Elektrodynamika klasyczna/Mechanika relatywistyczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Czasoprzestrzeń Minkowskiego zawdzięcza swa nazwę niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który około 1907 roku uświadomił sobie, że szczególna teoria względności Einsteina, łącząca czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną może być w elegancki sposób opisana jako teoria pewnej przestrzeni czterowymiarowej.

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, w której zdefiniowana jest forma biliniowa nazywana iloczynem zewnętrznym i oznaczana jako < u,v > , (u i v są dwoma wektorami) spełniająca warunki:

  1. biliniowości: < au + v,w > = a < u,w > + < v,w > , dla wszystkich a, u, v, i w
  2. symetryczności: < v,w > = < w,v >
  3. jeśli < v,w > = 0 dla wszystkich w, to v = 0 (forma niezdegenerowana)

Warunek 3 może być osłabiony. Forma < u,v > pozwala zdefiniować długość wektora

| v | 2 = < u,u >

Wektory jednostkowe e spełniają więc | e | = 1. Punktowi p w czasoprzestrzeni przyporządkowujemy vektor x o czterech współrzędnych xμ,μ = (0,1,2,3)

x = xμeμ

gdzie eμ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzanie się na przekątnej dwóch wskaźników oznacza sumowanie po μ od 0 do 3 (umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora do kwadratu to

| x | 2 = < xμeμ,xνeν > = gμνxμxν

gdzie g jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

gμν = < eμ,eν >

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych (x + dx)μ i xμ definiuje odległość (interwał czasoprzestrzenny)

ds2 = gμνdxμdxν

Przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią globalnie płaską, w której

g_{\mu \nu}= \eta_{\mu \nu}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}

W jawnej postaci długość wektora z to

| x | 2 = (x0)2 - (x1)2 - (x2)2 - (x3)2

Jeżeli przeważy składowa czasowa x0 kwadrat długości | x | 2 > 0 - wektor taki nazywamy czasopodobnym. Jednak w czasoprzestrzeni Minkowskiego kwadrat długości może być | x | 2 < 0 - wektor nazywamy przestrzennopodobnym - gdy przeważy składowa przestrzenna. Przestrzeń Minkowskiego nie jest dobrze zdefiniowaną przestrzenią metryczną. Zbiór punktów dla których kwadrat długości

| x | 2 = (x0)2 - (x1)2 - (x2)2 - (x3)2 = 0

nazywamy stożkiem świetlnym. Jest to niespełnienie warunku 3 dla przestrzeni metrycznej. Zbiór ten ma jednak istotne znaczenie fizyczne. Jest to zbiór punktów w czasoprzestrzeni które można połaczyć promieniem świetlnym (x0 = ct gdzie c jest prędkością światła w próżni). Jeżeli się widzimy, to znajdujemy się w czasoprzestrzeni na stożku świetlnym, interwał czasoprzestrzenny jest równy zero pomimo tego, że w przestrzeni 3 wymiarowej dzieli nas odległość.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}+a^{\mu}

Jest to transformacja Poincarego. Zbiór takich transformacji parametryzowanych przez macierze Λ i wektor translacji a tworzy grupę przekształceń Poincarégo - grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}.

Są to macierze Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza. Grupa Lorentza jest podgrupą grupy grupę Poincarégo:

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}.

Następną podgrupą jest grupa translacji w czasoprzestrzeni

x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=x^{\mu}+a^{\mu}.

Są to ciągle grupy Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez 4 parametry rzeczywiste a grupa Lorentza przez 6 parametrów. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Neother prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Elektrodynamika_klasyczna/Mechanika_relatywistyczna”