'_k}\over{R}}= d\vec{l}^'_k\epsilon_{ijk}\nabla_j{{1}\over{R}}= d\vec{l}^'_k\epsilon_{ijk}{{\partial R}\over{\partial x_j}}{{\partial}\over{\partial R}}{{1}\over{R}}=-d\vec{l}^'_k\epsilon_{ijk}{{x_j-x_j^'}\over{R}}{{1}\over{R^2}}=$ $=-\epsilon_{ijk}{{x_j-x_j^'}\over{R^3}}d\vec{l}^'_k=-{{\vec{R}\times d\vec{l}^'}\over{R^3}}={{d\vec{l}^'\times{\vec{R}}}\over{R^3}}={{d\vec{l}^'\times{\hat{\vec{R}}}}\over{R^2}}$

(10.13)

Powróćmy do naszego wzoru na indukcję magnetyczną (10.12), którego liczenie jeszcze nie dokończyliśmy, ale przy pomocy obliczeń (10.13), które wylicza ściśle określone wyrażenie, to możemy to zrobić:

$\vec{B}={{\mu_0I}\over{4\pi}}\int\nabla\times{{d\vec{l}^'}\over{R}}= {{\mu_0I}\over{4\pi}}\int{{d\vec{l}^'\times{\hat{\vec{R}}}}\over{R^2}}$

(10.14)

Co jest prawem Biota-Savarte wprowadzonych według wzoru (9.1).

Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego

Rozwinięcie multipolowe dla pola magnetycznego

W elektrostatyce napisano coś rozwinięciach multipolowych, które poniżej wykorzystamy. Odwrotność odległości punktu w którym liczymy potencjał wektorowy od danym punkcie, w której występuje jakiś prąd, tj. wzór (5.15), tzn.:

${{1}\over{R}}={{1}\over{\sqrt{r^2-(r^')^2-2rr^'\cos\phi}}}={{1}\over{r}}\sum^{\infty}_{n=0}\left({{r^'}\over{r}}\right)^nP_n(\cos\phi)$

(10.15)

Potencjał wektorowy dla prądów liniowych w danym punkcie w zależności od kształtu tego przewodnika (10.8) w rozwinięciu multipolowym, w celu jego wyznaczenia skorzystamy ze wzoru (10.15), jest zapisana przez:

$\vec{A}(\vec{r})={{\mu_0I}\over{4\pi}}\oint{{1}\over{r}}d\vec{l}^'= {{\mu_0}\over{4\pi}}\sum^{\infty}_{n=0}{{1}\over{r^{n+1}}}\oint(r^')^nP_n(\cos\phi)d\vec{l}^'$

(10.16)

Wzór (10.16) można rozpisać znając definicję funkcji P_n(x) jako wielomianów Legendre'a, wtedy ten nasz wzór zapisujemy:

$\vec{A}={{\mu_0I}\over{4\pi}}\left[ {{1}\over{r}}d\vec{l}^'+{{1}\over{r^2}}\oint{{r^'\cos\phi}d\vec{l}^'}+ {{1}\over{r^3}}\oint (r^')^2\left({{3}\over{2}}\cos^2\phi-{{1}\over{2}}\right)d\vec {l}+... \right]$

(10.17)

Wyraz odpowiedzialny za monopol magnetyczny magnetostatyce zeruje się, bo mamy do czynienia z prądami kołowymi. Nie może być tak, że prąd skoś dopływa i gdzieś dopływa, wtedy mamy do czynienia z kreacją ładunku elektrycznego, co nie jest spełnione z zasadą, że ładunek nie może powstać, ani nie może być zniszczony.

$\oint d\vec{l}^'=0$

(10.18)

Potencjał wektorowy w magnetyzmie, a właściwie człon dipolowy według wzoru (10.17) przedstawia się:

$\vec{A}_{dip}(\vec{r})={{\mu_0I}\over{4\pi r^2}}\oint r^'\cos\phi d\vec{l}^'= {{\mu_0I}\over{4\pi r^2}}\oint \left(\vec{r^'}\hat{r}\right)d\vec{l}^'$

(10.19)

Moment dipolowy dla magnetostatyki definiujemy jako iloczyn natężenia prądu kołowego i pola obejmowanych przez ten prąd powierzchni płaskiej i ten iloczyn ma kierunek prostopadły do tej powierzchni, a zwrot do góry, jeśli kierunek płynięcia prądu jest odwrotny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, wtedy wektor momentu dipolowego jest:

$I\oint d\vec{S}=\vec{m}$

(10.20)

Obierzmy sobie pewien skalar T, wtedy z prawa Stokesa dochodzimy do wniosku:

$\int_S\nabla\times Td\vec{S}=\oint Td\vec{l}\Rightarrow \int_Sd\vec{S}\times\nabla T=\oint Td\vec{l}\Rightarrow \int_S\nabla T\times d\vec{S}=-\oint T d\vec{l}$

(10.21)

Zdefiniujmy nasz skalar T jako iloczyn skalarny stałej wektorowej $_{\vec{c}}\;$ przez położenie danej cząstki dipola magnetycznego $_{\vec{r}^'}\;$, którego definicja wygląda:

$T=\vec{c}\vec{r}^'$

(10.22)

Wykorzystując definicję skalaru T (10.22), wtedy w twierdzeniu (10.21) możemy zapisać przekształcenia:

$\int\nabla(\vec{c}\vec{r}^')\times d\vec{S}=-\oint (\vec{c}\vec{r}^')d\vec{l}\Rightarrow \int \vec{c}\times d\vec{S}=-\oint (\vec{c}\vec{r}^')d\vec{l}\Rightarrow\vec{c}\times\int d\vec{S}=-\oint (\vec{c}\vec{r}^')d\vec{l}$

(10.23)

Niech będzie stała $\vec{c}\;$ będzie wektorem jednostkowym równoległej i o takim samym zwrocie co wektor położenia, w którym będziemy wyznaczać potencjał dipolowy danego układu rozciągłych dipoli, czyli $\vec{c}=\hat{r}$, co wzór końcowym wynikowy (10.23) po dokonaniu tej operacji możemy napisać:

$\hat{r}\times\int_S d\vec{S}=-\oint_S(\hat{r}\vec{r}^')d\vec{l}^'$

(10.24)

Potencjał wektorowy dipolowy (10.19), na podstawie udowodnionej wcześniej tożsamości (10.24), można przedstawić:

$\vec{A}_{dip}={{\mu_0I}\over{4\pi r^2}}\oint \left(\vec{r^'}\hat{r}\right)d\vec{l}^'= -{{\mu_0I}\over{4\pi r^2}}\hat{r}\times\int_S d\vec{S}= -{{\mu_0I}\over{4\pi r^2}}\hat{r}\times\vec{m}={{\mu_0}\over{4\pi}}{{\vec{m}\times\hat{r}}\over{r^2}}$

(10.25)

Potencjał wektorowy wytarzanego przez dipol magnetyczny o wektorowym momencie dipolowym (10.20) w pewnym punkcie od tego dipola odległych od niego o wektor wodzący $\vec{r}\;$ jest napisany wedle wzoru (10.25).

Pole magnetyczne wokół dipola magnetycznego

Wektor potencjału wektorowego dla dipola magnetycznego ze wzoru (10.25) zapisujemy równoważnie:

$\vec{A}_{dip}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}{{\vec{m}\times\hat{r}}\over{r^2}}= {{\mu_0m}\over{4\pi}}{{\sin\phi}\over{r^2}}\vec{e}_{\phi}$

(10.26)

Następnym krokiem jest policzenie wektora indukcji magnetycznej jako rotacji z potencjału wektorowego magnetycznego (10.1) z definicji potencjału magnetycznego dla dipola magnetycznego (10.26):

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}= {{1}\over{r\sin\phi}}\left[{{\partial(\sin\phi A_{\phi})}\over{\partial\phi}}-{{\partial A_{\phi}}\over{\partial\phi}}\right]\vec{e}_r+ {{1}\over{r}}\left[{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial A_r}\over{\partial\phi}}-{{\partial}\over{\partial r}}(rA_{\phi})\right]\vec{e}_{\phi}=$ $={{1}\over{r\sin\phi}}{{\mu_0 m}\over{4\pi r^2}}2\sin \phi\cos\phi+{{1}\over{r}}{{\mu_0m\sin\phi}\over{4\pi r^2}}= {{\mu_0 m}\over{4\pi r^3}}\left(2\vec{e}_r\cos\phi+\sin\phi e_{\phi}\right)$

(10.27)

Pole magnetyczne na wektor indukcji magnetycznej dla dipola magnetycznego przedstawia się wzorem na podstawie jego obliczeń (10.27):

$\vec{B}={{\mu_0 m}\over{4\pi r^3}}\left(2\vec{e}_r\cos\phi+\sin\phi e_{\phi}\right)$

(10.28)

Warunki brzegowe dla układu dwóch substancji dla pola magnetostatycznego

Zastosowanie prawo Gaussa.

Obierzmy sobie mały prostopadłościan, na bardzo małym wycinku powierzchni między granicami dwóch ośrodków magnetycznych, w którym podstawy są równoległe do powierzchni granicy dwóch ośrodków na którym jest położony. Podstawa górna i dolna leżą w różnych ośrodkach. Według prawa Gaussa (9.9), iloczyny skalarne wybierają jej składowe prostopadłe do ścianek tego prostopadłościanu wektora indukcji pola magnetycznego, a nie równoległe tzn. równoległe do wektora powierzchni dla każdej ścianek z odpowiednim minusem w zależności, czy zwrot dla tych wektorów składowej równoległej do wektora powierzchni, czy jest zgodny lub przeciwny z nim. Zastosowanie prawa Gaussa jest na rysunku obok. Zatem prawo Gaussa dla omawianego prostopadłościanu możemy zapisać wedle:

$0=S_{nad}B^{\bot}_{nad}-S_{pod}B^{\bot}_{pod}+S_{prawy}B^{\bot}_{prawy}-S_{lewy}B^{\bot}_{lewy}+S_{za}B^{\bot}_{za}-S_{przez}B^{\bot}_{przed}$

(10.29)

Strumień bocznych ścianek jest równy średniej wartości indukcji magnetycznej z odpowiednim znakiem w zależności od zgodności wektora indukcji magnetycznej i wektora odpowiednich ścianek. Jeśli przyjmiemy, że mamy bardzo małe prostokąty dla ścianek bocznych i podstaw, by iloraz jakikolwiek pola ścianek bocznych przez pola jakikolwiek podstawy była w przybliżeniu równa zero, i wszystkie pola ścianek dążą do zera, którego podstawy mają równe pola S=S_nad=S_pod, które są bardzo małe przy powyższych warunkach, zatem wartość średnia indukcji pola magnetycznego na podstawach są równe wartością w punkcie, w których znajdują się infinitezymalny prostopadłościan, zatem na podstawie tych rozważań równanie (10.29) podzielimy obustronnie przez pole S, po tej czynności możemy przejść do granicy stosunku pola ścianek bocznych do pola podstawy dążących do zera, wtedy możemy przepisać to wedle:

$0=B^{\bot}_{nad}-B^{\bot}_{pod}+{{S_{prawy}}\over{S}}B^{\bot}_{prawy}-{{S_{lewy}}\over{S}}B^{\bot}_{lewy}+{{S_{za}}\over{S}}B^{\bot}_{za}-{{S_{przez}}\over{S}}B^{\bot}_{przed} \rightarrow 0=B^{\bot}_{nad}-B^{\bot}_{pod}\Rightarrow \;$ $\Rightarrow B^{\bot}_{nad}=B^{\bot}_{pod}$

(10.30)

Na podstawie obliczeń (10.30) część prostopadła do powierzchni granicy pomiędzy ośrodkami nie zmienia się.

Zastosowanie prawo Stokesa.

Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Stokesa i wniosków wynikających z tego prawa. Zakładamy, że mamy prostokąt, który jest prostopadły do bardzo małego wycinka powierzchni granicy pomiędzy ośrodkami, na którym jest położony, a odcinki (górna i dolna) leżą w różnych dwóch ośrodkach i są równolegle do omawianej powierzchni do naszej granicy pomiędzy ośrodkami, ponadto zakładamy, że kierunek obiegania prostokąta jest z niezgodny z kierunkiem wskazówek zegara. Szerokość prostokąta niech będzie l, a wysokość będzie h. Prawo Stokesa dla pola magnetycznego (9.15) podczas jego obiegania wycina te fragmenty (składowe) pola magnetycznego, które są prostopadłe do odcinków tego prostokąta, zatem z tego prawa dla pola magnetostatycznego, mamy:

$B^{||}_{nad}l-B^{||}_{pod}+B^{||}h-B^{||}h=\mu_0 I$

(10.31)

Zakładamy, że długości wszystkich odcinków prostokąta oprócz odcinka dolnego i górnego (których długości są takie same) dążą do zera, zatem prawo (10.31) zapisujemy:

$B^{||}_{nad}l-B^{||}_{pod}l=\mu_0 I$

(10.32)

Wiedząc, że powierzchniowa gęstość prądu wynosi:$_{K={{I}\over{l}}}$, wtedy dzieląc obustronnie równanie (10.32) przez l, otrzymujemy:

$B^{||}_{nad}-B^{||}_{pod}=\mu_0 K$

(10.33)

Wektor $\vec{K}\times\vec{n}\;$ jest równoległy do powierzchni, a właściwie do wektora indukcji pola magnetycznego (9.1), a właściwie do jej części równoległej do powierzchni między granicami dla dwóch ośrodków. Wektor indukcji magnetycznej jest równoległy do naszego wektora jednostkowego, zatem prawo (10.33) zapisujemy:

$\vec{B}^{||}_{nad}-\vec{B}^{||}_{pod}=\mu_0\left(\vec{K}\times\vec{n}\right)$

(10.34)

• gdzie $\vec{n}$ jest wektorem normalnym do powierzchni, w którym płynie prąd powierzchniowy, ale wiadomo, że zachodzi tutaj: $\vec{K}\bot\vec{n}$.

Jeśli do ostatniego wzoru dodamy wzór, wynikający z prawa Gaussa obustronnie (10.30), wtedy dostajemy:

$\vec{B}^{\bot}_{nad}-\vec{B}^{\bot}_{pod}+\vec{B}^{||}_{nad}-\vec{B}^{||}_{pod}=\mu_0\left(\vec{K}\times\vec{n}\right)$

(10.35)

Jeśli dodamy składowe do siebie składowe wektora indukcji magnetycznej pod granicą lub nad, wtedy mamy:

$\vec{B}^{\bot}_{nad}+\vec{B}^{||}_{nad}=\vec{B}_{nad}$ (10.36)

$\vec{B}^{\bot}_{pod}+\vec{B}^{||}_{pod}=\vec{B}_{pod}$ (10.37)

Ale wzór (10.35), w którym przegrupujemy wyrazy z równoległą i prostopadłą do płaszczyzny wektora indukcji magnetycznej, w którym płyną prądy, w taki sposób by odpowiednio wyrazy ze składowymi nad i pod granicą między ośrodkami znajdowały się blisko siebie, i stosując potem wzór na dodawanie tych składowych, czyli sumowanie do całkowitego wektora indukcji pola magnetycznego wedle (10.36) i (10.37), wtedy ten wzór przyjmuje postać:

$\vec{B}_{nad}-\vec{B}_{pod}=\mu_0(\vec{K}\times\vec{n})$

(10.38)

Z warunku cechowania (10.4) i z prawa Ostrogradskiego-Gaussa, oczywiście jest, że mamy:

$\nabla\vec{A}=0\Rightarrow\int\nabla\vec{A}dV=0\Rightarrow\int\vec{A} d\vec{S}=0$

(10.39)

Rozważając różne powierzchnie dążące do punktu dochodzimy na podstawie końcowego wyniku (10.39), że potencjał wektorowy jest wielkością ciągłą.

Na ostateczny wzór wynikający z prawa Stokesa i Gaussa, pomnóżmy lewostronnie (10.38) przez wektor jednostkowy $\vec{n}$, oraz z definicji na wektor indukcji magnetycznej przez potencjał wektorowy pola magnetycznego (10.1), otrzymujemy:

$\vec{n}\times\left(\nabla\times\left(\vec{A}_{nad}-\vec{A}_{pod}\right)\right)=\mu_0\vec{n}\times(\vec{K}\times\vec{n})$

(10.40)

Policzmy wyrażenie, które będzie nam potrzebne później:

$\vec{n}\times(\nabla\times\vec{A})=k_{i}\epsilon_{ijk}n_{j}(\nabla\times\vec{A})_{k}=\vec{k}_i\epsilon_{ijk}n_j\epsilon_{kmn}\nabla_mA_{n}= \vec{k}_i\epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}n_j\nabla_mA_n=$ $=\vec{k}_i\left(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}\right)n_j\nabla_mA_n= \vec{k}_i\delta_{im}\delta_{jn}n_j\nabla_mA_n-\vec{k}_i\delta_{in}\delta_{jm}n_j\nabla_mA_n=$ $=\vec{k}_i n_j \nabla_i A_j-\vec{k}_in_j\nabla_j A_i=\vec{k}_i\nabla_i(n_jA_j)-\vec{k}(n_j\nabla_j)A_i =\nabla(\vec{n}\vec{A})-(\vec{n}\nabla)\vec{A}$

(10.41)

Zatem na podstawie (10.41) otrzymujemy tożsamość:

$\vec{n}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{n}\vec{A})-(\vec{n}\nabla)\vec{A}$

(10.42)

Zatem względem prawa (10.10) wektor potencjału wektorowego jest równoległy do płaszczyzny granicy pomiędzy ośrodkami dla punktu blisko jej, bo wtedy w przybliżeniu możemy przyjąć w tym małym punkcie prąd płynie w płaszczyźnie płaskiej i z właściwości wektora jednostkowego $\vec{n}\;$, który jest prostopadły do powierzchni, w której płynie prąd w danym punkcie i stąd otrzymujemy warunki prostopadłości:$_{\vec{n}\bot\vec{A}_{nad}}$ i $_{\vec{n}\bot\vec{A}_{pod}}$, a także z definicji podwójnego iloczynu wektorowego, który można rozłożyć na dwa składniki, w których występują tylko iloczyny skalarne i mnożenie przez liczbę:

$\vec{n}\times(\vec{K}\times\vec{n})=\vec{K}(\vec{n}\vec{n})-\vec{n}(\vec{K}\vec{n})=\vec{K}$

(10.43)

Wzór (10.40) na podstawie omawianych warunków prostopadłości wektora $\vec{A}\;$ do wektora jednostkowego, która jest jednocześnie prostopadła do danego punktu na naszej powierzchni, w której płynie prąd elektryczny o danej gęstości prądu $\vec{K}\;$ i z tożsamości (10.43), otrzymujemy:

$-(\vec{n}\nabla)(\vec{A}_{nad}-\vec{A}_{pod})=\mu_0\vec{K}$

(10.44)

Z definicji pochodnej kierunkowej jako różniczkowanie wzdłuż wektora jednostkowego prostopadłego do granicy między dwoma ośrodkami należy przyjąć:

$\vec{n}\nabla={{\partial}\over{\partial \vec{n}}}$

(10.45)

wtedy wzór (10.44), a także z tożsamości na pochodną kierunkową wzdłuż wektora $\vec{n}\;$ wedle (10.45), i zastępując we przedostatnim wzorze wyrażeniem występujące w ostatnim równaniu, a właściwie jego lewą stronę przedostatniego równania zastępujemy przez jego prawą stronę ostatniego równania, zatem mamy prawo powiedzieć:

${{\partial \vec{A}_{nad}}\over{\partial\vec{n}}}-{{\partial \vec{A}_{pod}}\over{\partial\vec{n}}}=-\mu_0\vec{K}$

(10.46)

Jest to warunek brzegowy na zmianę potencjału wektorowego w danym punkcie na granicy między dwoma ośrodkami, jeśli na tej granicy płynie prąd o gęstości prądu $\vec{K}\;$.

Elementarne właściwości materii w polu magnetycznym

W tym rozdziale zapoznamy się na jakie kryteria dzielimy substancje ze względu na oddziaływania z polem magnetycznym. Wprowadzimy małą teorię jak oddziaływuje pojedynczy dipol z polem magnetycznym zewnętrznym, jaka jest jego energia w tymże polu magnetycznym, i co to jest magnetyzacja ośrodka, która powstaje w wyniku oddziaływania w tymże polu.

Rodzaje magnetyków

Magnetyk jest to substancja, która różnie zachowuje się pod wpływem pola magnetycznego.

Diamagnetyki

Pole magnetyczne wytwarzane przez te substancje jest przeciwne skierowane do kierunku pola zewnętrznego, ale o takim samym kierunku, czyli zatem diamagnetyki osłabiają zewnętrzne pole magnetyczne. Gdy pole magnetyczne zewnętrzne znika, to również pole magnetyczne diamagnetyków wywarzanych na skutek zewnętrznego pola magnetycznego wyniku polaryzacji tego magnetyka też znika.

Paramagnetyki

Pole magnetyczne wytwarzane przez te substancję jest zgodne do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. Te substancje umacniają pole magnetyczne zewnętrzne, którego pole tych magnetyków powstałe jest w wyniku polaryzacji w zewnętrznym polu magnetycznym. Podobnie jak przy diamagnetykach, gdy pole zewnętrze znika, to również pole wytwarzane przez te substancję też znika.

Ferromagnetyki

Są to substancje, które zachowują swoje namagnesowanie nawet wtedy, gdy pole zewnętrzne znika. Teoria jak zachowują się te substancję zależy od historii namagnesowania tychże substancji, i wartości pola indukcji magnetycznej pola zewnętrznego. Jest to pętla histerezy.

Pętla histerezy dla magnetyków, os odciętych to natężenie pola zewnętrznego, os rzędnych to namgnasowanie ferromagnetyka

Załóżmy, że ferromagnetyk wcale nie jest namagnesowany, odpowiada to na wykresie punktowi (B,H)=(0,0). Początkowo zwiększajmy pole magnetyczne zewnętrzne, wtedy zwiększa się namagnesowania ferromagnetyka, to można robić do maksymalnego punktu na wykresie. Wtedy można zmniejszyć to pole zewnętrzne aż do zera, wtedy pozostaje namagnesowanie mimo nie istnienia pola zewnętrznego, mimo że ono jest niezerowe. Samo pole ferromagnetyka jest to namagnesowanie resztkowe. Zmieniając pole zewnętrzne, tym razem by było ono przeciwne, i dalej zwiększając to pole w kierunku przeciwnym dochodzi znów do maksymalnej wartości. Następnie można zmniejszyć to pole zewnętrzne aż do wartości zerowej. Dochodzimy znów do namagnesowania resztkowego ferromagnetyka. Znów zmieniając kierunek namagnesowania możemy dojść do maksymalnego namagnesowania maksymalnego i tak dalej.

Pętla histerezy składa się z czterech ćwiartek. Ćwiartka II i IV są ćwiartkami trwałych magnesów.

Momenty sił i same siły działające na dipol magnetyczny

Ramka w polu magnetycznym

Aby nastąpił obrót ramki wokół osi iksowej, to musi być niezerowy moment siły działający na ramkę. Jedynymi niezerowymi momentami są to momenty działające na prawą i lewą część ramki. Moment siły działający na lewy przewód ramki ma moment siły jest o wartości:

$N_{nad}=F{{a}\over{2}}\sin\theta\;$

(11.1)

Moment siły działający na lewy przewód ma taką samą wartość jak w punkcie (11.1) i wynosi:

$N_{pod}=F{{a}\over{2}}\sin\theta\;$

(11.2)

Zwrot i kierunek momentu siły działający na lewy lub prawy przewód ramki jest taki sam, zatem wartość całkowitego momentu siły działający działający na ramkę wynosi:

$N=N_{nad}+N_{pod}=F{{a}\over{2}}\sin\theta+F{{a}\over{2}}\sin\theta=Fa\sin\theta\;$

(11.3)

Przyjmować będziemy, że wartość siły działającą na lewą lub prawą część ramki obliczonej wedle wzoru (8.9) dla naszego przypadku jest:

$F=IlB\;$

(11.4)

bo lewy i prawy przewód ramki jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej B pola magnetycznego. A zatem moment siły (11.3), na podstawie siły magnetycznej zdefiniowanej wedle wzoru (11.4), jest równy:

$N=IlBa\sin\theta=(la)IB\sin\theta=SIB\sin\theta\;$

(11.5)

Jeśli przyjmować będziemy, że iloczyn m=SI jest tak zwanym momentem magnetycznym, zatem wyrażenie (11.5) na moment siły działającej na ramkę, korzystając z definicji momentu magnetycznego, jest wyrażony:

$N=mB\sin\theta\;$

(11.6)

Wektor momentu siły o wartości (11.6), znając jego kierunek i zwrot, możemy wyrazić:

$\vec{N}=\vec{m}\times\vec{B}\;$

(11.7)

W magnetyzmie istnieje coś takiego, że wektor momentu siły stara się by był on ustawiony zgodnie z wektorem indukcji magnetycznej pola magnetycznego. To zjawisko nazywamy paramagnetyzmem.

Policzmy siłę całkowitą działający na dipol elektryczny w niejednorodnym polu magnetycznym na lewą i prawą część ramki dipola magnetycznego, zatem moment dipolowy jest stały, a także korzystając z prawa Stokesa dla pola magnetycznego wiedząc, że rotacja natężenia prądu magnetycznego zawierającego jakąś liczbę takich dipoli magnetycznych jest równa zero, stąd gęstość prądu jest równa zero w tejże objętości, oraz wykorzystując prawo Gaussa można powiedzieć:

$\vec{F}=\vec{F}_{+}+\vec{F}_{-}= I\vec{l}\times\left(\vec{B}_+-\vec{B}_-\right)= I\vec{l}\times\delta\vec{B}=I\vec{l}\times \left[(\vec{a}\cdot\operatorname{div})\vec{B}\right]= I\left(\vec{a}\cdot\operatorname{div}\right)\left(\vec{l}\times\vec{B}\right)=\;$ $= I\operatorname{grad}\left[\vec{a}\cdot\left(\vec{l}\times\vec{B}\right)\right]=I\operatorname{grad}\left[\vec{B}\left(\vec{a}\times\vec{l}\right)\right]=I\operatorname{div}\left(\vec{B}\cdot\vec{S}\right)= I\left(\vec{S}\cdot\operatorname{div}\right)\vec{B}=\;$ $=\left[\left(I\vec{S}\right)\cdot\operatorname{div}\right]=\left(\vec{m}\cdot\operatorname{div}\right)\vec{B}$

(11.8)

Całkowita siła działająca na dipol elektryczny w magnetycznym niejednorodnym polu magnetycznym jest równa:

$\vec{F}=\left(\vec{m}\cdot\operatorname{div}\right)\vec{B}$

(11.9)

Jeśli w niejednorodnym polu magnetycznym całkowity moment sił działający na ramkę z prądem jest (11.7) przy wartości siły działającą na lewą i prawą część ramki (11.9), wtedy całkowity moment siły jest równy sumie momentów sił działających na ramkę i na środek masy ramki dla której siła jest napisana wzorem (11.9):

$\vec{N}=\vec{m}\times\vec{B}+\vec{r}\times\vec{F}$

(11.10)

• gdzie:$\vec{F}$ jest to siła obliczone w (11.9).

Energia dowolnego dipola magnetycznego

Mając wzór na moment siły działający na ramkę z prądem, możemy policzyć jego energię, ale przedtem policzmy jaką wykonuje pracę ramka z prądem przy obrocie jego o kąt $d\vec{\alpha}\;$, napiszmy jaka jest praca sił o obrocie ramki od kąta π/2, w której przyjmujemy energię ramki za zero, do kąta α:

$U=\int^{\alpha}_{{{\pi}\over{2}}} dW=\int^{\alpha}_{{{\pi}\over{2}}}\vec{N}d\vec{\alpha}= \int^{\alpha}_{{{\pi}\over{2}}}\left(\vec{m}\times\vec{B}\right)d\vec{\alpha}= \int^{\alpha}_{{{\pi}\over{2}}}mB\sin\alpha d\alpha= mB[-\cos\alpha]^{\alpha}_{{{\pi}\over{2}}}=$ $=-mB\cos\alpha=-\vec{m}\cdot\vec{B}$

(11.11)

Dochodzimy do wniosku, że energia dowolnego dipola na podstawie obliczeń (11.11) jest napisana:

$U=-\vec{m}\cdot\vec{B}$

(11.12)

Widzimy, że energia dipola elektrycznego jest równa iloczynowi skalarnemu momentu dipolowego magnetycznego przez wektor indukcji pola magnetycznego.

Orbity atomowe a wpływ na niego w obecności pola magnetycznego

Ramka w polu magnetycznym

Elektrony oprócz spinu są wyposażoną w moment pędu, dzięki któremu krążą wokół jądra. Natężeniem prądu elektronów można napisać jako iloraz ładunku elektrycznego posiadającego przez elektron przez okres obiegu elektronu wokół własnej orbity kołowej:

$I={{e}\over{T}}$

(11.13)

Z definicji prędkości, z którą elektron krąży na obicie kołowej można wyznaczyć z tego wzoru odwrotność okresu, w której elektron okrąży całą orbitę:

$v={{2\pi R}\over{T}}\Rightarrow {{v}\over{2\pi R}}={{1}\over{T}}$

(11.14)

Natężenie prądu (11.13) jest równe na podstawie końcowego wzoru na odwrotność okresu (11.14) pomnożonej przez ładunek elektronu:

$I={{ev}\over{2\pi R}}$

(11.15)

Z definicji momentu dipolowego, a w nim natężenie prądu jest zdefiniowane wedle (11.15), gdy wiadomo, że S jest kołem o promieniu okręgu r, na którym porusza się elektron, wynika:

$m=S I=\pi R^2 {{ev}\over{2\pi R}}={{1}\over{2}}evR$

(11.16)

Moment dipolowy jest wyrażony wektorowo uwzględniając znak ujemny ładunku elektronu, gdy wiadomo, że jego wartość jest wyrażona wedle wzoru (11.16), a zwrot i kierunek jest zgodny z osią zetową:

$\vec{m}=-{{1}\over{2}}evR\hat{z}$

(11.17)

W nieobecności pola magnetycznego równanie ruchu elektronu na orbicie kołowej, na której elektron pędzi z prędkością v, jest przedstawiony:

${{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{e^2}\over{R^2}}=m_e{{v^2}\over{R}}$

(11.18)

Jeśli w prowadzimy pole magnetyczne jako prostopadłe do płaszczyzny ruchu elektronów na swoich orbitach, wtedy jego równanie ruchu jest w postaci:

${{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{e^2}\over{R^2}}+e\overline{v}B=m_e{{\overline{v}^2}\over{R}}$

(11.19)

Można odejmować równanie (11.10) od równania (11.19) dla tego samego promienia r, na którym torze porusza się elektron, wtedy otrzymujemy tożsamość:

$e\overline{v}B={{m_e}\over{R}}(\overline{v}^2-v^2)\Rightarrow e\overline{v}B={{m_e}\over{R}}(\overline{v}+v)(\overline{v}-v)$

(11.20)

Oznaczmy jako różnice prędkości elektronu na tej samej orbicie, gdy mamy pole magnetyczne prostopadłe do płaszczyzny orbity i bez pola magnetycznego, zatem $\delta v=\overline{v}-v$, jako, że ta zmiana jest mała, to można również napisać$v\simeq\overline{v}$, otrzymujemy:

$e\overline{v}B={{m_e}\over{R}}2\overline{v}\delta v\Rightarrow eB={{2m_e}\over{R}}\delta v\Rightarrow\delta v={{eBR}\over{2m_e}}$

(11.21)

Zmiana prędkość na orbicie oznacza zmianę momentu dipolowego magnetycznego:

$\delta \vec{m}=-{{1}\over{2}}e(\delta v)R\hat{z}\Rightarrow \delta \vec{m}=-{{1}\over{2}}e{{eB}\over{2m_e}}R\hat{z}\Rightarrow \delta \vec{m}=-{{eBR^2}\over{4m_e}}\hat{z}$

(11.22)

Zmiana momentu dipolowego, jeśli skorzystamy z równania (11.17) i policzymy jego zmianę w polu magnetycznym o wspomnianym kierunku i bez pola, to wtedy podstawiając do niego zmianę prędkości końcowego wyniku (11.22), przestawia się:

$\delta \vec{m}=-{{eBR^2}\over{4m_e}}\hat{z}$

(11.23)

Zmiana momentu magnetycznego elektronu krążącego wokół jądra z i bez pola jest zależna od wartości indukcji pola magnetycznego i promienia toru elektronu, który jest okręgiem.

Magnetyzacja substancji magnetycznych pod wpływem pola magnetycznego

Załóżmy, że każda cząsteczka stanowi jakoby ramkę z prądem, w którym płynie pewien prąd, to wtedy jego moment magnetyczny dipolowy wynosi:$\vec{m}$. Pod wpływem pola magnetycznego cząsteczki ustawiają w ściśle określony sposób, którego całkowity moment dipolowy ciała w objętości V, której znajduje się jakoby N ramek (dipoli magnetycznych), jest równy:

$\vec{M}_c=\sum^N_{i=1} \vec{m}_i$

(11.24)

Moment dipolowy ciała może się zmieniać w zależności od natężenia pola magnetycznego panującego w danym ośrodku polaryzacyjnym:

$\vec{M}_c=\gamma\vec{H}\;$

(11.25)

• skalarny współczynnik proporcjonalności γ nazywamy polaryzowalnością magnetyczną .

Całkowity moment magnetyczny jest zależny w ogólności od kierunku prostopadłego i równoległego wyróżnionego w danym ciele magnetycznym i zależy od natężenia pola magnetycznego, który działa na ciało spolaryzowane magnetycznie, który jest zapisany:

$\vec{M}_c=\gamma_{||}\vec{H}_{||}+\gamma_{\bot}\vec{H}_{\bot}\;$

(11.26)

• gdzie parametry $\alpha_{\bot}\;$ i $\alpha_{||}\;$ są to wielkości stałe, lub bardzie ogólnie można zapisać zależność (11.26) w sposób:

$\vec{M}_c=\hat{\gamma}\vec{H}\;$

(11.27)

Widać w ogólności, że z (11.27), że moment dipolowy ciała nie jest w ogólności równoległy do natężenia pola magnetycznego $\vec{H}\;$.

• gdzie $\hat{\alpha}\;$ jest pewnym tensorem (macierzą 3x3).

Wyznaczmy jaki jest moment dipolowy w danym nieskończenie małej objętości ciała spolaryzowanego wedle wzoru (11.27):

$d\vec{M}_c=d\hat{\gamma}\vec{H}\;$

(11.28)

Załóżmy, że moment dipolowy w objętości ΔV jest równy:$\Delta\vec {M}_c$, a więc jego magnetyzacja (namagnesowanie, polaryzacja magnetyczna) jest równa liczbowo momentowi dipolowemu ciała spolaryzowanego magnetycznie (1.24) znajdującego w jednostce objętości i jest definiowana:

$\vec{M}=\lim_{\Delta V\rightarrow 0}{{\Delta \vec{M}_c}\over{\Delta V}}={{d\vec{M}_c}\over{dV}}$

(11.29)

Ogólnie rzecz mówiąc polaryzacja jest to stosunek infinitezymalnego momentu dipolowego znajdującego się w nieskończenie małej objętości dV przez tą właśnie objętość. Wykorzystamy definicję polaryzacji magnetycznej (11.29) i podstawimy do niego wzór (11.28), wtedy dostajemy wyrażenie:

$\vec{M}={{d\hat{\gamma}}\over{dV}}\vec{H}\Rightarrow\vec{M}=\hat{\chi}\vec{H}\;$

(11.30)

Widzimy, że wektor polaryzacji nie jest w ogólności równoległy do wektora natężenia pola magnetycznego. Gdy dla danego magnetyka zachodzi $\hat{\chi}=\chi\hat{I}\;$, wtedy wektor magnetyzacji ośrodka w danym punkcie jest równoległy do wektora natężenia pola magnetycznego, i taki magnetyk nazywamy liniowym.

Prądy związane z polem namagnesowanego ciała

Pod wpływem pola magnetycznego zewnętrznego, powstają tak zwane prądy związane, które modyfikują z kolei pole otaczające to nasze ciało i wewnątrz tego ciała nazywanego ciałem spolaryzowanym magnetycznie.

Prądy związane w namagnesowanej substancji pod wpływem pola magnetostatycznego

Zajmować się będziemy się ciałem spolaryzowanym magnetycznie pod pływem pola magnetycznego zewnętrznego, wiemy jednak, że potencjał magnetyczny znajdujący się w pewnym punkcie jest wytwarzany przez prąd kołowy mający pewien moment magnetyczny $\vec{m}\;$, jest on opisany wzorem (10.25). Jeśli ciało składa się z nieskończenie małych momentów dipolowych $d\vec{m}\;$, a w praktyce bardzo małych, to potencjał wektorowy jest opisany:

$\vec{A}(\vec{r})= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{d\vec{m}\times\hat{\vec{R}}} \over{R^2}}\;$

(12.1)

Moment magnetyczny nieskończenie małego elementu możemy wyrazić poprzez jego magnetyzację (11.29) w tymże punkcie:

$d\vec{m}=\vec{M}dV\;$

(12.2)

Podstawiając wzór (12.2) do (12.1) za nieskończenie mały moment dipolowy i całkując go po całej objętości ciała spolaryzowanego magnetycznie, wtedy potencjał wektorowy w danym punkcie jest równy:

$\vec{A}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int \left(\vec{M}\times{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right)dV\;$

(12.3)

Jednakże korzystając ze wzoru (7.4), wtedy potencjał wektorowy (12.3) możemy przepisać po tych omawianych podstawieniach:

$\vec{A}(\vec{r})=-{{\mu_0}\over{4\pi}}\int \left(\vec{M}\times\left(\nabla{{1}\over{R}}\right)\right)dV\;$

(12.4)

Aby dokonać następnych przekształceń dokonajmy obliczeń pomocniczych, które będą bardzo nam potrzebne do przekształcenia całki występującej w (12.4):

$\nabla\times{{\vec{M}}\over{R}}=\vec{k}_i\epsilon_{ijk}\nabla_j{{M_k}\over{R}}= \vec{k}_i\epsilon_{ijk}M_k\nabla_j{{1}\over{R}}+\vec{k}_i\epsilon_{ijk}{{1}\over{R}}\nabla_j M_k=\;$ $=\nabla{{1}\over{R}}\times\vec{M}+{{\nabla\times\vec{M}}\over{R}}= -\vec{M}\times\nabla{{1}\over{R}}+{{\nabla\times\vec{M}}\over{R}}$ $\nabla\times{{\vec{M}}\over{R}}=-\vec{M}\times\nabla{{1}\over{R}}+{{\nabla\times\vec{M}}\over{R}}\Rightarrow \vec{M}\times\nabla{{1}\over{R}}=-\nabla\times{{\vec{M}}\over{R}}+{{\nabla\times\vec{M}}\over{R}}$

(12.5)

Wzór ostatni wynikowy wynikających z obliczeń na pochodnych (12.5) podstawiamy do równania (12.4) za jego funkcję podcałkową, wtedy dostajemy inne równoważne równanie na potencjał wektorowy wytwarzanych przez układ dipoli magnetycznych w ciele spolaryzowanych, zapisujemy te dysputy wedle:

$\vec{A}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int\left\{-\left(\nabla\times{{\vec{M}}\over{R}}\right)dV +{{1}\over{R}}\left(\nabla\times\vec{M}\right)dV \right\};$

(12.6)

Udowodnijmy pewny lemat, korzystające z twierdzenia Ostrogradskiego Gaussa zastępując w tym twierdzeniu wektor $\vec{v}\;$ przez wektor w postaci iloczynu wektorowego $\vec{v}\times\vec{c}\;$, dostając:

$\int \nabla \vec{v} dV=\oint v d\vec{S}\Rightarrow \int \nabla\left(\vec{v}\times\vec{c}\right)dV=\int \left(\vec{v}\times\vec{c}\right)d\vec{S}\Rightarrow \int \nabla\left(\vec{v}\times\vec{c}\right)dV=-\vec{c}\oint\vec{v}\times d\vec{S}\;$

(12.7)

Jeszcze udowodnimy następny wniosek tak by przekształcić lewą stronę funkcji podcałkowej ostatniej równości (12.7):

$\nabla\left(\vec{v}\times\vec{c}\right)=\epsilon_{ijk}\nabla_iv_jc_k=c_k\epsilon_{kij}\nabla_i v_j=\vec{c}\left(\nabla\times\vec{v}\right)\;$

(12.8)

Wniosek (12.8) używamy do końcowego wzoru (12.7) do jego lewej strony dla funkcji podcałkowej, i z dowolności stałej wektorowej $\vec{c}\;$ możemy napisać, że:

$\vec{c}\int \left(\nabla\times\vec{v}\right) dV=-\vec{c}\oint\vec{v}\times d\vec{S}\Rightarrow \int \left(\nabla\times\vec{v}\right) dV=-\oint\vec{v}\times d\vec{S}\;$

(12.9)

Wniosek (12.9) możemy wykorzystać dla pierwszej całki w (12.6) zamieniając całkowaniem po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia, na całkowanie po tej powierzchni, zatem ten wzór możemy zapisać:

$\vec{A}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\nabla\times\vec{M}}\over{R}}dV+ {{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{M}\times\vec{n}}\over{R}}dS\;$

(12.10)

Z drugiej strony potencjał wektorowy zależy od prądów objętościowych i powierzchniowych, czyli łącząc wzór na potencjał wektorowy pochodzących od prądów objętościowych ale związanych i potencjał wekorowy pochodzący od prądów powierzchniowych, to całkowity potencjał wektorowy będący sumą tychże wspomnianych potencjałów wektorowych jest zapisywany:

$\vec{A}(\vec{r})={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{J}_{zw}}\over{R}}dV+ {{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{K}_{zw}}\over{R}}dS\;$

(12.11)

Możemy porównać wzory (12.11), który wynika z bezpośredniej definicji potencjału wektorowego w danym punkcie pochodzących od prądów objętościowych i powierzchniowych z (12.10). Wiedząc że cały układ ciała spolaryzowanego składa się z małych dipoli magnetycznych w praktyce bardzo małych, a matematycznie uważa się je za nieskończenie małe, zatem prądy powierzchniowe i objętościowe ale związane przedstawiają się według:

$\vec{J}_{zw}=\nabla\times\vec{M}\;$ (12.12)

$\vec{K}_{zw}=\vec{M}\times\vec{n}\;$ (12.13)

Doszliśmy do wniosku, że prądy związane powierzchniowe i objętościowe zależą bardzo silnie od namagnesowania badanej substancji.

Natężenie pola magnetycznego a prawo Ampere'a w materiałach magnetycznych

Całkowite natężenie prądu w magnetycznej substancji jest równe prądom objętościowych związanych i swobodnych w danym punkcie przestrzeni wynikających z sumowania natężeń prądów, a to z addytywności infinitezymalnych ładunków płynących w bardzo małej objętości dV.

$\vec{J}=\vec{J}_{zw}+\vec{J}_{sw}\;$

(12.14)

Prawo Stokesa dla pola magnetycznego (9.14), który jest definicją całkowitego prądu objętościowego płynącego w danym elemencie nieskończenie małej objętości, możemy napisać:

$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}\Rightarrow \nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\vec{J}_{zw}+\vec{J}_{sw}\right)\;$

(12.15)

Dokonując pewnych przekształceń w (12.15), biorąc wszystkie wyrazy stojące po prawej stronie przenosząc na jej lewą stronę oprócz gęstości prądów związanych i wykorzystując tożsamość (12.12), wtedy można:

$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\nabla\times\vec{M}+\vec{J}_{sw}\right)\Rightarrow\nabla\times\left(\vec{B}-\mu_0\vec{M}\right)=\mu_0\vec{J}_{sw}\Rightarrow\nabla\times\left({{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}\right)=\vec{J}_{sw}\;$

(12.16)

Z definiujmy natężenie pola magnetycznego $\vec{H}\;$ przez indukcję pola magnetycznego i namagnesowania w danym punkcie przestrzeni:

$\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}\;$

(12.17)

co jest równoważne wyznaczając z (12.17) wektor indukcji pola magnetycznego, który jest funkcją jak się przekonamy natężenia pola magnetycznego i namagnesowania ciała w danym punkcie przestrzeni:

$\mu_0\left(\vec{H}+\vec{M}\right)=\vec{B}\;$

(12.18)

Podstawmy definicję natężenia pola magnetycznego (12.17) do końcowego wzoru (12.16), wtedy dostajemy wyrażenie:

$\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{zw}\;$

(12.19)

Prawo (12.19), które jest słuszne dla spolaryzowanego magnetycznie ciała w postaci różniczkowej, to najpierw całkując je obustronnie po powierzchni ograniczonej przez pewną zamknięty kontur i zamieniając lewą stronę całki wedle twierdzenia Stokesa na całkowanie po tym konturze i z definicji gęstości prądu elektrycznego (8.6) dla prądów związanych wspomniane prawo zapisujemy w postaci całkowej:

$\int_K \nabla\times\vec{H}d\vec{S}=\int\vec{J}_{zw}d\vec{S}\Rightarrow \oint\vec{H}d\vec{l}=I_{zw}\;$

(12.20)

Jest to prawo Ampere'a dla spolaryzowanego magnetycznie ciała pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego.

