Elektrodynamika klasyczna/Ogólne rozwiązanie równań elektrodynamiki

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Rozwiązanie równań Maxwella

\Box A^{\mu}(x)=-\mu_0 J^{\nu}(x)

budujemy w oparciu o funkcje Greena. Funkcja Greena równania falowego jest zdefiniowana tak by spełniała równanie

\Box G(x)=- \delta^{(4)}(x)

gdzie δ jest czterowymiarową deltą Diraca. Funkcja delta Diraca δ(x-x') (w uproszczonym zapisie) działając na dowolną funkcję f(x) daje wartość tej funkcji w punkcie x':

f(x')=\int d^{4}x \delta^{(4)}(x-x') f(x).

Dzięki tej własności, dowolne rozwiązanie równania Maxwella można przedstawić jako

A^{\mu}=\mu_0 \int d^{4}x' G(x-x') J^{\mu}+A^{\mu}_{0}(x)

gdzie ostatni wyraz w tym równaniu jest rozwiązaniem równania jednorodnego

\Box A^{\mu}_{0}(x)=0.

Rozwiązanie jednorodne jest rozwiązaniem równań Maxwella w próżni i opisuje np. fale elektromagnetyczna. Funkcji Greena poszukiwać będziemy jako transformaty Fouriera

G(x)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int d^{4}x e^{-ikx}G(k)

We wszystkich wzorach z oznacza punkt w czasoprzestrzeni Minkowskiego o współrzednych xμ a kx jest skróconym zapisem iloczynu skalarnego: kx=kμxμ określonego za pośrednictwem tensora metrycznego gμν (kμ=gμνkν). Transformata delty Diraca ma postać

\delta^{(4)}(x)=\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^{4}x e^{-ikx}

pozwala to zamienić równanie różniczkowe jakie spełnia funkcja Greena na równanie algebraiczne którego rozwiązanie jest natychmiastowe

G(k)=-\frac{1}{(2\pi)^2} \frac{1}{k_{\mu} k^{\mu}}.

Formalnie więc funkcja Greena ma postać całkową:

G(x)=-\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^{4}x \frac{e^{-ikx}}{k_{\mu} k^{\mu}}

Mianownik w tej całce jest równy:

\frac{1}{k_{\mu} k^{\mu}}=\frac{1}{k_0^2-\mathbf{k}^2}=-\frac{1}{2k}(\frac{1}{k_0+k}-\frac{1}{k_0-k})

gdzie k jest długością trójwymiarowego wektora k (k2=k k). Niestety dla k0=k lub -k otrzymujemy osobliwość i całka w formalnym rozwiązaniu na funkcje Greena jest nieskończona. Należy zastosować odpowiednią procedurę regularyzacji (usuwania nieskończoności).


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Elektrodynamika_klasyczna/Og%C3%B3lne_rozwi%C4%85zanie_r%C3%B3wna%C5%84_elektrodynamiki”