Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Ruch przyspieszony

[edytuj] Ruch przyspieszony

[edytuj] Wprowadzenie

Zaczniemy od opisania ruchu startującego samolotu. Prześledźmy sytuację: na początku samolot spoczywa, po pierwszej sekundzie może mieć prędkość 1m/s, w drugiej osiągnie 2m/s, w trzeciej prędkość będzie równa 3m/s. Po minucie może poruszać się z prędkością np. 60m/s.

Nie wygląda to na ruch ze stałą prędkością. Mimo to, opisanie go nie stanowi dla nas problemu - wystarczy przyjąć nową wielkość, którą jest przyspieszenie, symbol a. Określać będzie, jak zmienia się prędkość. Jeśli w ruchu występuje przyspieszenie, wówczas prędkość v zmienia się w każdej sekundzie o wartość a. Dzieląc prędkość, którą uzyskało ciało, przez długość trwania ruchu, otrzymamy przyspieszenie: $a=\frac{v}{t}\,$ .

Oczywiście, nie weźmiemy przypadkowej prędkości - interesuje nas zmiana prędkości w odpowiednim przedziale czasu. Przekładając to na 'wzory', otrzymamy:

$a=\frac{_{\Delta}v}{t}$

Przykład
Pociąg jadący z prędkością 10m/s przez 60 sekund przyspieszał tak, że osiągnął prędkość 25m/s. Jak jego przyspieszenie ma się do przyspieszenia samochodu, który od 0 do 100km/h rozpędzi się w 14 sekund?

Opiszmy pociąg:

zmiana prędkości oraz czas: $_{\Delta}v=25-10=15 \,m/s, \qquad t = 60 \,s$

obliczmy przyspieszenie: $a = \frac{15}{60}= 0,25$

Z jaką jednostką podamy wynik? Według działań: prędkość m/s dzieli się przez s, z tego też otrzymujemy: $\frac{m}{s^2}$ .

Opiszmy samochód:

zmiana prędkości: $_{\Delta}v_s = 100 \mbox{km/h} \,= 27,7 m/s \qquad -$ interesują nas tylko [m/s]

czas: $t_s \,= 14 s$

przyspieszenie: $a_s = \frac{27,7}{14} = 1,98 \; \frac{m}{s^2}$

Przyspieszenie pociągu wynosiło 0,25, w przypadku samochodu wynosiło około 2. Widać wyraźnie, że samochód przyspieszał znacznie (8 krotnie) szybciej niż pociąg.

Definicja - Ruch jednostajnie przyspieszony, prostoliniowy

Ruch, którego torem jest linia prosta, prędkość rośnie, a przyrost prędkości jest taki sam w każdej sekundzie ruchu.

tor jest linią prostą,
prędkość rośnie o stałą wartość przyspieszenia w każdej sekundzie ruchu.

[edytuj] Przyspieszenie

Przy opisie ruchu podajemy przyspieszenie - jednak nie wpływa ono bezpośrednio na ruch - określa, jak zmienia się prędkość. Jest wektorem, podobnie jak prędkość. Zawiera więc dodatkowe informacje - kierunek, zwrot. Jeśli zgadzają się z wektorem prędkości, wówczas prędkość rośnie.

Jednak zwrot przyspieszenia może być inny, jeśli jest przeciwny niż prędkość - zmniejsza ją, czyli hamuje. Żeby rozróżnić ten ruch, nazywamy go ruchem opóźnionym.

Wzór - postać wektorowa oraz wykres.

przyspieszenie: $\vec a =\frac{_{\Delta} \vec v}{t} \qquad \left [\frac{m}{s^2} \right ]$

Przyspieszenie jest stałe (a = const).

Prędkość
Jeżeli ciało poruszało się przez pewien czas z przyspieszeniem a, znajdziemy jego prędkość. Skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie i przekształcimy go na wzór opisujący prędkość (zakładamy, że przed ruchem prędkość była 0):

prędkość: $\vec v =\vec a \cdot _{\Delta}t \qquad v = at$

Fragment wykresu prędkości od czasu, v rośnie proporcjonalnie do t.

Droga
W ruchu pojawiło się przyspieszenie, a prędkość stale rośnie - jak to wpływa na przebytą drogę? Wyobraźmy sobie - w pierwszej sekundzie prędkość wynosi 1m/s. Jednak po 5 sekundach może wzrosnąć do 10m/s. Oznacza to, że po pewnym czasie (gdy prędkość wzrośnie) przez 1 sekundę pokonamy więcej drogi niż poprzednio (przy małej prędkości). Musimy zapomnieć o wzorze z ruchu jednostajnego, nie potrafi on opisać tego ruchu. Okazuje się, że droga rośnie kwadratowo względem czasu, wzór:

droga: $s= \frac{a\cdot t^2}{2}$

Przy odrobinie wysiłku, możemy ten wzór obliczyć, robią to również studenci, ale zrezygnujemy z tego.