Natężenie pola magnetycznego a prawo Gaussa

Wyznaczmy czemu jest równe dywergencja natężenia pola magnetycznego zdefiniowanego wedle wzoru (12.17), korzystając z prawa Gaussa dla tego samego pola (9.7) możemy udowodnić, że ono jest równe dywergencji namagnesowaniu ciała określających w danym punkcie ze znakiem minus:

$\operatorname{div}\vec{H}=\operatorname{div}\left({{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}\right)= {{1}\over{\mu_0}}\operatorname{div}\vec{B}-\operatorname{div}\vec{M}=-\operatorname{div}\vec{M}\;$

(12.21)

W (12.21) nie jest oczywiste, że $\operatorname{div}\vec{M}\;$ jest równe dla ogólności zero, a jak się można przekonać jest ono równe zero dla magnetyków liniowych. Prawo (12.21) możemy zapisać w postaci całkowej wedle:

$\int_V\operatorname{div}\vec{H}=-\int_V\operatorname{div}\vec{M}\Rightarrow\oint\vec{B}d\vec{S}=-\oint\vec{M}d\vec{S}\;$

(12.22)

Warunki brzegowe a substancje magnetyczne

Natężenie pola magnetycznego a magnetyzacja

Obierzmy sobie pewien bardzo mały prostopadłościan, którego podstawy są równoległe do granicy między dwoma ośrodkami magnetycznymi na małym wycinku powierzchni tej granicy, wtedy ten wycinek przypomina płaską płaszczyznę, na którym jest położony prostopadłościan z czego będziemy korzystali, a ścianki boczne są do tej powierzchni prostopadłe, zakładamy, że pola wszystkich ścianek dążą do zera, którego podstawy mają takie pole że stosunek pola dowolnej ścianki bocznej przez pole dowolnej podstawy dąży do zera, zatem jedynymi niezerowymi strumieniami natężenia pola magnetycznego i namagnesowania są strumienia pochodzące od podstaw, które będziemy uwzględniać, bo strumienia pochodzące od podstaw są nieskończenie duże od strumieni pochodzących od ścianek bocznych, zatem prawo wedle końcowego wzoru (12.22) przy pominięciu wyrazów pochodzące od ścianek bocznych, bo ich pola są nieskończenie małe od pól podstaw, a mianowicie też ich strumienie, zatem zapisujemy prawo Gaussa dla naszego prostopadłościanu:

$H^{\bot}_{nad}S-H^{\bot}_{pod}S=-(M^{\bot}_{nad}S-M^{\bot}_{pod}S)\Rightarrow H^{\bot}_{nad}-H^{\bot}_{pod}=-(M^{\bot}_{nad}-M^{\bot}_{pod}) \;$

(12.23)

Zastosowanie prawa Ampera

Obierzmy sobie mały prostokąt, którego powierzchnia jest prostopadła do powierzchni małego wycinka granicy między ośrodkami spolaryzowanymi, tak by ten wycinek przypominał płaską płaszczyznę, z czego skorzystamy na rysunku obok:

$H^{||}_{nad}l-H^{||}_{pod}l=I_{sw}\;$

(12.24)

Gęstość prądu powierzchniowego (8.10), które też można zapisać równoważnie w postaci, gdy l jest małe, ale na tyle duże od boków bocznych prostokąta, czyli tą wielkość zapisujemy wedle sposobu$K_{sw}={{I_{sw}}\over{l}}\;$, to podzielmy równanie (12.24) przez długość boku górnego lub dolnego, które są sobie równe, czyli przez l, a zatem z wspomnianej definicji gęstości prądu powierzchniowego, jest:

$H^{||}_{nad}-H^{||}_{pod}=K_{sw}\;$

(12.25)

Równanie (12.25) możemy również zapisać w postaci wektorowej:

$\vec{H}^{||}_{nad}-\vec{H}^{||}_{pod}=\vec{K}_{sw}\times\vec{n}\;$

(12.26)

• gdzie :$\vec{n}\;$ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny na której płynie prąd na granicy pomiędzy dwoma ośrodkami.

Ciała magnetyczne liniowe, podatność i przenikalność magnetyczna

Zajmować się tu substancjami, w których występuje liniowe zachowanie natężenia pola magnetycznego od jej magnetyzacji dla ciała spolaryzowanego magnetycznie:

$\vec{M}=\chi\vec{H}\;$

(12.27)

• gdzie χ jest to podatność magnetyczna dla pola magnetycznego.

Z definicji indukcji magnetycznej, zależności od namagnesowania i natężenia pola magnetycznego (12.18) można je zapisać wiedząc, że namagnesowanie ciała w danym punkcie jest według (12.27), zapisujemy go wynikających z jego definicji:

$\vec{B}=\mu_0\left(\vec{H}+M\right)=\mu_0\left(\vec{H}+\chi\vec{H}\right)= \mu_0(1+\chi)\vec{H}\;$

(12.28)

Z definiujmy sobie względną przenikalność magnetyczną występującą w (12.28) wedle sposobu:

$\mu_r=1+\chi\;$

(12.29)

Wyrażenie na indukcję pola magnetycznego w zależności od jego natężenia (12.28) przy definicji względnej przenikalności magnetycznej (12.29) można zapisać:

$\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}\;$

(12.30)

Jeśli zdefiniujemy przenikalność magnetyczną ośrodka liniowego:

$\mu=\mu_0\mu_r\;$

(12.31)

wtedy wzór (12.30) na podstawie definicji przenikalności magnetycznej (12.31) można zapisać:

$\vec{B}=\mu\vec{H}\;$

(12.32)

Jak widać, że kierunek i zwrot wektora indukcji magnetycznej i natężenia pola magnetycznego są ze sobą zgodne dla ciał magnetycznych linowych.

Jeśli prąd objętościowy związany zdefiniowany w zależności od jego magnetyzacji jest napisany wedle wzoru (12.12), korzystając ze wzoru (12.27) dla ciał liniowych magnetycznie, powiemy:

$\vec{J}_{zw}=\nabla\times\vec{M}=\nabla\times\left(\chi\vec{H}\right)=\chi\nabla\times\vec{H}=\chi J_{sw}\;$

(12.33)

Widzimy, że wedle wniosków wynikających z (12.33), gdy nie ma prądów swobodnych objętościowych, to gęstość prądów związanych objętościowych też jest równa zero.

Przewodnik z prądem elektrycznym

Tutaj przedstawimy wszystko co jest związane z prądem, jakie są jego prawa. Dlaczego przewodnik przewodzi prąd.

Prawo Ohma

W przewodniku z prądem gęstość prądu płynącego w nim jest proporcjonalna do siły działający na jednostkowy ładunek na nośniki prądu znajdujących się w rozważanym przewodniku. ta zależność jest pisana:

$\vec{J}=\sigma\vec{f}$

(13.1)

W naszym przypadku σ, nosi nazwę przewodności elektrycznej właściwej, a jego odwrotność nazywamy opornością właściwą zdefiniowanej wedle:

$\rho={{1}\over{\sigma}}$

(13.2)

Siła $\vec{f}\;$ działająca na jednostkowy ładunek definiujemy jako siłę Lorentza napisanej wedle sposobu (8.3):

$f=\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}$

(13.3)

Zazwyczaj prędkość ładunków jest mała, to można powiedzieć, że wyrażenie (13.3) w przybliżeniu jest równoważne proporcjonalności $f\simeq \vec{E}$, zatem prawo Ohma (13.1) przy ostatnio powiedzianym przybliżeniu, które zachodzi dla wzoru (13.3) jest wedle równania:

$\vec{J}=\sigma\vec{E}$

(13.4)

Widzimy, że gęstość prądu jakie płynie przewodniku jest wprost proporcjonalne do natężenia pola elektrycznego. Prawo (13.4) jest również nazywamy różniczkowym prawem Ohma.

Współczynnik przewodnictwa właściwego

Prędkość ruchu termicznego w temperaturze T jest v_temp, a średnia droga swobodna jest λ, jest to droga przebyta od jednego rdzenia atomowego do innego, a ten czas tej drogi z definicji prędkości jest równy:

$v_{term}={{\lambda}\over{t}}\Rightarrow t={{\lambda}\over{v_{term}}}$

(13.5)

Od jednego rdzenia do drugiego elektron porusza się ruchem jednostajnym przyspieszonym, z prędkością średnią:$_{v_{sr}={{1}\over{2}}at}$. Zakładamy, że elektron po zderzeniu z rdzeniem traci całkowicie swoją prędkość (energię kinetyczną). A więc jego prędkość średnia na tej drodze definiujemy wedle:

$v_{sr}={{1}\over{2}}a{{\lambda}\over{v_{term}}}={{a\lambda}\over{2v_{term}}}$

(13.6)

Możemy skorzystać z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyrazić przyspieszenie cząstki w zależności od niezrównoważonej siły i masy elektronu, zatem równanie (13.6) przyjmuje kształt:

$v_{sr}={{F\lambda}\over{2mv_{term}}}$

(13.7)

Możemy skorzystać z definicji siły elektrostatycznej w zależności od jego natężenia pola (1.2), wtedy ten wzór na siłę podstawiamy do wzoru (13.7), wtedy dostajemy:

$v_{sr}={{E q\lambda}\over{2mv_{term}}}$

(13.8)

Gęstość prądu definiujemy wedle wzoru (8.7), w których "n" jest koncentracją elektronów, z których każda ma f elektronów, przestawia się:

$J=qnfv_{sr}\;$

(13.9)

Do wzoru (13.9) za prędkość średnią podstawiamy wyrażenie (13.8), które jest zależne od natężenia pola elektrycznego panującego w przewodniku i innych wielkości, zatem:

$J=qn{{E q\lambda}\over{2mv_{term}}}\Rightarrow J={{q^2f\lambda n}\over{2mv_{term}}}E\Rightarrow\vec{J}={{q^2f\lambda n}\over{2mv_{term}}}\vec{E}$

(13.10)

Przewodność elektryczna jest zdefiniowana tak, że porównując wzory (13.10) z formułą (13.4), dostajemy:

$\sigma={{q^2f\lambda n}\over{2mv_{term}}}$

(13.11)

Widzimy, że przewodność elektryczna jest wielkością stałą dla danej temperatury przewodzącego przewodnika.

Definicja SEM-siły elektromotorycznej

Załóżmy, że mamy obwód elektryczny wraz ze źródłami prądu elektrycznego. W dowolnym punkcie takiego obwodu można powiedzieć, że całkowita siła działająca na jednostkę ładunku elektrycznego jest równa polu elektrycznemu jakie panuje w danym miejscu przewodnika i siły na jednostkę ładunku odpowiedzialny za przepływ prądu pochodzący od źródła elektrycznego:

$\vec{f}=\vec{f}_{\mbox{źr}}+\vec{E}\;$

(13.12)

• gdzie:$\vec{f}_{\mbox{źr}}\;$, jest to siła podtrzymująca prąd elektryczny w obwodzie, ale $\vec{f}\;$ jest to całkowita siła na jednostkę ładunku, działająca na ładunek w danym punkcie obwodu elektrycznego.

Definicja siły elektromotorycznej określa się jako całkę okrężną z wyrażenia (13.12) wzdłuż przewodnika z prądem i zakładając, że cyrkulacja natężenia pola elektrycznego (2.14) na konturze zamkniętym jest równa zero (tutaj oczko).

$\mathcal{E}=\oint \vec{f}d\vec{l}=\oint\left(\vec{f}_{\mbox{źr}}+\vec{E}\right)d\vec{l}= \oint\vec{f}_{\mbox{źr}}d\vec{l}+\oint \vec{E}d\vec{l}=\oint\vec{f}_{\mbox{źr}}d\vec{l}\;$

(13.13)

Wewnątrz źródła prądu elektrycznego zachodzi między stykami $\vec{E}=-\vec{f}_{\mbox{źr}}\;$, czyli pole elektryczne w źródle prądu równoważy siły zewnętrzne, zatem na podstawie powyższych rozważań powinno zachodzić:

$\mathcal{E}=\oint \vec{f}_{\mbox{źr}}d\vec{l}=\int_a^b \vec{f}_{\mbox{źr}}d\vec{l}=-\int_a^b \vec{E}d\vec{l}=U\;$

(13.14)

Zatem siła elektromotoryczna źródła prądu elektrycznego definiujemy jako całkę pomiędzy stykami źródła prądu elektrycznego na podstawie obliczeń (13.14):

$\mathcal{E}=-\int_a^b\vec{E}d\vec{l}\;$

(13.15)

Reguła strumienia dla SEM przesuwającego się przewodnika w polu magnetycznym

Ramka z prądem poruszających się z pewną prędkością

Inny przykład obwodu kołowego z prądem

Z definiujmy wektor $d\vec{S}$ jako wektor prostopadły do prędkości ruchu nośników prądu i ruchu samego przewodnia z prądem, koncentrując się na pewnym punkcie S i po przesunięciu jego, mamy wtedy punkt S^', to wtedy infinitezymalny wektor $d\vec{S}\;$ można zapisać:

$d\vec{S}=\left(\vec{v}dt\times d\vec{l}\right)\Rightarrow d\vec{S}=\left(\vec{v}\times d\vec{l}\right)dt$

(13.16)

• gdzie:$\vec{v}dt$ jest to przesunięcie punktu $S\;$ w punkt $S^'\;$.

Wykorzystujemy definicję infinitezymalnego strumienia jako iloczynu indukcji pola magnetycznego i małego wektora $d\vec{S}\;$ w sposób:

$d\Phi=\vec{B}d\vec{S}\;$

(13.17)

Możemy zapisać wektor nieskończenie małej powierzchnii (13.16) prostopadłej do tej powierzchni, wtedy strumień pola magnetycznego (13.17):

$d\Phi=\oint \vec{B}\cdot\left(\vec{v}\times d\vec{l}\right)dt\Rightarrow {{d\Phi}\over{dt}}=\oint\vec{B}\cdot\left(\vec{v}\times d\vec{l}\right)$

(13.18)

Prawa strona jest całkowaniem po całej konturze przewodnika, i tylko tej części, która znajduje się w polu magnetycznym.

Jeśli przez $\vec{v}$rozumiemy jako prędkość przewodnika z prądem, a przez $\vec{u}$ prędkość nośników prądu, a zatem całkowita prędkość nośników z prądem jest wyrażona:

$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$

(13.19)

Ależ we wzorze na sumowanie prędkości (13.19) zachodzi równoległość wektora $d\vec{l}$ do wektora prędkości nośników prądu $\vec{u}\;$, to wtedy iloczyn wektorowy wektora nieskończenie małej części obwodu i prędkości cząstek $\vec{u}\;$, z którą w nim płynie prąd elektryczny, można zapisać jako równe zero. Wzór (13.18) a w nim wielkość prędkości części obwodu $\vec{v}\;$ zastępujemy przez prędkość całkowitą naszych cząstek w obwodzie, która jest sumą prędkości cząstek w obwodzie w jego poruszającej się układzie odniesienia i prędkości samego obwodu, wtedy wzór (13.18) można zapisać równoważnie do poprzednich dysput:

${{d\Phi}\over{dt}}=\oint\left[\vec{B}\cdot\left(\underbrace{\vec{u}\times d\vec{l}}_{0}\right)+\vec{B}\cdot\left(\vec{v}\times d\vec{l}\right)\right]\Rightarrow {{d\Phi}\over{dt}}=\oint\vec{B}\cdot\left(\vec{v}\times d\vec{l}\right)$

(13.20)

Można powiedzieć, że wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (13.20) z definicji siły magnetycznej na jednostkę ładunku elektrycznego zachodzi tożsamość przedstawia się:

$\vec{B}\cdot\left(\vec{w}\times d\vec{l}\right)=d\vec{l}\cdot\left(\vec{B}\times\vec{w}\right)=-d\vec{l}\cdot\left(\vec{w}\times\vec{B}\right)=-d\vec{l}\cdot\vec{f}_{mag}=-\vec{f}_{mag}d\vec{l}$

(13.21)

Wyrażenie (13.20) z tożsamości udowodnionej dla jego prawej strony wedle przekształceń (13.21) możemy napisać:

${{d\Phi}\over{dt}}=-\oint \vec{f}_{mag}d\vec{l}$

(13.22)

Korzystając z definicji na siłę elektromagnetyczną (13.14), wtedy wyrażenie (13.22), które jest pochodną zmiany strumienia magnetycznego względem czasu jest równa sile elektromagnetycznej wytwarzanej przez zmienne pole magnetyczne i to wyrażenie wzięte jest ze znakiem minus:

$\mathcal{E}=-{{d\Phi}\over{dt}}$

(13.23)

a więc nasze prawo na SEM w polu magnetycznym zostało udowodnione.

Indukcja elektromagnetyczna

Prawo Faraday'a

Wcześniej wyprowadziliśmy prawo, które przedstawia się wzorem (13.3), gdy przewodnik przesuwaliśmy w polu magnetycznym, wtedy to prawo wyglądało:

$\mathcal{E}=-{{d\Phi}\over{dt}}\;$

(14.1)

a teraz przyjmijmy odwrotnie. Pole, magnetyczne jest zmienne, a przewodnik nie zmienia swojego położenia. Wtedy zmienia się strumień Φ, a więc w przewodniku powstaje siła elektromotoryczna o wartości $\mathcal{E}\;$. Również siła elektromotoryczna powstaje, gdy powierzchnia obejmująca zamknięty przewodnik zmienia się.

Całkowe prawo Faraday

W przewodniku zamkniętym powstaje wewnętrzne natężenie pola elektrycznego o wartości:$\vec{E}_{sw}=-\vec{E}\;$, gdzie:$\vec{E}\;$ jest to natężenie pola elektrycznego, które powstaje w wyniku zmiany pola magnetycznego. Wektor natężenia pola elektrycznego wewnętrznego panujące w przewodniku ma przeciwny znak do natężenia pola, który go wywołuje. Natężenie elektryczne w przewodniku spełnia warunek wynikającego z prawa na zmianę potencjału elektrycznego, czy dla przewodnika jest to napięcie (3.1):

$\mathcal{E}=-\oint \vec{E}_{sw}d\vec{l}=-\oint\left(-\vec{E}\right)d\vec{l}\Rightarrow \mathcal{E}=\oint\vec{E}d\vec{l}\;$

(14.2)

Zatem prawo Faraday'a w postaci całkowej (14.1) w stosunku do tożsamości (14.2) można zapisać:

$\oint\vec{E}d\vec{l}=-{{d\Phi}\over{dt}}\;$

(14.3)

To prawo jest bardzo podobne do prawa Stokesa (2.14), gdy pole magnetyczne wcale się nie zmienia.

Różniczkowe Prawo Faradaya

Z korzystajmy z definicji infinitezymalnego strumienia pola magnetycznego (13.17), wtedy nasz strumień jest całką owej wielkości po powierzchni, którą ogranicza zamknięty kontur:

$\Phi=\int_S\vec{B}d\vec{S}\;$

(14.4)

Prawo (14.3) przy wykorzystaniu wzoru na całkowity strumień indukcji pola magnetycznego (14.4) wygląda:

$\oint_L\vec{E}d\vec{l}=-{{d}\over{dt}}\oint_S\vec{B}d\vec{S}\;$

(14.5)

Dla stałej powierzchni zamkniętej ograniczonej przez zamknięty kontur prawo Faraday'a jest w postaci całkowej (14.5), w którym po przeniesieniu w tym równaniu pochodnej zupełnej po czasie pod całkę po powierzchni, wtedy pochodna zupełna po czasie zamienia się w pochodną cząstkową po czasie:

$\oint_L\vec{E}d\vec{l}=-\oint_S {{\partial \vec{B}}\over{\partial t}}d\vec{S}\;$

(14.6)

Możemy wykorzystać prawo Stokesa dla lewej strony równania (14.6) dla całki okrężnej po konturze zamkniętym i zamienić to całkowanie po powierzchni zamkniętej ograniczonej przez ten właśnie kontur:

$\int_S \nabla\times\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S {{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}d\vec{S}\;$

(14.7)

Prawo (14.7) jest spełnione dla dowolnej powierzchni ograniczonego przez dowolny kontur, zatem funkcje podcałkowe wspomnianego ostatnio wzoru są sobie równe, bo całkowanie po obu stronach jest całkowaniem po tej samej powierzchni:

$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\Rightarrow \operatorname{rot}\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}} \;$

(14.8)

Gdy zmiany pola magnetycznego w czasie w danym punkcie przestrzeni są równe zero, wtedy prawo (14.8) przechodzi w prawo Stokesa dla magnetostatyki (2.17).

Indukcyjność

Będziemy tu badać, gdy obwód jeden oddziałuje magnetycznie z obwodem dwa o pewnej indukcyjności wzajemnej, w szczególnej własności indukcyjność wzajemna przechodzi w indukcyjność własną, gdy ten sam obwód oddziałuje z samym sobą magnetycznie.

Indukcyjność wzajemna, wzór Neumanna

Indukcyjność wzajemna dwóch przewodników z prądem

Ilustracja prawa Lenz'a w wyniku indukcji wzajemnej

Załóżmy, że mamy dwie przewodzące pętle, na pętle numer jeden oddziałuje z nią pętla numer dwa, powodując w niej strumień indukcji magnetycznej, korzystając przy tym z równości na strumień indukcji pola magnetycznego (14.4) i definicji indukcji pola magnetycznego poprzez wektorowy potencjał pola magnetycznego (10.1) i zamienieniu w tym strumieniu na całkę po powierzchni ograniczonej przez zamknięty kontur na całkę po konturze, wtedy:

$\Phi_1=\int\vec{B}_2d\vec{S}_1=\int \left(\nabla\times\vec{A}_2\right)d\vec{S}_1=\oint \vec{A}_2d\vec{l}_1\;$

(14.9)

Z magnetostatyki wektorowy potencjał magnetyczny pola magnetycznego (10.8) pochodzącego od pętli pierwszej jest napisany wzorem:

$\vec{A}_2={{\mu_0I_2}\over{4\pi}}\oint{{d\vec{l}_2}\over{R}}\;$

(14.10)

Jeśli podstawimy wzór na wektorowy potencjał magnetyczny (14.10) do wzoru na strumień magnetyczny ograniczonej pewnym dowolnym konturem (14.9), to:

$\Phi_1=I_2\oint\left[{{\mu_0}\over{4\pi}}\oint{{d\vec{l}_2}\over{R}}\right]d\vec{l}_1\;$

(14.11)

Oczywiste jest, że wzór (14.11) po przegrupowaniu operatorów całek okrężnych w jedno miejsce, wtedy ten nasz wzór jest równoważny:

$\Phi_1={{\mu_0}\over{4\pi}}\oint\oint{{d\vec{l}_2d\vec{l}_2}\over{R}}\;$

(14.12)

• Tutaj R jest to odległość od siebie odcinków:$d\vec{l}_1\;$ od $d\vec{l}_2\;$.

Wzór (14.12) możemy zapisać w postaci wydzielając stałą M₁₂, wtedy:

$\Phi_1=I_2 M_{12}\;$

(14.13)

• gdzie:

$M_{12}={{\mu_0}\over{4\pi}}\oint\oint {{d\vec{l}_2d\vec{l}_1}\over{R}}\;$

(14.14)

Wzór na wielkość indukcji wzajemnej (14.14) jest symetryczny ze względu na przestawienie $d\vec{l}_1\;$ z $d\vec{l}_2\;$, czyli zamiana według schematu $1\rightarrow 2\;$ oraz $2\rightarrow 1\;$, wtedy indukcja wzajemna po tej zamianie się nie zmienia się, czyli jest symetryczny. Oczywiste jest, że ona nie zależy od czasu. Oznaczmy je przez literkę $M\;$. Wzór na $M_{12}\;$ (14.14) jest to wzór Neumanna. Jeśli podstawimy wzór (14.13) do wzoru na prawo Faraday'a (14.1) dla pierwszej pętli, podobnie mamy dla drugiej pętli, wtedy wzory na indukcję wzajemną drugiej pętli względem pierwszej pętli na siłę elektromotoryczną dla dwóch pętli jednocześnie są wyrażone wzorami:

$\mathcal{E}_1=-M_{12}{{dI_2}\over{dt}}=-M{{dI_2}\over{dt}}\;$ (14.15)

$\mathcal{E}_2=-M_{21}{{dI_1}\over{dt}}=-M{{dI_1}\over{dt}}\;$ (14.16)

Widzimy, że wzory na siłę elektromagnetyczną są takie same, ale zależą od zmian w czasie natężenia prądu elektrycznego w pętli drugiej (wzór (14.15)) lub w pętli pierwszej (wzór (14.16)).

Indukcyjność własna

Tutaj zajmować się będziemy się tylko jednym obwodem, który oddziałuje magnetycznie sam ze sobą.

Prawo Faraday a indukcyjność własna

Z indukcyjnością własną mamy do czynienia, gdy ten sam obwód oddziałuje z tym samym obwodem na w sposób magnetyczny, czyli jest to szczególny przypadek indukcyjności wzajemnej. Wzór (14.13) zapisujemy dla tej sytuacji:

$\Phi=LI\;$

(14.17)

Wtedy wzór na tą siłę elektromagnetyczną powstaje po podstawieniu (14.17) do prawa Faraday'a (14.1):

$\mathcal{E}=-L{{dI}\over{dt}}\;$

(14.18)

Wzór na L jest taki sam, jak wzór Neumanna (14.14), tylko jest podwójne całkowanie po tym samym obwodzie, czyli geometria dotyczy tylko jednego obwodu.

Energia własna układu magnetycznego

Moc wykonana przeciwko SEM w indukcyjności własnej jakiegoś obwodu zależy od siły elektromotorycznej spowodowanej przez indukcję własną, jeśli w nim płynie prądy o natężeniu I, co jego praca wykonana przeciwko sile elektromagnetycznej SEM w jednostce czasu (dlatego tam jest znak minus lub inaczej prąd płynie przeciwnie do natężenia sił obcych elektrycznych spowodowanych zmianą indukcji pola magnetycznego w wyniku zmiany płynięcia natężenia prądu elektrycznego w tymże obwodzie) jest równa:

${{dW}\over{dt}}=-\mathcal{E}I\;$

(14.19)

Wykorzystując definicję siły elektromotorycznej spowodowaną indukcyjnością własną $\mathcal{E}\;$(14.18), która wynika z prawa indukcyjności Faradaya (14.1), pytamy siebie jaką pracę wykonał układ przy zmianie prądu w układzie o indukcyjności własnej L od I równego zero do pewnej wielkości niezerowej, stąd dochodzimy do wniosku:

${{dW}\over{dt}}=L{{dI}\over{dt}}I\Rightarrow dW=LIdI\Rightarrow W={{1}\over{2}}LI^2\;$

(14.20)

Praca wykonana przeciwko SEM w układzie o indukcyjności własnej L, po przepisaniu końcowego wniosku z (14.20) dla przejrzystości wykładu, jest wyrażona:

$W={{1}\over{2}}LI^2\;$

(14.21)

Nie zależy ona jak długo płynie prąd, ale jedynie od geometrii układu i natężenia prądu płynącego w tym naszym obwodzie, który oddziałuje sam ze sobą w wyniku pola magnetycznego.

Energia układu z polem magnetycznym

Powyżej zakładaliśmy, że mamy ośrodek, który jest próżnią i w nim płyną prądy, ale w tym przypadku rozważmy ośrodek materialny o pewnej polaryzowalności magnetycznej, w której płyną prądy swobodne, zatem we wzorze na energię własną układu magnetycznego i na strumień indukcji magnetycznej zastępujemy w nim wielkości prądów przez prądy swobodne I_sw. Czyli wzory te są nadal słuszne po dokonaniu tejże zamiany.

Strumień pola magnetycznego (14.4) i wyrażeniu w nim indukcji pola magnetycznego przez wektorowy potencjał magnetyczny (10.1), wtedy tą wielkość piszemy:

$\Phi=\int_S\vec{B}d\vec{S}=\int_S\left(\nabla\times\vec{A}\right)d\vec{S}=\oint_K\vec{A}d\vec{l}\;$

(14.22)

Wzór (14.17), który jest zapisany jako iloczyn indukcyjności własnej i natężenia prądów swobodnych w nim płynących, w którym do tak zdefiniowanego strumienia możemy podstawić wzór (14.22), który jest całką po pewnym zamkniętym konturze, w którym wielkością podcałkową jest magnetyczny potencjał wektorowy.

$LI_{sw}=\oint_k\vec{A}d\vec{l}\;$

(14.23)

Po podstawieniu wzoru (14.23) do wzoru na energię obwodu zapisanej w punkcie (14.21), który po dokonaniu podstawieniu za LI_sw jest wprost proporcjonalny do natężenia prądu elektrycznego ładunków swobodnych, o stałej proporcjonalności równej połowie indukcyjności własnej pomnożonej cyrkulacje potencjału skalarnego, co go zapisujemy:

$W={{1}\over{2}}LI^2_{sw}={{1}\over{2}}I_{sw}LI_{sw}={{1}\over{2}}I_{sw}\oint_K\vec{A}d\vec{l}\Rightarrow W={{1}\over{2}}\oint_K\left(\vec{A}\vec{I}_{sw}\right)dl\;$

(14.24)

Powyższy wynik końcowy można uogólnić na gęstość prądu elektrycznego, jeśli w całce (10.24) zamieniamy całkowanie względem natężenia prądu na całkowanie po gęstości prądu wykorzystując wzór (10.7), zatem:

$W={{1}\over{2}}\int_K\left(\vec{A}\vec{J}_{sw}\right)dV\;$

(14.25)

Wzór (12.19) możemy podstawić do wzoru (14.25) za gęstość natężenia prądu elektrycznego swobodnego, otrzymujemy:

$W={{1}\over{2}}\int_K\vec{A}\left(\nabla\times\vec{H}\right)dV\;$

(14.26)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam później potrzebne do dalszych rozważań:

$\nabla\left(\vec{A}\times\vec{H}\right)=\nabla_i\epsilon_{ijk}A_jH_k= \epsilon_{ijk}H_k\nabla_i A_j+\epsilon_{ijk}A_j\nabla_i H_k= \epsilon_{kij}H_k\nabla_i A_j-\epsilon_{jik}A_j\nabla_iH_k=\;$ $=\vec{H}\left(\nabla\times\vec{H}\right)-\vec{A}\left(\nabla\times\vec{H}\right)\;$

(14.27)

Wtedy energia własna układu (14.26), po skorzystaniu z udowodnionej tożsamości (14.27), jest przedstawiona:

$W={{1}\over{2}}\int_K\left(\vec{H}\left(\nabla\times\vec{A}\right)-\nabla\left(\vec{A}\times\vec{H}\right)\right)dV\;$

(14.28)

Po skorzystaniu z definicji (10.1) dla pierwszego wyrazu w całce w wyrażeniu (14.28) i po rozbiciu jej na dwie całki i zamienieniu w tej drugiej z całkowania po objętości ograniczonej pewną powierzchnią zamkniętą na całkowanie po tej powierzchni według twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy:

$W={{1}\over{2}}\left[\int_K\vec{H}\vec{B}dV-\oint_K\left(\vec{A}\times\vec{H}\right)d\vec{S}\right]\;$

(14.29)

W drugiej całce w (14.29) będziemy dokonywać całkowania po powierzchni nieskończonej, jak zakładamy:

$\oint_K\left(\vec{A}\times\vec{H}\right)d\vec{S}=0\;$

(14.30)

Równanie (14.29), na podstawie całki powierzchniowej (14.30), jest równe:

$W={{1}\over{2}}\int_{\vec{r}\in R^3}\vec{H}\vec{B}dV\;$

(14.31)

Gęstość energii w danym punkcie w przestrzeni z polem magnetycznym o pewnej indukcji na podstawie równania (14.31) określamy:

$u_{mag}={{1}\over{2}}\vec{H}\vec{B}\;$

(14.32)

Widzimy, że gęstość energii pola magnetycznego w danym punkcie w próżni jest zależna od wektorów indukcji i natężenia pola magnetycznego.

Elektrodynamika Maxwella

W tym rozdziale przypomnimy równania w postaci różniczkowej magnetostatyki i elektrostatyki, i uogólnimy tak by stały się równaniami elektrodynamiki Maxwella.

Równania elektrostatyki i magnetostatyki oraz prawo Faraday'a

Dotychczas poznaliśmy prawa dotyczące elektrostatyki i magnetostatyki wraz z prawem Faradaya, w postaci:

Różniczkowe równania elektrostatyki i magnetostatyki oraz prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday'a:
Prawo Gaussa w elektrostatyce (2.11)	Prawo Gaussa w magnetostatyce (9.7)	Prawo Faraday'a (14.1)	Prawo Stokesa w magnetostatyce (9.14)
$\nabla\cdot\vec{E}={{\rho}\over{\epsilon_0}}$ (15.1)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (15.2)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;$ (15.3)	$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$ (15.4)

Załóżmy, że powyższe równania są również spełnione dla zmiennych pół elektromagnetycznych, i wykażmy, że powyższe równania są wzajemnie niesprzeczne, jeśli je w miarę uzupełnijmy. Podziałajmy operatorem $\nabla\cdot \;$ na lewą i prawą stronę równania (15.1) i wyznaczymy, że jeśli lewa strona tej równości jest równa zero, przy tym korzystając ze wzoru (15.2), to prawa też:

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\nabla\cdot\left(-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)=-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\cdot\vec{B}\right)=-{{\partial 0}\over{\partial t}}=0$

(15.5)

• co jest tożsamościowo równe zero, zatem doszliśmy do wniosku, że drugie i trzecie równania są ze sobą niesprzeczne, czyli są poprawne.

Podziałajmy operatorem $\nabla\cdot\;$ na lewą i prawą stronę równania (15.4) i dojdziemy do wniosku, że w zmiennym polu magnetycznym, w których płynie prąd niestały w ogólności i zgodnie z prawem ciągłości, że jest ona logicznie sprzeczna, co możemy powiedzieć:

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\cdot\left(\mu_0\vec{J}\right)=\mu_0\left(\nabla\cdot\vec{J}\right)$

(15.6)

Powyższe równanie jest spełnione dla prądów stałych w przestrzeni, gdy w magnetostatyce jest spełniony wzór (8.19), ale ogólnie dla zmiennych prądów objętościowych nie jest już spełnione to prawo a także też równanie (15.6). Prawo ciągłości dla ładunków elektrycznych znane z mechaniki teoretycznej wygląda:

${{\partial\rho}\over{\partial t}}+\nabla\left(\rho\vec{v}\right)=0$

(15.7)

Można udowodnić, że można zapisać powyższe prawo przy wykorzystaniu przy pomocy definicji gęstości prądu elektrycznego, która wyraża się w zależności od prędkości ładunków $\vec{v}\;$, którego gęstość ładunku elektrycznego jest równa ρ.

$\Delta q=\rho v S\Delta t\Rightarrow I={{\Delta q}\over{\Delta t}}=\rho v S\Rightarrow J=\rho v\Rightarrow\vec{J}=\rho\vec{v}$

(15.8)

Wtedy równanie ciągłości (15.7) zastępując w nim iloczyn $\rho\vec{v}\;$ innym wyrażeniem, który wyprowadziliśmy na podstawie wyprowadzonej tożsamości (15.8), wtedy można zapisać to prawo w postaci:

${{\partial\rho}\over{\partial t}}+\nabla\cdot\vec{J}=0$

(15.9)

W prawie ciągłości zastępujemy gęstość objętościową zmieniającego się ładunku wedle wyrażenia (15.1) i biorąc wszystkie wyrazy w nim występujące pod operator ∇, dostajemy:

$\epsilon_0\nabla{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}+\nabla\cdot\vec{J}=0\Rightarrow \nabla\cdot\left(\vec{J}+\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=0$

(15.10)

Aby wyrażenie (15.4) było spełnione dla zmiennych pól elektromagnetycznych należy w nim zastąpić wedle schematu gęstość prądu ładunków elektrycznych $\vec{J}\;$ przez sumę dwóch wielkości, tzn. gęstości ładunków elektrycznych i gęstości ładunku przesunięcia, wedle: $\vec{J}+\vec{J}_p\;$,

• gdzie prąd przesunięcia $\vec{J}_p\;$, na podstawie równania (15.10), definiujemy:

$\vec{J}_p=\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$

(15.11)

Oczywiste jest, gdy prąd przesunięcia znika, to natężenie pola elektrycznego wcale się nie zmienia w czasie w danym punkcie w przestrzeni, wtedy w (15.10) możemy nie uwzględnić dodatkowego członu, czyli prądu przesunięcia$\vec{J}_p\;$. Po uzupełnieniu równania (15.4) o dodatkowy człon związanej z prądem przesunięcia, dostajemy równanie:

$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\vec{J}+\vec{J}_p\right)\Rightarrow\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\epsilon_0\mu_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$

(15.12)

Podziałajmy równanie (15.12) operatorem $\nabla\cdot\;$, wtedy jego lewa strona jest równa zero, a prawa strona jak udowodnimy na podstawie (15.10), też jest równa zero:

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\cdot\left(\mu_0\vec{J}+\epsilon_0\mu_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=\mu_0\nabla\left(\vec{J}+\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=0$

(15.13)

Powyższa równość po tej poprawce jest tożsamościowo równa zeru na mocy prawa ciągłości. Dochodzimy, zatem do wniosku, że prawa elektromagnetyzmu zawierają w sobie prawo ciągłości ładunku elektrycznego po zamienieniu (15.4) przez równanie (15.12), to wszystko stanowi treść równań Maxwella.

Zestaw równań dla dowolnego pola elektromagnetycznego w ogólności zmiennego

Poniżej wypiszmy zestaw równań, które obowiązują w prawie elektromagnetyzmu Maxwella jako wniosek z poprzedniego rozdziału.

Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{E}={{\rho}\over{\epsilon_0}}$ (15.14)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (15.15)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (15.16)	$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\epsilon_0\mu_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$ (15.17)

Ładunek elektryczny i magnetyczny a prawa Maxwella

Wcześniej nie uwzględnialiśmy ładunku magnetycznego w równaniach Maxwella, a teraz uwzględnimy ten wniosek:

Pełny zestaw różniczkowych równań Maxwella z uwzględnieniem ładunku elektrycznego i magnetycznego:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{E}={{\rho_e}\over{\epsilon_0}}$ (15.18)	$\nabla\cdot\vec{B}=\mu_0\rho_m$ (15.19)
Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\times\vec{E}=-\mu_0\vec{J}_m-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (15.20)	$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}_e+\mu_0\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$ (15.21)

• Zakładamy, że istnieje prawo zachowaniu ładunku magnetycznego tak samo, jak ładunku elektrycznego (15.9), czyli zachodzą tożsamości:

$\nabla\cdot\vec{J}_e+{{\partial\rho_e}\over{\partial t}}=0$ (15.22)

$\nabla\cdot\vec{J}_m+{{\partial\rho_m}\over{\partial t}}=0$ (15.23)

Jeśli wykorzystamy lokalną zasadę zachowania ładunku (15.22), i jeśli do niego podstawimy za gęstość ładunku elektrycznego $\rho_e\;$ równanie (15.18), wyznaczając z niego tą właśnie gęstość, wtedy otrzymamy wzór:

$\nabla\cdot\vec{J}_e+{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_0 \nabla\vec{E}\right)\Rightarrow\nabla\cdot\left(\vec{J}_e+\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=0$

(15.24)

Do prawa zachowania ładunku magnetycznego (15.23) podstawimy wzór na gęstość objętościową ładunków magnetycznych wynikających ze wzoru (15.19), i w ten sposób dostajemy tożsamość zgodną z prawem ciągłości:

$\nabla\cdot\vec{J}_m+{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{1}\over{\mu_0}}\left(\nabla\cdot\vec{B}\right)\right]=0\Rightarrow \nabla\cdot\left(\vec{J}_m+{{1}\over{\mu_0}}{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)=0$

(15.25)

Aby sprawdzić czy prawa elektromagnetyzmu Maxwella z uwzględnieniem ładunku magnetycznego, tzn. czy (15.20) i (15.21) są poprawnymi równaniami elektrodynamiki, wtedy na pierwsze z nich działamy operatorem obustronnie $\nabla\cdot\;$, wtedy dostajemy tożsamość, że prawa strona jest równa lewej:

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\nabla\cdot\left(-\mu_0\vec{J}_m-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)=-\mu_0\nabla\cdot\left(\vec{J}_m+{{1}\over{\mu_0}}{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)=0$

(15.26)

Powyższa tożsamość jest spełniona na mocy zasady zachowania ładunku magnetycznego (15.25).

• Prawo Maxwella uwzględnia zasadę zachowania ładunku magnetycznego.

Następnie policzmy działając obustronnie operatorem ∇ na równanie (15.21):

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\cdot\left(\mu_0\vec{J}_e+\mu_0 \epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=\mu_0\nabla\cdot\left(\vec{J}_e+\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=0$

(15.27)

Powyższa tożsamość jest spełniona na mocy zasady zachowania ładunku elektrycznego (15.24).

• Prawo Maxwella również uwzględnia zasadę zachowania ładunku elektrycznego.

A więc powyższy zestaw równań Maxwella, tzn. (15.18), (15.19), (15.20) i (15.21) uwzględniający monopole elektryczne i magnetyczne z zasadą zachowania tychże monopoli jest zapisem równań wewnętrznie spójnym.

Materia a różniczkowa postać równań elektrodynamiki Maxwella

W treści o elektrostatyce poznaliśmy wzór na gęstość powierzchniową ładunków związanych (7.8), czyli jakikolwiek zmiana polaryzacji powoduje zmianę płynącego prądu w postaci:

$\Delta I=\Delta{{\sigma_{zw}\Delta S^{\bot} }\over{\Delta t}}={{\Delta \sigma_{zw}}\over{\Delta t}}\Delta S^{\bot}\Rightarrow d I={{\partial \sigma_{zw}}\over{\partial t}}dS^{\bot}\Rightarrow J_p={{dI}\over{dS^{\bot}}}={{\partial\sigma_{zw}}\over{\partial t}}\Rightarrow J_p={{\partial P}\over{\partial t}}$

(15.28)

• gdzie $dS^{\bot}\;$ jest to powierzchnia prostopadła do płynącego prądu, a więc do wektora $\vec{n}\;$ w wyniku zmiany polaryzacji elektrycznej. Zatem wektor gęstości prądu związanego ze zmianą polaryzacji elektrycznej w danym punkcie ośrodka względem czasu zapisujemy:

$\vec{J}_p={{\partial\vec{P}}\over{\partial t}}$

(15.29)

Całkowita gęstość objętościowa ładunku w danej infinitezymalnej objętości jest sumą gęstości ładunków swobodnych i związanych zdefiniowany przy pomocy dywergencji polaryzacji elektrycznej (7.9):

$\rho=\rho_{sw}+\rho_{zw}=\rho_{sw}-\nabla\cdot\vec{P}$

(15.30)

Całkowita gęstość prądu objętościowego jest sumę gęstości prądów swobodnych, związanych (12.12) i prądu polaryzacyjnego (15.29), tzn.:

$\vec{J}=\vec{J}_{sw}+\vec{J}_{zw}+\vec{J}_p=\vec{J}_{sw}+\nabla\times\vec{M}+{{\partial\vec{P}}\over{\partial t}}$

(15.31)

Całkowita gęstość ładunku objętościowego (15.30) wstawiamy do pierwszego prawa Maxwella (15.14) dostając końcowy w wyniku tej operacji wzór:

$\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon_0}}\rho\Rightarrow \nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon_0}}\left(\rho_{sw}-\nabla\vec{P}\right)\Rightarrow \nabla\cdot\left(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\right)=\rho_{sw}$

(15.32)

Wektor indukcji magnetycznej zapisujemy podobnie jak dla elektrostatyki dla pewnego ośrodka, który istnieje w danym punkcie (7.14), który jest funkcją natężenia pola elektrycznego ogólnie zmiennego i polaryzacji elektrycznej, które panują w danym punkcie w przestrzeni danego ośrodka, czyli wedle:

$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$

(15.33)

wtedy prawo (15.32), po wykorzystaniu zależności na indukcję pola elektrycznego (15.33) (nie elektrostatycznego w tym przypadku), zapisujemy wedle:

$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}$

(15.34)

Do czwartego prawa Maxwella wstawiamy wzór na całkowitą gęstość prądu objętościowego (15.31), wtedy można powiedzieć, że zachodzi na pewno:

$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\epsilon_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\Rightarrow \nabla\times\vec{B}=\mu_0\left(\vec{J}_{sw}+\nabla\times\vec{M}+{{\partial\vec{P}}\over{\partial t}}\right)+\epsilon_0\mu_0{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\;$ $\nabla\times\left(\vec{B}-\mu_0\vec{M}\right)=\mu_0\vec{J}_{sw}+\mu_0{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\right)\Rightarrow \nabla\times\left({{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}\right)=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}$

(15.35)

Skorzystajmy z definicji na natężenia pola magnetycznego w zależności od indukcji pola magnetycznego i polaryzacji pola magnetycznego, która dla pola zmiennego elektromagnetycznego definicja jest taka sama jak dla pola magnetostatycznego (12.17), co powtarzając tą definicję dla pola magnetycznego zmiennego:

$\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}$

(15.36)

wtedy równanie różniczkowe (15.35) można zapisać przy pomocy równania na natężenie pola magnetycznego w danym ośrodku w ściśle określonym punkcie (15.37), który jest słuszny nie tylko dla pola magnetostatycznego:

$\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}$

(15.37)

Poniżej przedstawiłem zestaw równań Maxwella słusznych dla dowolnego ośrodka zarówno magnetycznego i elektrycznego, a nawet te równania są słuszne dla próżni, dowody tych równań przedstawiłem powyżej w tym rozdziale:

Różniczkowe prawa Maxwella dla materii:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}$ (15.38)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (15.39)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (15.40)	$\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}$ (15.41)
Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka
Wektor indukcji elektrycznej		Wektor natężenia pola magnetycznego
$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ (15.42)		$\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}$ (15.43)

Ośrodek liniowy a postać różniczkowa równań Maxwella

Ośrodek liniowy zarówno elektrycznie i magnetycznie ma podobne związki jak dla pola elektrostatycznego (7.38) i dla pola magnetostatycznego (12.32), które są również słuszne dla ogólnie zmiennego pola elektromagnetycznego:

$\vec{D}=\epsilon\vec{E}$ (15.44)

$\vec{H}={{1}\over{\mu}}\vec{B}$ (15.45)

Wtedy prawa elektrodynamiki Maxwella dla ośrodka materialnego, spełniają zależności:

Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego :
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}$ (15.46)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (15.47)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (15.48)	$\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$ (15.49)

Materia a całkowa postać równań elektrodynamiki Maxwella

Wykorzystując prawo Gaussa i Stokesa znane z matematyki możemy wyznaczyć prawa elektrodynamiki Maxwella z ich postaci różniczkowej.

