Elektrodynamika klasyczna/Równania Maxwella

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Pola w elektrodynamice
2 Pola elektryczne i magnetyczne
- 2.1 Elektrostatyka
- 2.2 Magnetostatyka
3 Równania Maxwella w układzie SI
4 Symetria cechowania
5 Relacje Maxwella

[edytuj] Pola w elektrodynamice

Dowolną funkcje położenia $\vec{x}=x^i \vec{e}_i$ i czasu t $f(\vec{x},t)$ nazywamy polem. Jeżeli f jest funkcją skalarną, pole nazywamy polem skalarnym. Jeżeli f jest wektorem $\vec{v}=v^i(\vec{x},t) \vec{e}_i$ pole nazywamy polem wektorowym.

Gradient jest operacją zamieniającą pole skalarne f na pole wektorowe oznaczane grad(f)

$f(\vec{x},t) \rightarrow grad(f)=\frac{\partial f}{\partial x^{i}} \vec{e}_{i}=\partial_{i} f \vec{e}^{i}$

Dywergencja jest operacją zamieniającą pole wektorowe $\vec{A}(\vec{x},t)$ na pole skalarne div(A)

$\vec{A}(\vec{x},t) \rightarrow div(\vec{A})=\frac{\partial A^{i}}{\partial x^{i }}= \partial_i A^i$

Rotacja jest operacją zamieniającą pole wektorowe $\vec{A}(\vec{x},t)$ na inne pola pseudowektorowe $rot(A)=grad \times A$

$(rot(A))^{i}=\sum_{jk}\epsilon_{ijk}\partial_{j}A^{k}$

Symbol × oznacza iloczyn wektorowy dwóch wektorów.

[edytuj] Pola elektryczne i magnetyczne

[edytuj] Elektrostatyka

Elektrostatykę opisują dwa pola: pole E(x,t) i D(x,t) związane z sobą relacją

$\vec{D}(\vec{x},t)=\epsilon \epsilon_0 \vec{E}(\vec{x},t)$

Zródłem tych pól jest rozkład ładunku ρ(x,t). Równanie elektrostatyki to:

div(D) = ρ(x,t)

Równanie to można uprościć podstawiając:

E=-grad(φ)

φ nazywamy potencjałem skalarnym. Operator Laplace'a definiujemy jako

Δ= div(grad)

Operator ten w jawnej postaci ma postać

$\Delta=\sum_i \frac{\partial^2}{\partial (x^{i})^2}$

Równanie elektrostatyki przyjmuje teraz postać równania Laplace'a

$\Delta \phi = -\frac{1}{\epsilon \epsilon_0}\rho(\vec{x})$

[edytuj] Magnetostatyka

Magnetostatykę opisują dwa pola: pole H(x,t) i B(x,t) związane z sobą relacją

$\vec{B}(\vec{x},t)=\mu \mu_0 \vec{H}(\vec{x},t)$

Zródłem tych pól jest płynący prąd j(x,t). Równanie magnetostatyki to:

rot(H) = j

Równanie to można uprościć podstawiając:

B=rot(A)

A nazywamy potencjałem wektorowym. Dzięki własnościom iloczynu wektorowego zachodzi tożsamość

rot(rot(A))=-ΔA +grad(div(A)) równanie magnetostatyki przyjmuje postać

$\Delta \vec{A}=-\mu \mu_0 \vec{j}+grad(div(\vec{A}))$

Gdy narzuci się warunek cechowania

div(A)=0

równanie magnetostatyki daje równanie Laplace'a

$\Delta \vec{A} = -\mu \mu_{0}\vec{j}$

.

Warunek div(A)=0 nazywany cechowaniem Coulomba narzucić można dzięki dodatkowej symetrii cechowania, która istnieje w elektrodynamice. Symetria ta zostanie zdefiniowana nieco później.

[edytuj] Równania Maxwella w układzie SI

Pełny układ równań Maxwella:

$rot(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ $rot(\vec{H}) = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}+\vec{j}$ $div(\vec{B})=0$ $div(\vec{D})=\rho$

Równania Maxwella daje się zredukować realnie do dwóch równań. Wygodnie jest wprowadzić dwa potencjały: potencjał skalarny φ i potencjał wektorowy A:

$E=-\frac{\partial}{\partial t}\vec{A} -grad(\phi)$ $\vec{B}=rot(\vec{A})$

Po takim podstawieniu dwa równania Maxwella spełnione są tożsamościowo. Są to równania:

$rot(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

i div(B)=0. Pozostałe równania, to

$\Delta \phi + \frac{\partial}{\partial t}(div(\vec{A}))=-\frac{1}{\epsilon \epsilon_0}\rho$

oraz

$\Delta \vec{A}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}=grad(div(\vec{A})+\frac{1}{v^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}) - \mu \mu_0 \vec{j}$

gdzie

$v=\frac{1}{\sqrt{\mu \mu_0 \epsilon \epsilon_0}}$

jest wielkością fizyczną o wymiarze prędkości (m/s). W próżni wielkość tą oznaczać będziemy przez c :

$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$

[edytuj] Symetria cechowania

Równania Maxwella są niezmiennicze ze względu na transformację cechowania:

$\vec{A} \rightarrow \vec{A}'= \vec{A} -grad(f)$

$\phi \rightarrow \phi'=\phi+\frac{\partial f}{\partial t}$

Zarówno pole elektryczne E jak i magnetyczne B są niezmiennicze ze względu na tą transformację. Potencjały wektorowe A i skalarne φ nie mają więc sensu fizycznego w elektrodynamice klasycznej. Istnieje cała klasa potencjałów które odpowiadają tej samej wartości pola elektrycznego E jak i magnetycznego B. Dlatego można narzucić dodatkowe warunki upraszczające. Bardzo wygodnie jest przyjąć warunek nazywany cechowaniem Lorentza:

$div(\vec{A})+\frac{1}{v^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}=0$

Równania Maxwella upraszczają się znacznie do postaci:

$\Delta \phi-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=-\frac{1}{\epsilon \epsilon_0}\rho$

$\Delta \vec{A}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}= - \mu \mu_0 \vec{j}$

[edytuj] Relacje Maxwella

$-\left(\frac{dp}{dS}\right)_{T}=\left(\frac{dT}{dV}\right)_{S}$

$\left(\frac{dp}{dT}\right)_{V}=\left(\frac{dS}{dV}\right)_{T}$
$\left(\frac{dV}{dT}\right)_{p}=-\left(\frac{dS}{dp}\right)_{T}$
$\left(\frac{dT}{dp}\right)_{S}=\left(\frac{dV}{dS}\right)_{p}$