Elektrodynamika klasyczna/Prawa zachowania dla pola elektromagnetycznego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Prawo zachowania ładunku

Źródłem pola elektomagnetycznego jest rozkład ładunku ρ(x) i płynący prąd \vec{J}. Z wielkości tych zbudować można czterowektor prądu Jμ = {J0 = cρ,Ji}. Równanie ciągłości

div(\vec{J})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0

w wersji relatywistycznej ma prostą i elegancką postać

\partial_{\mu}J^{\mu}=0

Równanie to wyraża prawo zachowania ładunku elektrycznego. Jeżeli przez obszar o objetości V ograniczony powierzchnia S (n jest wektorem prostopadłym do powierzchni S) nie wypływa prąd elektryczny (J n =0) to zachowany jest całkowity ładunek elktryczny

Q = \int d^{3}x \rho(x)


[edytuj] Energia, pęd i moment pędu

Siła Lorentza

\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})

wykonuje pracę \mathbf{F}d\mathbf{l}=q(\mathbf{E}\mathbf{v})dt. Stąd praca wykonana przez pole elektromagnetyczne w objętości V w jednostce czasu jest równa:

\frac{dW}{dt}= \int d^3x (\mathbf{E}\mathbf{j})

gdzie płynący prąd j = q v. Korzystając z równań Maxwella moc promieniowania można zapisać w następującej postaci:

\frac{dW}{dt}= \int d^3x (-\frac{\partial \epsilon}{\partial t}-div(\textbf{S}))

gdzie

\epsilon=\frac{1}{2}(\textbf{E}\textbf{D}+\textbf{H}\textbf{B} )

jest gestością energii pola elektromagnetycznego, a

S=(\textbf{E}\times \textbf{H})

nazywany wektorem Pointinga. Prawo zachowania

\frac{dW}{dt}=0

oznacza spełnienie równania ciągłości \frac{\partial \epsilon}{\partial t}+div(\textbf{S})=0. Wypływający prąd J=S można interpretować jako wypływający strumień energii. Równanie ciągłości w wersji relatywistycznej zapisać można podobnie jak to było dla prawa zachowania ładunku

\partial_{\mu}J^{\mu}=0

z J0=cε. Wektor Pointinga związany jest z gęstościa pędu który niesie samo pole elektromagnetyczne.

\pi_{el}=\epsilon_0 \mu_0 \textbf{S}

Samo pole elektromagnetyczne niesie energię , pęd i moment pędu:

E_{el}=\int d^3r \epsilon_{el} \ \ \ P_{el}=\int d^3r \pi_{el}\ \ \ L_{el}=\int d^3r \lambda_{el}

gdzie

\epsilon_{el}=\frac{1}{2} (\mathbf{E}\mathbf{D}+\mathbf{B}\mathbf{H})

jest gęstością energii pola elektromagnetycznego a

\pi_{el}= (\mathbf{D} \times \mathbf{B})=\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{S}

jest gęstością pędu pola elektromagnetycznego (\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H} jest wektorem Pointinga). Gęstość momentu pędu pola elektromagnetycznego to: \lambda_{el}=\mathbf{r}\times \mathbf{\pi_{el}}. Wzory te nie są prawdziwe dla małych porcji pola elektromagnetyczego (efekt fotoelektryczny) co doprowadziło do powstania mechaniki kwantowej.

[edytuj] Tensor energii-pędu

Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Elektrodynamika_klasyczna/Prawa_zachowania_dla_pola_elektromagnetycznego”