Całkowa postać równań elektrodynamiki Maxwella dla ośrodka materialnego:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\oint_S \vec{D}d\vec{S}=q_{sw}$ (15.50)	$\oint_S\vec{B}d\vec{S}=0$ (15.51)	$\oint_P\vec{E}d\vec{l}=-{{d\Phi_B}\over{dt}}$ (15.52)	$\oint_P\vec{H}d\vec{l}=I_{sw}+{{d\Phi_D}\over{dt}}$ (15.53)
Definicja pewnych wektorów		Definicja strumieni
$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\;$ (15.54)	$\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}\;$ (15.55)	$\Phi_D=\int_S\vec{D}d\vec{S}\;$ (15.56)	$\Phi_B=\int_S\vec{B}d\vec{S}\;$ (15.57)

Graniczne warunki brzegowe dla równań elektrodynamiki Maxwella dotyczące materii

Rysunek przedstawiający cyrkulację natężenia pola elektrycznego względem strumienia indukcji pola magnetycznego

Obierzmy sobie pewien prostokąt, którego krawędzie górne i dolne są równoległe do małego wycinka powierzchni między dwoma ośrodkami, której wycinek przypomina płaską płaszczyznę w przybliżeniu. Ten strumień magnetyczny liczymy po powierzchni tego prostokąta zastępując ją jako strumień z średniego pola magnetycznego pojawiającego się na tej powierzchni tej figury, co poniżej nie będziemy specjalnie oznaczać. Strumień indukcji pola magnetycznego (15.57), która jest całką indukcji pola magnetycznego względem powierzchni tegoż obranego prostokąta, zapisujemy:

$\Phi_B=\oint_S\vec{B}d\vec{S}=B^{||}lh=hlB^{||}\;$

(15.58)

Zdefiniujmy pochodną zupełną strumienia indukcji pola magnetycznego (15.58) względem czasu, jest ona zależna od długości l i wysokości prostokąta h:

${{d}\over{dt}}\Phi_B=hl{{d B^{||}}\over{dt}}\;$

(15.59)

Cyrkulacja pola magnetycznego obliczonego na wspomnianym konturze, który jest prostokątem, można zapisać przy pomocy też długości i szerokości naszego obranego prostokąta, ale w oddzielnych składnikach, który zapisujemy:

$\oint_K\vec{E}d\vec{l}=E^{||}_{nad}l-E^{||}_{pod}l+E^{||}_{prawy}h-E^{||}_{lewy}h$

(15.60)

Dochodzimy do wniosku, że trzecie prawo Maxwella dla ośrodków materialnych (15.52), korzystając przy tym z wniosków (15.59) (prawa strona tego prawa) i (15.60) (lewa strona tego prawa), łącząc te wnioski w prawie Faraday'a, dochodzimy więc do równania:

$E^{||}_{nad}l-E^{||}_{pod}l+E^{||}_{prawy}h-E^{||}_{lewy}h=-hl{{d B^{||}}\over{dt}}$

(15.61)

Równanie (15.61) dzielimy obustronnie przez zmienną l charakteryzującego długość obranego ścisłego prostokąta, wtedy dostajemy inne równoważne stwierdzenie:

$E^{||}_{nad}-E^{||}_{pod}+{{h}\over{l}}\left(E^{||}_{prawy}-E^{||}_{lewy}\right)=-h{{dB^{||}}\over{dt}}$

(15.62)

Jeśli dodatkowo obrany powyżej prostokąt jest mały, dla którego zachodzi:${{h}\over{l}}\rightarrow 0$, a także $l\rightarrow 0$, czyli wszystkie krawędzie prostokąta dążą do zera, ale stosunek krawędzi bocznych przez długość boku górnego lub dolnego dąży do zera, i dlatego ten stosunek jest taki, by byśmy mieli w końcowym wniosku doczynienia z tylko składowymi równoległymi wektora natężenia pola elektrycznego do granicy dwóch ośrodków ściśle określonych, to z równości (15.62) wynika, że wektor składowej natężenia pola elektrycznego równoległej do bardzo małego wycinka powierzchni granicy pomiędzy ośrodkami zmienia się przechodząc z jednego ośrodka do drugiego na w sposób:

$E^{||}_{nad}-E^{||}_{pod}=0$

(15.63)

Otrzymaliśmy takie samo prawo jak dla elektrostatyki w wykorzystaniu prawa Stokesa (7.33).

Rysunek przedstawiający cyrkulację pola natężenia pola magnetycznego względem strumienia indukcji pola elektrycznego

Obierzmy drugi prostokąt, którego strumień indukcji pola elektrycznego (15.56) zapisujemy jako całkę względem indukcji pola elektrycznego w ośrodku materialnym przy powierzchni prostokąta równej lh, którą zastepujemy przez iloczyn średniej indukcji pola elektrycznego przez pole tego prostokata, dostajemy przy tych rozważaniach wniosek:

$\Phi_D=\oint_S\vec{D}d\vec{S}=lhD^{||}$

(15.64)

Zmiana strumienia indukcji elektrycznej (15.64) względem czasu, jak zobaczymy, że ona jest zależna od długości l i wysokości kwadratu h i przedstawiamy ją wedle sposobu:

${{d\Phi_D}\over{dt}}=lh{{dD^{||}}\over{dt}}$

(15.65)

Cyrkulacja natężenia pola elektrycznego przedstawiamy jako całkę okrężną po konturze naszego obranego prostokąta i wyrazimy ją według wzoru:

$\oint_K\vec{H}d\vec{l}=H^{||}_{nad}l-H^{||}_{pod}l+H^{||}_{prawy}h-H^{||}_{lewy}h$

(15.66)

Obliczone już wnioski (15.66) i (15.65) podstawiamy do prawa czwartego Maxwella (15.53), tzn. do lewej i prawej jego stronie, dochodzimy do:

$H^{||}_{nad}l-H^{||}_{pod}l+H^{||}_{prawy}h-H^{||}_{lewy}h=I_{sw}+lh{{dD^{||}}\over{dt}}$

(15.67)

Podzielmy równanie (15.67) przez niezerową wielkość l, która jest długością obranego wcześniej prostokąta, mamy:

$H^{||}_{nad}-H^{||}_{pod}+{{h}\over{l}}\left(H^{||}_{prawy}-H^{||}_{lewy}\right)={{I_{sw}}\over{l}}+h{{dD^{||}}\over{dt}}$

(15.68)

Jeśli dodatkowo obrany powyżej prostokąt jest mały, dla którego zachodzi ${{h}\over{l}}\rightarrow 0$, a także $l\rightarrow 0$, czyli długości wszystkich krawędzi tego prostokąta dążą do zera, ale stosunek długości dowolnej krawędzi bocznej przez długości krawędzi dolnego i górnego dąży do zera, ależ też w równości (15.68) $I_{sw}\;$ dąży do zera, jako bardzo małe natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez nieskończenie mały prostokąt, to wzór (15.68) na podstawie wspomnianych warunków przechodzi w równość:

$H^{||}_{nad}-H^{||}_{pod}={{I_{sw}}\over{l}}$

(15.69)

Jeśli zastosujemy definicję gęstości prądu powierzchniowego (8.10), wtedy prawo (15.69) zapisujemy skalarnie w postaci:

$H^{||}_{nad}-H^{||}_{pod}=K$

(15.70)

W prowadzając obliczenia na wektorach w (15.70) biorąc normalną $\vec{n}\;$ jako wektor prostopadły do powierzchni granicy dwóch obranych prostokątów, wtedy mamy:

$\vec{H}^{||}_{nad}-H^{||}_{pod}=\vec{K}\times\hat{n}$

(15.71)

Prawo (15.71) wynikającego z prawa Maxwella, jak doszliśmy do wniosku, że ono też jest słuszne dla stałych prądów w ośrodku materialnym (15.26) i nie tylko. Warunki graniczne według pierwszego lub drugiego prawa Maxwella otrzymujemy jak elektrostatyce lub magnetostatyce, tylko operujemy na gęstościach powierzchniowych ładunków i prądach swobodnych. Wniosek wynikającego z pierwszego prawa Maxwella dla ośrodków materialnych jest taki sam jak wniosek wynikającego z prawa Gaussa dla elektrostatyki (7.30):

$D^{||}_{nad}-D^{||}_{pod}=\sigma_{sw}$

(15.72)

A także wniosek wynikającego z drugiego prawa Maxwella, który jest identyczny z prawem Gaussa dla magnetostatyki (10.30):

$B^{||}_{nad}-B^{\bot}_{pod}=0$

(15.73)

Zestaw warunków granicznym przyjmuje postać na granicy między dwoma ośrodkami zarówno magnetycznie i elektrycznie w elektrodynamice klasycznej Maxwella:

Zestaw warunków granicznych dla dowolnego ośrodka materialnego:
$D^{||}_{nad}-D^{||}_{pod}=\sigma_{sw}$ (15.74)	$E^{||}_{nad}-E^{||}_{pod}=0$ (15.75)
$B^{||}_{nad}-H^{\bot}_{pod}=0$ (15.76)	$\vec{H}^{||}_{nad}-\vec{H}^{||}_{pod}=\vec{K}\times\hat{n}$ (15.77)

Jeśli mamy do czynienia z ośrodkiem magnetycznym zarówno liniowo magnetycznie i jak elektrycznie, to zestaw tych warunków dla ośrodków spełniającego warunki (15.44) (elektryczność) i (15.45) (magnetyzm) są:

Zestaw warunków granicznych:
$\epsilon_{nad} E^{\bot}_{nad}-\epsilon_{pod} E^{\bot}_{pod}=\sigma_{sw}$ (15.78)	$E^{||}_{nad}-E^{||}_{pod}=0$ (15.79)
$\mu_{nad} H^{\bot}_{nad}-\mu_{pod} H^{\bot}_{pod}=0$ (15.80)	$\vec{H}^{||}_{nad}-\vec{H}^{||}_{pod}=\vec{K}\times\hat{n}$ (15.81)

Dla ośrodka liniowego magnetycznie i elektrycznie, gdy w szczególności nie mamy ładunków swobodnych, czy powierzchniowych prądów swobodnych, to zestaw tych warunków brzegowych wygląda wtedy:

Warunki graniczne, gdy brak ładunków i prądów powierzchniowych
$\epsilon_{nad} E^{\bot}_{nad}-\epsilon_{pod} E^{\bot}_{pod}=0$ (15.82)	$E^{||}_{nad}-E^{||}_{pod}=0$ (15.83)
$\mu_{nad} H^{\bot}_{nad}-\mu_{pod} H^{\bot}_{pod}=0$ (15.84)	$\vec{H}^{||}_{nad}-\vec{H}^{||}_{pod}=0$ (15.85)

Zasady zachowania a twierdzenia o właściwościach pola elektromagnetycznego

Będziemy się zajmować właściwościami pola w elektrodynamice według elektrodynamiki klasycznej (Maxwella), jego energię, pęd, moment pędu, i wiedząc coś o tych wielkościach powiemy o ich zasadach zachowania.

Zasada zachowania ładunku elektrycznego, równanie ciągłości

Według globalnej zasady zachowania ładunku, ładunek w danej objętości zmienia się o wartość, która uszła z tej lub doszła do tej właśnie objętości. Wyobraźmy sobie pewną objętość zamkniętą, w której znajduje się ładunek q, w tej objętości ładunek jest rozłożony w każdej jej punkcie z pewną gęstością objętościową, zatem całkowity omawiany ładunek znajdujący się w tej objętości jest sumą wszystkich nieskończenie małych ładunków znajdujących się w tej właśnie objętości:

$q=\int_V \rho dV\;$

(16.1)

Ilość ładunku, która przybyła do tej objętości na jednostkę czasu wyraża się jako pochodna zupełna wielkości całkowitego ładunku znajdującego się w tej właśnie objętości (16.1) i piszemy go przy pomocy:

${{dq}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\int_V\rho dV=\int_V{{\partial\rho}\over{\partial t}}dV\;$

(16.2)

Jeśli powierzchnię zamkniętą ograniczającą objętość V podzielimy na nieskończenie wiele małych takich fragmentów, a te fragmenty mają wektor powierzchni $d\vec{S}\;$ prostopadły do niej, zatem objętość ładunku z jaką wypłynęła z omawianej powierzchni jest wyrażona przez $dV=vdt\cos\alpha dS=\vec{v}d\vec{S}dt\;$

• gdzie α jest kątem między wektorami tej nieskończenie małej powierzchni, a wektorem prędkości z jaką wypływa ten właśnie ładunek.

Ubytek ładunku i prędkość ubytku ładunku są napisane:

$-dq=\oint_S\rho \vec{v}d\vec{S}dt\Rightarrow -{{dq}\over{dt}}=\oint_S\rho\vec{v}d\vec{S}\;$

(16.3)

Oczywiste jest, że końcowe wzory (16.2) i (16.3) możemy ze sobą połączyć, w rezultacie otrzymując tożsamość:

$-\int_V{{\partial\rho}\over{\partial t}}dV=\oint_S\rho\vec{v}d\vec{S}\;$

(16.4)

Następnym krokiem jest zastosowanie prawa Ostrogradskiego-Gaussa przy zamianie całki powierzchniowej przy całkowaniu na powierzchni zamkniętej na całkę po objętości, którą ogranicza ta właśnie powierzchnia, dla prawej strony równania (16.4), stąd wniosek:

$-\int_V{{\partial\rho}\over{\partial t}}dV=\int_V\nabla\cdot\left(\rho\vec{v}\right)dV\;$

(16.5)

W równaniu (16.5) możemy przenieść wszystko na jedną stronę, wtedy otrzymujemy, że całka po objętości, którą ogranicza dowolna objętość jest zawsze równa zero:

$\int_V\left[\nabla\cdot\left(\rho\vec{v}\right)+{{\partial\rho}\over{\partial t}}\right]dV=0\;$

(16.6)

Ponieważ w równaniu (16.6) nic nie powiedzieliśmy po jakiej objętości całkujemy, którego całka zawsze jest zawsze równa zero, zatem dostajemy, że funkcja podcałkowa lewej strony wspomnianego równania jest zawsze równa zero.

$\nabla\cdot\left(\rho\vec{v}\right)+{{\partial\rho}\over{\partial t}}=0\;$

(16.7)

Wyobraźmy sobie przewodnik z prądem, w której płynie prąd o gęstości ładunku ρ przez powierzchnię S , i w nim płyną ładunki z prędkością$\vec{v}\;$, zatem ilość ładunków Δ q, które przepłyną przez tę powierzchnię w czasie Δt, a także natężenie prądu elektrycznego, są wyrażone przez:

$\Delta q=\rho\vec{v}\vec{S}\Delta t\Rightarrow I={{\Delta q}\over{\Delta t}}=\rho\vec{v}\vec{S}\;$

(16.8)

W ostatecznych rachunkach przyjmujemy, że powierzchnia jest prostopadła do prędkości nośników tychże wspomnianych ładunków, czyli wektor tej powierzchni jest równoległy do tej prędkości, zatem gęstość prądu ładunków elektrycznych jest równoległa do prędkości tych ładunków, i jego wartość wyrażamy ją jako stosunek natężenia prądu elektrycznego przez powierzchnię, przez który przepływa ten ładunek:

$I=\rho v S\Rightarrow J={{I}\over{S}}=\rho v\Rightarrow\vec{J}=\rho\vec{v}\;$

(16.9)

Równanie ciągłości (16.7) na podstawie definicji gęstości prądu (16.9) przedstawia się bardziej eleganckiej postaci:

$\nabla\cdot\vec{J}+{{\partial\rho}\over{\partial t}}=0\;$

(16.10)

Co jest równoważne wzorowi (16.10) zapisanej za pomocą nie operatora ∇, tylko za pomocą operatora dywergencji:

$\operatorname{div}\vec{J}+{{\partial\rho}\over{\partial t}}=0\;$

(16.11)

Powyższe równanie jest treścią lokalnej zasady zachowania ładunku w danym punkcje należącym do naszej wspomnianej objętości.

Innym wariantem lokalnej zasady zachowania ładunku obowiązujące dla danej zakrzywionej płaszczyzny analogicznie do równania (16.11) wyraża się za pomocą gęstości ładunku i prądu ładunku powierzchniowego, co zapisujemy w tym przypadku:

$\operatorname{div}\vec{K}+{{\partial\vec{\sigma}}\over{\partial t}}=0$

(16.12)

Twierdzenie Poyntinga, a energia pola elektromagnetycznego, wektor Poyntinga

Tutaj policzymy moc wykonywaną przez siły elektromagnetyczne nad przesunięciem ładunku swobodnego q_sw i jaka jest energia pola elektromagnetycznego. Infinitezymalna praca wykonana nad ładunkiem q przy przesunięciu jego o wektor $d\vec{l}\;$ przez siłę $\vec{F}\;$ jest napisana przez:

$dW_q=\vec{F}\cdot d\vec{l}\;$

(16.13)

Gdzie wektor siły$\vec{F}\;$ występujący we wzorze (16.13) jest to siła Lorentza zdefiniowaną wedle wzoru (8.3) A także przesunięcie występujące w nim zdefiniujmy za pomocą wektora prędkości z jaką dana cząstka porusza się, czyli wedle $d\vec{l}=\vec{v}dt\;$, wtedy nieskończenie mała praca wykonana nad przesunięciem ładunku q_sw w czasie dt jest równa:

$dW_q=q_{sw}\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\vec{v}dt=q_{sw}\vec{E}\cdot\vec{v}dt+q_{sw}\left(\vec{v}\times\vec{B}\right)\vec{v}dt=q_{sw}\vec{E}\cdot\vec{v}dt\;$

(16.14)

Moc wykonywana nad ładunkiem q_sw jest równa stosunkowi nieskończenie małej pracy dW_q w czasie dt przez ten czas, zatem całkowita praca na jednostkę czasu wykonana nad układem nieskończenie małych ładunków rozłożonych w sposób ciągły z gęstością ładunku ρ_sw, w których w tych punktach te ładunki poruszają się z pewnymi prędkościami, w których to punktach o pewnym natężeniu jest pole elektryczne, jest równa:

${{dW_q}\over{dt}}=q_{sw}\vec{E}\cdot\vec{v}\Rightarrow {{dW}\over{dt}}=\int_V\rho_{sw}\vec{E}\cdot\vec{v}dV\;$

(16.15)

Ale ponieważ zachodzi (16.9), to moc (16.15) można wyrazić za pomocą gęstości prądu ładunku elektrycznego, ale swobodnego:

${{dW}\over{dt}}=\int_V\left(\vec{E}\cdot\vec{J}_{sw}\right)dV\;$

(16.16)

Energia mechaniczna układu jest zależna od pewnej całki po pewnej objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia, w której funkcją podcałkową jest iloczynem skalarnym natężenie pola elektrycznego i gęstości ładunków swobodnych. Gęstość prądu elektrycznego objętościowego ładunku swobodnego możemy policzyć z czwartego prawa Maxwella (15.41) dla ośrodków materialnych:

$\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\Rightarrow\vec{J}_{sw}=\left(\nabla\times\vec{H}\right)-{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\;$

(16.17)

Jeśli podstawimy końcowy wzór (16.17) do wzoru (na moc podczas przesuwania układu ładunków swobodnych ciągłych w polu elektrycznym) (16.16), to:

${{dW}\over{dt}}=\int_V\vec{E}\cdot\left(\left(\nabla\times\vec{H}\right)-{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\right)dV=\int_V\vec{E}\cdot\left(\nabla\times\vec{H}\right)dV-\int_V\vec{E}{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\;$

(16.18)

Policzmy teraz wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne w punkcie (16.18), by dalej można było przeprowadzić dalsze obliczenia:

$\nabla\cdot\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)=\nabla_i\epsilon_{ijk}E_jH_k= \epsilon_{ijk}E_j\nabla_iH_k+\epsilon_{ijk}H_k\nabla_i E_j= -\epsilon_{jik}E_j\nabla_i H_k+\epsilon_{kij}H_k\nabla_i E_j=\;$ $=\vec{H}\cdot\left(\nabla\times\vec{E}\right)-\vec{E}\cdot\left(\nabla\times\vec{H}\right)\;$

(16.19)

Zastosowanie wniosków wynikających ze wzoru (16.19) możemy zastosować do równania (16.18):

${{dW}\over{dt}}=\int_V\left[\vec{H}\cdot\left(\nabla\times\vec{E}\right)-\nabla\cdot\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)\right]dV-\int_V\vec{E}\cdot{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}dV\;$

(16.20)

Do wniosku (16.20) możemy zastosować trzecie prawo Maxwella (15.14) dla ośrodków materialnych:

${{dW}\over{dt}}=-\int_V\vec{H}\cdot{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}-\int_V\vec{E}\cdot{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}dV-\int_V\nabla\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)dV\;$

(16.21)

Wektor natężenia pola magnetycznego możemy przedstawić przy pomocy indukcji pola magnetycznego i magnetyzacji, wedle wzoru (15.36), a wektor magnetyzacji jak dla ośrodków magnetycznych (11.30), a wektor indukcji elektrycznej pola elektrycznego możemy zapisać wedle wzoru (15.33), a polaryzację w zależności od panującego w nim pola elektrycznego zapisujemy za pomocą wzoru (6.16). Jeśli biorąc wszystkie te wnioski i wyrażając wektor indukcji pola magnetycznego przez jego natężenie, a wektor indukcji pola elektrycznego przez jego natężenie, to mamy:

$\vec{B}=\mu_0\vec{H}+\vec{M}=(\mu_0+\hat{\chi})\vec{H}\;$ (16.22)

$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}=(\epsilon_0+\hat{\beta})\vec{E}\;$ (16.23)

Jeśli założymy dodatkowo, że tensory $\hat{\chi}\;$ i $\hat{\beta}\;$ nie zależą od czasu, to po wykorzystaniu wniosku (16.22) i (16.23), wtedy wzór (16.21), po zastosowaniu prawa Ostrogradskiego-Gaussa dla ostatniego składnika tego równania, zapisujemy:

${{dW}\over{dt}}=-{{d}\over{dt}}\int_V{{1}\over{2}}\left( \vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)-\oint_S\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)d\vec{S}\;$

(16.24)

Wektorem Poyntinga nazywamy wektor, którego wartość jest energię przenoszoną przez pole elektromagnetyczne w jednostce czasu na jednostkę powierzchni, o kierunku i zwrocie zgodnej z przenoszeniem energii w danym punkcie:

$\vec{P}=\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)\;$

(16.25)

Wielkość$\vec{P}\cdot d\vec{S}\;$ nazywamy strumieniem energii przechodzący przez infinitezymalną powierzchnię $d\vec{S}\;$, zatem $\vec{P}\;$ jest gęstością tego strumienia. Energię pola elektromagnetycznego na podstawie równania (16.24), która jest zależna od indukcji i natężenia pola elektrycznego, a także od indukcji i natężenia pola magnetycznego, nazywamy równość:

$U_{em}={{1}\over{2}}\int_V\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)dV$

(16.26)

Twierdzenie Poytinga, które piszemy według wzoru (16.24) rysujemy je przy pomocy oznaczenia dla wektora Poytinga (16.25) i przy pomocy oznaczenia energii pola elektromagnetycznego (16.26), zapisujemy:

${{dW}\over{dt}}=-{{dU_{em}}\over{dt}}-\oint_S\vec{P}\cdot d\vec{S}\;$

(16.27)

Jeśli cząstka poruszająca się w polu elektromagnetycznym, to ma pewną energię mechaniczną, to można napisać wiedząc, że:$u_{mech}\;$ jest to gęstość energii mechanicznej zapisanej na podstawie wzoru (16.26)

$u_{em}={{1}\over{2}}\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)\;$

(16.28)

Definicja gęstości energii elektromagnetycznej u_em zależy od wektora natężenia i indukcji pola elektrycznego oraz od natężenia i indukcji pola magnetycznego. W ogólności jak się przekonano się wcześniej, że wektory charakteryzujące pole elektryczne lub magnetyczne występujące we wzorze (16.28) nie są w ogólności równoległe, lecz mogą, a nie muszą być pod zerowym pewnym kątem. Wedle definicji (16.28) wzór (16.27), przy definicji gęstości energii mechanicznej u_mech, zapisujemy w postaci:

${{d}\over{dt}}\int_V u_{mech}dV=-{{d}\over{dt}}\int_Vu_{em}dV-\oint_S\vec{P}\cdot d\vec{S}\;$

(16.29)

Wtedy ostatecznie wzór (16.29) możemy napisać biorąc w jedno miejsce gęstość energii mechanicznej i elektromagnetycznej, mamy:

${{d}\over{dt}}\int_V\left(u_{mech}+u_{em}\right)dV=-\int_V\left(\nabla\cdot\vec{P}\right)d\vec{S}\Rightarrow\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)dV=-\int_V\left(\nabla\cdot\vec{P}\right)dV\;$

(16.30)

Ponieważ we wzorze (16.30) mamy do czynienia z dowolnymi objętościami, zatem również słuszny jest wzór:

${{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)=-\nabla\cdot\vec{P}\Rightarrow {{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)+\operatorname{div}\vec{P}=0\;$

(16.31)

Prawo (16.31) możemy zapisać jako równanie ciągłości (16.11) przy którym gęstość ładunku elektrycznego odpowiada gęstość energii układu mechanicznego u_mech i pola elektromagnetycznego u_em (16.28), a gęstości prądu elektrycznego odpowiada wektorowi Poytinga (16.25).

Tensor napięć Maxwella

Gęstością objętościową siły nazywamy stosunek nieskończenie małej siły Lorenzta (8.3) działający na nieskończenie mały ładunek swobodny dq_sw znajdujący się w objętości dV w danym punkcie przestrzeni, w której gęstość ładunku wynosi ρ_sw przez objętość dV, w której znajduje się ten nasz wspomniany ładunek, co przedstawiamy:

$\vec{f}={{d\vec{F}}\over{dV}}= {{dq_{sw}}\over{dV}}\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)dV= \rho_{sw}\vec{E}+\rho_{sw}\vec{v}\times\vec{B}$

(16.32)

Gęstość objętościowa prądu ładunku elektrycznego swobodnego w zależności od jego prędkości i jego gęstości objętościowej piszemy wzorem (16.9), wtedy na podstawie tego wzór (16.32) piszemy:

$\vec{f}=\rho_{sw}\vec{E}+\vec{J}_{sw}\times\vec{B}$

(16.33)

Całkowita siła działająca na układ nieskończenie małych ładunków znajdujących się w objętości V ograniczonej przez powierzchnię zamkniętą piszemy ją jako całkę z funkcji (16.33) względem objętości po całej tej objętości ograniczonej przez nas wspomniany obiekt.

$\vec{F}=\int_V\vec{f}dV=\int_V\left(\rho_{sw}\vec{E}+\vec{J}_{sw}\times\vec{B}\right)dV$

(16.34)

Będziemy korzystać z pierwszego (15.38) i czwartego (15.41) prawa Maxwella dla materii, wtedy wzór (16.34) przyjmuje formę:

$\vec{f}=\rho_{sw}\vec{E}+\vec{J}_{sw}\times\vec{B}\Rightarrow \left(\nabla\cdot\vec{D}\right)\vec{E}+\left[\left(\nabla\times\vec{H}\right)-{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\right]\times\vec{B}$

(16.35)

Wzór (16.35) po opuszczeniu w nim nawiasów przyjmuje bardziej przyzwoity wygląd:

$\vec{f}=\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}+\left(\nabla\times\vec{H}\right)\times\vec{B}- {{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\times\vec{B}$

(16.36)

Wyznaczmy tożsamość, która będzie nam potrzebna w późniejszych obliczeniach, przy okazji będziemy korzystać z trzeciego prawa Maxwella dla materii (15.40).

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)={{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\times\vec{B}+\vec{D}\times{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\Rightarrow{{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)={{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\times\vec{B}-\vec{D}\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)\Rightarrow$ $\Rightarrow{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}\times\vec{B}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)+\vec{D}\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)$

(16.37)

Gęstość siły (16.36), po uwzględnieniu udowodnionej tożsamości (16.37), jest równa:

$\vec{f}=\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}+\left(\nabla\times\vec{H}\right)\times\vec{B}- \left[{{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)+\vec{D}\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)\right]=$ $=\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}-\left[\vec{B}\times\left(\nabla\times\vec{H}\right)+\vec{D}\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)\right]- {{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)$

(16.38)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze potrzebne do dalszych obliczeń w punkcie (16.38), w końcowych jego obliczeniach w tym naszym wyrażeniu z korzystamy z definicji indukcji pola elektrycznego (15.33) dla ośrodka materialnego o pewnej polaryzacji elektrycznej napisanej wzorem (6.16), czyli korzystamy ze wzoru (16.23), to wtedy możemy przeprowadzić nasze obliczenia:

$\vec{D}\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)= \vec{k}_{i}\epsilon_{ijk}D_j\left(\nabla\times\vec{E}\right)_k= \vec{k}_{i}\epsilon_{jk}D_j\epsilon_{klm}\nabla_l E_m= \vec{k}_i\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}D_j\nabla_l E_m=$ $=\vec{k}_i\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)D_j\nabla_l E_m= \vec{k}_i\delta_{il}\delta_{jm}D_j\nabla_l E_m-\vec{k}_i\delta_{im}\delta_{jl}D_j\nabla_l E_m=$ $=\vec{k}_i jD_j\nabla_i E_j-\vec{k}_i D_j\nabla_j E_i={{1}\over{2}}\nabla \vec{E}\vec{D}-\left(\vec{D}\nabla\right)\vec{E}$

(16.39)

Również otrzymujemy inną tożsamość, jeśli we wniosku (16.39) zastąpimy wektor indukcji pola elektrycznego wektorem indukcji pola magnetycznego, a wektor natężenia pola elektrycznego wektorem natężenia pola magnetycznego, mając na myśli gdy mamy ośrodek materialny o pewnej polaryzacji magnetycznej, której natężenie pola elektrycznego definiujemy wzorem (15.36), czyli łącznie korzystając ze wzoru (16.22), otrzymujemy:

$\vec{B}\times\left(\nabla\times\vec{H}\right)={{1}\over{2}}\nabla\vec{H}\vec{B}-\left(\vec{B}\nabla\right)\vec{H}$

(16.40)

Według wysuniętych wniosków (16.39) dla pola elektrycznego i (16.40) dla pola magnetycznego równanie na gęstość siły (16.38) przyjmuje postać:

$\vec{f}=\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}-\left[\left({{1}\over{2}}\nabla \vec{H}\vec{B}-\left(\vec{B}\nabla\right)\vec{H}\right)+\left({{1}\over{2}}\nabla \vec{E}\vec{D}-\left(\vec{D}\nabla\right)\vec{E}\right)\right]- {{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)$

(16.41)

Po krótkich przekształceniach w punkcie (16.41) nad wielkością, która jest gęstością siły działającej na ładunek swobodny, można powiedzieć:

$\vec{f}=\left[\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}+\left(\vec{D}\nabla\right)\vec{E}\right] +\left(\vec{B}\nabla\right)\vec{H}-{{1}\over{2}}\nabla\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{D}\right)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)$

(16.42)

Następnym krokiem jest skorzystanie z drugiego prawa Maxwella (15.39) dla materii, wedle tego wzór (16.42) przyjmuje postać:

$\vec{f}=\left[\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}+\left(\vec{D}\nabla\right)\vec{E}\right] +\left[\left(\nabla\vec{B}\right) \vec{H}+\left(\vec{B}\nabla\right)\vec{H}\right]-{{1}\over{2}}\nabla\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)$

(16.43)

W prowadźmy ogólnie niesymetryczny tensor T_ij, który nazwiemy tensorem napięć Maxwella, co go zapisujemy:

$T_{ij}=\left(D_iE_j-{{1}\over{2}}\delta_{ij}\vec{E}\vec{D}\right)+\left(B_iH_j-{{1}\over{2}}\delta_{ij}\vec{H}\vec{B}\right)$

(16.44)

Tensor (16.44) jest z oczywistych powodów w ogólności tensorem asymetrycznym, ale tylko dla ośrodków liniowych jest tensorem symetrycznym dla ośrodka liniowego zarówno magnetycznie i elektrycznie, tzn. w którym zachodzą wzory (15.44) i (15.45).

Wyznaczmy dywergencję tensora napięć Maxwella zdefiniowanej w punkcie (16.44) i policzmy co wtedy wyjdzie:

$\vec{k}_i\nabla_i T_{ij}=\vec{k}_i\left(E_j\nabla_i D_i+D_i\nabla_i E_j\right)+\vec{k}_i\left(H_j\nabla _iB_i+B_i\nabla_i H_j\right)-{{1}\over{2}}\nabla\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)=$ $=\left[\left(\nabla\vec{D}\right)\vec{E}+\left(\vec{D}\nabla\right)\vec{E}\right] +\left[\left(\nabla\vec{B}\right) \vec{H}+\left(\vec{B}\nabla\right)\vec{H}\right]-{{1}\over{2}}\nabla\left( \vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)$

(16.45)

Równanie na gęstość siły (16.43), na podstawie definicji tensora napięć Maxwella (16.44), korzystając z obliczeń przedstawionych w punkcie (16.45), przedstawiamy:

$\vec{f}=\nabla\cdot \hat{T}-{{\partial}\over{\partial t}}\underbrace{\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)}_{\vec{P}_a}$

(16.46)

Wielkość występująca we wzorze (16.46) pod pochodną cząstkową względem czasu nazwijmy tensorem Poitinga i oznaczmy go przez $\vec{P}_a\;$. Dla pola elektromagnetycznego znajdujących się nie w ośrodku, ale w próżni, to ten wektor można oznaczyć przy pomocy wektora Poytinga (16.25) wedle:

$\vec{P}_a=\vec{D}\times\vec{B}=\epsilon_0\mu_0\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)=\epsilon_0\mu_0\vec{P}\;$

(16.47)

Wzór na gęstość siły działającej na ładunki swobodne przy definicji wektora $\vec{P}_a\;$, możemy zatem napisać:

$\vec{f}=\nabla \hat{T}-{{\partial}\over{\partial t}}\vec{P}_a$

(16.48)

Całkowita siła działająca na ładunki swobodne w materii znajdującej się w pewnej objętości ograniczonej przez powierzchnię zamkniętą wyraża się:

$\vec{F}=\int_V\nabla\hat{T}dV-\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\vec{P}_adV=\oint_S \hat{T}d\vec{S}-{{d}\over{dt}}\int_V\vec{P}_adV=\oint_S \hat{T}d\vec{S}-{{d}\over{dt}}\int_V\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)dV$

(16.49)

Zasada zachowania pędu a pole elektromagnetyczne

Tutaj dowiemy się, że pole elektromagnetyczne posiada również pęd, tak jak układy mechaniczne. Z drugiej jednak strony z zasady dynamiki Einsteina siła działająca na ładunek powoduje zmianę pędu mechanicznego układu wszystkich ładunków p_mech, co piszemy równaniem:

${{d\vec{p}_{mech}}\over{dt}}=\vec{F}$

(16.50)

Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą siłę działająca na układ ładunków znajdujących się w pewnej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą (16.49) i podstawieniu jego do wzoru (16.50), wtedy dostajemy równanie:

${{d\vec{p}_{mech}}\over{dt}}=\oint_S\hat{T}d\vec{S}-{{d}\over{dt}}\int_V\vec{P}_adV$

(16.51)

W prowadźmy definicje pędu pola elektromagnetycznego poprzez wektor indukcji elektrycznej i magnetycznej:

$\vec{p}_{em}=\int_V\vec{P}_adV=\int_V\left(\vec{D}\times\vec{B}\right)dV$

(16.52)

Równanie (16.50) na podstawie definicji pędu pola elektromagnetycznego (16.52) przyjmuje bardziej uproszczoną postać, wtedy wyrazy związane z pędem elektromagnetycznym w powstałym równaniu przenosimy na jej lewą stronę i włączając go pod operator pochodnej zupełnej względem czasu, wtedy całościowo dochodzimy do wniosku:

${{d\vec{p}_{mech}}\over{dt}}=-{{d}\over{dt}}\vec{p}_{em}+\oint_S\hat{T}d\vec{S}\Rightarrow{{d}\over{dt}}\left(\vec{p}_{mech}+\vec{p}_{em}\right)=\oint_S\hat{T}d\vec{S}$

(16.53)

Dochodzimy więc do wniosku, że wielkość $_{\oint_S\hat{T}d\vec{S}}$ spełnia rolę siły działającej na układ mechaniczny i pole elektromagnetyczne. Gęstością pędu elektromagnetycznego, który panuje w danym punkcie w przestrzeni, piszemy na podstawie definicji pędu pola magnetycznego:

$\vec{\mathfrak{p}}_{em}=\vec{P}_a=\vec{D}\times\vec{B}\;$

(16.54)

Jeśli we wzorze końcowym (16.53) podstawimy za pęd elektromagnetyczny i pęd mechaniczny pewne całki objętościowe, którymi funkcjami podcałkowymi są gęstość pędu elektromagnetycznego i gęstość pędu mechanicznego, i zastosujemy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla prawej strony tego wzoru, w rezultacie:

${{d}\over{dt}}\left(\int_V\vec{\mathfrak{p}}_{mech}dV+\int\vec{\mathfrak{p}}_{em}dV\right)=\int_V\nabla\cdot\hat{T}dV\Rightarrow {{d}\over{dt}}\int_V\left(\vec{\mathfrak{p}}_{mech}+\vec{\mathfrak{p}}_{em}\right)dV=\int_V\nabla\cdot\hat{T}dV\Rightarrow\;$ $\Rightarrow\int_V\left[{{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{\mathfrak{p}}_{mech}+\vec{\mathfrak{p}}_{em}\right)\right]dV=\int_V\nabla\cdot\hat{T}dV$

(16.55)

Równanie (16.55) jest spełnione dla dowolnych objętości, zatem funkcje podcałkowe prawej i lewej strony tego równania muszą być sobie równe, otrzymujemy:

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{\mathfrak{p}}_{mech}+\vec{\mathfrak{p}}_{em}\right)=\nabla\cdot\hat{T}\Rightarrow {{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{\mathfrak{p}}_{mech}+\vec{\mathfrak{p}}_{em}\right)+\nabla\cdot(-\hat{T})=0\;$

(16.56)

Powyższe równanie wynikowe jest odpowiednikiem równania ciągłości dla zasady zachowania pędu.

Moment pędu pola elektromagnetycznego

Jeśli pole elektromagnetyczne posiada pęd, to również musi posiadać również moment pędu, jak tutaj udowodnimy. Pęd pola elektromagnetycznego przestawiamy wedle wzoru (16.52), a gęstość pędu pola elektromagnetycznego możemy napisać na podstawie definicji pędu wedle (16.54). Gęstość momentu pędu według definicji momentu pędu jest iloczynem wektorowym danego punktu w przestrzeni i gęstości pędu elektromagnetycznego w tym punkcie (16.54):

$\vec{\mathfrak{l}}_{em}=\vec{r}\times\vec{\mathfrak{p}}_{em}$

(16.57)

A więc całkowity moment pędu pola elektromagnetycznego znajdujący się w pewnej objętości ograniczony powierzchnią zamkniętą jest całką objętościową funkcji gęstości momentu pędu elektromagnetycznego (16.57):

$\vec{L}_{em}=\int_V\vec{\mathfrak{l}}_{em}dV=\int_V\left(\vec{r}\times\vec{\mathfrak{p}}_{em}\right)dV$

(16.58)

Równość (16.56) mnożymy lewostronnie przez $\vec{r}\times\;$, otrzymujemy:

$\vec{r}\times{{\partial}\over{\partial t}}\left(\mathfrak{p}_{mech}+\mathfrak{p}_{em}\right)+\vec{r}\times\nabla\cdot\left(-\hat{T}\right)=0\Rightarrow {{\partial}\over{\partial t}}\left(\vec{\mathfrak{l}}_{mech}+\vec{\mathfrak{l}}_{em}\right)+\nabla\cdot\left(\hat{T}\times\vec{r}\right)=0\;$

(16.59)

Równanie (16.59) jest lokalnym równaniem ciągłości zachowania momentu pędu.

Fale elektromagnetyczne w elektrodynamice Maxwella

Będziemy zajmować się falami elektromagnetycznymi rozchodzące się w próżni lub w jakimś ośrodku.

Fale elektromagnetyczne w ośrodku liniowym w tym próżni

Równanie falowe pola elektrycznego

Bardzo nam będzie potrzebna tożsamość, którą zastosujemy do wyprowadzenia równania falowego, obrazujące falowy charakter natężenia pola elektrycznego od czasu, która jak udowodnimy później rozchodzi się z prędkością światła v w danym ośrodku liniowym materialnym.

$\nabla\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\epsilon_{klm}\nabla_lE_m= \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_j\nabla_l E_m=\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)\nabla_j\nabla_l E_m=\;$ $=\delta_{il}\delta_{jm}\nabla_j\nabla_l E_m-\delta_{im}\delta_{jl}\nabla_j\nabla_l E_m= \nabla_j\nabla_i E_j-\nabla_j\nabla_j E_i=\;$ $=\nabla_i\nabla_j E_j-\nabla_j\nabla_j E_i=\nabla\left(\nabla\vec{E}\right)-\Delta\vec{E}\;$

(17.1)

Wykorzystując pierwsze (15.46) i czwarte (15.49) prawo Maxwella dla ośrodków liniowych, zakładając przy tym, że nie rozkładu ładunków i prądów swobodnych, tam gdzie rozchodzą się fale elektromagnetyczne, tzn. w tych obszarach gęstość ładunków swobodnych i prąd objętościowy swobodny są równe zero, przestawiamy je:

$\nabla\times\vec{B}=\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\;$ (17.2)

$\nabla\vec{E}=0\;$ (17.3)

Wykorzystując prawa elektrodynamiki bez ładunków i prądów w przestrzeni , czyli wzoru (15.48) i wzoru (17.3) do prawa (17.1), wtedy mamy:

$\nabla\times\left(-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)=-\Delta\vec{E}\Rightarrow {{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\Delta\vec{E} \;$

(17.4)

Następnym krokiem jest zastosowanie czwartego prawa Maxwella bez prądów objętościowych ładunków elektrycznych (17.2) do wzoru końcowego wynikowego (17.4) podstawiając za jego lewą stronę prawą stronę przedostatniego równania, zatem w ostateczności dostajemy wniosek słuszny dla ośrodka liniowego, w tym próżni, który też jest w pewnym sensie ośrodkiem liniowym o względnych przenikalnościach elektrycznych μ_r i magnetycznych μ_r równej jeden.

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\mu\epsilon{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)=\Delta\vec{E}\Rightarrow\Delta\vec{E}=\epsilon\mu{{\partial^2 \vec{E}}\over{\partial t^2}}\;$

(17.5)

Równanie końcowe zapisane w punkcie (17.5) jest to równanie falowe dla natężenia pola elektrycznego dla fali elektrycznej.

Równanie falowe pola magnetycznego

Bardzo nam będzie potrzebna tożsamość, którą zastosujemy do wyprowadzenia równania falowego, obrazujące falowy charakter indukcji pola magnetycznego od czasu, która jak udowodnimy później rozchodzi się z prędkością światła v w danym ośrodku liniowym materialnym. Zależność udowodnioną w punkcie (17.1) dla natężenia pola elektrycznego, jak się okazuje słuszna, gdy zamiast wektora $\vec{E}\;$ występuje $\vec{B}\;$, zatem tę tożsamość piszemy:

$\nabla\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\left(\nabla\vec{B}\right)-\Delta\vec{B}\;$

(17.6)

Korzystamy z czwartego prawa Maxwella (17.2), które jest słuszne, gdy płynące prądy objętościowe wynoszą zero, i z drugiego prawa Maxwella (15.47), wtedy równanie (17.6) przyjmuje postać:

$\mu\epsilon\nabla\left(-{{\partial}\over{\partial t}}\vec{E}\right)=-\Delta\vec{B}\Rightarrow \epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\Delta\vec{B}\;$

(17.7)

Ostatnim krokiem jest wykorzystanie trzeciego prawa Maxwella (15.48) do równanie wcześniej wyprowadzonego (17.7), podstawiając za jego lewą stronę w naszej wspomnianej tożsamości jej prawą stronę, zatem w ostateczności dostajemy wniosek słuszny dla ośrodka liniowego, w tym próżni, a dlaczego co wcześniej wytłumaczyliśmy w przypadku fali pola elektrycznego.