Czasami opisujemy ruch, w którym ciało zaczyna z pewną prędkością początkową, dodatkowo znajdując się w pewnej odległości od miejsca, od którego mierzymy drogę. Dane te można uwzględnić we wzorze, tzn. zsumujemy drogę początkową, wpływ prędkości początkowej oraz dotychczasowy wzór na drogę:

$s = s_0+v_0t+\frac{a t^2}{2}$

przebyta droga = droga początk. + wpływ prędkości początk. + droga przebyta 'z przyspieszenia'

Droga rośnie 'kwadratowo' względem czasu.

[edytuj] Ruch opóźniony

Mówimy, że ruch jest opóźniony, gdy przyspieszenie skierowane jest przeciwnie niż prędkość. Prędkość początkowa v₀ maleje, jest zmniejszana z powodu przyspieszenia. Wektor jest przeciwnie skierowany, a wiemy, że dodanie przeciwnego wektora wiąże się z postawieniem przy nim minusa:

$\vec v = \vec v_0 + \vec a \cdot _{\Delta}t \qquad -$ w tym miejscu występuje dodawanie przeciwnych wektorów $\vec v_0 \;\; \mbox{i} \;\; \vec a$

bez wektorów:

$v = v_0 + (-a)\cdot t \qquad - \,\vec a$ jest przeciwne do ruchu, co skutkuje minusem

podobne rozumowanie dla wzoru na drogę:

$s= v_0t + \frac{-a\cdot t^2}{2}$

Nie stworzyliśmy nowych wzorów, a jedynie wprowadziliśmy poprawkę do poprzednich (w ruchu opóźnionym przyspieszenie jest przeciwnie skierowane, dlatego wstawiamy minus; dodatkowo zawsze występuje prędkość początkowa).

Ciało osiąga prędkość równą zero (zatrzymuje się) po czasie t_k, tzn. w chwili końca ruchu.

Czas zatrzymania się
Ciało z przyspieszeniem przeciwnym do kierunku ruchu zaczyna zwalniać, do momentu zatrzymania. Jeśli interesuje nas, kiedy ciało się zatrzyma, wystarczy że przekształcimy wzór na prędkość (uwzględniając, że w takiej chwili zatrzymane ciało ma prędkość v=0):

$v=0 \;\;\; \mbox{oraz} \;\;\; v=v_0 - at$

$0 = v_0-a t_k \quad \Rightarrow \quad v_0 = a t_k \quad \Rightarrow \quad t_k = \frac{v_0}{a}$

[edytuj] Dodatkowe wzory

Jeśli ze wzoru

$v = v_{0} + at\,$

wyznaczymy t i podstawimy do czasu w równaniu

$s = v_0t+\frac{a t^2}{2}$ ,

to po przekształceniach otrzymamy tak zwane równanie bez czasu:

$v^{2} - v_{0}^{2} = 2as$

Wzór ten znajduje zastosowanie w obu ruchach - przyspieszonym i opóźnionym. W ruchu opóźnionym prędkość końcowa jest mniejsza od początkowej, co sprawi, że lewa strona równania będzie ujemna (tym samym również prawa), co oznacza, że z prawej strony ujemne będzie przyspieszenie, a więc ruch będzie opóźniony.

Wzór ten możemy wykorzystać do wyprowadzenia kolejnego. Wyznaczmy więc s:

$s\, =\frac {v^{2} - v_{0}^{2}}{2a}$

Jest on prawdziwy dla ruchu przyspieszonego z prędkością początkową. W ruchu przyspieszonym bez prędkości początkowej ( $v_{0}\,=0$ ) wzór przyjmuje postać:

$s\, =\frac {v^{2}}{2a}$

W ruchu opóźnionym, gdy prędkość końcowa równa jest zero (tym razem $v\,=0$ ) wzór również przyjmuje postać:

$s\, =\frac {v^{2}}{2a}$

(dla uproszczenia zamiast $v 0$ piszemy po prostu $v$ ).

[edytuj] Zadania

Zad. 1 (przyspieszenie) Pocisk wystrzelony z karabinu porusza się z przyspieszeniem 500 km/s² oraz prędkością początkową 800m/s. Oblicz, jaką przebędzie odległość w ciągu 0,1 sekundy.

dane

$v_0 = 800 \,m/s \,$