Elektrodynamika klasyczna/Fala elektromagnetyczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

W próżni (ρ=0, j=0) równania Maxwella dają równanie fali elektromagnetycznej

\Delta \phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0
\Delta \vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}=0

Równanie falowe można zapisać w bardziej prostej formie gdy zamiast czasu t zdefiniujemy x0 = ct. Oznaczając czterowektor położenia

x^{\mu}=\{ x^0,\vec{x} \} = \{ x^0, x^1,x^2,x^3 \}

gdzie μ={0,i}={0,1,2,3} (i={1,2,3} są wskaźnikami z przestrzeni 3-wymiarowej). Operator gradientu może być uogólniony na 4 wymiary

\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}.

Podobnie uogólnić można operator Laplace'a Δ na operator d'Alamberta

\Box = -g^{\mu \nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu}

Macierz gμ ν jest tak dobrana by odtworzyć równania falowe

g_{\mu \nu}= g^{\mu \nu}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}

Z potencjału skalarnego φ i wektorowego A zbudować można jeden czterowektor Aμ={A0=φ, A1, A2, A3 }. Równania Maxwella w próżni można teraz zapisać jako

\Box A^{\lambda} = 0

[edytuj] Fala płaska

Równanie falowe jest równaniem różniczkowym liniowym. Kombinacja liniowa dwóch rozwiązań jest też rozwiązaniem. Pokażemy, że dowolne rozwiązanie zbudować można z fal płaskich

A^{\lambda}(x)=\sum_{\sigma} e^{\lambda}(k,\sigma )a_{k,\sigma} e^{i g_{\mu \nu} k^{\mu} x^{\nu}}+h.c.

gdzie eλ(k,σ) są składowymi czterech niezależnych wektorów jednostkowych (nazywanych polaryzacjami). Równanie falowe narzuca warunek na czterowektor k

gμνkμkν = kμkμ = 0

Jest to warunek algebraiczny

(k^0)^2-\vec{k}^2 =0

Istnieją dwa liniowo niezależne rozwiązania

k^0=\pm k

gdzie k jest długością wektora k (k=|k|). Wygodnie jest jeszcze zdefiniować częstość

ωk = ck0

Rozwiązanie można (uwzględniając dwa liniowo niezależne rozwiązania) teraz zapisać jako

A^{\lambda}(x)=\sum_{\sigma} e^{\lambda}(k,\sigma )(a_{k,\sigma} e^{-i\vec{k}\vec{x}+i\omega_k t }+a^{*}_{k,\sigma} e^{-i\vec{k}\vec{x}-i\omega_k t })

Rozwiązanie opisuje kombinację liniową dwóch fal propagujących się w przeciwnych kierunkach. Współczynniki a są amplitudami tych fal. Istnieją cztery liniowe polaryzacje σ={0,1,2,3}.


Ilość fizycznych stopni swobody (polaryzacji) ulega ograniczeniu po przyjęciu odpowiednich warunków cechowania. Tak więc, cechowanie Lorentza (\partial_{\mu}A^{\mu}=0) narzuca warunek:

kμeμ(k,σ) = 0

przyjęcie cechowania fizycznego (A0 = 0, div(A)=0) narzuca warunek:

kiej(k,σ) = 0

Oznacza to, że istnieją dwie poprzeczne fizyczne σ polaryzacje. Wektor polaryzacji e jest prostopadły do wektora propagacji fali elektromagnetycznej k. W płaszczyźnie prostopadłej do tego wektora istnieją dwa liniowo niezależne wektory jednostkowe e (stąd, σ={1,2}).


W mechanice kwantowej fala elektromagnetyczna jest skwantowana. Jej kwant nazywamy fotonem. Polaryzacja fali elektromagnetycznej jest konsekwencją istnienia spinu fotonu.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Elektrodynamika_klasyczna/Fala_elektromagnetyczna”