$\epsilon\mu{{\partial^2\vec{B}}\over{\partial t^2}}=\Delta\vec{B}\;$

(17.8)

Równanie końcowe zapisane w punkcie (17.8) jest to równanie falowe dla indukcji pola magnetycznego dla fali magnetycznej.

Prędkość fali pola elektromagnetycznego

Równania falowe równań pola elektromagnetycznego dla fali magnetycznej (17.8) i elektrycznej (17.5) są to równania falowe, bo spełniają ogólne równanie falowe:

$\nabla \vec{f}={{1}\over{v^2}}{{\partial^2 \vec{f}}\over{\partial t^2}}\;$

(17.9)

• gdzie v jest to prędkość grupowa fali.

A zatem dla fal elektromagnetycznych dla wspomnianych wcześniej wzorów dla fali zarówno magnetycznej i elektrycznej mamy na pewno:

${{1}\over{v^2}}=\epsilon\mu\Rightarrow v={{1}\over{\sqrt{\epsilon\mu}}}\;$

(17.10)

Zatem udowodniliśmy, że wielkość wynikająca z końcowych obliczeń liczbowo razem z mianami (17.10) jest to prędkość światła "v", czyli tym samym co prędkość fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku liniowym.

Propagacja fal elektromagnetycznych w ośrodku liniowym

Prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku liniowym wyraża się wzorem (17.10), a dla próżni mamy μ=μ₀ i ε=ε₀, wyraża się:

$c={{1}\over{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}}\;$

(17.11)

Jeśli zastosujemy związki (7.36) dla pola elektrycznego i (12.31) dla pola magnetycznego, wtedy związek (17.10) na podstawie tożsamości na prędkość światła w próżni c (17.11), wtedy wzór na prędkość światła w ośrodku liniowym, w zależności od prędkości światła w próżni i względnych stałych przenikalności elektrycznych i magnetycznych dla tego naszego ośrodka liniowego, przedstawia się:

$v={{1}\over{\sqrt{\epsilon\mu}}}= {{1}\over{\sqrt{\epsilon_r\epsilon_0\mu_r\mu_0}}}= {{1}\over{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}}{{1}\over{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}}\Rightarrow v={{c}\over{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}}\;$

(17.12)

Zatem współczynnik załamania dla ośrodka liniowego po skorzystaniu, że współczynnik załamania jest stosunkiem prędkości światła w próżni przez prędkość światła w ośrodku liniowym, zatem piszemy go:

$n={{c}\over{v}}=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}=\sqrt{{{\epsilon\mu}\over{\epsilon_0\mu_0}}}\;$

(17.13)

Monochromatyczna fala elektromagnetyczna płaska w ośrodku liniowym

Rozwiązaniem równania falowego zarówno dla pola magnetycznego (17.8) i elektrycznego (17.5) są to rozwiązania w postaci:

$\vec{E}(z,t)=\vec{E}_0e^{i(kz-\omega t)}\;$ (17.14)

$\vec{B}(z,t)=\vec{B}_0e^{i(kx-\omega t)}\;$ (17.15)

Sprawdźmy czy równanie fali dla pola elektrycznego (17.14) spełnia równanie falowe (17.5), w tym celu policzmy dwie drugie pochodne względem współrzędnej zetowej i czasowej.

${{\partial^2\vec{E}(z,t)}\over{\partial z^2}}=-\vec{E}_0k^2\;$ (17.16)

${{\partial\vec{E}(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\vec{E}\omega^2\;$ (17.17)

Z korzystajmy z równania falowego dla pola elektrycznego, którego ogólne równania dla fali jest (17.9) i załóżmy, że mamy do czynienia z falą płaską rozchodzącą się równolegle do osi zetowej i wykorzystując obliczenia (17.16) i (17.17), wtedy dochodzimy do wniosku:

$-\vec{E}_0k^2=-{{1}\over{v^2}}\vec{E}\omega^2\Rightarrow {{1}\over{v^2}}={{k^2}\over{\omega^2}}\Rightarrow v={{\omega}\over{k}}\;$

(17.18)

Oczywiste jest, że na podstawie obliczeń (17.18) zachodzi związek ω=vk. Zbadajmy następnie, teraz czy fala elektromagnetyczna płaska jest falą podłużną czy poprzeczną.

Ponieważ stałe $\vec{B}_0\;$ i $\vec{E}_0\;$ występujące we wzorach (17.14) i (17.15) są stałymi w sensie strykto, zatem skorzystajmy z pierwszego prawa Maxwella dla ośrodka liniowego (17.2), gdy w ośrodku liniowym w punkcie w której rozchodzi się fala nie ma ładunków elektrycznych, zatem rozwiązanie (17.14) równania falowego możemy podstawić do tego prawa, w ostateczności otrzymujemy wniosek:

$0=\nabla\vec{E}=\left(\vec{i}{{\partial}\over{\partial x}}+\vec{j}{{\partial}\over{\partial y}}+\vec{k}{{\partial}\over{\partial z}}\right)\vec{E}(z,t)= \left(\vec{E}_0\right)_z{{\partial}\over{\partial z}}e^{i(kz-\omega t)}=ik\left(\vec{E}_0\right)_ze^{i(kx-\omega t)}\;$

(17.19)

Dochodzimy na podstawie wniosku (17.19), że fala elektryczna jest falą poprzeczną, podobnie fala magnetyczna jest falą poprzeczną jak można udowodnić podobnie.

Następnie z korzystajmy z prawa Faraday'a (15.48), i udowodnijmy prostopadłość obu pól, tzn. dla pola magnetycznego i elektrycznego fali elektromagnetycznej. Naszym krokiem jest wyznaczenie dwóch związków występujących w tym naszym wspomnianej wcześniej w prawie, czyli policzmy pierwsze wyrażenie:

$-{{\partial}\over{\partial t}}(\vec{B}(z,t))=-i\omega(\vec{B}(z,t))\;$

(17.20)

Drugie wyrażenie występujące w tym samym prawie:

$\nabla\times\vec{E}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ (E_0)_x e^{i(kz-\omega t)}&(E_0)_y e^{i(kz-\omega t)}&0\\ \end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ (E_0)_y e^{i(kz-\omega t)}&0\\ \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ (E_0)_x e^{i(kx-\omega t)}&0\\ \end{vmatrix}+\;$ $+\vec{k}\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}\\ (E_0)_x e^{i(kz-\omega t)}&(E_0)_y e^{i(kz-\omega t)}\\ \end{vmatrix}=-ik\vec{i}(E_0)_ye^{i(kz-\omega t)}+ik\vec{j}(E_0)_xe^{i(kx-\omega t)} \;$

(17.21)

Korzystając z obliczeń (17.20) i (17.21) i przyrównując obie strony tych obliczeń do siebie według prawa Faraday'a (15.48) otrzymamy wniosek wynikający z tym dysput.

$i\omega(B_0)_x=-ik(E_0)_y\Rightarrow \omega(B_0)_x=-k(E_0)_y\;$ (17.22)

$i\omega(B_0)_y=ik(E_0)_x\Rightarrow \omega(B_0)_y=k(E_0)_x\;$ (17.23)

Dwa warunki (17.22) i (17.23) możemy z nich zrobić jeden wzór wektorowy, wtedy otrzymujemy zależność amplitudy indukcji pola magnetycznego od amplitudy natężenia pola elektrycznego, co zapisujemy jako:

$\vec{B}_0={{k}\over{\omega}}\left(\hat{z}\times\vec{E}_0\right)\;$

(17.24)

Dowód równoważności równania wektorowego (17.24) z dwoma wzorami (17.22) i (17.23) możemy przeprowadzić według obliczeń:

${{\omega}\over{k}}\vec{B}_0=\hat{z}\times\vec{E}_0=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&0&1\\ (E_0)_x&(E_0)_y&0\\ \end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} 0&1\\ (E_0)_y&0 \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 0&1\\ (E_0)_x&0\\ \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} 0&0\\ (E_0)x&(E_0)_y \end{vmatrix}=\;$ $=-\vec{i}(E_0)_y+\vec{j}(E_0)_x\;$

(17.25)

Co udało się udowodnić równoważność wzoru wektorowego (17.24) z dwoma równaniami skalarnymi (17.22) i (17.23) na podstawie obliczeń (17.25).

Sprawdźmy co otrzymamy z czwartego prawa elektrodynamiki Maxwella (17.2), gdy w przestrzeni nie płyną żadne prądy swobodne dla fali elektromagnetycznej, zatem policzmy prawą stronę tego równania:

$\mu_0\epsilon_0{{\partial}\over{\partial t}}\vec{E}e^{i(kz-\omega t)}=-i\mu_0\epsilon_0\omega \vec{E}^{i(kz-\omega t)}=-i\mu_0\epsilon_0\omega \vec{E}_0e^{i(kz-\omega t)}=-i{{1}\over{c^2}}\omega \vec{E}_0e^{i(kz-\omega t)}=$ $=-i{{k^2}\over{\omega^2}}\omega\vec{E}_0e^{i(kz-\omega t)}=-i{{k^2}\over{\omega}}\vec{E}_0e^{i(kz-\omega t)}$

(17.26)

A teraz rotację fali elektromagnetycznej pola magnetycznego, czyli lewej strony wspomnianego wcześniej prawa, ale wyznaczmy dla tej samej fali co poprzednio:

$\nabla\times\vec{B}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial x}}\\ (B_0)_xe^{i(kz-\omega t)}&(B_0)_ye^{i(kz-\omega t)}&0\\ \end{vmatrix}= \vec{i}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ (B_0)_ye^{i(kz-\omega t)}&0\\ \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} {{\partial }\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ (B_0)_xe^{i(kz-\omega t)}&0\\ \end{vmatrix}+$ $+\vec{k}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}\\ (B_0)_xe^{i(kz-\omega t)}&(B_0)_ye^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}=-\vec{i}ik (B_0)_y e^{i(kz-\omega t)}+\vec{j}ik(B_0)_xe^{i(kz-\omega t)}=$ $=e^{i(kz-\omega t)}\left[-\vec{i}ik(B_0)_y+\vec{j}ik(B_0)_x\right]$

(17.27)

Przyrównajmy do siebie obliczone wyrażenia (17.26) i (17.27) według czwartego prawo Maxwella przy zerowej gęstości prądu objętościowego dla fali elektromagnetycznej:

$e^{i(kz-\omega t)}\left[-\vec{i}ik(B_0)_y+\vec{j}ik(B_0)_x\right]=-i{{k^2}\over{\omega}}\vec{E}_0e^{i(kz-\omega t)}$

(17.28)

Z równania wektorowego (17.28) dostajemy dwa skalarne równanie, które są równoważne z tym ostatnim dla pierwszego równania skalarnego:

$-ik(B_0)_y=-i{{k^2}\over{\omega}}(E_0)_x\Rightarrow -i\omega(B_0)_y=-ik(E_0)_x\;$

(17.29)

a potem drugiego równania skalarnego:

$ik(B_0)_x=-i{{k^2}\over{\omega}}(E_0)_y\Rightarrow i\omega(B_0)_x=-ik(E_0)_y\;$

(17.30)

Co ostatecznie otrzymujemy na podstawie wniosków (17.29) i (17.30) zależność współrzędnych amplitudy indukcji pola magnetycznego przez współrzędne amplitudy natężenia pola elektrycznego dostając wzory (17.22) i (22.23), a więc otrzymujemy taki sam wzór wektorowy jak wzór zapisanej w punkcie (17.24), czyli otrzymaliśmy nić nowego.

Fala elektromagnetyczna

A więc wszystko się zgadza się, fala magnetyczna jest prostopadła do fali elektrycznej, której rysunek obok przedstawia wygląd fali elektromagnetycznej.

Jeśli określimy wektor propagacji fali elektromagnetycznej przez wektor jednostkowy:$\hat{k}\;$,a przez:$\hat{n}\;$ wektor polaryzacji fali elektrycznej i uwzględnimy związek między amplitudami fali indukcji magnetycznej i natężenia fali elektrycznej, w dowolnym układzie wedle równania (17.24), wtedy otrzymujemy wzory na natężenie elektryczne i indukcję pola magnetycznego fali elektromagnetycznej:

$\vec{E}(\vec{r},t)=E_0e^{(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}\hat{n}\;$ (17.31)

$\vec{B}(\vec{r},t)={{\omega}\over{k}}E_0e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}(\hat{k}\times\hat{n})={{1}\over{v}}\hat{k}\times\hat{E}\;$ (17.32)

Energia oraz pęd pola elektromagnetycznego w szczególności w ośrodku liniowym lub próżni

Wiemy jednak, że amplituda pola magnetycznego wyraża się wzorem (17.24) i wiedząc jeszcze że zachodzi $_{v={{\omega}\over{k}}}\;$ , to wtedy operując na wartościach ich, dostajemy związek:

$B_0={{1}\over{v}}E_0\;$

(17.33)

Jeśli wykorzystamy związek prędkości fali elektromagnetycznej ze przenikalnościami elektrycznymi ε i magnetycznymi μ, w tym dla ośrodka, którym jest próżnia, czyli związku (17.10), to związek między kwadratami amplitud indukcji fali pola magnetycznego i natężenia fali pola elektrycznego wyraża się:

$B^2_0=\mu\epsilon E_0^2\;$

(17.34)

Wyznaczmy średnią wartość kwadratu amplitudy fali pola elektrycznego i magnetycznego wedle:

$\langle E^2\rangle=E^2_0 \langle\sin^2(kz-\omega t)\rangle={{1}\over{2}}E^2_0\;$ (17.35)

$\langle B^2\rangle=B_0^2 \langle\sin^2(kz-\omega t)\rangle={{1}\over{2}}B_0^2={{1}\over{2}}\mu\epsilon E_0^2\;$ (17.36)

Wykorzystując związki dla ośrodka zarówno liniowego elektrycznie i magnetycznie, tzn. (15.44) i (15.45), a także z tożsamości na wartość średnią kwadratu natężenia fali elektrycznej (17.35) i na wartość średnią fali magnetycznego fali magnetycznej (17.36), zatem średnia energia fali elektromagnetycznej według (16.28) wyraża się:

$\langle E\rangle={{1}\over{2}}\left(\epsilon \langle E^2\rangle+{{1}\over{\mu}}\langle B^2\rangle\right)= {{1}\over{2}}\left(\epsilon {{1}\over{2}}E^2+{{1}\over{2\mu}}\mu\epsilon E_0^2\right)= {{1}\over{2}}\epsilon E_0^2\;$

(17.37)

Ilość energii przenoszonej na jednostkę powierzchni na jednostkę czasu, uwzględniający również kierunek propagacji fali elektromagnetycznej, jest równy wektorowi Poytinga (16.25), co dla ośrodka liniowego mamy:

$\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}={{1}\over{\mu}}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)= {{1}\over{\mu}}E_0\cos(kz-\omega t)B_0\cos(kz-\omega t)\hat{z}= {{1}\over{\mu}}{{1}\over{v}}E_0^2\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}=\;$ $={{1}\over{\mu}}\sqrt{\mu\epsilon}E_0^2\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}= \sqrt{{{\epsilon^2}\over{\epsilon\mu}}}E_0^2\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}= \epsilon v E_0^2\cos^2(kz-\omega t)\hat{z} \;$

(17.38)

Skorzystamy, że średni kwadrat kosinusa jest równy według wzoru $_{\langle \cos^2(kz-\omega t)\rangle={{1}\over{2}}}\;$ , zatem wektor Poytinga dla fali elektromagnetycznej policzonej w punkcie (17.38) jest to natężenie fali elektromagnetycznej względem powierzchni, która jest prostopadła do padania tychże fal, to jego średnia wartość jako natężenie fali elektromagnetycznej wyrażamy poprzez:

$I=\langle S\rangle ={{1}\over{2}}\epsilon v E_0^2\;$

(17.39)

Gęstość pędu pola elektromagnetycznego dla ośrodka liniowego wyraża się na podstawie wzoru ogólnego (16.54), dla ośrodka liniowego piszemy wedle:

$\vec{\mathfrak{p}}_{em}=\mu\epsilon \vec{S}={{1}\over{v^2}}\vec{S}={{1}\over{v^2}}\epsilon v E_0^2\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}= {{1}\over{v}}={{1}\over{v}}\epsilon E^2_0\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}\;$

(17.40)

Wartość średniej gęstości pędu dla ośrodka liniowego na podstawie policzonej gęstości pędu (17.40) wyraża się równaniem:

$\langle \mathfrak{p}_{em}\rangle={{1}\over{v}}\epsilon E^2_0\langle\cos^2(kz-\omega t)\rangle={{1}\over{2v}}\epsilon E_0^2\;$

(17.41)

Natężenie i gęstość pędu fali elektromagnetycznej w próżni

Średnie natężenie fali elektromagnetycznej względem powierzchni prostopadłej do padania tychże fal i wartość średniej gęstości pędu też dla tego samej fali w próżni piszemy je na podstawie wzoru na natężenie fali elektromagnetycznej (17.39) względem omawianej powierzchni, a także wartość średniej gęstości pędu (17.41) dla ośrodka liniowego zarówno magnetycznie i elektrycznie:

$I=\langle S\rangle={{1}\over{2}}\epsilon_0 cE_0^2\;$ (17.42)

$\langle\mathfrak{p}_{em}\rangle={{1}\over{2c}}\epsilon_0 E^2_0\;$ (17.43)

Natężenie fali elektromagnetycznej padającej pod pewnym kątem

Obliczymy natężenie fali elektromagnetycznej padającej pod pewnym kątem do powierzchni mając natężenie fali elektromagnetycznej padającej padania fal elektromagnetycznej na powierzchnię pod kątem prostym.

Padające płaska fala elektromagnetyczna pod pewnym kątem

Z rysunku widać że stosunek boku b do l w trójkącie prostokątnym jest równy kosinusowi nachylenia płaszczyzny padania i po wyznaczeniu z niej zmiennej b, wtedy mamy:

${{b}\over{l}}=\cos\theta\Rightarrow b=l\cos\theta\;$

(17.44)

Powierzchnia na którą pada fala elektromagnetyczna, gdy by nie było nachylenia (pierwszy wzór), lub gdy by było nachylenie (drugi wzór), są przestawione według rysunku obok, których definicje:

$S=hb\;$ (17.45)

$S_b=hl\;$ (17.46)

Wyraźmy powierzchnię S (17.45) w zależności od powierzchni S_b (17.46) wedle sposobu:

$S=hb=hl\cos\theta=S_p\cos\theta\;$

(17.47)

Natężenie fali elektromagnetycznej padającej na powierzchnię prostopadłą jest wyrażona w zależności od natężenia fali padającej na powierzchnię pod pewnym kątem i wyrażając to ostatnie natężenie przez te pierwsze, wtedy dostajemy:

$I^{\bot}={{\Delta W}\over{S\Delta t}}={{\Delta W}\over{S_b\Delta t\cos\theta}}=I^{ukos}{{1}\over{\cos\theta}}\Rightarrow I^{ukos}=I^{\bot}\cos\theta\;$

(17.48)

Dochodzimy, że natężenia fali elektromagnetycznej padające na powierzchnię nieprostopadła do niej, której natężenie fali elektromagnetycznej jest mniejsze lub równe do natężeniu fali jakoby ona padała pod katem prostym do płaszczyzny padania, czyli (θ=0), bo w końcowym wzorze (17.48) występuje kosinus, którego wartość bezwzględna jest mniejsza lub równa jeden. To natężenia ukośne I^ukos (17.48), wyrażając w zależności od natężenia amplitudy fali elektromagnetycznej I^bot dla ośrodka liniowego, które było zdefiniowane w punkcie (17.39), jest wyrażone:

$I^{ukos}={{1}\over{2}}\epsilon v E_{0}^2\cos\theta\;$

(17.49)

Promieniowanie elektromagnetyczne w ośrodku materialnym

Tutaj zajmować się będziemy propagacją fal elektromagnetycznych w ośrodku lub w ośrodkach liniowych lub próżni, które spełniając równania (15.44) i (15.45).

Padanie prostopadłe fali elektromagnetycznej na ośrodek, fala odbita i przechodząca

Załóżmy, że:$\hat{x}\;$ i $\hat{y}\;$, to wektory polaryzacji fali elektrycznej i magnetycznej.

Równania fali elektromagnetycznej padającej, tzn. natężenia elektrycznego fali pola elektrycznego i indukcji magnetycznej fali pola magnetycznego są wyrażone:

$\vec{E}_p(z,t)=E_{0p} e^{i(k_1z-\omega_p t)}\hat{x}\;$ (17.50)

$\vec{B}_p(z,t)={{1}\over{v_1}}E_{0p} e^{i(k_1z-\omega_p t)}\hat{y}\;$ (17.51)

Równania fali elektromagnetycznej odbitej, tzn. natężenia elektrycznego fali pola elektrycznego i indukcji magnetycznej fali pola magnetycznego są wyrażone:

$\vec{E}_o(z,t)=E_{0o} e^{i(-k_1z-\omega_o t)}\hat{x}\;$ (17.52)

$\vec{B}_o(z,t)=-{{1}\over{v_1}}E_{0o} e^{i(-k_1x-\omega t)}\hat{y}\;$ (17.53)

Równania fali elektromagnetycznej wchodzącej do drugiego ośrodka, tzn. natężenia elektrycznego fali pola elektrycznego i indukcji magnetycznej fali pola magnetycznego są wyrażone:

$\vec{E}_w(z,t)=E_{0w} e^{i(k_2z-\omega_o t)}\hat{x}\;$ (17.54)

$\vec{B}_w(z,t)={{1}\over{v_2}}E_{0w} e^{i(k_2z-\omega t)}\hat{y}\;$ (17.55)

Fala padająca, odbita i przechodząca przy padaniu prostopadłym

Korzystając, że wektory magnetyczne i elektryczne fali elektromagnetycznej są prostopadłe do kierunku ich propagacji, jeśli mamy prostopadłe padanie, dochodzimy do wniosku, że nie ma prostopadłych składowych dla pola elektrycznego i magnetycznego, są tylko ich równoległe składowe do granicy między ośrodkami, zatem dla pola elektrycznego i magnetycznego otrzymujemy:

$E_{0p}e^{i(k_1z-\omega_p t)}+E_{0o}e^{i(k_1z-\omega_ot)}=$ $=E_{ow}e^{i(k_2z-\omega_p)}\;$

(17.56)

Gdy założymy, że granica pomiędzy dwoma ośrodkami jest dla z=0, bo zakładamy że płaszczyzna ograniczająca dwa różne ośrodki znajduje się w tym właśnie wspomnianym położeniu, zatem równanie (17.56) zapisujemy w bardziej uproszonym schemacie:

$E_{0p}e^{i(-\omega_p t)}+E_{0o}e^{i(-\omega_o)}=E_{ow}e^{i(-\omega_w)}\;$

(17.57)

Aby powyższe równanie było słuszne dla wszystkich czasów t, to musi być spełniona równość wykładników potęg, czyli:

$i(-\omega_p t)=i(-\omega_o t)=i(-\omega_w t)\Rightarrow\omega_p=\omega_o=\omega_w=\omega\;$

(17.58)

Zatem zachodzi równość częstotliwości kołowych dla fali padającej, odbitej i wchodzącej z ośrodka pierwszego do ośrodka drugiego zarówno dla fali pola elektrycznego i magnetycznego, czyli dla fali elektromagnetycznej.

Równość (17.57) na podstawie własności (17.58) przyjmuje wtedy postać:

$E_{0p}+E_{0o}=E_{0w}\;$

(17.59)

Korzystając z wiadomości o falach elektromagnetycznych i warunku ich padania dochodzimy do wniosku, że dla pola magnetycznego i warunku między polem elektrycznym i magnetycznym dla naszej fali (17.24), że:

${{1}\over{\mu_1}}\left({{1}\over{v_1}}E_{0p}-{{1}\over{v_1}}E_{0o}\right)={{1}\over{\mu_2}}\left({{1}\over{v_2}}E_{ow}\right)\;$

(17.60)

Pomnóżmy ostatnie równanie obustronnie przez μ₁v₁, zatem w takim przypadku (17.60) przyjmuje postać:

$E_{0p}-E_{0o}={{\mu_1v_1}\over{\mu_2v_2}}E_{ow}={{\mu_1}\over{\mu_2}}{{{{c}\over{v_2}}}\over{{{c}\over{v_1}}}}E_{ow}={{\mu_1n_2}\over{\mu_2n_1}}E_{ow}\;$

(17.61)

Możemy połączyć wzory (17.61) z (17.59) w jeden układ równań, które jednocześnie zachodzą, i to pierwsze zależne jest od parametru β i od wartości amplitud fali pola elektrycznego promienia padającego E_0p, odbitej E_0o i wchodzącej do drugiego ośrodka E_0w, która jest w pewnym sensie symbolizuje promień załamany pod kątek zerowym, jak się przekonamy w następnym rozdziale:

$\begin{cases} E_{0p}-E_{0o}=\beta E_{0w}\\ E_{0p}+E_{0o}=E_{0w} \end{cases} \;$

(17.62)

Jeśli dwa wzory układu równań (17.62) dodamy do siebie, i wyznaczmy stąd wartość amplitudy fali pola elektrycznego wchodzącej do drugiego ośrodka E_0w poprzez wartość amplitudy fali tego samego pola amplitudy fali padającej E_0p, wtedy dochodzimy do wniosku:

$2E_{0p}=E_{0w}\left(\beta+1\right)\Rightarrow E_{0w}={{2}\over{1+\beta}}E_{0p}\;$

(17.63)

Z drugiego układu równań (17.62) wyznaczamy wielkość E_0o i wykorzystujemy, że amplituda fali wchodzącej jest wyrażona końcowym wzorem (17.63), wtedy możemy wyrazić amplitudę fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej fali pola elektrycznego:

$E_{0o}=E_{0w}-E_{0p}={{2}\over{1+\beta}}E_{0p}-E_{0p}={{2-1-\beta}\over{1+\beta}}E_{0p}={{1-\beta}\over{1+\beta}}E_{0p}\;$

(17.64)

Ponieważ współczynniki μ₁ i μ₂ są bliskie wartości przenikalności magnetycznej w próżni, wtedy parametr β można zdefiniować jako stosunek współczynnika załamania w ośrodku drugim n₂ przez współczynnik załamania w ośrodku pierwszym n₁, co zapisujemy jako:

$\beta={{\mu_1n_2}\over{\mu_2n_1}}\simeq{{n_2}\over{n_1}}\;$

(17.65)

Następnie podstawiając za naszą wielkość β jego przybliżoną definicję napisanej w punkcie (17.65) do wielkości na wartość amplitudy fali pola elektrycznego padającego E_0w, i to samo dla amplitudy fali odbitej E_0o, zatem te wspomniane wzory na te amplitudy zapisujemy:

$E_{0w}={{2}\over{1+\beta}}E_{0p}={{2}\over{1+{{n_2}\over{n_1}}}}={{2n_1}\over{n_1+n_2}}\;$ (17.66)

$E_{0o}={{1-\beta}\over{1+\beta}}E_{0p}={{1-{{n_2}\over{n_1}}}\over{1+{{n_2}\over{n_1}}}}={{n_1-n_2}\over{n_1+n_2}}\;$ (17.67)

Jeśli wykorzystamy wzór (17.39) dla ośrodka liniowego, który zależy od amplitudy fali pola elektrycznego, przenikalności elektrycznej ε i prędkości fali elektromagnetycznej, w której to ośrodku to natężenie zostało wyliczone, zatem współczynnik odbicia jest stosunkiem natężenia fali odbitej I_o i padającej I_p, i wyliczmy ten współczynnik dla fali padającej prostopadłej do powierzchni granicznej pomiędzy dwoma ośrodkami:

$R={{I_o}\over{I_p}}={{\epsilon_1 v_1}\over{\epsilon_1v_1}}\left({{E_{0o}}\over{E_{0p}}}\right)^2=\left({{n_1-n_2}\over{n_1+n_2}}\right)^2\;$

(17.68)

Stosunek natężenia fali wchodzącej do ośrodka do natężenia padającej, czyli współczynnik transmisji T możemy napisać wtedy, jeśli wykorzystamy wzór (17.39), ale dla fali wchodzącej (występuje w liczniku) i padającej (występuje w mianowniku), zatem obliczenia dla fali padającej prostopadle dla wspomnianego w tym tekście współczynnika:

$T={{I_w}\over{I_p}}={{\epsilon_2v_2}\over{\epsilon_1v_1}}\left({{E_{0w}}\over{E_{0p}}}\right)^2= {{v_2}\over{v_1}}{{v_1^2\mu_0}\over{v_2^2\mu_0}}\left({{E_{0w}}\over{E_{0p}}}\right)^2= {{v_1}\over{v_2}}\left({{E_{0w}}\over{E_{0p}}}\right)^2={{n_2}\over{n_1}}{{4n_1^2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}}={{4n_1n_2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}} \;$

(17.69)

Jeśli w elektromagnetyzmie jest spełniona zasada zachowania energii, to powinno na pewno zachodzić, że suma współczynników odbicia R (17.68) i transmisji T (17.69) powinna być zawsze równe jeden, nawet dla tego przypadku.

$R+T=1\;$

(17.70)

Udowodnijmy wzór (17.70) mając już policzony współczynnik odbicia R (17.68) i współczynnik transmisji (17.69), wtedy możemy przejść do właściwego motta naszego dowodu:

$R+T=\left({{n_1-n_2}\over{n_1+n_2}}\right)^2+{{4n_1n_2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}}= {{\left(n_1-n_2\right)^2+4n_1n_2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}}= {{n_1^2+n_2^2-2n_1n_2+4n_1n_2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}}=\;$ $={{n_1^2+n_2^2+2n_1n_2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}}={{\left(n_1+n_2\right)^2}\over{\left(n_1+n_2\right)^2}}=1\;$

(17.71)

Dowód tożsamości (17.70) został ukończony na podstawie obliczeń (17.71).

Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej przy padaniu pod kątem

Fala odbita i przechodząca przy padaniu prostopadłym

Wcześniej omówiliśmy gdy fala padająca pada prostopadle do powierzchni ośrodka, czyli mieliśmy do czynienia z przypadkiem θ=0. Określmy trzy fala elektromagnetyczne, padająca, odbita i załamaną.

Amplituda natężenia fali pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej padającej można przedstawić:

$\vec{E}_p=E_{0p}e^{i(\vec{k}_p\vec{r}-\omega_p t)}\;$ (17.72)

$\vec{B}_p={{1}\over{v_1}}\left(\vec{k}_p\times\vec{E}_p\right)\;$ (17.73)

Amplituda natężenia fali pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej odbitej można przedstawić:

$\vec{E}_o=E_{0o}e^{i(\vec{k}_o\vec{r}-\omega_o t)}\;$ (17.74)

$\vec{B}_o={{1}\over{v_1}}\left(\vec{k}_o\times\vec{E}_o\right)\;$ (17.75)

Amplituda natężenia fali pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego fali elektromagnetycznej załamanej można przedstawić w postaci:

$\vec{E}_z=E_{0z}e^{i(\vec{k}_z\vec{r}-\omega_z t)}\;$ (17.76)

$\vec{B}_z={{1}\over{v_2}}\left(\vec{k}_z\times\vec{E}_z\right)\;$ (17.77)

Dla z=0 można powiedzieć, że suma pól elektrycznych składowych równoległych, według warunków granicznych na granicy dwóch ośrodków:

$\vec{E}_p^{||}+\vec{E}_o^{||}=\vec{E}_z^{||}\Rightarrow E_{0p}^{||}e^{i(\vec{k}_p\vec{r}-\omega_p t)}+E_{0o}^{||}e^{i(\vec{k}_o\vec{r}-\omega_o t)}=E^{||}_{0z}e^{i(\vec{k}_z\vec{r}-\omega_z t)}\;$

(17.78)

Powyższe równanie jest tożsamością, więc powinno być spełniona dla wszystkich x i y, przy z=0 i dla wszystkich czasów, wynika stąd równość wykładników potęg, czyli powinno zachodzić:

$i(\vec{k}_p\vec{r}-\omega_p t)=i(\vec{k}_o\vec{r}-\omega_o t)=i(\vec{k}_z\vec{r}-\omega_z t)\;$

(17.79)

Równania Maxwella są słuszne także, gdy dokonamy przesunięcia czasowego o stałą wielkość, tzn. dokonamy zamiany t⇒ t+Δ t, dochodzimy wtedy stąd do wniosku, że występuje równość częstotliwości kołowych, czyli zachodzi: ω_p=ω_o=ω_z=ω, czyli te wszystkie częstotliwości oznaczmy przez ω.

Do każdej strony równania (17.79) należy dodać wielkość iωt, bo dla poszczególnych przypadków częstotliwości są równe (padającego, odbitego, załamanego) jak udowodniliśmy, to tak otrzymane nasze równanie podzielimy jeszcze przez jednostkę urojoną "i", i wtedy otrzymujemy tożsamość:

$\vec{k}_p\vec{r}=\vec{k}_o\vec{r}=\vec{k}_z\vec{r}\;$

(17.80)

Równanie (17.80) możemy zapisać pamiętając przy tym, że płaszczyzna ograniczająca dwa ośrodki jest płaszczyzną, której położenie jest z=0, wiedząc o tym, to (k_p)_z, (k_o)_z, (k_z)_z przyjmuje wartość w tym naszym równaniu dowolną, chociaż ściśle określoną, dostajemy równanie:

$(k_p)_x x+(k_p)_y y=(k_o)_x x+(k_o)_y y=(k_z)_x x+(k_z)_y y\;$

(17.81)

Ostatnia równość powinna być spełniona dla wszystkich x i y, tzn. dowolnych, zatem otrzymujemy dwie tożsamości:

$(k_p)_x=(k_o)_x=(k_z)_x\;$ (17.82)

$(k_p)_y=(k_p)_y=(k_z)_y\;$ (17.83)

Dochodzimy więc do wniosku na podstawie tożsamości (17.82) i (17.83), że wektory falowe:$\vec{k}_p\;$, $\vec{k}_o\;$, a także:$\vec{k}_z\;$, leżą w tej samej płaszczyźnie, co stanowi treść pierwszego prawa odbicia i załamania. Ta płaszczyzna zawiera promień padający i ona jest prostopadła do małego wycinka płaszczyzny, w której rozpoczyna się odbicie i załamanie. Zatem w tej płaszczyźnie zawierają się promień odbity i załamany.

Wykorzystując definicję iloczynu skalarnego w tożsamości (17.80) i skracając obustronnie przez długość wektora $\vec{r}\;$, wtedy dochodzimy do wniosku, że:

$k_p\sin\theta_p=k_o\sin\theta_o=k_z\sin\theta_z\;$

(17.84)

Ponieważ prędkość i częstości w ośrodku pierwszym są takie same i jeśli: $_{k_p={{\omega}\over{v_p}}}\;$ oraz $_{k_o={{\omega}\over{v_o}}}\;$ ale v_p=v_o, i oznaczymy odpowiednio według naszych wywodów k_p=k_o=k, wtedy mamy:

$k_p\sin\theta_p=k_o\sin\theta_o\Rightarrow k\sin\theta_p=k\sin\theta_o\Rightarrow \sin\theta_p=\sin\theta_o\Rightarrow \theta_p=\theta_o\;$

(17.85)

Dochodzimy stąd do wniosku, że kąt padania i odbicia fali elektromagnetycznej na granicę między ośrodkami są sobie równe, czyli zachodzi związek θ_p=θ_o, jest to treść drugiego prawa odbicia i załamania.

Dla fali elektromagnetycznej załamanej i padającej wedle (17.84) zachodzi na pewno tożsamość:

$k_o\sin\theta_o=k_z\sin\theta_z\;$

(17.86)

Wiadomo jednak że zachodzi:$_{k_p={{\omega}\over{v_p}}}\;$, a także:$_{k_z={{\omega}\over{v_z}}}\;$, bo częstotliwości są sobie równe w tym wzorach. wtedy nasza równość (17.86) zachodzi według wzoru poniżej, w której tak go przekształćmy, by prędkości fal w dwóch granicznych ośrodkach dla promienia padającego i załamanego były po lewej stronie, a kąty padania i załamania były po jego prawej stronie:

${{\omega}\over{v_p}}\sin\theta_p={{\omega}\over{v_z}}\sin\theta_z\Rightarrow{{v_z}\over{v_p}}={{\sin\theta_z}\over{\sin\theta_p}}\;$

(17.87)

Korzystamy z definicji współczynników załamania w ośrodku promienia padającego $_{n_1={{c}\over{v_p}}}\;$ i w ośrodku promienia załamanego $_{n_2={{c}\over{v_z}}}\;$, wtedy lewą stronę końcowej tożsamości (17.87) zapisujemy:

${{v_z}\over{v_p}}={{{{c}\over{v_p}}}\over{{{c}\over{v_z}}}}={{n_1}\over{n_2}}\;$

(17.88)

I jeśli oznaczymy przez θ_p=θ₁ oraz θ_z=θ₂, wtedy otrzymujemy prawo załamania na podstawie końcowego wzoru (17.87) i przeprowadzonych obliczeń (17.88) dostajemy wniosek:

${{n_1}\over{n_2}}={{\sin\theta_2}\over{\sin\theta_1}}\Rightarrow n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\;$

(17.89)

co stanowi treść trzeciego prawa odbicia i załamania zwanym prawem załamania lub prawem Snella.

Z warunków brzegowych w elektrodynamice dla fal zmiennych w tym przypadku dla fali eletromagnetycznej zachodzą warunki dla ich aplitud czyli aplitud fali magnetycznej i elektrycznej, bo wykładniki potęg są sobie równe, zatem zachodzą wnioski:

$\begin{cases} \epsilon_1\left((E_{0p})_z+(E_{0o})_z\right)=\epsilon_2(E_{0z})_z&\mbox{ z pierwszego prawa Maxwella}\\ (B_{0p})_z+(B_{0o})_z=(B_{0z})_z&\mbox{ z drugiego prawa Maxwella}\\ (E_{0p})_{x,y}+(E_{0o})_{x,y}=(E_{0z})_{x,y}&\mbox{ z trzeciego prawa Maxwella}\\ {{1}\over{\mu_1}}\left((B_{0p})_{x,y}+(B_{0o})_{x,y}\right)={{1}\over{\mu_2}}(B_{0z})_{x,y}&\mbox{ z czwartego prawo Maxwella}\\ \end{cases}$

(17.90)

Fala elektromagnetyczne padająca, odbita i załamana przy padaniu ukośnym

Korzystamy z pierwszego warunku granicznego układu równań (17.90) i wyraźmy go poprzez amplitudy wektora elektrycznego w fali elektromagnetycznej, patrząc na rysunek obok.

$\epsilon_1\left(-E_{0p}\sin\theta_p+E_{0o}\sin\theta_o\right)=-\epsilon_2E_{0z}\sin\theta_z$

(17.91)

Wiedząc, że zachodzi θ_p=θ_o, i po krótkich przekształceniach otrzymujemy:

$E_{0p}-E_{0o}={{\epsilon_2}\over{\epsilon_1}}{{\sin\theta_z}\over{\sin\theta_p}}E_{0z}$

(17.92)

Drugi wzór na warunki brzegowe (17.90) nic nie wnosi, ponieważ w naszym przypadku nie ma składowych fali elektromagnetycznej pola magnetycznego prostopadłej do granicy między ośrodkami, czyli wektory indukcji magnetycznej w płaszczyźnie XY.

Dla składowych prostopadłych zachodzi warunek graniczny (brzegowy) według trzeciego równania układu równań (17.90):

$E_{0p}\cos\theta_p+E_{0o}\cos\theta_o=E_{0z}\cos\theta_z\Rightarrow\;$ $\Rightarrow E_{0p}+E_{0o}={{\cos\theta_z}\over{\cos\theta_p}}E_{0z}$

(17.93)

Jeśli oznaczymy, że:$_{\alpha={{\cos\theta_z}\over{\cos\theta_p}}}$, to wtedy równanie (17.93) możemy przepisać używając parametru α i wartości amplitud fali padającej, odbitej i załamanej, zatem piszemy:

$E_{0p}+E_{0o}=\alpha E_{0z}\;$

(17.94)

Z ostatniego warunku brzegowego układu równań (17.90), wykorzystując wniosek $_{B_{0}={{1}\over{v_1}}E_0}$, który wynika z tożsamości (17.24) i z definicji prędkości fazowej, zatem napiszmy na podstawie tego tożsamość:

${{1}\over{\mu_1v_1}}\left(E_{0p}-E_{0o}\right)={{1}\over{\mu_2v_2}}E_{0z}\Rightarrow E_{0p}-E_{0o}={{\mu_1v_2}\over{\mu_2v_2}}E_{0z}$

(17.95)

Oznaczmy, że parametr β, który występuje z prawej strony równania końcowego (17.95) przy wartości amplitudy promienia padającego E_0z, piszemy wedle:

$\beta={{\mu_1v_1}\over{\mu_2v_2}}={{\mu_1{{c}\over{v_2}}}\over{\mu_2{{c}\over{v_1}}}}={{\mu_1n_2}\over{\mu_2n_1}}$

(17.96)

Stąd otrzymujemy równoważne równanie do (17.95) przy definicji parametru β zdefiniowanego w punkcie (17.96):

$E_{0p}-E_{0o}=\beta E_{0z}\;$

(17.97)

Równania (17.94) i (17.97) możemy zebrać w jeden układ równań otrzymując układ dwóch równań, które jednocześnie zachodzą zależne od parametru α i β i od wartości amplitud fali pola elektrycznego padającej E_0p, odbitej E_0o i na samym końcu od amplitudy fali załamanej E_0z:

$\begin{cases} E_{0p}+E_{0o}=\alpha E_{0z}\\ E_{0p}-E_{0o}=\beta E_{0z} \end{cases}$

(17.98)

Możemy dodać dwa równania do siebie ostatniego układu równań (17.98) do siebie, otrzymując wzór na amplitudę fali załamanej E_0z w zależności od amplitudy fali padającej E_0p, oczywiście dla pola elektrycznego, zatem otrzymujemy ten nasz właśnie wzór:

$2E_{0p}=\left(\alpha+\beta\right)E_{0z}\Rightarrow E_{0z}={{2}\over{\alpha+\beta}}E_{0p}$

(17.99)

Z drugiego równań układu równań (17.98) wyznaczmy amplitudy natężenia fali elektrycznej odbitej wykorzystując wzór na amplitudę fali załamanej wedle:

$E_{0o}=E_{0p}-\beta E_{0z}=E_{0p}-\beta{{2}\over{\alpha+\beta}}E_{0p}={{\alpha+\beta-2\beta}\over{\alpha+\beta}}E_{0p}= {{\alpha-\beta}\over{\alpha+\beta}}E_{0p}$

(17.100)

Widzimy, że przy α=β, fala odbita jest całkowicie stłumiona. zajmijmy się teraz tym przypadkiem.

Przekształćmy wyrażenie na parametr α, który występuje w wyrażeniu (17.94) zamieniając cosθ_z na wyrażenie w której występuje sinθ_z, wiedząc, że cosθ_z jest w zjawisku załamania i odbicia wielkością nieujemną:

$\alpha={{\cos\theta_z}\over{\cos\theta_p}}={{\sqrt{1-\sin^2\theta_z}}\over{\cos\theta}}$

(17.101)

W (17.101) występujący w nim sinθ_z możemy wyrazić za pomocą prawa Snella (17.89) sinusa kąta załamania wedle:

$\alpha={{\sqrt{1-\left[{{n_1}\over{n_2}}\sin\theta_p\right]^2}}\over{\cos\theta_p}}$

(17.102)

Dla całkowicie stłumionej fali odbitej według (17.98) parametr α jest równy współczynnikowi β, czyli: α=β, zatem wykorzystując wzór na α (17.102), następnie zamieniamy w nim parametr α na parametr β, dzięki temu piszemy go w nowej odsłonie:

$\beta={{\sqrt{1-\left[{{n_1}\over{n_1}}\sin\theta_p\right]^2}}\over{\cos\theta_p}}$

(17.103)

Poprzekształcajmy nasze równanie (17.103), by wyznaczyć tangens kąta padania, w tym celu podnieśmy obie strony tego naszego równania do kwadratu, by zlikwidować pierwiastek w nim występujący, a potem go dalej przekształcając w celu wyznaczenia kwadratu sinusa kąta padającego w zależności od parametru β i współczynników załamania w ośrodku pierwszym n₁ i drugim n₂.

