Elektrodynamika klasyczna/Relatywistyczny opis pola elektromagnetycznego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Relatywistyczny zapis równań Maxwella

Źródłem pola elektomagnetycznego jest rozkład ładunku ρ(x) i płynący prąd $\vec{J}$ . Z wielkości tych zbudować można czterowektor prądu $J μ = {J 0 = c ρ, J i}$ . Równanie ciągłości

$div(\vec{J})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

w wersji relatywistycznej ma prostą i elegancką postać

$\partial_{\mu}J^{\mu}=0$

Równanie to wyraża prawo zachowania ładunku elektrycznego. W podobny sposób zbudować można czteropetencjał $A μ = {A 0 = φ / c, - A i}$ . Wskaźniki wektorów obniżać i podwyższać będziemy za pośrednictwem tensora metrycznego $g μν$ i odwrotnego tensora metrycznego $g μν$ według zasady:

A μ = g μν A ν

A μ = g μν A ν

Potencjały wektorowe A_{μ _{definiują jednoformę różniczkową pola cechowania}}

_{$A = A μ d x μ$}

Różniczka tej formy dA=F=d(A_μ)^dx^μ=1/2 F^μν dx^μ^dx^ν definiuje następnie tensor naprężeń pola elektromagnetycznego:

$F_{\mu \nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$

Można jawnie wyliczyć wszystkie składowe tensora naprężeń:

$F^{\mu \nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}= \begin{pmatrix}0&-\frac{1}{c}E^1&-\frac{1}{c}E^2&-\frac{1}{c}E^3\\ &0&-B^2&B^3\\&&0&-B^1\\&&&0\end{pmatrix}$

Równania Maxwella w tym zapisie przyjmują bardzo zwartą elegancka formę

$\partial_{\mu}F^{\mu \nu}=\mu_0 J^{\nu}$