Fizyka dla liceum/Ruch po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu

Ciało porusza się ruchem jednostajnym oraz torem tego ruchu jest okrąg.

Definicja - Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu jest przypadkiem ruchu krzywoliniowego, którego wartość prędkości nie ulega zmianie. W ruchu występuje siła dośrodkowa, która powoduje powstanie przyspieszenia dośrodkowego(normalnego), które powoduje zmianę kierunku wektora prędkości.

Przykład - Ruchy po okręgu

Najprostsze przykłady tego ruchu spotykane w życiu codziennym: Ruch jakiegoś punktu na Ziemi, Ruch satelity wokół Ziemi, Ruch dziecka na karuzeli.

Jedną z cech tego ruchu jest wielkość zwana okresem T. Jest to czas, w ciągu którego ciało pokonuje całą długość toru - czyli obwód koła. Oznacza to, że po czasie T ciało wraca do 'punktu wyjścia'.

Czas jednego obrotu, czyli okres, możemy zamienić na inną wielkość - częstotliwość. Jest to liczba obrotów wykonanych w ciągu jednostki czasu. Przykładowo, wał w silniku może wykonywać 3000 obrotów na minutę. Oznaczana jako f lub $\nu \,$.

częstotliwość   $f\,={\frac {1}{T}}\;\;[{\mbox{Hz}}]=\left[{\frac {1}{s}}\right]\qquad -$ zależność między częstotliwością i okresem, jednostka Herc.

Prędkość takiego ciała obliczamy jak w ruchu jednostajnym. Wiemy, że drogę s równą obwodowi koła pokonuje w czasie równym okresowi, podstawmy te dane do wzoru.

wartość prędkości liniowej (szybkość)   $v={\frac {2\pi r}{T}}$

wektor  ${\vec {v}}$   jest styczny do okręgu.

Prędkość liniowa jest zawsze skierowana stycznie do okręgu - co oznacza, że zwrot prędkości podczas ruchu cały czas się zmienia, cały czas jest styczne do okręgu, przez co ciało 'zakreśla' okrąg. Jednak co wpływa na to, że prędkość liniowa jest cały czas styczna do okręgu ruchu? Przyczyną tego jest przyspieszenie dośrodkowe, które omówione zostanie dalej.

Szybkość możemy wyrazić również w inny sposób, przy pomocy kąta, jaki zakreśliło ciało poruszając się po okręgu w danym czasie. Jeśli punkt początkowy i końcowy ruchu połączymy liniami z środkiem okręgu, to linie te utworzą właśnie zakreślony przez ciało kąt $\alpha \,$.

szybkość kątowa   $\omega \,={\frac {\alpha }{t}}\qquad \left[{\frac {rad}{s}}\right]{\mbox{lub}}\left[{\frac {1}{s}}\right]$

Przykład

Satelita znajduje się w odległości 40000 km od środka Ziemi, zawsze nad tym samym punktem Ziemi (porusza się 'równo' z planetą). Opiszmy ten ruch:

1. okres   $T\,=24\,h=24\cdot 3600\,s=86400\,s\qquad -$ w takim czasie satelita wykona pełny obrót wokół Ziemi

2. częstotliwość   $f\,={\frac {1}{T}}={\frac {1}{86400}}\,{\mbox{Hz}}$

Przebytą drogę obliczymy licząc obwód okręgu: $2\pi r\,$,    gdzie r to promień okręgu. Promieniem jest odległość satelity od środkowego punktu (środka Ziemi), dokładnie taki wymiar mamy podany w zadaniu.

3. szybkość liniowa (v=s/t):   $v\,={\frac {2\pi r}{T}}={\frac {2\pi \cdot 40000000}{86400}}\,\left[{\frac {m}{s}}\right]\qquad -$ ze zmianą jednostek

Aby policzyć prędkość kątową, skorzystajmy z faktu, że satelita przebędzie całą drogę w czasie równym okresowi T (wynika to z definicji okresu). Zakreśli przy tym kąt pełny, czyli 360^o = $2\pi \,$.