$\beta^2\cos^2\theta_p=1-{{n_1^2}\over{n_1^2}}\sin^2\theta_p\Rightarrow\beta^2(1-\sin^2\theta_p)=1-{{n_1^2}\over{n_2^2}}\sin^2\theta_p\Rightarrow$ $\Rightarrow\sin^2\theta_p\left(\beta^2-{{n_1^2}\over{n_2^2}}\right)=-1+\beta^2\Rightarrow\sin^2\theta_p={{1-\beta^2}\over{\left({{n_1}\over{n_2}}\right)^2-\beta^2}}$

(17.104)

Weźmy definicję β (17.96) i wiedząc, że w nim występujące współczynniki μ₁ i μ₂ są w przybliżeniu równe przenikalności magnetycznej w próżni μ₀, czyli ten nasz wspomniany obiekt piszemy w przybliżeniu w postaci:

$\beta={{\mu_1n_2}\over{\mu_2n_1}}\simeq {{n_2}\over{n_1}}\Rightarrow{{n_1}\over{n_2}}\simeq{{1}\over{\beta}}$

(17.105)

Tożsamość (17.104) na podstawie końcowego wniosku (17.105), który jest odwrotnością parametru β zdefiniowanym jako stosunek współczynnika załamania w ośrodku pierwszym przez ośrodek drugi, stąd wniosek:

$\sin^2\theta_p={{1-\beta^2}\over{{{1}\over{\beta^2}}-\beta^2}}\Rightarrow {{\beta^2(1-\beta^2)}\over{1-\beta^4}}=\beta^2{{1-\beta^2}\over{(1-\beta^2)(1+\beta^2)}}=\beta^2{{1}\over{1+\beta^2}}$

(17.106)

Ponieważ zachodzi tożsamość z znana z matematyki, że: $_{\sin^2\theta={{\operatorname{tg}^2\theta}\over{1+\operatorname{tg}^2\theta}}}$, i porównując definicję sin²θ ze wzorem (17.106), otrzymujemy, że zachodzi na pewno:

$\operatorname{tg}\theta_p={{n_2}\over{n_1}}$

(17.107)

Ostatni wzór stanowi treść twierdzenie Brewsteta, mówi ona przy jakim kącie zwanym kątem Brewstera nie ma promienia odbitego.

Policzmy wyrażenie, które jest kosinusem sumy kątów padania i załamania dla kąta padania Brewstera, tzn.: θ_p=θ_B, czyli dla którego zachodzi związek (17.107):

$\cos(\theta_p+\theta_z)=\cos\theta_p\cos\theta_z-\sin\theta_p\sin\theta_z= \cos\theta_p\sqrt{1-\sin^2\theta_z}-\sin\theta_p\sin\theta_z=$ $=\cos\theta_p\sqrt{1-{{n_1^2}\over{n_2^2}}\sin^2\theta_p}-{{n_1}\over{n_2}}\sin^2\theta_p={{1}\over{\sqrt{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}\sqrt{1-{{n_1^2}\over{n_2^2}}{{{{n_2^2}\over{n_1^2}}}\over{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}-{{n_1}\over{n_2}}{{{{n_2^2}\over{n_1^2}}}\over{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}=$ $={{1}\over{\sqrt{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}\sqrt{1-{{1}\over{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}-{{{{n_2}\over{n_1}}}\over{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}= {{1}\over{\sqrt{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}{{\sqrt{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}-1}}\over{\sqrt{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}-{{{{n_2}\over{n_1}}}\over{{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}}=$ $={{{{n_2}\over{n_1}}}\over{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}-{{{{n_2}\over{n_1}}}\over{1+{{n_2^2}\over{n_1^2}}}}=0$

(17.108)

Dochodzimy do wniosku z ostatnich obliczeń dla kąta padania Brewstera, dla którego promień odbity jest całkowicie tłumiony, że cos(θ_p+θ_z)=0, a to z kolei owocuje, jak napiszemy poniżej, że suma kąta padania θ_p i załamania θ_z fali elektrycznej jest równa kątowi prostemu:

$\theta_p+\theta_z={{\pi}\over{2}}$

(17.109)

Odejdźmy od twierdzenia Brewstera i zajmijmy się ponownie ogólnym wnioskiem procesu odbicia i załamania.

Korzystając ze wzoru na natężenie fali w ośrodku liniowym fali elektromagnetycznej padającej pod kątem θ do powierzchni granicznej (17.49), wyznaczmy wielkość, która jest stosunkiem natężenia fali elektromagnetycznej odbitej I_o do fali padającej I_p, czyli współczynnik odbicia R. We wzorach na natężenia pola dla promienia odbitego, padającego, a nawet dla załamanego, co później uwzględnimy dla współczynnika transmisji, tzn. kąty pod którymi są względem prostej prostopadłej do płaszczyzny rozgraniczającej oba wspomniane wcześniej te dwa różne ośrodki względem tychże wymienionych promieni, co uwzględnienie tego dla współczynnika odbicia R nic nie wnosi, ponieważ kąty padania i odbicia są jednakowe, a dla współczynnika transmisji T katy padania i załamania mają jakiś wkład.

$R={{I_o}\over{I_p}}=\left({{E_{0o}}\over{E_{0p}}}\right)^2=\left({{\alpha-\beta}\over{\alpha+\beta}}\right)^2$

(17.110)

A następnie stosunek natężenia fali elektromagnetycznej załamanej I_z do fali padającej I_p, czyli współczynnik transmisji T, korzystając przy tym ze wzoru (17.49) dla natężenia fali załamanej i padającej przy uwzględnieniu, że wszystkie te fale w szczególności załamane i odbite padają pod pewnym kątem do prostej prostopadłej do płaszczyzny rozgraniczającej oba te ośrodki, jak powiedziano wcześniej przy współczynniku odbicia R (17.110):

$T={{I_z}\over{I_p}}={{\epsilon_2v_2}\over{\epsilon_1v_1}}\left({{E_{0z}}\over{E_{0p}}}\right)^2{{\cos\theta_z}\over{\cos\theta_p}}= {{v_2\mu_1v_1^2}\over{\mu_2v_2^2v_1}}\left({{E_{0z}}\over{E_{0p}}}\right)^2\alpha= \alpha\beta\left({{E_{0z}}\over{E_{0p}}}\right)^2=\alpha\beta{{4}\over{\left(\alpha+\beta\right)^2}}$

(17.111)

Policzmy wyrażenie będącej sumą współczynnika odbicia R (17.110) i współczynnika transmisji T (17.111), czyli sprawdźmy czy spełniona jest zasada zachowania energii:

$R+T=\left({{\alpha-\beta}\over{\alpha+\beta}}\right)^2+\alpha\beta{{4}\over{\left(\alpha+\beta\right)^2}}= {{(\alpha-\beta)^2+4\alpha\beta}\over{\left(\alpha+\beta\right)^2}}={{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta+4\alpha\beta}\over{\left(\alpha+\beta\right)^2}}=$ $={{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta}\over{\left(\alpha+\beta\right)^2}}= {{\left(\alpha+\beta\right)^2}\over{\left(\alpha+\beta\right)^2}}=1$

(17.112)

Na podstawie obliczeń (17.112) udowodniliśmy, że spełnione jest prawo zachowania energii dla procesu załamania i odbicia, bo suma współczynników odbicia R (17.110) i transmisji T (17.111) jest równa jeden.

Absorpcja i dyspersja w materii

Będziemy się zajmować absorpcją, czyli pochłanianiem energii fali elektromagnetycznej przez przewodnik i dyspersji, a więc zależnością współczynnika załamania od częstości dla ośrodka przewodzącego.

Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach

Będziemy się zajmować rozchodzeniem fal elektromagnetycznych w ośrodkach liniowych, dla których spełnione jest różniczkowe prawo Ohma. W naszym przypadku będziemy zakładać, że gęstość objętościowa ładunku swobodnego jest równa zero, tylko gęstość prądu swobodnego jest różna od zera i jest według różniczkowego prawa Ohma (13.4), które tutaj powtórzymy dla przejrzystości wykładu:

$\vec{J}_{sw}=\sigma\vec{E}\;$

(18.1)

Nasze prawa dla ośrodków liniowych przewodzących (15.46), (15.47), (15.48) i (15.49), gdy nie ma objętościowych ładunków swobodnych są:

Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella z prawem Ohma
$\nabla\cdot\vec{E}=0\;$ (18.2)	$\nabla\cdot\vec{B}=0\;$ (18.3)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;$ (18.4)	$\nabla\times\vec{B}=\mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\;$ (18.5)

W naszym przypadku jest spełniona zasada zachowania ładunku (równanie ciągłości) dla ładunku swobodnego (16.11), ale ponieważ gęstość objętościowa ładunku swobodnego jest zawsze równa zero, zatem to równanie ciągłości przechodzi w równanie:

$\nabla\cdot\vec{J}_{sw}=0\;$

(18.6)

Korzystając z równania ciągłości (18.6) i podstawiając do niego różniczkowe prawo Ohma (18.1), wtedy otrzymamy nasze pierwsze prawo Maxwella (18.2), które jest równe zero.

$0=\nabla\cdot\vec{J}_{sw}=\nabla\cdot\left(\sigma\vec{E}\right)=\sigma\left(\nabla\cdot\vec{E}\right)=0\;$

(18.7)

Czyli doszliśmy do sedna sprawy, że według obliczeń (18.7), doszliśmy do wniosku, że gęstość ładunków objętościowych jest równa zero, tak jak zakładaliśmy.

Równanie falowe fali elektromagnetycznej pola elektrycznego

Wzór (17.4) tak samo się wyprowadzało, jak się wyprowadza się w naszym przypadku, gdy dołożymy dodatkowo prawo Ohma. Do wzoru (17.4) podstawmy czwarte prawo Maxwella z namiastką prawa Ohma (18.5), i po dalszych przekształceniach ostatniego równania otrzymujemy ostateczne równanie falowe dla fali tłumionej wedle:

$\Delta\vec{E}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)\Rightarrow\Delta\vec{E}=\mu\sigma{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}+\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}\;$

(18.8)

Co końcowe równanie różniczkowe (18.8) jest równaniem falowym dla pola elektrycznego dla ośrodka liniowego przewodzącego.

Równanie falowe fali elektromagnetycznej pola magnetycznego

Mamy sobie tożsamość różniczkową (17.6) i podstawmy do niego drugie prawo Maxwella (18.3), a także czwarte prawo Maxwella z namiastką prawa Ohma (18.5), wtedy przekształcając go dalej, dostajemy wzór:

$-\Delta\vec{B}=\nabla\times\left(\mu\sigma\vec{E}+\mu\epsilon{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}\right)\Rightarrow-\Delta\vec{B}=\mu\sigma\left(\nabla\times\vec{E}\right)+\mu\epsilon{{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{E}\right)\;$

(18.9)

Następnym krokiem jest wykorzystanie trzeciego prawa Maxwella dla ośrodka przewodzącego (18.4) do tożsamości (18.9), otrzymujemy:

$-\Delta\vec{B}=\mu\sigma\left(-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)+\mu\epsilon {{\partial}\over{\partial t}}\left(-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\right)\Rightarrow\Delta\vec{B}=\mu\sigma{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}+\mu\epsilon{{\partial^2\vec{B}}\over{\partial t^2}}\;$

(18.10)

Co równanie różniczkowe (18.10) jest równaniem falowym pola magnetycznego dla ośrodka liniowego przewodzącego.

Równanie fali elektromagnetycznej płaskiej

Zakładamy, że rozwiązaniami równania falowego dla fali pola elektrycznego (18.8), i dla fali pola magnetycznego (18.10), oczywiście dla ośrodka linowego zarówno magnetycznie i elektrycznie, ale przewodzącego są równaniami fali płaskiej płaskiej dla tych pół:

$\vec{E}(z,t)=\vec{\tilde{E}}_0 e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}\;$ (18.11)

$\vec{B}(z,t)=\vec{\tilde{B}}_0 e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}\;$ (18.12)

Równanie dla fali zespolonej pola elektrycznego (18.8) możemy zapisać go równoważnie wprowadzając zespolone przenikalności elektryczne i magnetyczne i zespoloną liczbę falową $\tilde{k}\;$, która występuje w równaniu (18.11), zatem ten wzór piszemy:

$\Delta \vec{\tilde{E}}=\tilde{\epsilon}\tilde{\mu}{{\partial^2\vec{\tilde{E}}}\over{\partial t^2}}$

(18.13)

Ponieważ zespoloną prędkość fazową definiowaną poprzez przenikalności zespolone elektryczne $\tilde{\epsilon}\;$ i magnetyczne $\tilde{\mu}\;$, a także to z kolei definiujemy, dzięki stosunkowi częstotliwości fazowej przez zespoloną liczbę falową $\tilde{k}\;$, wtedy jego przestawienia piszemy:

$\tilde{v}={{1}\over{\sqrt{\tilde{\epsilon}\tilde{\mu}}}}\;$ (18.14)

$\tilde{v}={{\omega}\over{\tilde{k}}}\;$ (18.15)

Wyznaczmy prawą stronę równania różniczkowego dla fali pola elektrycznego (18.8), gdy jego rozwiązaniem jest (18.11), i prawą stronę równania (18.13) przy definicji zespolonej prędkości fazowej (18.14) i jego definicji przez zespoloną liczbę falową (18.15) w drugim wzorze, zatem do dzieła:

$\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}+\mu\sigma{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}=\left(-\omega^2\mu\epsilon-i\omega\mu\sigma\right)\vec{\tilde{E}}_0 e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}\;$ (18.16)

$\tilde{\epsilon}\tilde{\mu}{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}={{\tilde{k}^2}\over{\omega^2}}\omega^2e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}=\tilde{k}^2e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}\;$ (18.17)

Ponieważ wzory (18.3) i (18.8) oznaczają to samo, zatem możemy zdefiniować kwadrat zespolonej liczby falowej poprzez przenikalności elektryczne i magnetyczne w ośrodku liniowym w sposób:

$\tilde{k}^2=\omega^2\mu\epsilon+i\omega\mu\sigma\;$

(18.18)

Dochodzimy więc do wniosku, że równanie falowe dla ośrodków przewodzącej jest szczególnym przypadkiem równania falowego dla fali elektromagnetycznej dla ośrodka nieprzewodzącego o liczbie falowej zespolonej$\tilde{k}$ i częstości fali elektromagnetycznej $\omega$ i zespolonych przenikalnościach elektrycznych i magnetycznych.

Naszą zespoloną liczbę falową $\tilde{k}\;$ możemy zdefiniować jako sumę właściwej liczby falowej k i liczby, która jest iloczynem jednostki zespolonej i i współczynnika tłumienia κ:

$\tilde{k}=k+i\kappa\;$

(18.19)

Wyznaczmy rzeczywistą liczbę falową k i współczynnik tłumienia κ podstawiając wzór na zespolony współczynnik falowy (18.19) do wzoru (18.8), i wykonując działania potęgowania po jego lewej stronie, dostajemy pokolei równania:

$\left(k+i\kappa\right)^2=\omega^2\mu\epsilon+i\omega\mu\sigma\Rightarrow k^2-\kappa^2+2ik\kappa=\omega^2\mu\epsilon+i\omega\mu\sigma\;$

(18.20)

Następnym krokiem jest przyrównanie części rzeczywistej i zespolonej odpowiednio do siebie z dwóch stron równania (18.20), wtedy dostajemy:

$\begin{cases} k^2-\kappa^2=\omega^2\mu\epsilon\\ 2k\kappa=\omega\mu\sigma\Rightarrow\kappa={{\omega\mu\sigma}\over{2k}} \end{cases}\;$

(18.21)

Ostatnie wynikowe równanie układu równań (18.21) podstawiając do pierwszego równania tego samego układu równań, wtedy tak powstałe równanie możemy pomnożyć przez 4k², by potem poprzenosić wszystko na jedną stronę i przegrupować w nim wyrazy tworząc równanie czwartego stopnia:

$k^2-\left({{\omega\mu\sigma}\over{2k}}\right)^2=\omega^2\mu\epsilon\Rightarrow 4k^4-\omega^2\mu_0^2\sigma^2=4k^2\omega^2\mu\epsilon\Rightarrow 4k^4-4k^2\omega^2\mu\epsilon-\omega^2\mu^2\sigma^2=0\;$

(18.22)

Oznaczmy przez zmienną t kwadrat liczby zespolonej k², czyli według t=k², wtedy z równania czwartego stopnia dostajemy równanie kwadratowe zmiennej t:

$4t^2-4t\omega^2\mu\epsilon-\omega^2\mu^2\sigma^2=0\;$

(18.23)

Policzmy wyróżnik trójmianu kwadratowego równania kwadratowego (18.23), a na samym końcu pierwiastek tejże wielkości:

$\Delta=\left(-4\omega^2\mu\epsilon\right)^2-4\cdot 4\cdot\left(-\omega^2\mu^2\sigma^2\right)= 16\omega^4\mu^2\epsilon^2+16\omega^2\mu^2\sigma^2= 16\omega^2\mu_0^2\left(\epsilon^2\omega^2+\sigma^2\right)=\;$ $=16\omega^4\epsilon^2\mu_0^2\left(1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2\right)\Rightarrow\sqrt{\Delta}=4\omega^2\epsilon\mu_0\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}\;$

(18.24)

Mając już pierwiastek trójmianu kwadratowego Δ możemy wyznaczyć pierwiastki równania kwadratowego (18.23), zatem do dzieła. Pierwszy jego pierwiastek t₁ jest w postaci:

$t_1= {{4\omega^2\mu_0\epsilon-4\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}} \over{2\cdot 4}}= {{1}\over{2}}\omega^2\mu_0\epsilon \left(1-\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}\right)<0\;$

(18.25)

Drugi jego pierwiastek jest w postaci:

$t_2= {{4\omega^2\mu_0\epsilon+4\omega^2\epsilon\mu_0\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}} \over{2\cdot 4}}={{1}\over{2}}\omega^2\mu_0\epsilon\left(1+\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}\right)>0\;$

(18.26)

Pierwsze rozwiązanie równania kwadratowego (18.23) jest mniejsze od zera a drugi większe, ale ponieważ kwadrat liczby falowej jest zawsze liczbą nieujemną i ona jest równa zmiennej t, zatem na podstawie tego wybierzmy to drugie rozwiązanie, czyli (18.26) wedle:

$k^2=t_2\Rightarrow k=\omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}}\sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}+1}\;$

(18.27)

Następnym krokiem jest policzenie κ, podstawiając wzór na liczbę falową fali tłumionej (18.27) do drugiego równania układu równań (18.21), wtedy możemy policzyć ten właśnie parametr:

$\kappa={{\omega\mu\sigma}\over{2k}}= {{\omega\mu\sigma}\over{2\omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}}\sqrt{1+\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}}}= \sqrt{{\mu\sigma^2}\over{2\epsilon}}{{\sqrt{-1+\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}}\over{\sqrt{1+\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}\sqrt{-1+\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}}}=\;$ $=\sqrt{{{\mu\sigma^2}\over{2\epsilon}}}{{\sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1}} \over{{{\sigma}\over{\epsilon\omega}}}}= \omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}} \sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1}\;$

(18.28)

Obliczone parametry rzeczywistej liczby falowej k (18.27) i współczynnika tłumienia fali κ (18.28) piszemy pod postacią:

$\begin{cases} k=\omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}}\sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}+1}\\ \kappa=\omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}} \sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1}\\ \end{cases} \;$

(18.29)

Również otrzymamy taką samą rzeczywistą liczbę falową k i współczynnik tłumienia κ rozwiązując równanie falowe dla ośrodka przewodzącego dla fali elektromagnetycznej pola magnetycznego (18.10), więc nie trzeba powtarzać rachunku. Wyznaczymy równanie fali elektromagnetycznej tłumionej dla ośrodka przewodzącego dla pola elektrycznego i magnetycznego wykorzystując przy tym wzór (18.19):

$\vec{E}(z,t)=\vec{\tilde{E}}_0e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}=\vec{\tilde{E}}_0e^{i\left[i(k+i\kappa)z-\omega t\right]}=\vec{\tilde{E}}_0 e^{-\kappa z}e^{i(kz-\omega t)}\;$ (18.30)

$\vec{B}(z,t)=\vec{\tilde{B}}_0e^{-\kappa z}e^{(kz-\omega t)}\;$ (18.31)

Prędkość fali elektromagnetycznej dla ośrodków przewodzących piszemy wedle $_{v={{\omega}\over{k}}}\;$, zatem zbadajmy czy nasza fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną czy podłużną, zatem tutaj będziemy się posługiwać wielkością zespolonej liczby falowej $\tilde{k}\;$, zamiast wielkości rzeczywistej liczby falowej k. Podobne dowodząc jak w ośrodku nieprzewodzącego, dochodzimy do wniosku, że fala elektromagnetyczna w ośrodku przewodzącym też jest falą poprzeczną, ponieważ wykorzystaliśmy równanie falowe dla tego ośrodka (18.13), które dla ośrodka nieprzewodzącego jest złudząco podobne, bo zachodzi (17.5). Dla fali pola magnetycznego jest podobnie.

Dotychczas badaliśmy fale w ośrodkach przewodzących lub nie, w tych przypadkach doszliśmy do wniosku, że fala elektromagnetyczna zarówno dla pola magnetycznego i elektrycznego jest falą poprzeczną.

Posługując się wielkością$\tilde{k}\;$, dochodzimy do wniosku tak samo jak w ośrodku nieprzewodzącym, że amplituda pola magnetycznego w zależności od amplitudy pola elektrycznego dla tego pierwszego jest wyrażona wzorem (17.24), co dla ośrodka przewodzącego jest podobnie, tzn.:

$\vec{\tilde{B}}_0={{\tilde{k}}\over{\omega}}\left(\vec{k}\times\tilde{E}\right)\;$

(18.32)

Zespoloną liczbę falową $\tilde{k}\;$, można wyrazić poprzez wyrażenie znane z pewnego twierdzenia z algebry o liczbach zespolonych w postaci:

$\tilde{k}=Ke^{i\Phi}\;$

(18.33)

Aby wyznaczyć wielkość K oraz Φ występującej we wzorze (18.33) dokonajmy poniższe rachunki, ale najpierw wyznaczmy tą wielkość pierwszą:

$K=|\tilde{k}|=\sqrt{k^2+\kappa^2}= \sqrt{\omega^2{{\epsilon\mu}\over{2}}\left(\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}+1\right)+\omega^2{{\epsilon\mu}\over{2}}\left(\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1\right)}=\;$ $=\omega\sqrt{\epsilon\mu\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}\;$

(18.34)

Kąt Φ można wyznaczyć ze wzoru znanego z algebry, który występuje we wzorze (18.33) i który będziemy go wyznaczać ze wzoru:

$\Phi=\operatorname{arctg}\left({{\kappa}\over{k}}\right)= \operatorname{arctg}{{\omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}} \sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1}}\over{\omega\sqrt{{{\mu\epsilon}\over{2}}}\sqrt{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}+1} }}=\operatorname{arctg}\sqrt{{{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1}\over{\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}+1}}}=\;$ $=\operatorname{arctg}\sqrt{{{\left[\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1\right]\left[\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1\right]}\over{\left[\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}+1\right]\left[\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1\right]}}}= \operatorname{arctg}\sqrt{{{\left(\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1\right)^2}\over{\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}}= \;$ $=\operatorname{arctg}\left\{{{\epsilon\omega}\over{\sigma}}\left[\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}-1\right]\right\}\;$

(18.35)

Przedstawmy amplitudy fali pola magnetycznego i elektrycznego występujących w równaniach (18.11) i (18.12) w postaci:

$\tilde{E}_0=E_0e^{i\delta_E}\;$ (18.36)

$\tilde{B}_0=B_0 e^{i\delta_B}\;$ (18.37)

Mając związki na amplitudę fali pola elektrycznego (18.36) i fali pola magnetycznego (18.37), wtedy korzystając, że fala magnetyczna i elektryczna są falami poprzecznymi, oraz z tożsamości (18.32), biorąc wyniki z tego wzoru na wartościach, wtedy dochodzimy do wniosku:

$B_0e^{i\delta_B}={{K e^{i\Phi}}\over{\omega}}E_0e^{i\delta_E}\Rightarrow B_0={{K}\over{\omega}}E_0 e^{i(\delta_E-\delta_B+\phi)}\;$

(18.38)

Ale lewa strona naszego równania jest liczbą rzeczywistą, to również musi być też prawa strona, stąd otrzymujemy, że wykładnik potęgi z prawej strony jest wielokrotnością liczmy 2π, więc przyjmijmy najmniejszą wielokrotność równą zero, zatem otrzymujemy:

$\delta_E-\delta_B+\Phi=0\Rightarrow\delta_B-\delta_E=\Phi\;$

(18.39)

Zatem dla ośrodka przewodzącego, w którym rozchodzi się fala elektromagnetyczna Istnieje pewna różnica faz miedzy polem magnetycznym, a elektrycznym dla fali elektromagnetycznej.

Na podstawie wcześniejszych rozważań dostajemy, że równanie fali magnetycznej i elektrycznej zapisujemy wedle sposobu:

$\vec{E}(z,t)=E_0 e^{-\kappa z}e^{i(kz-\omega t+\delta_E)}\hat{x}\;$ (18.40)

$\vec{B}(z,t)=B_0 e^{-\kappa z}e^{i(kz-\omega t+\delta_E+\Phi)}\hat{y}\;$ (18.41)

Policzmy stosunek amplitudy fali magnetycznej przez amplitudę fali elektrycznej wykorzystując przy tym wzór (18.38) wiedząc ze exponens w nim występujący po wykorzystaniu (18.39) jest równy jeden.

${{B_0}\over{E_0}}={{K}\over{\omega}}={{\omega\sqrt{\epsilon\mu\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}}\over{\omega}} =\sqrt{\epsilon\mu\sqrt{1+\left({{\sigma}\over{\epsilon\omega}}\right)^2}}\;$

(18.42)

Odbicie fali elektromagnetycznej od powierzchni przewodzącej

Rozważmy jak fala elektromagnetyczna z obszaru nieprzewodzącego pada na obszar przewodzący. Gęstość ładunków przewodzących zakładamy, że jest równa zero, również prąd powierzchniowy jest równy zero, bo gdy by nie był równy zero, to by wymagało nieskończonej wartości pola elektrycznego, ale wtedy byśmy mieli nieskończoną wartość gęstości objętościowej prądu powierzchniowego.

Zakładamy, że nasza fala elektromagnetyczna pada prostopadle na powierzchnię przewodzącą.

Wektory pól fali elektromagnetycznej pola elektrycznego i magnetycznego fali padającej w pierwszym ośrodku, wykorzystując dla tego drugiego wzór (17.33), która ta fala rozchodzi się w ośrodku nieprzewodzącym przedstawia się jako:

$\vec{E}_p(z,t)=\tilde{E}_{0p} e^{i(k_1z-\omega t)}\;$ (18.43)

$\vec{E}_p(z,t)={{1}\over{v_1}}\tilde{E}_{0p} e^{i(k_1z-\omega t)}\;$ (18.44)

Wektory pól fali elektromagnetycznej pola elektrycznego i magnetycznego fali odbitej w pierwszym ośrodku, wykorzystując dla tego drugiego wzór (17.33), ale rozchodząca się w ośrodku nieprzewodzącym przedstawiają się jako:

$\vec{E}_o(z,t)=\tilde{E}_{0o} e^{i(k_1z-\omega t)}\;$ (18.45)

$\vec{B}_o(z,t)=-{{1}\over{v_1}}\tilde{E}_{0o}e^{i(k_1z-\omega t)}\;$ (18.46)

Wektory pól fali elektromagnetycznej pola elektrycznego i magnetycznego fali wchodzącej w drugim ośrodku, wykorzystując dla tego drugiego odpowiednik wzoru (17.33), ale w nim występująca prędkość nie jest już wartością rzeczywistą, ale zespoloną zdefiniowaną wedle wzoru (18.15), ale formalnie dla ośrodka przewodzącego lub nieprzewodzącego jak powiedzieliśmy wcześniej wzory formalnie są takie same, zatem dla ośrodka przewodzącego wzoru na wspomniane amplitudy przedstawiają się:

$\vec{E}_w(z,t)=\tilde{E}_{0w}e^{i(\tilde{k}_2 z-\omega t)}\;$ (18.47)

$\vec{B}_w(z,t)={{\tilde{k}_2}\over{\omega}}\tilde{E}_{0w}e^{i(\tilde{k}_2 z-\omega t)}\;$ (18.48)

Jeśli zastąpimy we wzorze (18.47) i w (18.48) wedle schematu $_{{{\tilde{k}_2}\over{\omega}}\rightarrow{{1}\over{\tilde{v}_2}}}\;$, to formalnie otrzymujemy te same wzory jak dla powierzchni padającej nieprzewodzącej. Zatem amplitudy fali elektromagnetycznej pola elektrycznego odbitej i wchodzącej na podstawie jego odpowiednika dla ośrodka nieprzewodzącego, których te amplitudy piszemy wzorami (17.66) i (17.67), zatem te same amplitudy, ale dla ośrodka przewodzącego piszemy wzorami:

$\tilde{E}_{0o}={{1-\tilde{\beta}}\over{1+\tilde{\beta}}}\tilde{E}_{0p}\;$ (18.49)

$\tilde{E}_{0w}={{2}\over{1+\tilde{\beta}}}\tilde{E}_{0p}\;$ (18.50)

Gdzie definicja $\tilde{\beta}\;$ jest formalnie takie same jak dla powierzchni nieprzewodzącej (17.65) (pierwsza równość) i wynosi:

$\tilde{\beta}={{\mu_1v_1}\over{\mu_2\tilde{v}_2}}={{\mu_1v_1}\over{\mu_2{{\omega}\over{\tilde{k}_2}}}}={{\mu_1v_1}\over{\mu_2\omega}}\tilde{k}_2\;$

(18.51)

Dla doskonałego przewodnika przewodność elektryczna σ jest równa nieskończoność i korzystając ze wzoru (18.34) mamy K=∞, zatem moduł z zespolonej liczby falowej (18.33) jest równy nieskończoność, zatem parametr $\tilde{\beta}\;$ na podstawie wzoru (18.51) też jest liczbą nieskończoną.

Rozważając wzory na amplitudy fali odbitej i wchodzącej według wzorów (18.49) i (18.50) przy wcześniejszych rozważaniach dla doskonałego drugiego przewodnika, wtedy dostajemy, że amplituda fali wchodzącej jest równa zero, a amplituda fali odbitej z dokładnością do minusa jest równa fali padającej, co mamy:

$E_{0o}=-E_{0p}\;$ (18.52)

$E_{0w}=0\;$ (18.53)

Widzimy, że dla dobrze przewodzącej powierzchni przewodzącej wcale nie ma fali załamanej dla fali elektromagnetycznej padającej na tą powierzchnię i całkowita energia fali odbitej jest równa energii fali padającej.

Zależność przenikalności elektrycznej w materii od częstości

Przedstawimy ruch cząstki naładowanej o ładunku q, na którą działa siłą potencjalna pochodząca od tego, że nasz ośrodek jest przewodzący, siły działające pochodzące od zderzeń od rdzeni atomowych i siły pochodzącej od fali elektromagnetycznej pola elektrycznego, następnie policzymy moment dipolowy naszej cząstki w tym przewodniku, następnie polaryzację w danym punkcie ośrodka , na podstawie tego wyznaczymy podatność elektryczna i na jej podstawie przenikalność elektryczną naszego ośrodka.

Rozważając poszczególne cząstki dochodzimy do wniosku, że na każdy elektron posiada energię potencjalną, który jest funkcję x i ma wartość U(x), zatem rozłóżmy tą funkcję w szereg Taylora w sposób:

$U(x)=U(0)+x U^'(0)+{{1}\over{2}}x^2 U^{''}(0)+...\;$

(18.54)

Dalsze wyrazy o stopniu wyższym niż dwa można pominąć, zakładamy że potencjał w położeniu zerowym jest równy zero, czyli U(0)=0. W położeniu minimalnym cząstka posiada minimum energii potencjalnej, a więc zachodzi U^'(0)=0, zatem pozostaje tylko trzeci niezerowy wyraz w (18.54), zatem tą naszą rozważana funkcję piszemy:

$U(x)={{1}\over{2}}x^2 U^{''}(0)\;$

(18.55)

Siła potencjalna działająca na naładowaną cząstkę jest pochodną funkcji potencjału elektrycznego (18.55) wziętej z minusem, którą razem piszemy:

$F_{\mbox{pot}}=-{{dU(x)}\over{dx}}=-{{d}\over{dx}}\left({{1}\over{2}}x^2U^{''}(0)\right)=-xU^{''}(0)\;$

(18.56)

Jeżeli na naszą cząstkę działa tylko siła potencjalną (18.56), nie ma sił oporu, to z drugiej zasady dynamiki Newtona, w której niezrównoważona siła jest napisana przez:

$m\ddot{x}=-xU^{''}(0)\Rightarrow \ddot{x}=-x {{U^{''}(0)}\over{m}}\;$

(18.57)

Z rozważań nad ruchem harmonicznym, można powiedzieć, że wielkość U^"(0) jest równe kwadratowi częstotliwości podstawowej ω₀² pomnożonej przez masę cząstki:

$\omega_0^2={{U^{''}(0)}\over{m}}\Rightarrow U^{''}(0)=m\omega_0^2\;$

(18.58)

• gdzie ω₀ jest to częstość kołowa rezonansowa układu.

Zatem nasza siła potencjalna działająca na nasz układ wyrażamy wzorem poniżej, która jest wprost proporcjonalna do położenia cząstki w układzie harmonicznym.

$F_{\mbox{pot}}=-m\omega_0^2 x\;$

(18.59)

Na naszą cząstkę oprócz siły potencjalnej również uwzględnijmy siłę tłumiącą, która jest proporcjonalna do jej prędkości dla cząstki, którą rozważamy o współczynniku tłumienia γ, co ten wzór na tą siłę można zapisać:

$F_{\mbox{tłum}}=-m\gamma\dot{x}$

(18.60)

A także siła pochodząca od fali elektromagnetycznej pola elektrycznego o natężeniu E działającej na ładunek q, którego wzór na siłę wektorowo piszemy ze wzoru wynikającego z (1.2), co dla tylko współrzędnej iksowej piszemy na pewno w pierwszym wzorze poniżej, co jeszcze łatwiej można zapisać wykorzystując funkcje eksponencjalne według drugiego wzoru poniżej:

$F_{\mbox{wym}}=q E=q E_0\cos(\omega t)\;$ (18.61)

$F_{\mbox{wym}}=q E_0 e^{-i\omega t}\;$ (18.62)

\Wtedy również należy zamienić współrzędną iksową x na jego odpowiednik zespolony $\tilde{x}\;$. Z drugiej zasady dynamiki Newtona uwzględniając siłę potencjalną (18.59), tłumiącą (18.60) i na końcu siłę elektryczną (18.62), która pochodzi od fali elektromagnetycznej, zatem ta zasada przyjmuje postać:

$m{{d^2\tilde{x}}\over{d t}}=F_{\mbox{pot}}+F_{\mbox{tłum}}+F_{\mbox{wym}}\Rightarrow m{{d^2\tilde{x}}\over{dt}}=-m\omega_0^2 \tilde{x}-m\gamma {{d\tilde{x}}\over{dt}}+q E_0 e^{-i\omega t}\;$

(18.63)

Przenosimy wszystkie wyrazy stojące na prawej stronie równości różniczkowej (18.63) na jego lewą stronę i dzieląc w tak powstałym równaniu przez wielkość m, wtedy dostajemy:

$m {{d^2\tilde{x}}\over{dt}}+m\gamma{{d\tilde{x}}\over{dt}}+m\omega_0^2 \tilde{x}=qE_0 e^{-i\omega t}\Rightarrow{{d^2\tilde{x}}\over{dt}}+\gamma {{d\tilde{x}}\over{dt}}+\omega_0^2\tilde{x}={{q}\over{m}} E_0 e^{-i\omega t}\;$

(18.64)

Do zespolonego równania różniczkowego (18.64) podstawiamy położenie zespolone, która zależy od częstotliwości ω naszego układu mechanicznego i od czasu, który stoi pod zespoloną potęgą w eksponensie.

$\tilde{x}(t)=\tilde{x}_0 e^{-i\omega t}\;$

(18.65)

Rozwiązanie zespolone (18.65) podstawiamy do równania różniczkowego, wtedy tak powstałe równanie dzielimy przez e^{iω t}, bo ona jest zawsze nie równa zero, wtedy otrzymujemy:

$-\omega^2 \tilde{x}_0 e^{-i\omega t}+\gamma(-i\omega) \tilde{x}_0 e^{-i\omega t}+\omega_0^2\tilde{x}_0 e^{-i\omega t}={{q}\over{m}} E_0 e^{-i\omega t}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow-\omega^2\tilde{x}_0-i\omega\gamma\tilde{x}_0+\omega_0^2\tilde{x}_0={{q}\over{m}}E_0 e^{-i\omega t}\;$

(18.66)

Wyznaczmy przed nawias wyraz w wyrażeniu (18.66) stałą zespoloną $\tilde{x}_0\;$, i wtedy możemy z niego wyznaczyć tą właśnie amplitudę:

$\tilde{x}_0\left(-\omega^2-i\omega\gamma+\omega_0^2\right)={{q}\over{m}}E_0\Rightarrow\tilde{x}_0={{{{q}\over{m}} E_0}\over{\omega_0^2-\omega^2-i\omega\gamma}}\;$

(18.67)

Odchylenie od czasu przy ustalonej amplitudzie zależnej od częstości zewnętrznej fali elektromagnetycznej jest wyrazona wzorem (18.65) przy definicji stałej w nim występującej wedle końcowego wzoru wynikającego (18.67), wtedy dostajemy wzór:

$\tilde{x}(t)={{{{q}\over{m}} E_0}\over{\omega_0^2-\omega^2-i\omega\gamma}}e^{-i\omega t}={{q}\over{m}}E_0Ke^{i\Phi}e^{-i\omega t}={{q}\over{m}}E_0Ke^{i(-\omega t+\Phi)}\;$

(18.68)

Napiszmy stałą i nazwijmy ją jako $\tilde{K}\;$  stojąca przy eksponensie w (18.68) , i tak go przekształcajmy by w nim w mianowniku występowała tylko liczba rzeczywista:

$\tilde{K}={{}\over{\omega_0^2-\omega-i\omega\gamma}}= {{\omega_0^2-\omega+i\omega\gamma}\over{\left(\omega_0^2-\omega-i\omega\gamma\right)\left(\omega_0^2-\omega+i\omega\gamma\right)}}= {{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}\over{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+\omega^2\gamma^2}}\;$

(18.69)

Następnie krokiem jest wyznaczenie modułu z liczby (18.69) korzystając z wiadomości z algebry przy jego liczeniu:

$K=|\tilde{K}|={{\sqrt{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+\omega^2\gamma^2}}\over{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+\omega^2\gamma^2}}= {{1}\over{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\gamma^2}}}\;$

(18.70)

Następnym znów krokiem jest policzenie parametru Φ znając definicję liczby $\tilde{K}\;$ występujacej w punkcie (18.69).

$\Phi=\operatorname{arctg}{{{{q}\over{m}}E_0{{ \omega\gamma}\over{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+\omega^2\gamma^2}}}\over{{{q}\over{m}}E_0{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+\omega^2\gamma^2}}}}= \operatorname{arctg}{{\omega\gamma}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;$

(18.71)

Położenie cząstki w zależności od czasu jest dane wzorem (18.68) przy definicji K (18.70) i definicji Φ danej wzorem (18.71), zatem moment dipolowy poszczególnych elektronów liczymy z jego definicji:

$\tilde{p}(t)=q\tilde{x}(t)={{{{q^2}\over{m}}}\over{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma m}}E_0e^{-i\omega t}\;$

(18.72)

Każda cząsteczka posiada elektrony o częstościach własnych (ω₀)₁,(ω₀),..., a liczba elektronów o takich częstościach własnych kołowych jest równa kolejno f₁, f₂,....

Każda taka cząsteczka posiada elektrony o różnych częstościach własnych, czyli każda cząsteczka posiada elektrony mające różne częstości kołowe (ω₀)_j i liczbą elektronów o takich samych częstościach i współczynników tłumienia jest f_j. Liczba takich cząsteczek o takich właściwościach jest N na jednostkę objętości.

Liczba N ma miano w postaci m^-3, co jest odwrotnością jednostki objętości. Polaryzacja układu elektrycznego na podstawie powyższych omówień piszemy według:

$\tilde{P}= {{N q^2}\over{m}}\left(\sum_j{{f_i}\over{(\omega_0)_j^2-\omega^2-i\gamma_j\omega}}\right) E_0e^{-\omega t}\;$

(18.73)

Widzimy, że zespolona polaryzacja jest proporcjonalna od natężenia pola elektrycznego fali elektromagnetycznej napisanej wzorem $_{\tilde{E}=E_0e^{-i\omega t}}\;$. Zatem zespolona polaryzacja przyjmuje kształt:

$\tilde{P}=\epsilon_0\tilde{\chi}_E\tilde{E}\;$

(18.74)

Prawdziwa polaryzacja jest równe jej części rzeczywistej (18.74), która jest napisana przez:

$P=\operatorname{Re}(\tilde{P})\;$

(18.75)

Wielkość $\tilde{\chi}_e\;$ nosi nazwę zespolonej podatności elektrycznej i ma się według wzoru na polaryzację ośrodka (18.73) i wzoru tożsamego z nim przy użyciu zespolonej podatności elektrycznej wedle (18.75):

$\tilde{\chi}_e={{N q^2}\over{m\epsilon_0}}\left(\sum_j{{f_i}\over{(\omega_0)_j^2-\omega^2-i\gamma_j\omega}}\right)\;$

(18.76)

A wielkość$\tilde{\epsilon}=\epsilon_0\left(1+\tilde{\chi}_e\right)\;$ nosi nazwę zespolonej przenikalności ośrodka, a $\tilde{\epsilon}_e=1+\tilde{\chi}_e\;$ zespolonej względnej przenikalności elektrycznej i ona ma się:

$\tilde{\epsilon}_r=1+{{N q^2}\over{m\epsilon_0}}\left(\sum_j{{f_i}\over{(\omega_0)_j^2-\omega^2-i\gamma_j\omega}}\right)\;$

(18.77)

Dla ośrodka przewodzącego jak udowodniliśmy wcześniej jest spełnione równanie dla zespolonej przenikalności elektrycznej zespolonej, wiedząc że względna przenikalność magnetyczna jest w przybliżeniu równa jeden przy równaniu falowym (18.13). Dochodzimy do wniosku, że zespolona prędkość fazowa fali elektromagnetycznej jest napisana wzorem (18.14) i z definicji prędkości fazowej (18.15), i łącząc te dwa wzoru dostajemy tożsamość, z którego możemy wyznaczyć zespoloną liczbę falową $\tilde{k}\;$:

${{\omega}\over{\tilde{k}}}={{1}\over{\sqrt{\tilde{\epsilon}\mu_0}}}\Rightarrow\tilde{k}=\sqrt{\tilde{\epsilon}\mu_0}\omega$

(18.78)

Mając napisaną względną zespoloną przenikalność elektryczną $\tilde{\epsilon}\;$, to możemy go podstawić do wzoru końcowego na zespoloną liczbę falową (18.78), przy założeniu, że względna przenikalność ośrodka magnetycznego jest w przybliżeniu równa jeden, czyli μ_r=1, zatem do dzieła:

$\tilde{k}=\sqrt{\epsilon\mu_0}\omega=\sqrt{\epsilon}{{1}\over{c\sqrt{\epsilon_0}}}\omega=\sqrt{{{\epsilon}\over{\epsilon_0}}}{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\sqrt{\epsilon_r}={{\omega}\over{c}}\sqrt{1+\tilde{\chi}_e} \simeq{{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}\tilde{\chi}_e\right)=$ $={{\omega}\over{c}}\left[1+{{N q^2}\over{2m\epsilon_0}}\sum_j{{f_j}\over{(\omega_0)_j-\omega^2-i\gamma_i\omega}}\right]=$ $={{\omega}\over{c }}\left[1+{{N q^2}\over{2m\epsilon_0}}\sum_j{{f_i\left[(\omega_0)_j-\omega^2+i\gamma_i\omega\right]}\over{\left[(\omega_0)_j-\omega^2-i\gamma_i\omega\right]\left[(\omega_0)_j-\omega^2+i\gamma_i\omega\right]}}\right]=$ $={{\omega}\over{c}}\left[1+{{N q^2}\over{2m\epsilon_0}}\sum_j{{f_i\left[(\omega_0)_j-\omega^2+i\gamma_i\omega\right]}\over{(\omega^2-(\omega_0)_j^2)^2+\gamma_i^2\omega^2}}\right]$

(18.79)

Ponieważ $\tilde{k}$ jest liczbą zespoloną, to jej część rzeczywista jest rzeczywistą liczbą falową, za pomocą której możemy zdefiniować współczynnik załamania danego ośrodka.

