Elektrodynamika klasyczna/Elementy mechaniki teoretycznej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Kinematyka - opis ruchu

Cząstka punktowa w danej chwili t opisywana jest przez punkt p. Punktowi temu przyporządkowane są współrzędne w przestrzeni wektorowej

p \rightarrow \mathbf{x}=\sum_i x^i \mathbf{e}_i=x^i \mathbf{e}_i

Ruch cząstki opisuje trajektoria

p(t) \rightarrow \mathbf{x}(t)=\sum_i x^i(t) \mathbf{e}_i=x^i \mathbf{e}_i

Informacją o ruchu jest wektor prędkości

\mathbf{v}=\sum_i \frac{dx^i}{dt} \mathbf{e}_i = \dot{x}^i \mathbf{e}_i

oraz wektor przyspieszenia

\mathbf{a}=\sum_i \frac{d^2x^i}{dt^2} \mathbf{e}_i = \ddot{x}^i \mathbf{e}_i

Energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu wektora prędkości. Jest to związane z definicją iloczynu skalarnego.

E_k = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2.

[edytuj] Formalizm Lagrange'a

Równania ruchu Newtona fizyki klasycznej można wyprowadzić w formalizmie Lagrange'a (Joseph Louis Lagrange) z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania S[\mathbf{x}(t)]. Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange'a L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)

S[\mathbf{x}(t)]= \int_{t_0}^{t_1} dt L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)

Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera - Lagrange'a

\frac{ d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}^i}=\frac{\partial L }{\partial x^i}

Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

p^i=\frac{\partial L}{\partial{\dot{x}}^i}

a siłę jako

F^i(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t) = \frac{\partial L }{\partial x^i}

Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange'a jako

L(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)=\frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2-U(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)

Szczególną grupą sił, są tzw. siły zachowawcze, mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

\mathbf{F} = - \nabla U

lub

\mathbf{F}^i = - \frac{\partial{U}}{\partial x^i}=-\partial_i U.

[edytuj] Cząstka swobodna

Przy braku działania sił zewnętrzych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem rózniczkowym

m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=0

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0
t \rightarrow t'=t+t_0

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej. Właściwe transformacje Galileusza to:

x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0
t \rightarrow t'=t+t_0

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciagłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji własciwej generowanej przez v.

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy \vec{u}=\frac{d\vec{x}}{dt}, \vec{u'}=\frac{d\vec{x'}}{dt}, z właściwej transformacji Galileusza różniczkując otrzymujemy

\vec{u'}=\vec{u}+\vec{v}

[edytuj] Energia układu fizycznego

Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę opisaną wzorem:

\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}.

Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δWtotal jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez zsumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

δWtotal = δT,


gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefioniowana:

T = {m \mathbf{v}^2 \over 2}=\frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2.


Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem

\mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} = - \nabla U \cdot \delta \mathbf{r} = - \delta U
\Rightarrow - \delta U = \delta T
\Rightarrow \delta (T + U) = 0.


Ten rezultat jest znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

E=T+U= \frac{1}{2}m \mathbf{\dot{x}}^2 + U

jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie zasady zachowania energii.

[edytuj] Formalizm Hamiltona

Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd {xi, pi}. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

H(x,p) = ∑ pivi(x,p,t) - L(x,p(x,v,t),t)
i

Dla cząstki w polu potencjału U

H(p,x)=\frac{p^2}{2m}+U(x,t)

Równania Lagrange'a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

\frac{dp^i}{dt}= - \frac{\partial H}{\partial x^i}= - \frac{\partial U}{\partial x^i}=F^i
\frac{dx^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p^i}

Definiując nawiasy Poissona

[A,B]=\sum_{i}(\frac{\partial A}{\partial x^i}\frac{\partial B}{\partial p^i} - \frac{\partial B}{\partial x^i}\frac{\partial A}{\partial p^i})

zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x,p) z czasem można przedstawić jako

\frac{dF}{dt}= - [H,F] + \frac{\partial F}{\partial t}

Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu (\frac{\partial F}{\partial t}=0) to będzie zachowana (stała ruchu) gdy

\frac{dF}{dt}=0 \rightarrow [H,F]=0

będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A,B]=0.

Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie

[xi,pj] = δij

W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości zasada nieoznaczoności.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Elektrodynamika_klasyczna/Elementy_mechaniki_teoretycznej”