4. szybkość kątowa   $\omega \,={\frac {\alpha }{t}}={\frac {2\pi }{86400}}\quad \left[{\frac {rad}{s}}\right]$

Warto wiedzieć, jak można obliczyć kąt, który zakreśla ciało. Jest to stosunek łuku s (łuk to droga, którą przebywa ciało) do promienia r:

$\alpha ={\frac {s}{r}}\qquad -$ s to zakreślony łuk

Dzięki temu możemy zapisać zależność między prędkością kątową a prędkością liniową

mając $\alpha ={\frac {s}{r}}\;i\;\omega \,={\frac {\alpha }{t}}$   otrzymujemy zależność $\omega ={\frac {s}{tr}}$

szybkość kątowa a liniowa: $\omega ={\frac {v}{r}}$

Przyspieszenie dośrodkowe

Aby ciało mogło poruszać się po okręgu musi na nie działać siła, która będzie przeciwstawiać się bezwładności ciała ("chęci do utrzymania kierunku ruchu"). Siłę tą na przykład rzucający młotem lekkoatleta przykłada do młota poprzez rączkę i linkę. Wywierają ją również pasy samochodowe na pasażerów na zakręcie. Siła ta musi być skierowana do środka okręgu po którym porusza się ciało, a jej wartość (potrzebna do utrzymania ciała w zakręcie) jest zależna od prędkości i promienia okręgu; im szybciej lekkoatleta obraca młotem tym mocniej musi go trzymać. Siła ta nazywana jest siłą dośrodkową.

Siła dośrodkowa (więcej o siłach w dalszych częściach podręcznika) to siła, która nadaje ciału przyspieszenie dośrodkowe. Przyspieszenie to zmienia kierunek wektora prędkości, przy czym nie zmienia jego wartości.

Siłę tę można policzyć, $F={\frac {mv^{2}}{r}}$,   gdzie: m - masa ciała, v - wartość prędkości liniowej (szybkość), r - promień okręgu (toru ruchu). Siła ta jest skierowana do środka okręgu.

Przyspieszenie dośrodkowe a_r jest skutkiem działania siły dośrodkowej. Można je policzyć ze wzoru zawierającego szybkość liniową i promień okręgu:

$a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}$

Skierowane jest również do środka okręgu. Jak już zostało wspomniane, przyspieszenie to powoduje zmianę kierunku wektora prędkości, tak by był cały czas styczny do toru ruchu, skutkiem czego ciało porusza się właśnie ruchem po okręgu. Nie zmienia wartości prędkości ciała, stąd ruch jest jednostajny.

Podsumowanie

• ciało porusza się ruchem jednostajnym krzywoliniowym po okręgu o promieniu $r$
• okres $T$ to odwrotność częstotliwości $f\,$
• wartość prędkości liniowej v (jak w ruchu jednostajnym) jest równa drodze podzielonej przez czas. W szczególnym przypadku drogą może być obwód koła $2\pi r$, wówczas czas jest równy okresowi ($v={\frac {2\pi r}{T}}$)
• ciało po pewnym czasie zakreśla kąt $\alpha \,$, który można policzyć przez podzielenie przebytego łuku przez promień okręgu ($\alpha ={\frac {l}{r}}\,$)
• szybkość kątowa $\omega \,$ jest równa zakreślonemu kątowi podzielonemu przez czas, w jakim został zakreślony. W szczególności, kąt pełny zakreślony jest w czasie równym okresowi ($\omega ={\frac {2\pi }{T}}$)
• przyspieszenie dośrodkowe a_r równe jest kwadratowi wartości prędkości podzielonemu przez promień; po podstawieniach można uzyskać inne wzory ($a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}$)
• wektor przyspieszenia (${\vec {a}}$) skierowany jest prostopadle do toru ruchu (okręgu), czyli do środka okręgu; wektor prędkości (${\vec {v}}$) skierowany jest stycznie do okręgu