$n={{c}\over{v}}={{c}\over{{{\omega}\over{k}}}}={{ck}\over{\omega}}= {{c\operatorname{Re}(\tilde{k})}\over{\omega}}= 1+{{N q^2}\over{m\epsilon_0}}\sum_j{{f_j((\omega_0)_j-\omega)}\over{(\omega^2-(\omega_0)_j)^2+\gamma_j^2\omega^2}}$

(18.80)

Nazwijmy współczynnik absorpcji jako podwojona wartość współczynnika tłumiona, której to współczynnik tłumienia na podstawie (18.19) jest równy części urojonej zespolonej liczby falowej (18.79) wyrażonej:

$\alpha=2\kappa=2\operatorname{Im}(\tilde{k})={{N q^2\omega^2}\over{m\epsilon_0 c}}\sum_j{{f_j\gamma_j}\over{(\omega^2-(\omega_0)_j^2)^2+\gamma_i^2\omega^2}}$

(18.81)

Widzimy, że w szczególnej postaci współczynnik załamania jest większy niż jeden, co mamy do czynienia z prędkościami powyżej prędkości światła, wydaje się, że nasz wzór jest niepoprawny, ależ jest poprawny, bo mamy do czynienia z prędkościami fazowymi, a nie prędkościami grupowymi, prędkość grupowa jest to prędkość propagacji energii fali elektromagnetycznej w naszym przypadku i zawsze powinna być mniejsza niż prędkość światła, ale z prędkością fazową już tak nie jest.

Zgodnie z naszym wzorem i obserwacjami współczynnik załamania rośnie, a w pobliżu jednej częstości rezonansowej gwałtownie maleje, to zjawisko nazywamy dyspersją anomalną.

Zależność współczynnika załamania i absorpcji od częstości kołowej fali elektromagnetycznej

Gdy mamy jedną częstość rezonansową, to wtedy f jest to liczba wszystkich elektronów o tej jednej częstości i tylko tej jednej częstości kołowej znajdujących się w cząsteczce, czyli wszystkie elektrony w cząsteczce mają taką samą tą częstość kołową w danej cząsteczce, zatem współczynnik załamania:

$n=1+{{Nq^2f}\over{2m\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2}}$

(18.82)

A współczynnik absorpcji na podstawie (18.81) definiujemy:

$\alpha={{N q^2\omega^2 f\gamma}\over{m\epsilon_0c}}{{1}\over{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2}}$

(18.83)

Gdy znajdujemy się z dala od jakieś częstości rezonansowej, to wtedy możemy zaniedbać stałą tłumienia, zatem współczynnik załamania (18.82) w takim przypadku możemy napisać:

$n\simeq 1+{{N q^2}\over{2m\epsilon_0}}\sum_j{{f_j}\over{\omega_0^2-\omega}}$

(18.84)

Wtedy współczynnik absorpcji praktycznie znika, czyli fala elektromagnetyczna w ośrodku nie jest praktycznie tłumiona. Określmy częstości fal elektromagnetycznej według warunku ω<(ω₀)_j, czyli wyrażenie stojące w punkcie pod sumą (18.84), możemy zapisać:

${{1}\over{(\omega_0)_j-\omega^2}}={{1}\over{(\omega_0)_j^2\left(1-{{\omega^2}\over{(\omega_0)_j}}\right)}}\simeq {{1}\over{(\omega_0)_j}}\left(1+{{\omega^2}\over{(\omega_0)_j^2}}\right)={{1}\over{(\omega_0)_j^2}}+{{\omega^2}\over{(\omega_0)_j^4}}$

(18.85)

To ostatnie równanie na współczynnika załamania (18.84), gdy zachodzi przybliżenie (18.85), możemy zapisać wedle:

$n=1+{{N q^2}\over{2m\epsilon_0}}\sum_j{{f_j}\over{(\omega_0)_j^2}}+\omega^2\left[{{N q^2}\over{2m\epsilon_0}}\sum_j{{f_j}\over{(\omega_0)_j^4}}\right]$

(18.86)

Co można zapisać równanie (18.86) dla jednej częstości kołowej rezonansowej:

$n=1+{{N q^2 f}\over{2m\epsilon_0\omega_0^2}}\left[1+{{\omega^2}\over{\omega_0^2}}\right]$

(18.87)

Ponieważ zachodzi warunek na prędkość fazową światła $_{c={{\omega}\over{k}}={{\omega}\over{{{2\pi}\over{\lambda}}}}= {{\omega\lambda}\over{2\pi}}}$  i korzystając z tych wniosków do tożsamości (18.87), wtedy dostajemy wzór na współczynnik załamania w zależności od długości fali jakie mogą przepływać w tym ośrodku materialnym jako:

$n=1+{{N q^2 f}\over{2m\epsilon_0\omega_0^2}}\left[1+{{2c\pi}\over{\omega_0^2}}{{1}\over{\lambda^2}}\right]$

(18.88)

Wzór (18.88) nazywamy wzorem Cauchy'ego.

Opis fal prowadzonych

Zajmować się będziemy falami prowadzonymi w falowodach i liniach transmisyjnych i wykażemy, że te fale nie są w ogólności falami poprzecznymi tak ja w zwykłych falach elektromagnetycznych, które rozchodzą się w nieskończonych rozmiarach w przeciwieństwie do fal w falowodach lub liniach transmisyjnych, które ograniczone są do wnętrza rury.

Opis ogólny fal prowadzonych w falowodach

Falowód jest to pewna rura, w których we wnętrzu rozchodzą się fale prowadzone. Zakładamy, że brzeg rury jest doskonałym przewodnikiem, tzn. jego przewodność elektryczna jest nieskończenie wielka. Na brzegach tej rury natężenie pola elektrycznego i magnetycznego jest równa zero, tzn. zachodzą warunki:

$\vec{\tilde{E}}=0\;$ (19.1)

$\vec{\tilde{B}}=0\;$ (19.2)

We wnętrzu rury nie ma prądów swobodnych , a także nie ma ładunków i dlatego gęstość ładunku i prądu objętościowych jest równa zero. Równania Maxwella dla falowodów na podstawie równań (15.14), (15.15), (15.16) oraz (15.16) wyglądają:

Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{\tilde{E}}=0\;$ (19.3)	$\nabla\cdot\vec{\tilde{B}}=0\;$ (19.4)	$\nabla\times\vec{\tilde{E}}=-{{\partial\vec{\tilde{B}}}\over{\partial t}}\;$ (19.5)	$\nabla\times\vec{\tilde{B}}=\mu_0\epsilon_0{{\partial\vec{\tilde{E}}}\over{\partial t}}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \nabla\times\vec{\tilde{B}}={{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{\tilde{E}}}\over{\partial t}}\;$ (19.6)

Rozwiązania pół elektrycznych i magnetycznych fali prowadzonej

Jeśli wybierzemy sobie taki układ współrzędnych, w których zachodzi, że oś zetowa przechodzi przez oś symetrii tej rury, wtedy rozwiązania równań Maxwella dla fal prowadzonych we wnętrzu rury są dla pola elektrycznego i magnetycznego:

$\vec{\tilde{E}}(x,y,z,t)=\vec{\tilde{E}}_0 e^{i(kz-\omega t)}\;$ (19.7)

$\vec{\tilde{B}}(x,y,z,t)=\vec{\tilde{B}}_0 e^{i(kz-\omega t)}\;$ (19.8)

Amplitudy dla pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej występujące we wzorach (19.7) i (19.8) możemy napisać:

$\vec{\tilde{E}}_0=\tilde{E}_{0x}\hat{\vec{x}}+\tilde{E}_{0y}\hat{\vec{y}}+\tilde{E}_{0z}\hat{\vec{z}}\;$ (19.9)

$\vec{\tilde{B}}_0=\tilde{B}_{0x}\hat{\vec{x}}+\tilde{B}_{0y}\hat{\vec{y}}+\tilde{B}_{0z}\hat{\vec{z}}\;$ (19.10)

Poszczególne składowe amplitudy fali prowadzonej zależą od współrzędnej iskowej i igrekowej, i nie zależą od współrzędnej zetowej.

Każda ze składowych $\vec{\tilde{E}}_0\;$ i $\vec{\tilde{B}}_0\;$,jest funkcją współrzędnych x i y, co wynika z symetrii rury dla fal prowadzonych.

Równania różniczkowe rządzące falami prowadzonymi w falowodzie

Wykorzystując trzecie równanie elektrodynamiki Maxwella (19.5), to policzmy jego lewą stronę, korzystając przy tym z formalnego oznaczenia iloczynu wektorowego w postaci ściśle określonego wyznacznika:

$\nabla\times\vec{\tilde{E}}=\begin{vmatrix} \hat{\vec{x}}&\hat{\vec{y}}&\hat{\vec{z}}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ \tilde{E}_{0x} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{E}_{0y} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{E}_{0z} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}=\hat{\vec{x}}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ \tilde{E}_{0y} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{E}_{0z} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}+\;$ $-\hat{\vec{y}}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ \tilde{E}_{0x} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{E}_{0z} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}+\hat{\vec{z}}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}\\ \tilde{E}_{0x} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{E}_{0y} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}=\;$ $=e^{i(kz-\omega t)}\left[\hat{\vec{x}}\left({{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{E}_{0y}\right)+\hat{\vec{y}}\left(ik \tilde{E}_{0x}-{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\right)+\hat{\vec{z}}\left({{\partial \tilde{E}_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial \tilde{E}_{0x}}\over{\partial y}}\right)\right]\;$

(19.11)

A z prawej strony tego samego prawa elektrodynamiki Maxwella, korzystając z przedstawienia fali prowadzonej dla pola magnetycznego wedle równania (19.8), znając również przedstawienie tejże fali amplitudy pola magnetycznego we współrzędnych kartezjańskich zdefiniowanych wedle sposobu (19.10), można wyznaczyć:

$-{{\partial\vec{\tilde{B}}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial t}}\vec{\tilde{B}}_0 e^{i(kz-\omega t)}=i\omega\vec{\tilde{B}}_0e^{i(kz-\omega t)}= i\omega\left(\tilde{B}_{0x}\hat{\vec{x}}+\tilde{B}_{0y}\hat{\vec{y}}+\tilde{B}_{0z}\hat{\vec{z}}\right) \;$

(19.12)

Porównując prawą i lewą stronę równań, tzn. dla lewej strony trzeciego prawa elektrodynamiki (19.11) z jej prawą jego stroną wedle (19.12), otrzymujemy układ równań:

$\begin{cases} {{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{E}_{0y}=i\omega \tilde{B}_{0x}\\ ik\tilde{E}_{0x}-{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}=i\omega \tilde{B}_{0y}\\ {{\partial \tilde{E}_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial \tilde{E}_{0x}}\over{\partial y}}=i\omega \tilde{B}_{0z} \end{cases}\;$

(19.13)

Wykorzystując trzecie równanie elektrodynamiki Maxwella (19.6), to policzmy jego lewą stronę, korzystając przy tym z formalnego oznaczenia iloczynu wektorowego w postaci ściśle określonego wyznacznika, w celu wyznaczeniu tej strony naszego równania, zatem do dzieła, policzmy ten wyznacznik:

$\nabla\times\vec{\tilde{B}}=\begin{vmatrix} \hat{\vec{x}}&\hat{\vec{y}}&\hat{\vec{z}}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ \tilde{B}_{0x} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{B}_{0y} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{B}_{0z} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}= \hat{\vec{x}}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ \tilde{B}_{0y} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{B}_{0z} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}+\;$ $-\hat{\vec{y}} \begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ \tilde{B}_{0x}e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{B}_{0z}e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}+\hat{\vec{z}}\begin{vmatrix} {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}\\ \tilde{B}_{0x} e^{i(kz-\omega t)}&\tilde{B}_{0y} e^{i(kz-\omega t)} \end{vmatrix}=\;$ $=e^{i(kz-\omega t)}\left[ \hat{\vec{x}}\left({{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{B}_{0y}\right)+ \hat{\vec{z}}\left(ik \tilde{B}_{0x}-{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}\right)+ \hat{\vec{z}}\left({{\partial \tilde{B}_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial \tilde{B}_{0x}}\over{\partial y}}\right) \right]\;$

(19.14)

A prawa strona tego samego prawa elektrodynamiki Maxwella można wyznaczyć, korzystając z przedstawienia fali prowadzonej dla pola elektrycznego wedle równania (19.7), znając również przedstawienie tejże fali amplitudy pola elektrycznego we współrzędnych kartezjańskich zdefiniowanych wedle sposobu (19.9).

${{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{\tilde{E}}}\over{\partial t}}= -i\omega{{1}\over{c^2}}\vec{\tilde{E}}_0 e^{i(kz-\omega t)}= -i\omega{{1}\over{c^2}}\left(\hat{\vec{x}} \tilde{E}_{0x}+\hat{\vec{y}}\tilde{E}_{0y}+\hat{\vec{z}}\tilde{E}_{0z}\right)\;$

(19.15)

Następnym krokiem jest przyrównanie obu stron w czwartym równaniu Maxwella, tzn. (19.14) i (19.15), wtedy to przyrównanie prowadzi do równania wektorowego, które jest równoważne trzem równaniom skalarnym, które zapisujemy wedle sposobu:

$\begin{cases} {{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{B}_{0y}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}\\ ik \tilde{B}_{0x}-{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}\\ {{\partial \tilde{B}_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial \tilde{B}_{0x}}\over{\partial y}}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0z} \end{cases}\;$

(19.16)

Współrzędne iksowe i igrekowe pola elekrycznego fali prowadzonej w falowodzie

Z korzystajmy z równania drugiego układu równań (19.13) i z równania pierwszego układu równań (19.16), które te równania równań z oczywistych powodów powinny zachodzić jednocześnie. Z tak otrzymanego układu równań, w pierwszym z nich pomnóżmy przez k a drugie z nich przez $_{{{\omega}\over{c^2}}}\;$, wtedy dostajemy następny równoważny układ równań:

$\begin{cases} ik\tilde{E}_{0x}-{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}=i\omega \tilde{B}_{0y}\Rightarrow ik\tilde{E}_{0x}=i\omega \tilde{B}_{0y}+{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\\ {{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{B}_{0y}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} ik^2\tilde{E}_{0x}=i\omega k \tilde{B}_{0y}+k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\\ -{{i\omega^2}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}=\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}-ik\omega \tilde{B}_{0y}\\ \end{cases}\;$

(19.17)

Tak otrzymany końcowy układ równań (19.17), co w nim dodajemy do siebie równania, w ten sposób dostajemy równanie wynikowe, z którego będziemy chcieli wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego fali prowadzonej, zatem dodanie tych wspomnianych równań prowadzi:

$i\tilde{E}_{0x}\left[k^2-\left({{\omega}\over{c}}\right)^2\right]=i\omega k \tilde{B}_{0y} +k{{\partial \tilde{E}_{0x}}\over{\partial x}}+\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}-ik\omega \tilde{B}_{0y}\Rightarrow \;$ $\Rightarrow ik\tilde{E}_{0x}\left(k^2-\left({{\omega}\over{c}}\right)^2\right)=k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}+\omega {{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}\;$

(19.18)

Z końcowego równania (19.18) możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego:

$\tilde{E}_{0x}={{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}}\left(k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}+\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}\right)\;$

(19.20)

Z drugiej jednak strony weźmy pierwsze równanie układu równań (19.13) i drugie równanie układu równań (19.16). Pierwsze równanie tego układu równań mnożymy przez liczbę falową k, a drugie przez częstotliwość kołową ω, w ten sposób dostajemy następny układ równań.

$\begin{cases} {{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{E}_{0y}=i\omega \tilde{B}_{0x}\Rightarrow ik\tilde{E}_{0y}={{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-i\omega \tilde{B}_{0x} \\ ik \tilde{B}_{0x}-{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y} \\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} ik^2\tilde{E}_{0y}=k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-i\omega k \tilde{B}_{0x}\\ -i{{\omega^2}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}=ik\omega \tilde{B}_{0x}-\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}} \end{cases} \;$

(19.21)

Dodajmy dwa równania końcowego układu równań (19.21) do siebie, by potem w przyszłości wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola magnetycznego, która panuje w falowodzie, w ten sposób otrzymujemy równanie wynikowe, które dalej będziemy przekształcać:

$i\tilde{E}_{0y}\left[k^2-\left({{\omega}\over{c}}\right)^2\right]=k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-i\omega k \tilde{B}_{0x}+ik\omega \tilde{B}_{0x}-\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}\Rightarrow\;$ $i\tilde{E}_{0y}\left[k^2-\left({{\omega}\over{c}}\right)^2\right]=k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}\;$

(19.22)

Z końcowego równania (19.22) możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego w zalezności od współrzędnej zetowej natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego:

$\tilde{E}_{0y}={{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}}\left(k{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-\omega{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}\right)\;$

(19.23)

Współrzędne iksowe i igrekowe pola magnetycznego fali prowadzonej w falowodzie

Mamy sobie te sam układ początkowy, co w punkcie (19.21), tylko będziemy wyznaczać z niego współrzędną iksową amplitudy pola magnetycznego. W tym celu pierwsze z tych równań pomnóżmy obustronnie przez $_{{{\omega}\over{c^2}}}\;$, a drugie przez liczbę falową k, zatem w ten sposób dostajemy następny układ równań, co te czynności możemy zapisać:

$\begin{cases} {{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{E}_{0y}=i\omega \tilde{B}_{0x}\\ ik \tilde{B}_{0x}-{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} i{{\omega^2}\over{c^2}}\tilde{B}_{0x}={{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}-i{{k\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}\\ ik^2\tilde{B}_{0x}=-i{{\omega k}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}+k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}} \end{cases} \;$

(19.24)

Tak otrzymany końcowy układ równań (19.24) odejmujemy do siebie, tzn. drugie od pierwszego, w ten sposób dostajemy równanie wynikowe z którego będziemy chcieli w przyszłości wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola magnetycznego fali prowadzonej, zatem odejmowanie tych wspomnianych równań prowadzi do:

$ik^2\tilde{B}_{0x}-i{{\omega^2}\over{c^2}}\tilde{B}_{0x}=i{{\omega k}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}+k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}-{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}+i{{k\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0y}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow i\tilde{B}_{0x}\left[k^2-\left({{\omega}\over{c}}\right)^2\right]=k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}-{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}} \;$

(19.25)

Z końcowego równania (19.25) możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy indukcji pola magnetycznego w zalezności od współrzędnych zetowych natęzenia pola magnetycznego i indukcji pola magnetycznego:

$\tilde{B}_{0x}={{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}}\left(k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x}}-{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y}}\right)\;$

(19.26)

Posłużmy się znów układem równań (19.17) i pierwsze z nich pomnóżmy przez odwrotność kwadratu wartości światła c, czyli c^-2, a drugie z nich przez liczbę falową k, w ten sposób dostajemy następny równoważny do poprzedniego układ równań:

$\begin{cases} ik\tilde{E}_{0x}-{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}=i\omega \tilde{B}_{0y} \\ {{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}-ik \tilde{B}_{0y}=-{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}\Rightarrow ik \tilde{B}_{0y}={{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}+{{i\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} i{{\omega}\over{c^2}}\tilde{B}_{0y}=i{{k\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}-{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\\ ik^2 \tilde{B}_{0y}=k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}+i{{\omega k}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x} \end{cases} \;$

(19.27)

Odejmijmy od siebie dwa równania końcowego układu równań (19.27), tzn. pierwsze od drugiego, by potem w przyszłości wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola magnetycznego, która panuje w falowodzie, w ten sposób otrzymujemy równanie wynikowe, które dalej będziemy przekształcać:

$ik^2 \tilde{B}_{0y}-i{{\omega}\over{c^2}}=k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}+i{{\omega k}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}-i{{k\omega}\over{c^2}}\tilde{E}_{0x}+{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\Rightarrow i \tilde{B}_{0y}\left[k^2-{{\omega}\over{c^2}}\right]=k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}+{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\;$

(19.28)

Z końcowego równania (19.28) możemy wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola elektrycznego występująca w rozwiązaniu jako fale prowadzone układu równań (19.8), zatem tą współrzędną można napisać:

$\tilde{B}_{0y}={{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}}\left(k{{\partial \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y}}+{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial x}}\right)\;$

(19.29)

Znając współrzędne $\tilde{E}_{0z}\;$ i $\tilde{B}_{0z}\;$, które z kolei zależą od współrzędej kartezjańskiej x i y, wtedy możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej.

Współrzędne zetowe pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej w falowodzie

Z korzystajmy z pierwszego prawa (19.3), oraz z drugiego prawa Maxwella (19.4), które są słuszne dla fali prowadzonej, wtedy amplitudy tych fal z definiowanych w punkcie (19.7) i (19.8) podstawiamy do tych równań, wtedy dostając końcowe równania różniczkowe, których postać podamy poniżej:

$\begin{cases} \nabla\cdot\vec{\tilde{E}}=0\Rightarrow {{\partial\tilde{E}_x}\over{\partial x}}+{{\partial\tilde{E}_y}\over{\partial y}}+{{\partial\tilde{E}_z}\over{\partial z}}=0\Rightarrow e^{i(kz-\omega t)}\left({{\partial\tilde{E}_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial\tilde{E}_{0y}}\over{\partial y}}+ik\tilde{E}_{0z}\right)=0\\ \nabla\cdot\vec{\tilde{B}}=0\Rightarrow {{\partial\tilde{B}_x}\over{\partial x}}+{{\partial\tilde{B}_y}\over{\partial y}}+{{\partial\tilde{B}_z}\over{\partial z}}=0\Rightarrow e^{i(kz-\omega t)}\left({{\partial\tilde{B}_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial\tilde{B}_{0y}}\over{\partial y}}+ik\tilde{B}_{0z}\right)=0 \end{cases}\;$

(19.30)

Równania (19.30) możemy zapisać po podzieleniu ich przez eksponens z liczby i(kz-ω t), wtedy dostajemy układ równań w postaci:

$\begin{cases} {{\partial\tilde{E}_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial\tilde{E}_{0y}}\over{\partial y}}+ik\tilde{E}_{0z}=0\\ {{\partial\tilde{B}_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial\tilde{B}_{0y}}\over{\partial y}}+ik\tilde{B}_{0z}=0 \end{cases}\;$

(19.31)

Do układu równań (19.31) podstawiamy już obliczone wartości na $\tilde{E}_{0x}\;$ (19.20), na $\tilde{E}_{0y}\;$ (19.23) oraz na $\tilde{B}_{0x}\;$(19.26) i ostatecznie na $\tilde{B}_{0y}\;$ (19.29), wtedy dostaniemy układ równań, z których będziemy mogli wyznaczyć współrzędne zetowe amplitud fali prowadzonej pola elektrycznego i magnetycznego, dostajemy:

$\begin{cases} {{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}}\left(k{{\partial^2\tilde{E}_{0z}}\over{\partial x^2}}+\omega{{\partial^2 \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y\partial x}}+k{{\partial^2 \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y^2}}-\omega{{\partial^2 \tilde{B}_{0z}}\over{\partial x\partial y}}\right)+ik\tilde{E}_{0z}=0\\ {{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}}\left(k{{\partial^2\tilde{B}_{0z}}\over{\partial x^2}}-{{\omega}\over{c^2}}{{\partial \tilde{E}_{0z}}\over{\partial y\partial x}}+k{{\partial^2 \tilde{B}_{0z}}\over{\partial y^2}}+{{\omega}\over{c^2}}{{\partial\tilde{E}_{0z}}\over{\partial y\partial x}}\right)+ik\tilde{B}_{0z}=0 \end{cases}\;$

(19.32)

Bezpośrednio z układzie dwóch równań (19.32) dokonujemy redukcji pewnych wyrazów związanych z pochodnymi mieszanymi, i współrzędne zetowe amplitud pola elektrycznego i magnetycznego włączamy za nawias, w ten sposób dostajemy do poprzedniego przekształcony, ale równoważny układ równań:

$\begin{cases} {{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}} k\left({{\partial^2\tilde{E}_{0z}}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2\tilde{E}_{0z}}\over{\partial y^2}}\right)+ik\tilde{E}_{0z}=0\Rightarrow \left[{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+\left({{\omega}\over{c}}\right)-k^2\right]\tilde{E}_{0z}=0 \\ {{i}\over{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2}} k\left({{\partial^2\tilde{B}_{0z}}\over{\partial x^2}}+{{\partial\tilde{B}_{0z}}\over{\partial y^2}}\right)+ik\tilde{B}_{0z}=0\Rightarrow \left[{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+\left({{\omega}\over{c}}\right)-k^2\right]\tilde{B}_{0z}=0 \end{cases} \;$

(19.33)

Z powyższego układu równań (19.33) możemy wyznaczyć$\tilde{E}_{0z}\;$ i $\tilde{B}_{0z}\;$ jako funkcje x,y, już mając te funkcje, to można wyznaczyć pozostałe współrzędne pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej.

Jeśli współrzędna zetowa amplitudy pola elektrycznego jest równa zero, czyli$\tilde{E}_{0z}=0\;$, to mamy do czynienia z poprzecznymi falami elektrycznymi (TE), a jeśli amplituda pola magnetycznego jest równa zero, czyli$\tilde{B}_{0z}=0\;$, to mamy do czynienia z poprzecznymi falami magnetycznymi (TM), a jeśli zarówno oba te współrzędne zetowe pól elektrycznych i magnetycznych są równe zero, czyli $\tilde{E}_{0z}=0\;$ i $\tilde{B}_{0z}=0\;$, to mówimy o falach poprzecznych elektromagnetycznych (TEM), to w takim przypadku mamy na pewno:

$\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2=0\Rightarrow {{\omega}\over{c}}=k\Rightarrow c={{\omega}\over{k}}\;$

(19.34)

Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w falowodzie

Fale elektromagnetyczne nie mogą rozchodzić się w pustej falowodzie, udowodnijmy to. Wiadomo jednak, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi, więc ich składowa zetowa obu pól są rówe zero. Z pierwszego i trzeciego prawa Maxwella mamy wtedy równania w takim przypadku:

${{\partial \tilde{E}_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial \tilde{E}_{0y}}\over{\partial y}}=0\;$ (19.35)

${{\partial\tilde{E}_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial\tilde{E}_{0x}}\over{\partial y}}=0\;$ (19.36)

Dla pola elektromagnetycznego mamy zerową dywergencję i rotację, zatem pole elektromagnetyczne pola elektrycznego można przedstawić jako gradient pewnej funkcji zwanej potencjałem, która zależy od współrzędnej x i y. Co mamy podobnie w elektrostatyce. Potencjał na powierzchni rury (falowodu) musi mięć różnice potencjałów, ale z drugiej strony pole na powierzchni rury jest zerowe, zatem potencjał nie zmienia się z punku do punktu na naszej rurze. Dochodzimy więc do wniosku, że pole elektryczne we wnętrzu rury jest zerowe. Podobnie dowodzimy dla pola magnetycznego.

Propagacja fal prowadzonych w falowodzie prostokątnym

Falowodem prostokątnym nazywamy falowód o wysokości a i szerokości b.

Wyznaczmy współrzędną zetową pola magnetycznego fali prowadzonej pole według równania, które wyprowadziliśmy w punkcie (19.33) jako drugie końcowe równanie, i w nim dokonajmy za tą współrzędną amplitudy odpowiednie podstawienia:

$\tilde{B}_{0z}(x,y)=f(x)g(y)\;$

(19.37)

Zatem otrzymujemy rówanie różniczkowe, które jest zależne od funkcji f(x) i g(y) względem współrzędnych iksowych i igrekowych.

$g(y){{d^2f(x)}\over{dx^2}}+f(x){{d^2g(y)}\over{dy^2}}+\left[\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-k^2\right]f(x)g(y)=0\;$

(19.38)

Równanie (19.38) możemy podzielić obustronnie przez funkcję, która jest iloczynem funkcji zależnej od współrzędnej iksowej f(x) i fukcji zależnej od współrzędnej igrekowej g(y), zatem dostajemy równanie wynikowe:

${{1}\over{f(x)}}{{d^2f(x)}\over{dx^2}}+{{1}\over{g(y)}}{{d^2g(y)}\over{dy^2}}+\left({{\omega}\over{c}}\right)-k^2=0\;$

(19.39)

Z wiadomości o równaniach różniczkowych z pełną premedytacją możemy zapisać, tożsamość zależną od k_x, k_y, wedle wyglądu:

$-k_x^2-k_y^2+\left({{\omega}\over{c}}\right)-k^2=0\;$

(19.40)

Patrząc na równanie różniczkowe (19.39) i równanie do niego odpowiednie (19.40), wtedy dostajemy układ dwóch równań różniczkowych, z których każda zależy od innej współrzędnej przestrzennej.

${{1}\over{f(x)}}{{d^2f(x)}\over{dx^2}}=-k_x^2\;$ (19.41)

${{1}\over{g(y)}}{{d^2g(y)}\over{dy^2}}=-k_y^2\;$ (19.42)

Stąd z równań (19.41) i (19.42) możemy wyznaczyć ich rozwiązania w postaci funkcji f(x) i g(x):

$f(x)=A\sin(k_x x)+B\cos(k_x x)\;$ (19.43)

$g(y)=C\sin(k_y y)+D\cos(k_y y)\;$ (19.44)

Gdy mamy rozwiązanie (19.43), to dla x=0, to wtedy mamy f(0)=A k_xcos(k_x 0)=A k_x=0, zatem otrzymujemy, że A=0, wtedy ta nasza wspomniana funkcja przechodzi w równanie:

$f(x)=B\sin(k_x x)\;$

(19.45)

Ale już dla x=a powinno być f(a)=0, a więc wtedy funkcja (19.45) przy tym warunku brzegowym jest spełniona, gdy stała k_x jest zależna od liczby falowej n wedle:

$k_x a=n\pi\Rightarrow k_x={{n\pi}\over{a}}\;$

(19.46)

Ostatecznie funkcja f(x) zdefiniowana wzorem (19.45) przy definicji stałej k_x można napisać wedle sposobu:

$f(x)=B\cos\left({{n\pi}\over{a}}x\right)\;$

(19.47)

Podobnie otrzymujemy dla fukcji g(x) (19.44), w której parametr D jest równy zero i jeszcze raz w której parametr k_y jest zależny od dyskretnej zmiennej m, to go zapisujemy:

$k_y b= m\pi\Rightarrow k_y={{m\pi}\over{a}}\;$

(19.48)

Zatem nasza funkcja (19.37), przy znajomości funkcji f(x) i g(y) i stałej k_x (19.46), a także stałej k_y (19.48), piszemy wedle:

$\tilde{B}_{0z}=B_0\cos\left({{n\pi}\over{a}}x\right)\cos\left({{m\pi}\over{b}}y\right)\;$

(19.49)

Z równania (19.40), znając stałe k_x (19.46)i k_y (19.48), możemy wyznaczyć k, możemy podstawić do nich za te stałe, wtedy otrzymujemy kwadrat stałej k, z którego wyznaczymy samo k, zatem do dzieła:

$k^2=\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-\left({{n\pi}\over{a}}\right)^2-\left({{m\pi}\over{b}}\right)^2\Rightarrow k=\sqrt{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-\pi^2\left[\left({{n}\over{a}}\right)^2+\left({{m}\over{b}}\right)^2\right]}\;$

(19.50)

Oznaczmy wielkość występująca w końcowym wzorze (19.50) wedle schematu:

$\omega_{nm}=c\pi\sqrt{\left({{n}\over{a}}\right)^2+\left({{m}\over{b}}\right)^2}\;$

(19.51)

i nazywamy go częstością kołową obcięcia. Zgodnie umową przyjmujemy, że a≥ b, to najniższą częstość obcięcia zatem jest równa wzorowi:

$\omega_{n0}={{c\pi}\over{a}}\;$

(19.52)

Częstości mniejsze od ω₁₀ w falowodzie prostokątnym nie mogą się rozchodzić.

Liczba falowa fali prowadzonej jest równa na podstawie jej definicji (19.51), wtedy wzór (19.50) możemy zapisać wedle:

$k=\sqrt{\left({{\omega}\over{c}}\right)^2-\left({{\omega_{nm}}\over{c}}\right)^2}\Rightarrow k={{1}\over{c}}\sqrt{\omega^2-\omega_{nm}^2}\;$

(19.53)

Jeśli mamy ω≥ω_nm, to mamy do czynienia z zwykłą falą nietłumioną, a jeśli ω<ω_nm, to wtedy z falą prowadzoną tłumioną. Gdy jest spełniony ten pierwszy warunek, to wtedy prędkość fazowa fali prowadzonej jest wyrażona wzorem:

$v={{\omega}\over{k}}={{c}\over{\sqrt{\omega^2-\omega_{nm}^2}}}\;$

(19.54)

I zawsze jest ona większa od prędkości światła c.

Prawdziwą prędkością rozchodzenia się energii fali elektromagnetycznej jest to jej prędkość grupowa liczoną jak poniżej:

$v_{g}={{d\omega}\over{dk}}={{1}\over{{{dk}\over{d\omega}}}}= {{c\sqrt{\omega^2-\omega_{nm}^2}}\over{{{1}\over{2}}2\omega}}= c\sqrt{\omega^2-\omega_{nm}^2}\omega^{-1}=c\sqrt{1-\left({{\omega_{nm}}\over{\omega}}\right)^2}\;$

(19.55)

Gdy spełniona jest zależność ω_nm<ω wtedy prędkość grupowa jest rzeczywista mniejsza niż prędkość światła, co jest zgodnie ze szczególną teorią względności.

Fale prowadzone jako fala płaska rozchodząca się pod kątem

Tym razem nie będziemy rozpatrywali fali prowadzonej według równań Maxwella, ale załóżmy, że jednak mamy falę elektromagnetyczną płaską, która rozchodzi się pod pewnym kątem. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w falowodzie można zapisać w postaci wzoru jako kombinacji funkcji sinus i kosinus według wzoru:

$y=A\cos(\mathbf{k}^'\cdot\mathbf{r})+B\cos(\mathbf{k}^'\cdot\mathbf{r})\;$

(19.56)

Rozpatrzmy przypadek $\mathbf{r}=(x,0,0)\;$, to wtedy funkcję y (19.56) możemy zapisać wedle sposobu:

$y=A\cos (k^'_x x)+B\sin(k^'_x x)\;$

(19.57)

Dla funkcji (19.57), gdy zachodzi x=0, to wtedy mamy y(0)=A, ale ponieważ ta funkcja w tymże punkcie jest równa zero, to musi być A=0, bo zakładamy, że na ściankach naczynia są węzły fali stojącej. Zatem otrzymujemy odpowiednik wzoru (19.57) w tym przypadku:

$y=B\sin(k^'_x x)\;$

(19.58)

A teraz sprawdźmy dla x=a, dla funkcji (19.58), która w tym punkcie powinna przyjmować wartość zero, bo też mamy węzeł, zatem dostajemy definicję współrzędnej iksowej liczby falowej k^'_x.

$0=y(a)=B\sin(k^'_x a)\Rightarrow k_x a=m\pi\Rightarrow k^'_x={{n\pi}\over{a}}\;$

(19.59)

Podobnie liczymy dla $\mathbf{r}=(0,y,0)\;$. Współrzędna liczby falowej wzdłuż osi z jak przyjmować będziemy jest równa k. Zatem nasz wektor falowy fali płaskiej występujący w równaniu (19.56) jest wyrażony przez:

$\mathbf{k}^'={{n\pi}\over{a}}\hat{\vec{x}}+{{m\pi}\over{b}}\hat{\vec{y}}+k\hat{\vec{z}}\;$

(19.60)

Długość liczby falowej $\mathbf{k}^'\;$ zdefiniowanej w punkcie (19.60) jest zależna od liczby dyskretnych n i m, a także od wymiarów naszego falowodu a i b. Ponadto ona jest również zależna od współrzędnej zetowej fali elektromagnetycznej k w tym naszym falowodzie.

$|\mathbf{k}^'|= \sqrt{k^2+\left({{n\pi}\over{a}}\right)^2+\left({{m\pi}\over{b}}\right)^2}\;$

(19.61)

Jej częstość kołowa, bo fala płaska porusza się z prędkością c jest wyrażona wzorem w zależności od długości liczby falowej napisanej w (19.61).

$\omega=c|\mathbf{k}^'|=c\sqrt{k^2+\left({{n\pi}\over{a}}\right)^2+\left({{m\pi}\over{b}}\right)^2}\;$

(19.62)

Wtedy w równaniu (19.62) możemy wyznaczyć parametr k²c², który ostatecznie przyjmuje postać:

$\omega^2=c^2\left(k^2+\left({{n\pi}\over{a}}\right)^2+\left({{m\pi}\over{b}}\right)^2\right)\Rightarrow c^2k^2=\omega^2-c^2\pi^2\left[\left({{n}\over{a}}\right)^2+\left({{m}\over{b}}\right)^2\right]\;$

(19.63)

I jeśli dodatkowo oznaczymy w równaniu (19.63) wielkość ω_nm, której definicja jest taka sama jak w punkcie (19.51), wtedy otrzymamy taki sam wzór na parametr k dla fali płaskiej jak w punkcie (19.53) dla fali prowadzonej. Kat między liczbą falową $\mathbf{k}^'\;$ a $k\hat{\vec{x}}\;$ jest wyrażony przez:

$\cos\theta={{k}\over{|\mathbf{k}^'|}}= {{ {{1}\over{c}}\sqrt{\omega^2-\omega_{nm}^2}}\over{{{\omega}\over{c}}}}= \sqrt{1-\left({{\omega_{nm}}\over{\omega}}\right)^2}\;$

(19.64)

Ponieważ fala płaska porusza się pod kątem w falowodzie z prędkością światła, zatem nasza prędkość wzdłuż falowodu v_g jest zależna od ω a także od częstotliwości kołowej obcięcia ω_nm, zatem tą prędkość definiujemy:

$v_g=c\cos\theta=c\sqrt{1-\left({{\omega_{nm}}\over{\omega}}\right)^2}<c\;$

(19.65)

Co jest prędkością grupową fali prowadzonej (19.55) fali elektromagnetycznej w falowodzie . Prędkość fazowa jest równa prędkości czoła fali, a zatem:

$v={{c}\over{\cos\theta}}={{c}\over{\sqrt{1-\left({{\omega_{nm}}\over{\omega}}\right)^2}}}\;$

(19.66)

Te same wzory otrzymaliśmy rozważając fale prowadzone rozchodzące się w falowodzie, tak samo i zwykłe fale płaskie poruszające się po katem od osi falowodu polegające, że fale elektromagnetyczne odbijają się w sposób doskonały od przewodnika na powierzchni naszego falowodu, bo powierzchnia falowodu jest doskonałym przewodnikiem.

Rozchodzenie się fal prowadzonych w koncentrycznej linii transmisyjnej

W koncentryczna linia transmisyjna składa się z długiego prostego drutu, który ma promień "a", otoczonej powłoką walcowatą o promieniu "b".

W koncentrycznej linii transmisyjnej mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne, czyli dla których zachodzi E_0z=0 i B_0z=0, chociaż to nie jest falowód, bo we wnętrzu rury występuje długi prosty drut, i jest nadal spełnione twierdzenie, że w pustym falowodzie nie mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne.

Równanie fali w linii koncentrycznej jest takie same, tylko nie ma składowej zetowej pola elektrycznego i magnetycznego, zatem można przepisać równania falowe wynikające z praw elektrodynamiki Maxwella dla falowodów, z tym zaznaczeniem że nie ma fal podłużnych dla obu pól, po przepisaniu tych równań, otrzymujemy, że:

$\begin{cases} {{\partial E_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial E_{0y}}\over{\partial y}}=0\Rightarrow \operatorname{div}\vec{E}_0=0\\ {{\partial B_{0x}}\over{\partial x}}+{{\partial B_{0y}}\over{\partial y}}=0\Rightarrow\operatorname{div}\vec{B}_0=0\\ {{\partial E_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial E_{0x}}\over{\partial y}}=0\Rightarrow\operatorname{rot}\vec{E}_0=0\\ {{\partial B_{0y}}\over{\partial x}}-{{\partial B_{0x}}\over{\partial y}}=0\Rightarrow\operatorname{rot}\vec{B}_0=0\\ B_{0y}={{1}\over{c}}E_{0x}\\ B_{0x}=-{{1}\over{c}}E_{0y} \end{cases}$

(19.67)

Widzimy, że pierwsze i czwarte oraz drugie i trzecie równanie są to równania ze sobą równoważne, pierwsze równanie przedstawia dywergencję amplitudy fali w linii koncentrycznej, a trzecie sanowi jakoby rotację wektora tej amplitudy. jeśli wektor amplitudy pola elektrycznego przedstawimy jako gradient pewnej wielkości skalarnej, to wtedy rotacja tego wektora jest automatycznie równa zero, to samo postępujemy z równaniem drugim i czwartym w układzie równań (19.67).

Są to dokładnie prawa elektrostatyki i magnetostatyki dla dwóch wymiarów tylko z tym zaznaczeniem, że dla współrzędnych ich amplitud fali elektrycznej i magnetycznej. Dokładnie te równania można otrzymać dla nieskończonej linii naładowanej, w której płynie prąd. Które można zapisać w postaci całkowej znanych z elektrostatyki i magnetostatyki. Z równań dla elektrostatyki dla ich amplitud z jej całkowej postaci można otrzymać:

$E_0\cdot2\pi r l=q\Rightarrow E_0={{q}\over{2\pi l r}}\Rightarrow \mathbf{E}_0={{A}\over{r}}\mathbf{e}_r$

(19.68)

Ponieważ nie ma współrzędnej zetowej dla tej fali, bo mamy w tym przypadku falę poprzeczną, czyli na pewno jest spełniony wzór (17.24), zatem amplituda fali pola magnetycznego zapisujemy wedle sposobu:

$\mathbf{B}_0={{A}\over{cr}}\mathbf{e}_{\theta}$

(19.69)

• Gdzie: $\mathbf{e}_r$ i $\mathbf{e}_{\theta}$ są to wersory układu biegunowego.

A zatem równania fali dla koncentrycznej linii transmisyjnej dla pola elektrycznego i magnetycznego są:

$\mathbf{E}(r,\theta,z,t)={{A}\over{r}}e^{i(kz-\omega t)}\mathbf{e}_{r}$ (19.70)

$\mathbf{B}(r,\theta,z,t)={{A}\over{cr}}e^{i(kz-\omega t)}\mathbf{e}_{\theta}$ (19.71)

Pola skalarne i wektorowe a równania elektrodynamiki Maxwella

Będziemy się zajmować, gdy pola elektryczne i magnetyczne w ogólności są zmienne w czasie i na jej podstawie wprowadzimy pole skalarne zwany potencjałem skalarnym i inne pole wektorowe zwane potencjałem wektorowym, które w ogólności też zmieniają się w czasie.

Wprowadzenie do potencjałów - skalarnego i wektorowego

Definicja potencjału wektorowego jest taka sama jak w magnetostatyce, którego definicja jest w punkcie (10.1), ale my dla przejrzystości wykładu powtórzymy tą definicję i powiemy, że ona jest słuszna również dla pól zmiennych w czasie:

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\;$

(20.1)

W magnetetostatyce taka definicją prowadziła, że spełnione jest prawo Gaussa (9.7), także również zachodzi to samo w elektrodynamice Maxwella dla drugiego prawa Maxwella (15.15). Posłużmy się trzecim prawem i dokonajmy w nim pewnych przekształceń, stosując w nim wzór na indukcję pola magnetycznego w zależności od potencjału wektorowego, i po tej czynności wszystkie wyrazy wsadźmy pod dywergencję (operator nabla):

$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\Rightarrow\nabla\times\vec{E}=-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{A}\right)\Rightarrow\nabla\times\vec{E}+ \nabla\times{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}=0\Rightarrow\nabla\times\left(\vec{E}+{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\right)=0\;$

(20.2)

Aby powyższe równanie było tożsamościowo równe zero, to w powyższym równaniu należy zastąpić wyrażenie, która jest mnożnikiem wyrażeniem -∇φ, zatem przeprowadzając te same obliczenia, co w punkcie (3.11), dostajemy, że podstawienie jest automatycznie spełnione. Zatem na podstawie tego zastąpienia i końcowego równania (20.2), otrzymujemy wtedy gradient potencjału skalarnego definiowany wedle sposobu:

$-\nabla \varphi=\vec{E}+{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\;$

(20.3)

Natężenie pole elektrycznego, używając powyższego równania (20.3), jak się przekonamy w tym równaniu jest ona zależna od gradientu potencjału skalarnego i od potencjału wektorowego zależnego od czasu.

$\vec{E}=-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\;$

(20.4)

Widzimy, że gdy pole magnetyczne nie zmienia się w czasie, to definicja natężenia pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny jest taki sam jak w elektrostatyce, tzn. jak w punkcie (3.5).

Znając definicję potencjału wektorowego, że jeśli potencjał skalarny i wektorowy zmieniać się będą w czasie, to wektor natężenia pola elektrycznego będzie w ogólności też się zmieniać w czasie. Gdy potencjał wektorowy zmienia się w czasie, to wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcje też w ogólności będzie się zmieniał w czasie. Drugie równanie Maxwella jest automatycznie spełnione, bo zachodzi na podstawie obliczeń (10.11). Wprowadzając potencjał skalarny i wektorowy w elektromagnetyzmie, to wtedy dochodzimy do wniosku, że drugie i trzecie prawo elektrodynamiki Maxwella dla próżni stają tożsamościami, zostało nam tylko dwa równania, tzn.: pierwsze i trzecie równanie. Pierwsze z nich zależy od gęstości objętościowej ładunku, a ostanie zależy od gęstości prądu płynącego w naszym przewodniku.

Cechowania w magnetostatyce i elektrodynamice Maxwella

Mamy już wyznaczone pole elektryczne poprzez potencjał skalarny i wektorowy, oraz pole magnetyczne przez potencjał wektorowy.

Weźmy pod lupę czwarte prawo elektrodynamiki Maxwella (15.17), podstawmy do niego definicję indukcji magnetycznej poprzez potencjał wektorowy (20.1) i definicję natężenia pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny i wektorowy, dalej wykorzystując związek udowodniony w punkcie (17.1), ale tym razem zamiast natężenia pola elektrycznego występuje potencjał wektorowy, zatem dochodzimy do wniosku:

$\nabla\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)=\mu_0\vec{J}+\mu_0\epsilon_0{{\partial}\over{\partial t}}\left(-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\right)\Rightarrow \nabla\left(\nabla\vec{A}\right)-\Delta\vec{A}=\mu_0\vec{J}- \mu_0\epsilon_0\nabla{{\partial\varphi}\over{\partial t}}-\mu_0\epsilon_0{{\partial^2\vec{A}}\over{\partial t^2}}\;$

(20.5)

Teraz przenosimy wyrazy z prawej strony na lewą jej stronę, oprócz wyrazu z gęstością prądu elektrycznego, i odpowiednie je grupować będziemy, zatem otrzymujemy:

$\nabla\cdot\left(\nabla\vec{A}+\mu_0\epsilon_0{{\partial\varphi}\over{\partial t}}\right)-\left(\Delta\vec{A}-\mu_0\epsilon_0{{\partial\vec{A}}\over{\partial t^2}}\right)=\mu_0\vec{J}\;$

(20.6)

Przyjmijmy cechowanie, które wiąże potencjał skalarny z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego. Widzimy, że w tym cechowaniu poniżej jest ona zależna od dywergencji potencjału wektorowego i od pochodnej pierwszej względem czasu potencjału skalarnego:

$\nabla\vec{A}+\mu_0\epsilon_0{{\partial\varphi}\over{\partial t}}=0\;$

(20.7)

Powyższe równanie jest cechowaniem Lorentza, a gdy potencjał nie zmienia się w czasie, to otrzymujemy cechowanie Coulomba w postaci równania (10.4).

Zatem nasze czwarte prawo Maxwella po uwzględnieniu naszego cechowania Lorentza i podstawiając go do pierwszego składnika pod operatorem nabla (∇), wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe zależne tylko od potencjału wektorowego pola elektromagnetycznego:

$\Delta\vec{A}-\mu_0\epsilon_0{{\partial\vec{A}}\over{\partial t^2}}=-\mu_0\vec{J}\;$

(20.8)

Następnie krokiem jest skorzystanie z pierwszego prawa Maxwella (15.14) i zastosowanie w nim związku (20.4) na natężenie pola elektrycznego w zależności od dywergencji pola potencjału skalarnego i względem pochodnej czasowej potencjału wektorowego względem czasu, wtedy dostajemy związek:

$\nabla\cdot\vec{E}=0\Rightarrow\nabla\cdot\left(-\nabla\varphi- {{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\right)=0\Rightarrow -\Delta\varphi-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\vec{A}={{1}\over{\epsilon_0}}\rho\;$

(20.9)

Równanie na cechowanie Lorentza (20.7) zastosujmy do równania (20.9) wyznaczając z tego cechowania dywergencję potencjału wektorowego i podstawiając do niego, wtedy dostając wzór zależny tylko od potencjału skalarnego φ

$-\Delta\varphi+\mu_0\epsilon_0{{\partial^2\varphi}\over{\partial t^2}}={{1}\over{\epsilon_0}}\rho\Rightarrow \Delta\varphi-\mu_0\epsilon_0{{\partial^2\varphi}\over{\partial t^2}}=-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho\;$

(20.10)

Określając ze wzoru (17.11) wielkość $_{\mu_0\epsilon_0={{1}\over{c^2}}}\;$, że iloczyn przenikalności elektrycznej i magnetycznej w próżni, że jest odwrotnością kwadratu wartości prędkości światła, zatem nasze te dwa uzyskane równania zależne tylko od potencjału wektorowego (20.8) i od potencjału skalarnego (20.10) są one w postaci:

$\Delta\vec{A}-{{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{A}}\over{\partial t^2}}=-\mu_0\vec{J}\;$ (20.11)

$\Delta\varphi-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\varphi}\over{\partial t^2}}=-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho\;$ (20.12)

Jeśli zdefiniujemy operator, który jest zależna od kwadratu operatora nabla, czyli operatora delty i od drugiej pochodnej względem czasu, którego definicję podajemy tutaj:

$\square=\Delta-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\;$

(20.13)

co (20.13) nazywamy dalambercjanem.

Zatem nasze równania elektrodynamiki Maxwella dla potencjału wektorowego (20.11) i skalarnego (20.12), przy zastosowaniu definicji operatora dalambercjanu (20.13), zapisujemy:

$\square\varphi=-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho\;$ (20.14)

$\square\vec{A}=-\mu_0\vec{J}\;$ (20.15)

Jak widzimy, że możemy osobno wyznaczyć potencjały skalarne i potencjały wektorowe, a później za pomocą cechowania Lorentza powiązać oba te pola, tzn. potencjał skalarny φ z wektorowym $\vec{A}\;$, a następnie na tej podstawie wyznaczyć pola wektorowe, tzn. natężenia pola elektrycznego oraz indukcję pola magnetycznego.

Rozkłady ciągłe gęstości ładunku i gęstości prądu objętościowego

Będziemy się zajmować wielkościami opóźnionymi- zależnymi od zdarzeń przeszłości, i przedwczesnymi- zależnymi od zdarzeń w przyszłości. Przyczym te pierwsze wielkości są fizyczne a drugie nie, bo narusza świętą zasadę przyczynowości, że przyczyna poprzedza skutek.

Pole potencjałów opóźnionych i przedwczesnych

Przypomnijmy sobie prawa w elektrostatyce i magnetostatyce przy pomocy potencjału wektorowego i skalarnego, czyli te wzory są napisane w puntach (3.9), którego rozwiązaniem jest (3.20), oraz wzór napisany w punkcie (10.5), którego rozwiązaniem jest (10.6). Widzimy, że te rozwiązania wcale nie zależą od czasu. Dla rozważać naszych jest istotne stan źródeł wcześniejszym czasie opóźnionym w chwili napisanej w czasie t_r, który jest zdefiniowany według:

$t_r=t-{{R}\over{c}}$

(21.1)

• gdzie t jest to czas rzeczywisty pewnej chwili, w której występuje pewny rozkład gęstości i prądów objętościowej w układzie.
• R jest to odległość od punktu, w którym liczymy pole zarówno magnetyczne i elektryczne od ładunku o infinizymalnej wielkości. Odległość ładunku R jest liczony w czasie rzeczywistym t.
• c jest to prędkość fali elektromagnetycznej w próżni, równej (17.11). Interesuje nam wpływ ładunków ich prądów z przeszłości na czas teraźniejszy. Przy stałym czasie przedwczesnym dla t_r zachodzi wzór:$_{c={{dR}\over{dt}}}$, czyli nasze pole rozprzestrzenia się z prędkością światła. Czyli zaburzenia pola skalarnego i wektorowego rozchodzą się z prędkością światła.

Czasem przedwczesnym nazywamy czas zdefiniowany:

$t_a=t+{{R}\over{c}}$

(21.2)

• R w czasie przedwczesnym ma takie same właściwości co w czasie opóźnionym.

Z definicji tego czasu wynika, że mamy wpływ ładunków i prądów z przyszłości, co fizycznie jest niemożliwe. Przy stałym t_a, wynika że:$_{c=-{{dR}\over{dt}}}$,

Oba te czasy opóźniony (21.1) i przedwczesny (21.2) można zapisać ogólnie:

$t_{ra}=t\mp{{R}\over{c}}$

(21.3)

Czas opóźniony (z minusem) lub przedwczesny (z plusem) nazywamy czas rzeczywisty w, którym zostało wysłane pole od jakiegoś punktu w przestrzeni, w którym znajduje się cząstka o ładunku Δ q. Dla czasu opóźnionego (z minusem) czas opóźniony spełnia warunek t_r<t, czyli ładunki z przeszłości wpływają na pole w punkcie $\vec{r}$, co spełnia zasadę przyczynowości. Dla czasu przedwczesnego zachodzi warunek t_a>t, czyli ładunki z przyszłości w pływają na ładunki w teraźniejszości, co jest niezgodne z zasadą przyczynowości, ten przypadek zwykle nie uwzględniamy. Można powiedzieć, że jeśli czas mierzymy w czasie przedwczesny (opóźniony), to wtedy tak jak by pole rozpowszechniało się nieskończenie szybko, a w czasie rzeczywistym pole rozpowszechnia się z prędkością c.

Rozszerzmy nasze nasze dysputy uwzględniając czas opóźniony i przedwczesny zdefiniowanych wcześniej, a zatem nasze wzory są na definicję potencjału skalarnego i wektorowego. Jeśli mamy$\rho(\vec{r}^',t)$, gdzie pierwszym argumentem jest położenie cząstki o nieskończenie małej objętości znajdującej się w punkcie$\vec{r}^'\;$, w czasie t, to wtedy w gęstości objętościowej ładunku równej $\rho\;$, w którym zamiast $t\;$ piszem :$t_{ra}=t\pm{{R}\over{c}}$, co jest czasem opóźnionym (przedwczesnym), aby policzyć wielkość, którą jest potencjał skalarny. Dla gęstości prądu objętościowego przy liczeniu potencjału wektorowego podobnie postępujemy. Zatem te wielkości definiujemy:

$\varphi(\vec{r},t)={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int {{\rho\left(\vec{r}^',t\mp{{R}\over{c}}\right)}\over{R}}dV^'$ (21.4)

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{J}\left(\vec{r}^',t\mp{{R}\over{c}}\right)}\over{R}}dV^'$ (21.5)

Gdy we tych dwóch wzorach, tzn. w (21.4) i w (21.5) wybierzemy znak minus, to wtedy mamy doczynienia z potencjałami opóźnionymi, a znak plus, to z potencjałami przedwczesnymi.

Sprawdźmy, czy nasze równania na potencjał skalarny i wektorowy spełniają prawa elektrodynamiki klasycznej, tzn. równania (20.14) i (20.15).

Poniżej skorzystamy ze wzoru, który jest operatorem pochodnej względem czasu (21.3), który zamienimy do pochodnych względem położenia i zwykłego czasu t.

${{\partial}\over{\partial t_{ra}}}={{\partial x_i}\over{\partial t_{ra}}}{{\partial}\over{\partial x_i}}+{{\partial t}\over{\partial t_{ra}}}{{\partial}\over{\partial t}}$

(21.6)

A więc zmienne t_ra i x,y,z są to zmienne niezależne od siebie, zatem zachodzi tożsamość różniczkowa $_{{{\partial x_i}\over{\partial t_{ra}}}=0}$, a także: $_{{{\partial t}\over{\partial t_{ra}}}=1}$, zatem ostatecznie zachodzi więc związek:

${{\partial}\over{\partial t_{ra}}}={{\partial}\over{\partial t}}$

(21.7)

Co (21.7) jest równoważne dwóm warunkom:$_{{{\partial}\over{\partial t_{r}}}={{\partial}\over{\partial t}}}$ i  $_{{{\partial}\over{\partial t_{a}}}={{\partial}\over{\partial t}}}$.

Wyznaczmy gradient potencjału skalarnego (21.4), wykorzystując przy tym twierdzenie o pochodnej iloczynu, znając że operator nabla (∇) jest w pewnym sensie wektorem operatorowym, wtedy na podstawie tychże rozważań dostajemy tożsamość:

$\nabla\varphi={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\nabla{{\rho}\over{R}}dV^'= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[\rho\nabla\left({{1}\over{R}}\right)+ \left(\nabla\rho\right){{1}\over{R}}\right]dV^'$

(21.8)

We wzorze (21.8) gradient gęstości objętościowej ładunku w danym punkcie możemy rozpisać, korzystając przy tym z tożsamości (21.7), i definicji czasu opóźnionego (przedwczesnego) napisanej w sposób ogólny w punkcie (21.3), zatem dochodzimy do wniosku, że tą wielkość możemy rozpisać poprzez pochodną względem czasu gęstości objętościowej i za pomocą wektora normalnego wskazujący kierunek, w której to punkcie będziemy liczyć takie wielkości jak potencjał skalarny lub wektorowy dla teorii elektromagnetyzmu:

$\nabla\rho=\vec{k}_i{{\partial}\over{\partial x_i}}\rho=\vec{k}_i{{\partial\rho}\over{\partial t_p}}{{\partial t_p}\over{\partial x_i}}=\vec{k}_i{{\partial\rho}\over{\partial t}}{{\partial t_p}\over{\partial x_i}}=\dot{\rho}\nabla t_p=\mp{{1}\over{c}}\dot{\rho}\nabla R=\mp{{\dot{\rho}}\over{c}}\hat{\vec{R}}$

(21.9)

Zatem nasz gradient potencjału (21.8), na podstawie obliczeń nad gradientem gęstości objętościowej ładunku (21.9), możemy zapisać wedle:

$\nabla\varphi= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[\mp{{\dot{\rho}}\over{c}}{{\hat{\vec{R}}}\over{R}}-\rho{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right]dV^'$

(21.10)

Następnym krokiem jest obliczenie dywergencji tożsamości (21.10), która jest dywergencją potencjału skalarnego (21.4) czyli mamy policzyć Laplasjan tego samego potencjału skalarnego, zatem do dzieła:

$\Delta\varphi=\nabla(\nabla\varphi)= \nabla\left({{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[\mp{{\dot{\rho}}\over{c}}{{\hat{\vec{R}}}\over{R}}-\rho{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right]dV^'\right)= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\nabla\left[\mp{{\dot{\rho}}\over{c}}{{\hat{\vec{R}}}\over{R}}-\rho{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\right]dV^'=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left\{{{1}\over{c}}\left[ \mp\nabla\dot{\rho}{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\mp\dot{\rho}\nabla{{\hat{\vec{R}}}\over{R}} \right]-\left[ {{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}}\nabla\rho+\rho\nabla{{\hat{\vec{R}}}\over{R^2}} \right] \right\}dV^'$

(21.11)

Naszym celem jest zastosowanie tożsamości różniczkowej (2.13), a także tym razem innej tożsamości (7.4) w przeprowadzanych obliczeń w punkcie (21.11), a także chcemy wiedzieć co wyjdzie z obliczeń, gradientu pochodnej gęstości objętościowej względem czasu w danym punkcie w przestrzeni, zatem musimy przeprowadzić rachunek:

$\nabla\dot{\rho}=\mp{{1}\over{c}}\ddot{\rho}\nabla R=\mp{{1}\over{c}}\ddot{\rho}\hat{\vec{R}}$

(21.12)

Zatem laplasjan potencjału skalarnego (21.11), po skorzystaniu z tożsamości, którą jest gradientem pochodnej względem czasu gęstości ładunku w danym punkcie i w czasie w którym ona panuje, czyli z tożsamości (21.12), wtedy możemy napisać nasz laplasjan omawianej wielkości wedle sposobu:

$\Delta\varphi={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left\{ {{1}\over{c}}\left[{{1}\over{c}}\ddot{\rho}{{1}\over{R}}\mp{{\dot{\rho}}\over{R^2}}\right]- \left[ \mp{{1}\over{c}}{{\dot{\rho}}\over{R^2}}+\rho 4\pi\delta^3(\vec{R}) \right] \right\}dV^'=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[{{1}\over{c^2}}{{\ddot{\rho}}\over{R}}-4\pi\rho\delta^{3}(\vec{R})\right]dV^'= {{1}\over{4\pi\epsilon_0 c^2}}\int{{\ddot{\rho}}\over{R}}dV^'-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho(\vec{r}^')=\;$ $={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\left({{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int{{\rho}\over{R}}dV^'-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho(\vec{r}^')\right)$

(21.13)

Wykorzystując definicję potencjału skalarnego (21.4), wtedy przeprowadzone obliczenia (21.13), korzystając przy tym z definicji dalambercjanu (20.13), wtedy wspomniane wyrażenie możemy napisać wedle sposobu:

$\Delta\varphi={{1}\over{c^2}}{{\partial^2\varphi}\over{\partial t^2}}-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho\Rightarrow\Delta\varphi-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\varphi}\over{\partial t^2}}=-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho\Rightarrow\square\varphi=-{{1}\over{\epsilon_0}}\rho$

(21.14)

Zatem przy definicji potencjału skalarnego (21.4) otrzymaliśmy, że ona jest rozwiązaniem równania różniczkowego (20.14). Potencjał przedwczesny i opóźniony spełnia niejednorodne równanie elektrodynamiki Maxwella. Podobnie dowodzimy dla potencjału wektorowego dla czasu opóźnionego i przedwczesnego (21.5).

Równania Jefimienki

Potencjały opóźnione jak udowodniliśmy wcześniej spełniają równania Maxwella, i one wyglądają jak w punkcie (21.4) i (21.5), a natężenie pola elektryczne i magnetycznego są zdefiniowane w zależności od potencjału skalarnego i wektorowego w elektromagnetyzmie wedle sposobu (20.4) i (20.1). Wyznaczmy wyrażenie, które jest dywergencją potencjału skalarnego (21.4) dla czasu opóźnionego.

$\nabla\varphi={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\nabla{{\rho}\over{R}}= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[\rho\nabla{{1}\over{R}}-{{\dot{\rho}}\over{cR}}\hat{\vec{R}}\right]dV= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[-{{\rho}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}-{{\dot{\rho}}\over{cR}}\hat{\vec{R}}\right]dV$

(21.15)

Następnie policzmy pochodną cząstkową potencjału wektorowego (21.5) dla czasu opóźnionego, co go zapisujemy:

${{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}={{\mu_0\epsilon_0}\over{4\pi\epsilon_0}}\int{{\dot{\vec{J}}}\over{R}}dV= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{c^2}}\int{{\dot{\vec{J}}}\over{R}}dV$

(21.16)

Następnym krokiem jest wyznaczenie natężenie pola elektrycznego, korzystając przy tym z jego definicji (20.4) i już wcześniej obliczonych wielkości, tzn. gradientu potencjału skalarnego (21.15) i pochodnej cząstkowej potencjału wektorowego (21.16), zatem tą wielkość piszemy wedle sposobu:

$\vec{E}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[{{\rho}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}+ {{\dot{\rho}}\over{cR}}\hat{\vec{R}}-{{\dot{\vec{J}}}\over{c^2R}}\right]dV$

(21.17)

Następnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego znając jego potencjał wektorowy (21.5) dla czasu opóźnionego, korzystając przy tym ze wzoru (20.1), zatem policzmy rotację tego potencjału wektorowego w czasie opóźnionym.

$\nabla\times\vec{A}= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int\nabla\times\left({{\vec{J}}\over{R}}\right)dV= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int \left[{{\nabla\times\vec{J}}\over{R}}-\vec{J}\times\nabla\left({{1}\over{R}}\right)\right]dV$

(21.18)

Wyznaczmy nasze pomocnicze wyrażenie, które będzie nam potrzebne do dokończenia obliczeń przeprowadzanych w punkcie (21.18), czyli rotację gęstości prądu objętościowego:

$\nabla\times\vec{J}= \vec{k}_i\epsilon_{ijk}{{\partial}\over{\partial x_j}}J_k= \vec{k}_i\epsilon_{ijk}{{\partial t_r}\over{\partial x_j}}{{\partial}\over{\partial t_r}}J_k=-\vec{k}_i\epsilon_{ijk}{{1}\over{c}}\nabla R \dot{J}_k=-{{1}\over{c}}\vec{k}_i\epsilon_{ijk}{{x_j}\over{\vec{R}}}\dot{J}_k=$ $=-{{1}\over{Rc}}\vec{R}\times\dot{\vec{J}}= {{1}\over{cR}}\left(\dot{\vec{J}}\times\vec{R}\right)$

(21.19)

Obliczenia przeprowadzone w punkcie (21.19) pozwalają dokończyć obliczenia rotacji potencjału wektorowego (21.18), która jest tym samym co wektor indukcji pola magnetycznego:

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int\left\{\left[{{\vec{J}}\over{R^2}}+ {{\dot{\vec{J}}}\over{cR}}\right]\times\hat{\vec{R}}\right\}dV$

(21.20)

Zatem otrzymaliśmy dwa równania całkowe, tzn. dla pola elektrycznego (21.17) i dla pola magnetycznego (21.20), które zależą od pochodnych czasowych gęstości i prądu ładunku elektrycznego:

$\vec{E}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}\int\left[{{\rho}\over{R^2}}\hat{\vec{R}}+ {{\dot{\rho}}\over{cR}}\hat{\vec{R}}-{{\dot{\vec{J}}}\over{c^2R}}\right]dV\;$ (21.20)

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int\left\{\left[{{\vec{J}}\over{R^2}}+ {{\dot{\vec{J}}}\over{cR}}\right]\times\hat{\vec{R}}\right\}dV$ (21.22)

Jak widzimy pierwszy wzór jest uogólnieniem prawa Coulomba, a drugi uogólnieniem prawa Biota-Savarta. Powyższe wzory dla pola elektrycznego, zależą od pochodnych gęstości objętościowych ładunku elektrycznego i pochodnej gęstości prądu elektrycznego. Te pochodne występują pod kolejnymi potęgami wartości prędkości fal elektromagnetycznych w próżni, a więc uzasadnione jest zastosowanie dla pola elektrycznego (21.21) w elektromagnetyzmie przypadku jego quasistatycznym (1.7), których te pochodne można pominąć, podobnie jest dla pola magnetycznego (21.22), którego jego przypadek quasistatyczny (9.5). Zatem przypadki quasistatyczne dla pola magnetycznego i elektrycznego nie są wcale takie złe. Można powiedzieć, że one są raczej dobrym przybliżeniem opisywania rzeczywistości w elektrostatyce lub magnetostatyce.

Rozkłady dyskretne ładunków punktowych

Będziemy się zajmować przypadkami, gdy rozkład nie jest w ogólności ciągły, ale dyskretny. Także ich potencjałami, tzn. potencjałem skalarnym i dyskretnym.

Potencjał skalarny i wektorowy Liénarda-Wiecherta

Wyobraźmy sobie pociąg nadjeżdżający do nas, ale znajdujemy się pod pewnym kątem do lokomotywy względem o wartości θ względem toru na którym porusza się pociąg. Niech światło leci do nas z ostatniego końca wagonu zaczepionej do lokomotywy i w odpowiednim czasie ono doleci do nas, wtedy lokomotywa zdążyła przybyć drogę równą L^'-L w czasie t. Możemy wyrazić prędkość lokomotywy poprzez odległość z jaką lokomotywa zdążyła przebyć podzielonej przez prędkość światła:

$v={{L^'-L}\over{t}}\Rightarrow t={{L^'-L}\over{v}}\;$

(22.1)

W tym czasie wyrażony wzorem (22.1) światła zdążyło przebyć drogę równą L^'cosθ, zatem stosunek tej drugi przez wspomniany czas jest równy prędkości światła, z którego możemy wyrazić ten właśnie czas:

$t={{L^'\cos\theta}\over{c}}\;$

(22.2)

Przyrównajmy dwa czasy, tzn. (22.1) i (22.2) do siebie, bo one oznaczają to samo, zatem dostajemy równość:

${{L^'\cos\theta}\over{c}}={{L^'-L}\over{v}}\Rightarrow L^'\left({{\cos\theta}\over{c}}-{{1}\over{v}}\right)=-{{L}\over{v}}\Rightarrow L^'\left({{v\cos\theta-c}\over{vc}}\right)=-{{L}\over{v}}\;$

(22.3)

Z równania (22.3) możemy wyznaczyć obserwowaną długość pociągu L^', ze względu że światło ma skończoną prędkość, zatem tą wielkość piszemy:

$L^'{{\left(c-v\cos\theta\right)}\over {c}}=L\Rightarrow L^'={{Lc}\over{c-v\cos\theta}}\Rightarrow L'={{L}\over{1-\cos\theta{{v}\over{c}}}}\;$

(22.4)

Jeśli wprowadzimy definicję iloczynu skalarnego do końcowego wzoru (22.4), ale przedtem odpowiednio definiują jednostkowy wektor $\hat{R}\;$, która jest równoległa do kierunku dotarcia światła do obserwatora, ale jego zwrot jest w kierunku jego, zatem wzór na obserwowaną długość pociągu (22.4) możemy napisać:

$L^'={{L}\over{1-{{\hat{\vec{R}}\cdot\vec{v}}\over{c}}}}\;$

(22.5)

Obserwowaną objętość małego elementu przestrzeni jest wyrażona poprzez prawdziwe określenie tej wielkości, to ta się tak dzieje, ponieważ ta fałszywa objętość jest powodowana, jak wcześniej powiedzieliśmy w przypadku długości pociągu, jest powodowana tylko dlatego, że światło potrzebuje czasu ściśle określonego by dotrzeć do obserwatora, zatem nasza rozważana objętość efektywna jest:

$V^'={{V}\over{1-{{\hat{\vec{R}}\cdot\vec{v}}\over{c}}}}\;$

(22.6)

Jeśli będziemy rozważań nieskończenie małe objętości, to wtedy wzór (22.6) przepisujemy, ale z tą zmianką, że rozpatrujemy bardzo małe elementy objętości:

$dV^'={{dV}\over{1-{{\hat{\vec{R}}\cdot\vec{v}}\over{c}}}}\;$

(22.7)

Całkowite pole liczone w czasie rzeczywistym t pochodzi od ładunków z różnych czasów opóźnionych wysłanych przez ładunki z prędkością światła w czasie opóźnionych, jeśli objętość cząstki jest dV w czasie t^r (nie przedziale), to widoczna objętość jest napisana dV^', która pochodzi dla czasów wysłanych przez ładunki w przedziale czasów rzeczywistych (t_r,t_r+dt_r) i dlatego używamy objętości dV^', a nie dV, w prawie na potencjał skalarny i wektorowy.

Skalarny potencjał pola elektromagnetycznego dla ładunku punktowego

Jeśli mamy ładunki punktowe, to należy w tym przypadku użyć delty Diraca pomnożonej przez wartość ładunku q. co mamy:

$\rho(\vec{r},t_r)=q\delta^3\left[\vec{r}-\left(\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt\right)\right]\;$

(22.8)

Potencjał skalarny znany elektromagnetyzmie jest zapisany w punlcie (21.4), korzystając przy tym z obliczeń przeprowadzonej w punkcie (22.8) na gęstość objętością ładunku elektrycznego punktowego, która jest zawsze równa zero, oprócz jednego punktu, w którym przyjmuje wartość ściśle określoną nieskończoność, wtedy tą wielkość piszemy wedle:

$\varphi(\vec{r},t)={{q}\over{4\pi\epsilon_0}}\int{{\delta^3\left[\vec{r}^'-\left(\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt\right)\right]}\over{R}}{{dV}\over{1-{{\hat{\vec{R}}\cdot\vec{v}}\over{c}}}}= {{q}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{R\left(1-{{\hat{\vec{R}}\cdot\vec{v}}\over{c}}\right)}}= {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\;$

(22.9)

Wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego dla ładunku punktowego

Następie zajmijmy się potencjałem wektorowym (21.5), wykorzystując bezpośrednio tożsamość (22.7), na obserwsowaną infinitezymalną objętość, w której znajduje się ładunek punktowy, zatem te wywody możemy przeprowadzić wedle schematu:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{J}(\vec{r}^',t_r)}\over{R}}dV^'= {{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{\vec{J}(\vec{r}^',t_r)}\over{R}}{{dV}\over{1-{{\hat{\vec{R}}\cdot\vec{v}}\over{c}}}}={{\mu_0}\over{4\pi}}\int{{c\vec{J}(\vec{r}^',t_r)dV}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\;$

(22.10)

Jeśli dodatkowo policzymy iloczyn infinitezymalnej objętości dV i gęstości prądu w czasie opóźnionych, wtedy to nasze wyrażenie możemy zapisać:

$J(\vec{r},t_r)dV=\delta^3\left[\vec{r}- \left(\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt\right)\right]{{q}\over{dtdS}}dV=\delta^3\left[\vec{r}-\left(\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt\right)\right]{{q}\over{dtdS}}dSdl=\;$ $=\delta^3\left[\vec{r}-\left(\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt\right)\right]qv$

(22.11)

Potencjał wektorowy napisany w punkcie (22.10) wedle przeprowadzonych obliczeń (22.11), który jest iloczynem gęstości prądu objętościowego przez infintezymanlą objętość i innych wielkości, w której ten właśnie prąd przepływa w danym punkcie przestrzeni, piszemy wedle:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_{t_0}}\over{4\pi}}{{qc\vec{v}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\;$

(22.12)

Jeśli przyjmować będziemy, że $_{\mu_0\epsilon_0={{1}\over{c^2}}\Rightarrow \mu_0={{1}\over{c^2}}{{1}\over{\epsilon_0}}}\;$, to wtedy wielkość (22.16) przy definicji potencjału wektorowego (22.9), to naszą tą wielkość, która jest potencjałem wektorowym, piszemy:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\vec{v}}\over{c^2}}\varphi(\vec{r},t)\;$

(22.13)

Ostatecznie zbierzmy wszystkie wyniki wyprowadzonych wzorów napisanych w punktach, czyli na potencjał skalarny (22.9) i wektorowy w (22.12), zatem:

$\varphi(\vec{r},t)={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\;$ (22.14)

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}{{qc\vec{v}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}={{\vec{v}}\over{c^2}}\varphi(\vec{r},t)\;$ (22.15)

Położenie, prędkość oraz przyspieszenie w czasie opóźnionym w elektromagnetyzmie

Odległość R i położenie ciała o ładunku q w czasie opóźnionym

• Co oznacza tutaj R, w czasie rzeczywistym t, zatem funkcja, która jest w pewnym sensie deltą Diraca: $_{\delta^3\left[\vec{r}-\left(\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt\right)\right]}\;$ przyjmuje wartość 0 dla R>0, zatem R nie może być to odległość od ładunku q, w którym liczymy pole elektryczne i magnetyczne w czasie rzeczywistym, ale jest to odległość w czasie opóźnionym od ładunku q do punktu, w którym liczymy te właśnie wspomniane pola.

Z rysunku obok widzimy, że odległość ładunku q od punktu, w którym liczymy te nasze wspomniane wielkości jest różnicą wektora, w którym liczymy te właśnie potencjały $\vec{r}\;$ i wektora wodzącego cząstki o ładunku q $\vec{w}(t_r)\;$ w czasie opóźnionym

$\vec{R}=\vec{r}-\vec{w}(t_r)$

(22.16)

Wektor wodzący (22.14) można policzyć znając położenie początkowe ładunku $\vec{r}_0\;$ i przesunięcia cząstki w czasie od t₀ do t_r.

$\vec{w}(t_r)=\vec{r}_0+\int_{t_0}^{t_r}\vec{v}dt$

(22.17)

Wiedząc, że zachodzi tożsamość (21.7) dla czasu opóźnionego, zatem możemy policzyć prędkość i przyspieszenie cząstki w czasie t_r wedle:

$\dot{\vec{w}}(t_r)=\vec{v}(t_r)$ (22.18)

$\ddot{\vec{w}}(t_r)=\dot{\vec{v}}(t_r)=\vec{a}(t_r)$ (22.19)

Natężenie pole elektrycznego i indukcja pola magnetycznego dla poruszającego się ładunku punktowego

Potencjał skalarny pochodzący od ładunku punktowego q w odległości od niego o R względem danego kierunku jest piszany wzorem (22.14), zatem dywergencja potencjału skalarnego elektrycznego piszemy wedle:

$\nabla\varphi=\nabla\cdot\left({{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\right)= {{qc}\over{4\pi\epsilon_0}}{{-1}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}} \nabla\cdot\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)$

(22.20)

Wyznaczmy dywergencji liczby R, która jest odległością ładunku od punktu w czasie opóźnionym, w której będziemy wyznaczali różne wielkości elektromagnetyczne:

$\nabla R=\vec{k}_i{{\partial}\over{\partial x_i}}R=\vec{k}_i {{\partial t_r}\over{\partial x_i}}{{\partial R}\over{\partial t_r}}=\nabla t_r(-c)=-c\nabla t_r$

(22.21)

Następnym krokiem jest wyznaczenie dywergencji z iloczynu skalarnego wektora odległości między położeniem ładunku a samym ładunkiem, którego zwrot jest w stronę tego punktu w czasie opóźnionym, i prędkości tego właśnie ładuku, według tożsamości udowodnionej w matematyce:

$\nabla\cdot(\vec{R}\cdot\vec{v})= (\vec{R}\cdot\nabla)\vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{R}+ \vec{R}\times(\nabla\times\vec{v})+\vec{v}\times(\nabla\times\vec{R})$

(22.22)

Policzmy pierwszy człon występujący we wzorze (22.22) po jego prawej stronie, korzystając z definicji przyspieszenia cząstki napisanej $_{\vec{a}={{d\vec{v}}\over{dt}}}$, wtedy ten wyraz mozna wyrazić:

$(\vec{R}\cdot\nabla)\cdot\vec{v}= \left(R_x{{\partial}\over{\partial x}}+R_y{{\partial}\over{\partial y}}+R_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)\vec{v}(t_r)= R_x{{d\vec{v}}\over{dt_r}}{{\partial t_r}\over{\partial x}}+R_y{{\vec{v}}\over{dt_r}}{{\partial t_r}\over{\partial y}}+R_z{{d\vec{v}}\over{dt_r}}{{\partial t_r}\over{\partial z}}=$ $=\vec{a}\cdot(\vec{R}\cdot\nabla t_r)$

(22.23)

Teraz policzmy drugi człon wyrażenia (22.22) i potem wyznaczmy kolejne jego otrzymane podwyrazy, by potem w sposób całkowity wyznaczyć to właśnie wyrażenie:

$(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{R}= (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{r}-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{w}$

(22.24)

Policzmy pierwszy wyraz występujący we tożsamości (22.24), wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, który występuje w nawiasie w wyrażeniu poniżej i przekonamy się, że końcowe wyrażenie tego samego wyrażenia jest równoważne prędkości cząstki o ładunku Q, czyli źródła pola elektromagnetycznego.

$(\vec{r}\cdot\nabla)\vec{r}=\left(v_x{{\partial}\over{\partial x}}+v_y{{\partial}\over{\partial y}}+v_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)(x\hat{\vec{x}}+y\hat{\vec{y}}+z\hat{\vec{z}})=v_x\hat{\vec{x}}+v_y\hat{\vec{y}}+v_z\hat{\vec{z}}=\vec{v}$

(22.25)

Policzmy drugi wyraz występujący we tożsamości (22.24), wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, który występuje w nawiasie w wyrażeniu poniżej i przekonamy się, że końcowe wyrażenie tej samego wyrażenia jest równoważne pewnemu wyrażeniu zależnego od gradientu czasu opóźnionego t_r, czyli ∇t_r, które ten gradient później wyznaczymy z obliczeń. Końcowe wyrażenie jak się również przekonamy jest zależna od prędkości ładunku Q.

$(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{w}= \left(v_x{{\partial}\over{\partial x}}+v_y{{\partial}\over{\partial y}}+v_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)\vec{w}= \left(v_x{{\partial t_r}\over{\partial x}}{{\partial}\over{\partial t_r}}+v_y{{\partial t_r}\over{\partial y}}{{\partial}\over{\partial t_r}}+v_z{{\partial t_r}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\partial t_r}}\right)\vec{w}=$ $=\left(\vec{v}\cdot\nabla t_r\right){{\partial}\over{\partial t}}\vec{w}=\vec{v}\left(\vec{v}\cdot\nabla t_r\right)$

(22.26)

Teraz przejdźmy do trzeciego członu naszego równania (22.22), wykorzystując przy czym udowodniony wzór (21.7) i przez to możemy wykorzystać definicję przyspieszenia cząstki o ładunku q, w końcowych obliczeniach jak się przekonamy, że w wyrażeniu na iloczyn wektorowy występuje gradient czasu opóźnionego t_r względem współrzędnych kartezjańskich.

$\nabla\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \hat{\vec{x}}&\hat{\vec{y}}&\hat{\vec{z}}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ v_x&v_y&v_z\\ \end{vmatrix}=\hat{\vec{x}}\left({{\partial v_z}\over{\partial y}}-{{\partial v_y}\over{\partial z}}\right)+\hat{\vec{y}}\left({{\partial v_x}\over{\partial z}}-{{\partial v_z}\over{\partial x}}\right)+\hat{\vec{z}}\left({{\partial v_y}\over{\partial x}}-{{\partial v_x}\over{\partial y}}\right)=$ $=\hat{\vec{x}}\left({{\partial v_z}\over{\partial t_r}}{{\partial t_r}\over{\partial y}}-{{\partial v_y}\over{\partial t_r}}{{\partial t_r}\over{\partial z}}\right)+ \hat{\vec{y}}\left({{\partial v_x}\over{\partial t_r}}{{\partial t_r}\over{\partial z}}-{{\partial v_z}\over{\partial t_k}}{{\partial t_r}\over{\partial x}}\right)+\hat{\vec{z}}\left({{\partial v_y}\over{\partial t_r}}{{\partial t_r}\over{\partial x}}-{{\partial v_x}\over{\partial t_r}}{{\partial t_r}\over{\partial y}}\right)=$ $=\nabla t_r\times\vec{a}=-\vec{a}\times\nabla t_r$

(22.27)

A na sam koniec przejdźmy do ostatniego członu tożsamości (22.22) i wyznaczmy czemu jest równa rotacja wektora położenia danego punktu względem położenia ładunku Q, w której liczymy pewne wielkości elektromagnetyczne, oczywiście w czasie opóźnionym, zatem z definicji $\vec{R}\;$, która jest napisana w (22.16) możemy napisać tożsamość:

$\nabla\times\vec{R}=\nabla\times\left(\vec{r}-\vec{w}\right)= \nabla\times\vec{r}-\nabla\times\vec{w}$

(22.28)

Aby dokończyć wyznaczenia wyrażenia (22.28) wyznaczmy dwa wyrazy występujące w tym samej tożsamości, zatem do dzieła. Wyznaczmy rotację wektora położenia, w której liczymy pewne wielkości pochodzące od pewnego rozkładu ładunków, w ogólności zmieniającego się w czasie, zatem jak się przekonamy, to wyrażenie jest zawsze równe zero.

$\nabla\times\vec{r}=\epsilon_{ijk}\nabla_jx_k=\epsilon_{ijk}\delta_{jk}=\epsilon_{ijj}=0$

(22.29)

A także wyznaczmy drugi wyraz prawej strony tożsamości (22.28), wykorzystując przy tym definicję prędkości cząstki w czasie opóźnionym (22.18), a przedtem z (21.7), by potem policzyć tą wspomnianą wielkość. Jak się przekonamy ta wielkość jest zależna od gradientu czasu opóźnionego t_r i od prędkości cząstki o ładunku Q, czyli źródła pola elektromagnetycznego.

$\nabla\times\vec{w}= \epsilon_{ijk}\nabla_jw_k=\epsilon_{ijk}{{\partial w_k}\over{\partial _r}}{{\partial t_r}\over{\partial x_j}}= -\epsilon_{ikj}{{\partial w_k}\over{\partial _r}}{{\partial t_r}\over{\partial x_j}}=-\vec{v}\times\nabla t_r$

(22.30)

Wszystkie wyniki wyznaczone wcześniej w tym podrozdziale wstawiamy do rozważanego pierwotnie wyrażenia (22.23), wtedy dochodzimy do wniosku, że tą tożsamość zapisujemy wedle:

$\nabla(\vec{R}\cdot\vec{v})= \vec{a}\left(\vec{R}\cdot\nabla t_r\right)+\vec{v}-\vec{v}\left(\vec{v}\cdot\nabla t_r\right)-\vec{R}\times(\vec{a}\times\nabla t_r) +\vec{v}\times\left(\vec{v}\times\nabla t_r\right)=$ $=\vec{a}\left(\vec{R}\cdot\nabla t_r\right)+\vec{v}-\vec{v}(\vec{v}\cdot\nabla t_r)-\vec{a}(\vec{R}\cdot\nabla t_r)+\nabla t_r(\vec{R}\cdot\vec{a})+\vec{v}(\vec{v}\cdot\nabla t_r)-v^2\nabla t_r=$ $=\vec{v}+\left(\vec{R}\cdot\vec{a}-v^2\right)\nabla t_r$

(22.31)

Aby dokończyć obliczenie tożsamości (22.31), musimy wyznaczyć gradient czasu opóźnionego t_r, korzystając z definicji czasu opóźnionego (21.1), wtedy przejdźmy do dalszej części tego dowodu.

$-c\nabla t_r=\nabla R=\nabla \sqrt{\vec{R}\cdot\vec{R}}=\vec{k}_i{{\partial}\over{\partial x_i}}\sqrt{\vec{R}\cdot\vec{R}}=\vec{k}_i{{{{\partial}\over{\partial x_i}}(\vec{R}\cdot\vec{R})}\over{2\sqrt{\vec{R}\cdot\vec{R}}}}= {{\nabla(\vec{R}\cdot\vec{R})}\over{2R}}$

(22.32)

Rozpiszmy gradient długości wektora $\vec{R}\;$ na sześć składników, ta tożsamość jest szczególnym przypadkiem znanej tożsamości z analizy różniczkowej z matematyki, zatem napiszmy tą tożsamość:

$\nabla(\vec{R}\cdot\vec{R})=(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{R}+(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{R}+\vec{R}\times(\nabla\times\vec{R})+\vec{R}\times(\nabla\times\vec{R})=2(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{R}+2\vec{R}\times(\nabla\times\vec{R})$

(22.33)

Zatem możemy dokończyć wyznaczenie tożsamości (22.32), korzystając przy tym z obliczonej dla naszego przypadku wyrażenia (22.33), zatem przejdźmy do wyznaczenia tego wyrażenia:

$-c\nabla t_r={{1}\over{R}}\left[\left(\vec{R}\cdot\nabla\right)\vec{R}+\vec{R}\times\left(\nabla\times\vec{R}\right)\right]$

(22.34)

Aby powyższe wyrażenie (22.34) dokończyć satysfakcjonująco wykorzystajmy tożsamość (22.16) do składnika pierwszego występująca wspomnianej tożsamości pod znakiem różniczkowania, zatem dokonajmy pewnych obliczeń pomocniczych wedle sposobu przestawionego poniżej:

$(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{R}=(\vec{R}\cdot\nabla)r-(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{w}$

(22.35)

Wyznaczmy pierwszy wyraz występujący po prawej stronie obliczonej tożsamości (22.35)

$(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{r}=(R_x{{\partial}\over{\partial x}}+R_y{{\partial}\over{\partial y}}+R_z{{\partial}\over{\partial z}})(x\hat{\vec{x}}+y\hat{\vec{y}}+z\hat{\vec{z}})=\vec{R}$

(22.36)

A także napiszmy drugi wyraz czemu jest on równy w prawej stronie tej samej co poprzednio tożsamości, wtedy wykorzystując tożsamość (21.7), a także wzór na prędkość cząstki (22.18), zatem dostajemy wzór, w której nie znamy jeszcze gradientu czasu opóźnionego t_r.

$(\vec{R}\cdot\nabla)\vec{w}=\left(R_x{{\partial}\over{\partial x}}+R_y{{\partial}\over{\partial y}}+R_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)\vec{w}=\left(R_x{{\partial t_r}\over{\partial x}}{{\partial}\over{\partial t_r}}+R_y{{\partial t_r}\over{\partial y}}{{\partial}\over{\partial t_r}}+R_z{{\partial t_r}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\partial t_r}}\right)\vec{w}=$ $=\left(\vec{R}\nabla t_r\right)\vec{v}$

(22.37)

Mając te wszystkie dane możemy wrócić do wyznaczenia wyrażenia (22.34) mając już wcześniej obliczone wyrażenia, będziemy mogli wyznaczyć czemu jest równy gradient czasu opóźnionego t_r.

$-c\nabla t_r={{1}\over{R}}\left[\vec{R}-v(\vec{R}\cdot\nabla t_r)+\vec{R}\times(\vec{v}\times\nabla t_r)\right]=$ $={{1}\over{R}}\left[\vec{R}-\vec{v}(\vec{R}\cdot\nabla t_r)+ \vec{v}(\vec{R}\nabla t_r)-\nabla t_r(\vec{R}\vec{v})\right]= {{1}\over{R}}\left[\vec{R}-(\vec{R}\vec{v})\nabla t_r\right]$

(22.38)

Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.38) możemy wyznaczyć wtedy gradient czasu opóźnionego t_r jako funkcję wektora prędkości ładunku Q i wektora łączącego ładunek Q z punktem, w której będziemy wyznaczać pewne wielkości elektromagnetyczne, o zwrocie do tego punktu, zatem ten gradient wspomnianej wielkości fizycznej piszemy wedle sposobu.

$\nabla t_r\left((-c+{{1}\over{R}}(\vec{R}\vec{v})\right)={{1}\over{R}}\vec{R}\Rightarrow\nabla t_r\left(-cR+\vec{R}\cdot\vec{v}\right)=\vec{R}\Rightarrow\nabla t_r={{\vec{R}}\over{-cR+\vec{R}\cdot\vec{v}}}=\;$ $={{-\vec{R}}\over{cR-\vec{R}\cdot\vec{v}}}$

(22.39)

Zatem już możemy dokończyć obliczenie gradientu potencjału skalarnego, znając już policzony gradient czasu opóźnionego napisaną we końcowym wniosku w punkcie (22.39), zatem ostateczna wersja tego gradientu piszemy w postaci:

$\nabla\varphi={{qc}\over{4\pi\epsilon_0}}{{-1}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}}\left[-c^2\nabla t_r-\vec{v}-(\vec{R}\cdot\vec{a}-v^2)\nabla t_r\right]=\;$ $={{qc}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}}\left[\vec{v}+\left(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}\right)\nabla t_r\right]=$ $={{qc}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}} \left[\vec{v}+\left(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}\right){{-\vec{R}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\right]=$ $={{qc}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{\left(Rc-\vec{R}\vec{v}\right)^3}}\left[ \vec{v}(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})-(c^2-v^2+\vec{R}\vec{a})\vec{R} \right]$

(22.40)

Następnie policzmy pochodną cząstkową potencjału wektorowego, korzystając przy tym ze wzoru na potencjał wektorowy zdefiniowanej poprzez potencjał skalarny (22.13), dalej wykorzystujemy twierdzenie o pochodnej iloczynu dla wyrażenia pewnego wektorowego.

${{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}={{\partial}\over{\partial t}}\left({{\vec{v}}\over{c^2}}\varphi\right)= {{{{\partial\vec{v}}\over{\partial t}}}\over{c^2}}\varphi+{{\vec{v}}\over{c^2}}{{\partial\varphi}\over{\partial t}}= {{\vec{a}}\over{c^2}}{{\partial t_r}\over{\partial t}}\varphi+{{\vec{v}}\over{c^2}}{{\partial\varphi}\over{\partial t}}$

(22.41)

Policzmy pochodną cząstkową czasu opóźnionego t_r względem czasu t, wykorzystując jego definicję napisaną w (21.1):

${{\partial t_r}\over{\partial t}}={{\partial t}\over{\partial t}}-{{1}\over{c}}{{\partial R}\over{\partial t}}=1-{{1}\over{c}}{{\partial R}\over{\partial x_i}}{{\partial x_i}\over{\partial t}}= 1-{{1}\over{c}}\nabla R\vec{v}=1+\nabla t_r\vec{v}=$ $=1-{{-\vec{R}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\vec{v}= 1+{{\vec{R}\vec{v}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}= {{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}+\vec{R}\cdot\vec{v}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}= {{Rc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}$

(22.42)

Następnie wyznaczmy cząstkową pochodną potencjału skalarnego zdefiniowanej w linijce (22.16) względem czasu rzeczywistego t znając już obliczoną pochodną cząstkową czasu opóźnionego t_r względem czasu rzeczywistego t, zatem do dzieła.

${{\partial\varphi}\over{\partial t}}= {{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}}\left[ c{{\partial R}\over{\partial t}}-{{\partial \vec{R}}\over{\partial t}}\cdot\vec{v}-\vec{R}\cdot{{\partial v}\over{\partial t}} \right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}}\left[ c^2\left(1-{{\partial t_r}\over{\partial t}}\right)-\vec{v}{{\partial}\over{\partial t_r}}\left(\vec{r}-\vec{w}\right){{\partial t_r}\over{\partial t}}-\vec{R}{{\partial\vec{v}}\over{\partial t_r}}{{\partial t_r}\over{\partial t}} \right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^2}}\left[ c^2\left(1-{{Rc }\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\right)+\vec{v}^2{{Rc}\over{Rc-\vec{v}\cdot\vec{R}}}-\vec{R}\vec{a}{{ Rc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}} \right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ -c^2\vec{R}\cdot\vec{v}+v^2 Rc-Rc\vec{R}\cdot\vec{a} \right]$

(22.43)

Wyznaczmy pochodną cząstkową względem czasu rzeczywistego wielkości fizycznej zwanej potencjałem wektorowym, przy tym korzystając z pochodnej cząstkowej względem czasu rzeczywistego t wielkości czasu opóźnionego t_r.

${{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}={{\vec{a}}\over{c^2}}{{\partial t_r}\over{\partial t}}\varphi+{{\vec{v}}\over{c^2}}{{\partial\varphi}\over{\partial t}}=-{{\vec{a}Rc}\over{c^2(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})}}{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}+$ $+{{\vec{v}}\over{c^2}}{{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ -c^2\vec{R}\cdot\vec{v}+v^2 Rc-Rc\vec{R}\cdot\vec{a} \right]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{c^2\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ \vec{a}Rc(Rc-\vec{R}\vec{v})+c^2\vec{v}(\vec{R}\cdot\vec{v})-v^2Rc\vec{v}+\vec{v}Rc(\vec{R}\cdot\vec{a}) \right]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{c^2\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\Big[ \vec{a}Rc(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})-c^2\vec{v}Rc+c^2\vec{v}Rc+ c^2\vec{v}\left(\vec{R}\cdot\vec{v}\right)-v^2Rc\vec{v}+$ $+\vec{v}Rc(\vec{R}\cdot\vec{a}) \Bigg]={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{c^2\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}} \Bigg[\vec{a}Rc\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)-c^2\vec{v}(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})+$ $+\vec{v}\left(c^2Rc-v^2Rc+\vec{R}\cdot\vec{a}Rc\right) \Bigg]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{c^2\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\Bigg[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})(\vec{a}Rc-c^2\vec{v})+\vec{v}R\left(c^3-v^2 c+\vec{R}\cdot\vec{a}c \right)\Bigg]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})(-\vec{v}+{{\vec{a}R}\over{c}})+ \vec{v}{{R}\over{c}}\left(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}\right)\right]$

(22.44)

Mając już obliczone gradient potencjału elektrycznego (22.40), a także możemy otrzymać pierwszą pochodną cząstkową potencjału wektorowego względem czasu (22.41), co do którego podstawiamy wzory pochodną cząstkową czasu opóźnionego t_r względem czasu t (22.42), a także następną policzoną tożsamość (22.43), zatem natężenie pola elektrycznego z jego definicji (20.4) poprzez potencjał skalarny i wektorowy możemy napisać wedle:

$\vec{E}=-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}= -{{qc}\over{4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{\left(Rc-\vec{R}\vec{v}\right)^3}}\left[ \vec{v}(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})-(c^2-v^2+\vec{R}\vec{a})\vec{R} \right]+$ $-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})(-\vec{v}+{{\vec{a}R}\over{c}})+ \vec{v}{{R}\over{c}}\left(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}\right)\right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})\left(\vec{v}-\vec{v}+{{\vec{a}R}\over{c}}\right)+\left(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}\right))\left(-\vec{R}+\vec{v}{{R}\over{c}}\right) \right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}){{\vec{a}R}\over{c}}-(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a})(\vec{R}-\vec{v}{{R}\over{c}})\right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ -{{R}\over{c}}(c^2-v^2)(c\hat{\vec{R}}-\vec{v})-\vec{R}\cdot\vec{a}(\vec{R}-\vec{v}{{R}\over{c}})+(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}){{\vec{a}R}\over{c}} \right]=$ $={{-1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(\vec{R}\cdot(\hat{\vec{R}}c-\vec{v})\right)^3}}\left[ -{{R}\over{c}}(c^2-v^2)(c\hat{\vec{R}}-\vec{v})-{{R}\over{c}}(\vec{R}\cdot\vec{a})(\hat{\vec{R}}c-\vec{v})+\vec{R}\cdot(\hat{\vec{R}}c-\vec{v}){{\vec{a}R}\over{c}} \right]$

(22.45)

Wprowadźmy nową zmienną wektorową nazywijmy go $\vec{u}\;$, którego definicja jest napisana poprzez odległość ładunku q od ładunku Q w czasie opóźnionym, zależna jest ona też od prędkości małego ładunku q.

$\vec{u}=c\hat{\vec{R}}-\vec{v}$

(22.46)

Możemy wykorzystać podstawienie (22.46), które wykorzystamy we wzorze na natężenie pola elektrycznego we wzorze o numerze (22.45), by potem dostać bardziej uproszczoną równość:

$\vec{E}={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qR}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})^3}}\left[ (c^2-v^2)\vec{u}+(\vec{R}\cdot\vec{a})\vec{u}-(\vec{R}\cdot\vec{u})\vec{a} \right]=\;$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qR}\over{\left(\vec{R}\cdot\vec{u}\right)^3}}\left[(c^2-v^2)\vec{u}+ \vec{R}\times\left(\vec{u}\times\vec{a}\right)\right]$

(22.47)

Następnym krokiem jest obliczenie indukcji magnetycznej pola magnetycznego, korzystając przy tym z definicji indukcji pola magnetycznego poprzez potencjał wektorowy magnetyczny, co jego definicję piszemy wzorem (20.1), dalej podstawiając do tej definicji definicję potencjału wektorowego napisanego dla naszego przypadku w punkcie (22.13), co do którego tego ostatniego podstawiamy definicję potencjału skalarnego napisaną w linijce (22.16).

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}= \nabla\times\left({{\vec{v}}\over{c^2}}\varphi\right)= {{1}\over{c^2}}\vec{k}_i\epsilon_{ijk}\nabla_j(v_k\varphi)= {{1}\over{c^2}}\vec{k}_i\epsilon_{ijk}v_k\nabla_j\varphi+ {{1}\over{c^2}}\vec{k}_i\epsilon_{ijk}\varphi\nabla_j v_k=$ $=-{{1}\over{c^2}}\vec{k}_i\epsilon_{ikj}v_k\nabla_j\varphi+ {{1}\over{c^2}}\vec{k}_i\epsilon_{ijk}\varphi\nabla_j v_k= -{{1}\over{c^2}}\vec{v}\times(\nabla\varphi)+{{1}\over{c^2}}\varphi\nabla\times\vec{v}= {{1}\over{c^2}}\varphi\nabla\times\vec{v}-{{1}\over{c^2}}\vec{v}\times(\nabla\varphi)=$ $={{1}\over{c^2}}{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}\vec{a}\times{{\vec{R}}\over{Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}}}+$ $-{{1}\over{c^2}}\vec{v}\times\left\{ {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qc}\over{\left(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v}\right)^3}}\left[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})\vec{v}-(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a})\vec{R} \right] \right\}=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0 c}}{{q}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})^3}}\left[ (Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})\vec{a}\times\vec{R}-\vec{v}\times\vec{v}(Rc-\vec{R}\cdot\vec{v})+\vec{v}\times\vec{R}(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}\right]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0 c}}{{q}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})^3}}\left[ (\vec{R}\cdot\vec{u})\vec{a}\times\vec{R}+(\vec{v}\times\vec{R})(c^2-v^2+\vec{R}\cdot\vec{a}) \right]=$ $=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0 c}}\vec{R}\times\left[ \vec{a}(\vec{R}\cdot\vec{u})+\vec{v}(c^2-v^2)+\vec{v}(\vec{R}\cdot\vec{a}) \right]$

(22.48)

Wyznaczmy wyrażenie poniżej, które jest wprost proporcjonalne do iloczynu wektorowego położenia ładunku q względem ładunku Q w czasie opóźnionym i natężenia pola elektrycznego napisaną w (22.42), i przekonamy się, że ta wielkość jest to po prostu wektor indukcji pola magnetycznego napisanej dla nas w punkcie (22.45).

${{1}\over{c}}\hat{\vec{R}}\times\vec{E}= {{1}\over{c}}\hat{\vec{R}}\times\left\{ {{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{qR}\over{\left(\vec{R}\cdot\vec{u}\right)^3}}\left[(c^2-v^2)\vec{u}+ \vec{R}\times\left(\vec{u}\times\vec{a}\right)\right] \right\}=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0 c}}{{q}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})}}\vec{R}\times\left[ (c^2-v^2)\vec{u}+\vec{R}\times(\vec{u}\times\vec{a})\right]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0c}}{{q}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})^2}}\vec{R}\times\left[ (c^2-v^2)c\hat{\vec{R}}-(c^2-v^2)\vec{v}+\vec{u}(\vec{R}\cdot\vec{a})-\vec{a}(\vec{R}\cdot\vec{u}) \right]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0c}}{{q}\over{\left(\vec{R}\cdot\vec{u}\right)^3}}\vec{R}\times\left[ (c^2-v^2)c\hat{\vec{R}}-(c^2-v^2)\vec{v}+c\hat{\vec{R}}(\vec{R}\cdot\vec{a})-\vec{v}(\vec{R}\cdot\vec{a})-a(\vec{R}\cdot\vec{u}) \right]=$ $={{1}\over{4\pi\epsilon_0 c}}{{q}\over{\left(\vec{R}\cdot\vec{u}\right)^3}}\left[ -(c^2-v^2)\vec{v}-\vec{v}(\vec{R}\cdot\vec{a})-\vec{a}(\vec{R}\cdot\vec{u}) \right]=$ $=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0 c}}{{q}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})^3}}\vec{R}\times\left[ (c^2-v^2)\vec{v}+\vec{v}(\vec{R}\cdot\vec{a})+\vec{a}(\vec{R}\cdot\vec{u}) \right]=\vec{B}$

(22.49)

Udowodniliśmy według przeprowadzonych obliczeń (22.49), że indukcja pola magnetycznego napisana w punkcie (22.48) jest wektorem prostopadłym do wektora natężenia pola elektrycznego (22.45):

$\vec{B}={{1}\over{c}}\hat{\vec{R}}\times\vec{E}$

(22.50)

Napiszmy siłę Lorentza (8.3) działający na ładunek Q poruszający się z prędkością$\vec{V}$, w którym natężenie pola elektrycznego jest napisane wzorem (22.45), a indukcja pola magnetycznego wzorem (22.48), zatem podstawiając te wielkości na definicję siły Lorentza w elektromagnetyzmie, w ten sposób dostajemy wzór na tą opisywaną tutaj wielkość.

$\vec{F}={{qQ}\over{4\pi\epsilon_0}}{{R}\over{(\vec{R}\cdot\vec{u})^3}}\left\{ \left[(c^2-v^2)\vec{u}+\vec{R}\times(\vec{u}\times\vec{a})\right]+ {{\vec{V}}\over{c}}\times\left[(c^2-v^2)\vec{u}+\vec{R}\times(\vec{u}\times\vec{a})\right] \right\}$

(22.51)

Powyższa siła jest obliczona w czasie opóźnionym, powyższy wzór wynika z praw elektrodynamiki Maxwella i siły Lorentza, a więc cała elektrodynamika zawarta jest w tym równaniu, jak widzimy zależy ona od przyspieszenia cząstki naładowanej $\vec{a}$ i jej prędkości$\vec{v}$ i jego ładunku q, oraz prędkości cząstki $\vec{V}$ na którą działa pole pochodząca od ładunku Q, który jest jakoby źródłem pola elektromagnetycznego.

Promieniowanie elektromagnetyczne

Dotychczas mówiliśmy o płaskich falach elektromagnetycznych bez omówienia jak one powstają. Źródłem fal elektromagnetycznych jest rozkład ładunków elektrycznych, który się w czasie zmienia. Ale one muszą poruszać się ruchem przyspieszonym albo w przypadku prądów muszą być to prądy zmienne. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się do nieskończoności od ich źródła. Oznaką natężenia energii fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga, którą liczymy dla r→∞. Odległość źródła do odbiornika jest bardzo duża. Całkowita moc przechodząca przez daną powierzchnię określana jest przez:

$P(r)=\oint \vec{P}\cdot d\vec{S}=\oint (\vec{E}\times\vec{H})d\vec{S}={{1}\over{\mu_0}}\oint(\vec{E}\times\vec{B})\cdot d\vec{S}\;$

(23.1)

Całkowitą moc wypromieniowana jest pisana przez (23.1) dla bardzo dużego r, czyli praktycznie dla r, mówiąc matematycznie dążącego do nieskończoności, jako:

$P_{wyp}=\lim_{r\rightarrow\infty}P(r)$

(23.2)

Promieniowanie pochodzące od dipola elektrycznego

Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Wyobraźmy sobie taką sytuację, że dwie metalowe sfery są odległe od siebie o odległość równą d. W chwili określonej przez t ładunek na górnej sferze jest równy q(t), a na dolnej -q(t). Ładunek na górnej sferze jest rysowany:

$q(t)=q_0\cos(\omega t)\;$

(23.3)

Moment dipolowy elektryczny z jego definicji przedstawiony jest w punkcie (6.6), stąd jego zależność w czasie na podstawie (23.3) zmienia się w sposób harmoniczny określamy przez:

$\vec{p}(t)=p_0\cos(\omega t)\hat{\vec{z}}\;$

(23.4)

• gdzie: p₀=q₀d, określa maksymalną wartość momentu dipolowego jaką może posiadać nasz rozważany układ elektryczny dipolowy.

Potencjał w punkcie O od dipola elektrycznego jest zależny od odległości poszczególnych ładunków pochodzących od tego dipola, tzn. od R₊ i R_-, i jest określany wzorem (5.1). Jeśli do tego wzoru podstawimy wyrażenie (23.3) i zamieniając czas rzeczywisty na czas opóźniony (21.1):

$\varphi(\vec{r})={{1}\over{4\pi\epsilon_0}} \left\{{{q_0\cos\left[\omega(t-{{R_+}\over{c}})\right]}\over{R_+}}-{{q_0\cos\left[\omega(t-{{R_-}\over{c}})\right]}\over{R_-}}\right\}\;$

(23.5)

Następnym naszym krokiem jest wykorzystanie przybliżonego wzoru na odwrotność wielkości R_±, czyli wielkości napisanej w (5.4), a także samej wielkości R_±, zatem wyznaczmy wyrażenie pomocnicze w sposób przybliżony:

$\cos\left[\omega\left(t-{{R_{\pm}}\over{c}}\right)\right]= \cos\left\{\omega\left[t-{{r}\over{c}}\left(1\mp{{d}\over{2r}}\cos\phi\right)\right]\right\}=\;$ $= \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\pm {{\omega d}\over{2c}}\cos\phi\right]=\;$ $=\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\cos\left({{\omega d}\over{2c}}\cos\phi\right)\mp\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\sin\left({{\omega d}\over{2c}}\cos\phi\right)\;$

(23.6)

W naszych obliczeniach zakładamy, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na naszym dipolu w czasie, co zapisujemy jako:$_{d<<{{c}\over{\omega}}}\;$, stąd wniosek, że ostatni czynnik występującego w punkcie (23.6) spełnia warunek:

${{\omega d}\over{2c}}\cos\phi<<{{\omega}\over{2c}}{{c}\over{\omega}}\cos\phi={{1}\over{2}}\cos\phi<{{1}\over{2}}\Rightarrow {{\omega d}\over{2c}}\cos\phi<<{{1}\over{2}}\;$

(23.7)

zatem możemy dokonać przybliżenia w postaci sinφ≈φ, a także cosφ≈ 1, zatem wyrażenie (23.6) możemy napisać w postaci przybliżonej:

$\cos\left[\omega\left(t-{{R_{\pm}}\over{c}}\right)\right]\simeq \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\mp{{\omega d}\over{2c}}\cos\phi\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\;$

(23.8)

Mając przybliżony wzór (23.8), a także wzór na odwrotność wielkości R_± (5.4), i to wszystko podstawiamy do wzoru (23.5), wtedy dostajemy wyrażenie na wartość przybliżoną potencjału elektrycznego wytwarzanej przez układ dwóch ładunków:

$\varphi(\vec{r})={{q_0}\over{4\pi\epsilon_0}}\Bigg\{ {{1}\over{r}}\left(1+{{d}\over{2r}}\cos\phi\right)\left\{ \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega d}\over{2c}}\cos\phi\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right\}+$ $- {{1}\over{r}}\left(1-{{d}\over{2r}}\cos\phi\right)\left\{ \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]+{{\omega d}\over{2c}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] \right\} \Bigg\}=$ $={{q_0}\over{4\pi\epsilon_0}}\Bigg\{ {{1}\over{r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\left(1+{{d}\over{2r}}\cos\phi-1+{{d}\over{2r}}\cos\phi\right)+$ $+{{\omega d}\over{2cr}}\cos\phi\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\left[ -1-{{d}\over{2r}}\cos\phi-1+{{d}\over{2r}}\cos\phi \right] \Bigg\}=$ $={{q_0 d\cos\phi}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\left[-{{\omega}\over{c}}\sin\left(\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right)+{{1}\over{r}}\cos\left(\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right)\right]=$ $={{p_0\cos\phi}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\left[-{{\omega}\over{c}}\sin\left(\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right)+{{1}\over{r}}\cos\left(\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right)\right]$

(23.9)

Interesują nas duże odległości, zatem przyjmijmy następne przybliżenie, które spełnia wzór: $_{r>>{{c}\over{\omega}}\Rightarrow{{1}\over{r}}<<{{\omega}\over{c}}}$, zatem we wzorze (23.9) możemy pominąć drugi człon w tej tożsamości, zatem tą wspomnianą równość piszemy:

$\varphi(r,\phi,t)=-{{p_0\omega}\over{4\pi\epsilon_0 c}}\left({{\cos\phi}\over{r}}\right)\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]$

(23.10)

Znając zależność ładunków q(t) od czasu na końcach dipola elektrycznego wedle zależności (23.3) możemy z definicji natężenia prądu elektrycznego napisać jego wartość:

$\vec{I}(t)={{dq}\over{dt}}\hat{\vec{z}}=\hat{\vec{z}}{{d}\over{dt}}q_0\cos(\omega t)=-q_0\omega \sin(\omega t)\hat{\vec{z}}$

(23.11)

Ponieważ dipol elektryczny stanowi jakoby drut, w których na końcach znajdują się ładunki. W tym drucie płynie pewny zmienny prąd w czasie rzeczywistym t, zatem potencjał wektorowy na podstawie pierwszej równości (21.5), bo natężenie elektryczne prądu jest zależne od czasu, przedstawia się:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\int^{{{d}\over{2}}}_{-{{d}\over{2}}} {{-q_0\omega\sin\left[\omega\left(t-{{R(z)}\over{c}}\right)\right]}\over{R(z)}}\hat{\vec{z}}dz=$ $=-{{\mu_0q_0\omega}\over{4\pi}}\left\{\int^{{{d}\over{2}}}_0{{\sin\left[\omega\left(t-{{R(z)}\over{c}}\right)\right]}\over{R(z)}}dz+ \int^0_{-{{d}\over{2}}}{{\sin\left[\omega\left(t-{{R(z)}\over{c}}\right)\right]}\over{R(z)}}dz\right\}\hat{\vec{z}}=$ $=-{{\mu_0q_0\omega}\over{4\pi}}\left\{ \int_0^{{{d}\over{2}}}\left[{{\sin\left[\omega\left(t-{{R_+(z)}\over{c}}\right)\right]}\over{R_+(z)}}+{{\sin\left[\omega\left(t-{{R_-(z)}\over{c}}\right)\right]}\over{R_-(z)}}\right] \right\}\hat{\vec{z}}$

(23.12)

Interesuje nasz przypadek, gdy zachodzi d<<r, zatem odległość według wzoru (5.4), a w nim zastępujemy wielkość d przez z, wtedy możemy napisać dwa wzory:

$R_{\pm}(z)\simeq r\left(1\mp{{z}\over{2r}}\cos\phi\right)$ (23.13)

${{1}\over{R_{\pm}(z)}}\simeq{{1}\over{r}}\left(1\pm{{z}\over{2r}}\cos\phi\right)$ (23.14)

Następnie policzmy wyrażenie pomocnicze występujące w punkcie (23.14) w postaci pewnych kosinusów, korzystając przy tym z przybliżenia (23.13), zatem do dzieła:

$\sin\left[\omega\left(t-{{R_{\pm}(z)}\over{c}}\right)\right] \simeq\sin\left\{\omega\left[t-{{r}\over{c}}\left(1\mp{{z}\over{2rc}}\cos\phi\right)\right]\right\}= \sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\pm{{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\right]=$ $=\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\cos\left({{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\right)\pm\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] \sin\left({{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\right)$

(23.15)

Niech mamy przybliżenie będzie takie, że odległość pomiędzy ładunkami w dipolu elektrycznym będzie d, by było o wiele mniejsze od stosunku wartości prędkości światła i częstotliwości z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego obiektu lub z jaką częstotliwością zmienia się prąd , czyli $_{d<<{{c}\over{\omega}}}$, zatem możemy napisać:

$\sin\left[\omega\left(t-{{R_{\pm}(z)}\over{c}}\right)\right]\simeq \sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\pm{{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]$

(23.16)

Następnym krokiem jest napisanie wyrażenia poniżej występujące pod całką równości (23.12) i korzystać będziemy przy tym z tożsamości przybliżonej (23.16)

${{\sin\left[\omega(t-{{R_+(z)}\over{c}})\right]}\over{R_+(z)}}+{{\sin\left[\omega\left(t-{{R_-(z)}\over{c}}\right)\right]}\over{R_-(z)}}=$ $=\left\{\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]+{{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right\}{{1}\over{r}}\left(1+{{z}\over{2r}}\cos\phi\right)+$ $+\left\{\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right\}{{1}\over{r}}\left(1-{{z}\over{2r}}\cos\phi\right)=$ $={{\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]}\over{r}}\left(1+{{z}\over{2r}}\cos\phi+1-{{z}\over{2r}}\cos\phi\right)+$ $+{{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]{{1}\over{r}}\left(1+{{z}\over{2r}}\cos\phi-1+{{z}\over{2r}}\cos\phi\right)=$ $={{2\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]}\over{r}}+ {{\omega z}\over{2c}}\cos\phi\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]{{z}\over{2r^2}}\cos\phi\simeq {{2\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]}\over{r}}$

(23.17)

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrażenia na potencjał wektorowy magnetyczny pola elektromagnetycznego wytwarzanej przez dipol elektryczny (23.12), jeśli przy tym będziemy wykorzystywali przybliżenie (23.17):

$\vec{A}(\vec{r},t)=-{{\mu_0 q_0\omega}\over{4\pi}}\int_0^{{{d}\over{2}}}{{2\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]}\over{r}}dz\hat{\vec{z}}=-{{\mu_0 q_0 d\omega}\over{4\pi}}{{2\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]}\over{r}}{{d}\over{2}}\hat{\vec{z}}=$ $=-{{\mu_0 p_0\omega}\over{4\pi}}{{\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]}\over{r}}\hat{\vec{z}}$

(23.18)

Potencjał skalarny zależy tylko od kata zenitalnego, a nie zależy od kąta azymutalnego, zatem gradient potencjału skalarnego napisanej dla dipola elektrycznego w punkcie (23.10) jest w postaci:

$\nabla\varphi={{\partial\varphi}\over{\partial r}}\vec{e}_r+{{1}\over{r}}{{\partial\varphi}\over{\partial\phi}}\vec{e}_{\phi}= -{{p_0\omega}\over{4\pi\epsilon_0 c}}\left\{-{{\cos\phi}\over{r^2}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega\cos\phi}\over{cr}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right\}\vec{e}_r+$ $+{{p_0\omega\sin\phi}\over{4\pi\epsilon_0 c r^2}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\phi}\simeq {{p_0\omega^2}\over{4\pi\epsilon_0 c^2}}\left({{\cos\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_r$

(23.19)

Wersor zetowy układu kartezjańskiego układu współrzędnych można rozłożyć w układzie sferycznym następująco:

$\hat{\vec{z}}=\cos\phi\vec{e}_r-\sin\phi\vec{e}_{\phi}$

(23.20)

Potencjał wektorowy pola magnetycznego (23.18) na podstawie tożsamości (23.20) piszemy:

$\vec{A}(\vec{r},t)=-{{\mu_0p_0\omega}\over{4\pi r}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\left(\cos\phi \vec{e}_r-\sin\phi\vec{e}_{\phi}\right)$

(23.21)

Naszym ostatnim krokiem jest wyznaczenie pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego zdefiniowanego w punkcie (23.21):

${{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}=-{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\left(\cos\phi\vec{e}_r-\sin\phi\vec{e}_{\phi}\right)$

(23.22)

Natężenie pola elektrycznego na podstawie jego definicji (20.4) możemy napisać, jeśli ściągniemy wyznaczone wcześniej tożsamości dla dipola elektrycznego gradientu pola elektrycznego (23.19) i pochodnej cząstkowej względem czasu potencjału wektorowego (23.21):

$\vec{E}=-\nabla\varphi-{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}=$ $=-{{p_0\omega^2}\over{4\pi\epsilon_0 c^2}}\left({{\cos\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_r+{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\left(\cos\phi\vec{e}_r-\sin\phi\vec{e}_{\phi}\right)=$ $=-{{p_0\omega^2\mu_0}\over{4\pi}}\left({{\cos\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_r+{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\left(\cos\phi\vec{e}_r-\sin\phi\vec{e}_{\phi}\right)=$ $=-{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\phi}$

(23.23)

Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie rotacji potencjału wektorowego (23.21), otrzymujemy:

$\nabla\times\vec{A}={{1}\over{r}}\left[{{\partial}\over{\partial r}}\left(rA_{\phi}\right)-{{\partial A_r}\over{\partial\phi}}\right]\vec{e}_{\theta}=$ $={{1}\over{r}}\left[ {{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi c}}(-\sin\phi)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]+ {{\mu_0p_0\omega}\over{4\pi r}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right](-\sin\phi) \right]$

(23.24)

Drugi człon możemy wyeliminować, ze względu na to, że odległość od dipola elektrycznego punktu O jest o wiele większa niż stosunek wartości prędkości światła i częstotliwości ω z jaką zmienia się ładunek na końcach naszego dipola, czyli$_{r>>{{c}\over{\omega}}\Rightarrow{{\omega}\over{c}}>>{{1}\over{r}}}$, zatem wektor indukcji magnetycznej jest równy:

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=-{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi c}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\theta}$

(23.25)

A teraz troszkę z tożsamości napiszmy poniższe wyrażenie, które jest iloczynem wektorowym wersorów w układzie kulistym wersora φ-tego i θ-owego:

$\vec{e}_{\phi}\times\vec{e}_{\theta}=\vec{e}_r$

(23.26)

Wektor Poytinga (23.1) przy definicji natężenia pola elektrycznego (23.23) i indukcji pola magnetycznego (23.25), wtedy znając te wielkości pola elektromagnetycznego w próżni pochodzące od dipola elektrycznego, w której ładunek na jego końcach zmienia się harmonicznie, a także w nim płynie prąd harmoniczny, wtedy ten wektor na podstawie tożsamości (23.26) możemy napisać:

$\vec{P}={{1}\over{\mu_0}}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)=$ $={{1}\over{\mu_0}}\left\{ \left[-{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right] \left[-{{\mu_0p_0\omega^2}\over{4\pi c}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right] \right\}\vec{e}_r=$ $={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{16\pi^2 c}}\left({{\sin^2\phi}\over{r^2}}\right)\cos^2\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_r$

(23.27)

Średnia wartość wektora Poytinga względem czasu możemy wyznaczyć z jej wartości chwilowej wedle punktu (23.27) wedle wyglądu:

$\langle \vec{P}\rangle={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{16\pi^2 c}}{{\sin^2\phi}\over{r^2}}{{1}\over{2}}\vec{e}_r={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{32\pi^2 c}}{{\sin^2\phi}\over{r^2}}\vec{e}_r$

(23.28)

Całkowita moc promieniowania można obliczyć po sferze o promieniu r, można policzyć jako całkę powierzchniową wyrażenia na średni wektor Poytinga napisanej wedle (23.28):

$\langle P\rangle=\int\langle\vec{P}\rangle={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{32\pi^2 c}}{{\sin^2\phi}\over{r^2}} r^2\sin\phi d\phi d\theta= {{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{32\pi^2 c}}(\int_0^{\pi} \sin^3\phi d\phi)\int_0^{2\pi} d\theta=$ $={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{16\pi c}}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi$

(23.29)

Wyznaczmy całkę nieoznaczoną wedle praw analizy, korzystając z metody całkowania przez podstawienie, a później z metody całkowania przez części, w ten sposób możemy obliczyć postać zwartą naszej całki nieoznaczonej.

$\int\sin^3\phi d\phi=\int(1-\cos^2\phi)\sin\phi d\phi=\begin{Bmatrix}\cos\phi=t\\ \sin\phi d\phi=-dt\end{Bmatrix}= -\int(1-t^2)dt=\;$ $=-\int dt+\int t^2dt=-t+{{1}\over{3}}t^3=-\cos\phi+{{1}\over{3}}\cos^3\phi$

(23.30)

Na podstawie już obliczonej całki (23.30) możemy wyznaczyć całkę występującą w wyrażeniu na całkowitą moc wypromieniowaną (23.29), jeśli najpierw policzymy całkę oznaczoną:

$\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi=\left[-\cos\phi+{{1}\over{3}}\cos^3\phi\right]_{0}^{\pi}=2-{{2}\over{3}}={{6-2}\over{3}}={{4}\over{3}}$

(23.31)

Zatem średnia moc promieniowania dipola elektrycznego (23.29), na podstawie całki oznaczonej (23.31), jest wyrażona wzorem poniżej. Jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się ładunek na końcach tego dipola i od maksymalnej wartości momentu dipolowego p₀ jaką może przyjmować nasz dipol.

$\langle P\rangle={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{16\pi c}}{{4}\over{3}}={{\mu_0p_0^2\omega^4}\over{12\pi c}}$

(23.32)

Widzimy, że średnia moc promieniowania nie zależy od promienia r, co jest zgodne z zasadą zachowania energii.

Promieniowanie pochodzące od dipola magnetycznego

Promieniowanie elektromagnetyczne pochodzące od dipola elektrycznego

Niech mamy pętlę jak na rysunku o promieniu b i niech płynie w nim prąd przemienny o częstości kołowej ω o natężeniu natężeniu prądu zależnym od czasu w sposób harmonicznym:

$I(t)=I_0\cos(\omega t)\;$

(23.33)

Moment dipolowy dipola magnetycznego definiujemy jako iloczyn powierzchni jaką tworzy okrągły obwód i natężenia prądu napisanego w punkcie (23.33)

$\vec{m}(t)=\pi b^2 I(t)\hat{\vec{z}}=m_0\cos(\omega t)\hat{\vec{z}}\;$

(23.34)

• gdzie maksymalna wartość momentu dipolowego jest opisana wzorem m₀=π b² I₀.

Potencjał wektorowy w odległości R od dipola magnetycznego w czasie t jest opisany na podstawie wzoru ogólnego (21.5) w sposób:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\oint{{I_0\cos\left[\omega\left(t-{{R}\over{c}}\right)\right]}\over{R}}d\vec{l}\;$

(23.35)

Załóżmy, że wektor $\vec{r}$ jest nad osią x, to potencjał wektorowy $\vec{A}$ jest skierowany wzdłuż osi y, bo składowe iskowe redukują się razem z jednej i drugiej strony osi x, bo składowa iskowa dla takiego samego y ma przeciwne zwroty, a więc składowa igrekowa wektora $d\vec{l}$ jest:

$(d\vec {l})_y=dl\cos\theta=b d\theta \cos\phi=b\cos\phi d\phi$

(23.36)

Potencjał wektorowy (23.35), na podstawie obliczeń (23.36) na współrzędną igrekową wektora małego wycinka, w którym płynie prąd o natężeniu (23.33), czyli wielkości $d\vec{l}\;$,piszemy:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0I_0 b}\over{4\pi}}\hat{\vec{y}}\int_0^{2\pi}{{\cos\left[\omega\left(t-{{R}\over{c}}\right)\right]}\over{R}}\cos\theta d\theta$

(23.37)

Według powyższego wzoru można obliczyć odległość od odcinka prądu $d\vec{l}$ do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał wektorowy, zatem ta długość R:

$R=\sqrt{r^2+b^2-2rb\cos\psi}$

(23.38)

Wektor $\vec{r}$ można przedstawić za pomocą składowych we współrzędnych kartezjańskich, a także wektor promienia $\vec{b}\;$, w sposobu:

$\vec{r}=(r\sin\phi,0,r\cos\phi)$ (23.39)

$\vec{b}=(b\cos\theta,b\sin\theta,0)$ (23.40)

Można policzyć, z definicji iloczynu skalarnego i definicji wektorów $\vec{r}$ i $\vec{b}$ ich iloczyn skalarny, tzn. wielkości (23.39) i (23.40) wedle:

$rb\cos\psi=\vec{r}\cdot\vec{b}=rb\sin\phi\sin\theta$

(23.41)

Wielkość R, która jest odległością od dipola, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne, czyli (23.38), następnie wykorzystując tożsamość (23.41), tą odległość piszemy jako:

$R=\sqrt{r^2+b^2-2rb\sin\phi\sin\theta}$

(23.42)

W naszym przypadku zakładamy, że pętla dipola magnetycznego była mała w porównaniu z r, czyli zachodzi:$_{b<<r\Rightarrow{{b}\over{r}}<<1}$, oczywiste jest, że R w takim przypadku możemy policzyć w sposób przybliżony wykorzystując ostatnio wspomniane związki między promieniem obwodu b a odległością od środka tego obwodu r, zatem na podstawie wspomnianych zależności wielkość (23.42) możemy zapisać jako:

$R=r\sqrt{1+\left({{b}\over{r}}\right)^2-2{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta}=\simeq r\left(1-{{1}\over{2}}{{2b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\right)=r\left(1-{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\right)$

(23.43)

A odwrotność przybliżonej wielkości napisanej w punkcie (23.43) możemy napisać też w bardziej przybliżony sposób:

${{1}\over{R}}={{1}\over{r\left(1-{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\right)}}\simeq {{1}\over{r}}\left(1+{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\right)$

(23.44)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wielkości poniżej wykorzystując wzór na przybliżoną wartość na R wedle (23.43), zatem dokonajmy tychże obliczeń:

$\cos\left[\omega\left(t-{{R}\over{c}}\right)\right]= \cos\left\{\omega\left[t-{{r}\over{c}}\left(1-{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\right)\right]\right\}= \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)+{{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\right]=$ $=\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\cos\left({{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\right)-\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\sin\left({{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\right)$

(23.45)

Obierzmy przybliżenie, które zachodzi jako, że promień obwodu kołowego dipola magnetycznego b jest o wiele mniejsza od stosunku wartości prędkości światła c przez częstotliwość ω z jaką zmienia się prąd elektryczny (23.33), czyli:$_{b<<{{c}\over{\omega}}\Rightarrow {{b\omega}\over{c}}<<1}$, zatem można napisać wedle wyglądu:

$\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\simeq \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]$

(23.46)

Wzór na potencjał wektorowy (23.37) możemy napisać stosując wzór na odwrotność małego wycinka obwodu od punktu, w której wyznaczamy pewne wielkości elektromagnetyczne według (23.44), a także ze wzoru (23.45), a do niego stosujemy przybliżenie w postaci (23.46), zatem tą wielkość piszemy:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0I_0 b}\over{4\pi}}\hat{\vec{y}}\int_0^{2\pi} \left\{\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\right \}{{1}\over{r}}\cdot$ $\cdot\left(1+{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\right)\cos\theta d\theta=$ $={{\mu_0I_0 b}\over{4\pi r}}\hat{\vec{y}} \int_0^{2\pi}\Bigg\{ \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\sin \left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] +$ $+{{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]- {{b}\over{r}}\sin\phi\cos\theta{{\omega b}\over{c}}\sin\phi\cos\theta\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] \Bigg\}\cos\theta d\theta=$ $\simeq{{\mu_0I_0b}\over{4\pi r}}\hat{\vec{y}}\int_0^{2\pi}\Bigg\{ \cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]+b\sin\phi\cos\theta\left( -{{\omega}\over{c}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]+{{1}\over{r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] \right) \Bigg\}\cdot$ $\cdot\cos\theta d\theta$

(23.47)

Ponieważ zachodzą związki całkowe poniżej, które możemy wyprowadzić poniżej, które będą nam potrzebne do dalszych obliczeń.

$\int_0^{2\pi}\cos\theta d\theta=\sin\theta|_0^{2\pi}=0$ (23.48)

$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=\int_0^{2\pi}{{1}\over{2}}(1+\cos 2\phi)d\phi=\pi$ (23.49)

Wzór na potencjał wektorowy ostatnio napisanej (23.47), przy wyznaczonych w całkach (23.48) i (23.49), jest wedle wyglądu:

$\vec{A}(\vec{r},t)={{\mu_0 m_0}\over{4\pi}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\left\{ {{1}\over{r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega}\over{c}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] \right\}\hat{\vec{y}}$

(23.50)

W układzie, gdy $\vec{r}$ jest nad osią x, można przekształcić do układu, gdy tak nie jest, w tym przypadku wektor potencjału wektorowego jest równoległy do wersora $\vec{e}_{\theta}$ sferycznego układu współrzędnych, zatem nasz potencjał wektorowy dla potencjału wektorowego (23.50) jest równy:

$\vec{A}(r,\phi,t)={{\mu_0 m_0}\over{4\pi}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\left\{ {{1}\over{r}}\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]-{{\omega}\over{c}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right] \right\}\vec{e}_{\theta}$

(23.51)

Jeśli zastosujmy następne przybliżenie, tzn.:$_{r>>{{c}\over{\omega}}\Rightarrow{{1}\over{r}}<<{{\omega}\over{c}}}$, zatem wzór na potencjał wektorowy (23.51) jest przedstawiony:

$\vec{A}(r,\phi,t)=-{{\mu_0m_0\omega}\over{4\pi c}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\theta}$

(23.52)

Następnym krokiem jest obliczenie natężenia pola elektrycznego w określonym punkcie dla dipola magnetycznego i należy posłużyć się wnioskiem, że potencjał skalarny jest równy zero, a więc jego dywergencja też jest równa zero, zatem jego gradient. Skorzystamy ze wzoru na natężenie pola elektrycznego (20.4), zatem wyznaczmy tą wielkość:

$\vec{E}=-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}= {{\mu_0m_0\omega^2}\over{4\pi c}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\theta}$

(23.53)

Jako ostatni krok jest obliczenie indukcji magnetycznej znając potencjał wektorowy (23.52) ze wzoru (20.1), zatem do dzieła:

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}={{1}\over{\sin\phi}}\left[{{\partial}\over{\partial\phi}}\left(\sin\phi A_{\theta}\right)-{{\partial A_{\phi}}\over{\partial \theta}}\right]\vec{e}_r+{{1}\over{r}}\left[{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial A_r}\over{\partial\theta}}-{{\partial(rA_{\theta})}\over{\partial r}}\right]\vec{e}_{\phi}=$ $={{1}\over{r\sin\phi}}{{\partial\left(\sin\phi A_{\theta}\right)}\over{\partial\phi}}\vec{e}_r-{{1}\over{r}}{{\partial}\over{\partial r}}(r A_{\theta})\vec{e}_{\phi}=$ $=-{{\mu_0m_0\omega}\over{4\pi cr^2\sin\phi}}\sin\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]2\sin\phi\cos\phi\vec{e}_r-{{\mu_0m_0\omega^2}\over{4\pi c^2}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\phi}\simeq$ $\simeq -{{\mu_0m_0\omega^2}\over{4\pi c^2}}\left({{\sin\phi}\over{r}}\right)\cos\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_{\phi}$

(23.54)

Ale mamy odległość r od środka dipola magnetycznego spełniającego warunek$_{r>>{{c}\over{\omega}}}$, wtedy można pominąć współrzędną radialną wektora indukcji magnetycznej względem współrzędnej φ-ej.

Wiedząc, że zachodzi związek napisanej w punkcie (23.26) w układzie kulistym, wtedy wektor Poytinga (23.1), na podstawie definicji wektora natężenia pola elektrycznego (23.53) i wektora indukcji pola magnetycznego (23.54), jest równy:

$\vec{P}={{1}\over{\mu_0}}(\vec{E}\times\vec{B})= {{1}\over{\mu_0}}{{\mu_0^2m_0^2\omega^4}\over{16\pi^2c^3}}{{\sin^2\phi}\over{r}}\cos^2\left[\omega\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\vec{e}_r$

(23.55)

Średnia wartość wektora Poytinga policzonej w punkcie (23.55) względem czasu jest wyrysowana:

$\langle \vec{P}\rangle={{\mu_0m_0^2\omega^4}\over{32\pi^2c^3}}{{\sin^2\phi}\over{r^2}}\vec{e}_r$

(23.56)

Średnia moc promieniowania wypromieniowana z dipola magnetycznego, liczymy wychodząc od wzoru (23.56), korzystając przy tym z definicji całki oznaczonej obliczonej wcześniej (23.31), piszemy według jego definicji:

$P=\oint \langle\vec{P}\rangle d\vec{S}={{\mu_0m_0^2\omega^4}\over{32\pi^2c^3}}\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{\pi}{{\sin^2\phi}\over{r^2}}r^2\sin\phi d\phi\right) d\theta={{\mu_0m_0^2\omega^4}\over{32\pi^2c^3}}2\pi\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi=$ $={{\mu_0m_0^2\omega^4}\over{16\pi c^3}}{{4}\over{3}}={{\mu_0m_0^2\omega^4}\over{12\pi c^3}}$

(23.57)

Zatem średnia moc promieniowania dipola magnetycznego (23.57), jak się przekonamy, ona jest zależna od częstotliwości kołowej z jaką zmienia się prąd w tym dipolu i od maksymalnej wartości momentu magnetycznego m₀ jaką może przyjmować nasz dipol.

Promieniowanie elektromagnetyczne z dowolnego źródła