Fizyka matematyczna/Fizyka statystyczna/Statystyki w fizyce kwantowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Fizyka matematyczna | Fizyka statystyczna

Statystyka w fizyce kwantowej dla cząstek - Każda cząstka podlega pewnemu rozkładowi statystycznemu, tak samo jak fermiony i bozony. Dla fermionów w jednym stanie kwantowym może znajdować się conaj wyżej tylko jedna cząstka. Dla bozonów liczba tych cząstek może być bardzo duża.

Spis treści

1 Obliczanie sumy statystycznej
2 Wielka suma statystyczna dla fermionów i bozonów
3 Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina
4 Parastatystyki

[edytuj] Obliczanie sumy statystycznej

Obliczmy teraz w sposób ogólny wielką sumę statystyczną dla wielkiego zespołu statystycznego według (17.3)(dla zespoły dyskretnego suma za wzorem na prawdopodobieństwo dyskretne) w fizyce kwantowej, gdy mamy skwantowane poziomy energii i w danej objętości może się znajdować się różna ilość cząstek, tą sumę liczymy według następującego wzoru:.

$Q=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\alpha}e^{-\beta(E_{\alpha}-\mu N)}$

(20.1)

Całkowita energia układu cząstek i ich liczba cząstek jest napisana w zależności od energii danej cząstki i ich liczby jakie mogą się one znajdować na pozomie "i"-tej.

$E_{\alpha}=\sum^l_{k=1} n_k\epsilon_k\;$

(20.2)

$N=\sum^l_{k=1} n_k\;$

(20.3)

Wtedy wielką sumę statystyczną napiszmy liczoną wychodząc od wzoru(20.1) ze zmiankami na całkowitą energię (20.2) i liczbę cząstek w układzie (20.2) wedle następującego sposobu:

$Q=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\{n_{k_i}\}}e^{-\sum_{n_{k_i}}\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)n_{k_i}} =\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{N=\sum k_i}\prod_{k_i}e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)n_{k_i}}=$
$=\sum_{n_{k_1}}\sum_{n_{k_2}}...\sum_{n_{k_i}}e^{-\beta(\epsilon_{k_1}-\mu)n_{k_1}}e^{-\beta(\epsilon_{k_2}-\mu)n_{k_2}}\cdot...\cdot e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)n_{k_i}}= \prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}]^{n_{k_i}}$

(20.4)

Doszliśmy do wniosku, z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (20.4) wielka suma statystyczna jest napisana następującym wzorem:

$Q=\prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}]^{n_{k_i}}$

(20.5)

[edytuj] Wielka suma statystyczna dla fermionów i bozonów

Korzystając ze wniosku z poprzedniego rozdziału ze wzoru na wielką sumę statystyczną wielkiego zespołu kanonicznego wedle wzoru (20.5), przy czym musimy pamiętać, że dla fermionów $n_{k_i}$ liczba cząstek jakie mogą przebiegać dla danego poziomu może przebiegać od zera do jedynki, a dla bozonów ta sama liczba przebiega od zera do nieskończoności. A więc znajdujemy ogólny wzór na wielką sumę statystyczną obejmującą te dwa przypadku cząstek wedle sposobu:

$Q=\begin{cases} \prod_{k_i}(1+e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})\mbox{ fermiony}\\ \prod_{k_i}{(1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})}^{-1}\mbox{ bozony} \end{cases}$

(20.6)

Wyrażenie na potencjał termodynamiczny napisanej wedle (17.8) przy definicji wielkiej sumy statystycznych dla fermionów i bozonów (20.6)jest wzorem napisanej następująco:

$\Omega=pV=\pm k_BT\sum_{k_i}\ln(1\pm e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})$

(20.7)

We wzorze (20.7) oczywiście górne znaki są dla fermionów a dolne dla bozonów.

[edytuj] Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina

Statystyki Fermiego-Diraca

Porównanie statystyk kwantowych

Ogólnie dla fermionów i bozonów korzystając ze wzoru (20.7) na potencjał termodynamiczny,możemy policzyć liczbę cząstek wchodzących w skład układu według (17.7), wtedy mamy:

$\overline{N}=\left({{\partial \Omega}\over{\partial \mu}}\right)_{TV}=\pm k_BT\sum_{k_i}{{\pm {{1}\over{k_BT}}e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1\pm e^{-\mu{(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}}=$
$=\sum_{k_i}{{ e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1\pm e^{-\mu{(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}} {{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}=$
$=\sum_{k_i}{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}\pm 1}}=\sum_i \overline{n}_{k_i}$

(20.8)

W powyższych obliczeniach według wzoru (20.8) wyznaczaliśmy całkowitą średnią liczbę cząstek występujących na wszystkich stanach na jakich te cząstki mogą występować. Następnie wyznaczmy całkowitą średnią energię układu jako suma energii wszystkich cząstek występujących we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią energię układu (17.4) do wyznaczenia tej energii. I dojdziemy do wniosku, że przy rozkładzie Bosego Einsteina i Fermiego-Diraca otrzymamy takie same rozkłady liczby cząstek jak przy liczeniu całkowitej średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie (co wyliczono wcześniej) jak i przy liczeniu średniej energii wszystkich cząstek, w którym podana jest średnia liczba cząstek przy energii $\epsilon_{k_i}\;$ i tych w dwóch sposobach wyznaczania omawianych rozkładów wyjdą te same rozkłady o których wspomnieliśmy. Przy czym zakładamy, że stała stojąca przy $\epsilon_{k_i}\;$ nazwijmy ją $\alpha=\beta\;$ oraz $\gamma=\beta\mu\;$ , co skorzystamy przy wyznaczaniu średniej energii układu w powyższym wyprowadzeniu przy wyznaczaniu wielkiej sumy statystycznej $Q\;$ wedle wzoru (20.6) i by potem znów skorzystać (poniżej) i napisać nasze średnie ilości cząstek w rozkładzie o danej energii, które otrzymamy poniżej.

$\overline{E}=-{{\partial}\over{\partial \alpha}}\ln Q=-{{\partial}\over{\partial \alpha}}\sum_i\ln\left(1\pm e^{-\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma}\right)=-\sum_i{{\mp\epsilon_{k_i} e^{-\alpha\epsilon_{k_i}}}\over{1\pm e^{-\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma }}}= \sum_i{{\pm\epsilon_{k_i} e^{-\alpha\epsilon_{k_i}}}\over{1\pm e^{-\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma }}}= \;$
$=\sum_i\epsilon_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma}\pm 1}}=\sum_i \epsilon_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha \epsilon_{k_i}+\gamma }\pm 1}}=\sum_i\epsilon_{k_i}{{1}\over{e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}\pm 1}}=\sum_i \epsilon_{k_i}\overline{n}_{k_i}\;$

(20.9)

Ogólnie ilość fermionów lub bozonów znajdujących się w stanach o energiach $\epsilon_{k_i}\;$ napisane jest według wzoru (20.9) oraz (20.8) i ten rozkład liczby cząstek o danej energii jest następująca:

$\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} {{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}}\mbox{ fermiony}&\mbox{ (a)}\\ {{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}\mbox{ bozony}&\mbox{ (b)}\\ \end{cases}$

(20.10)

Wyznaczanie średniej liczby cząstek w rozkładzie kanonicznym wyznaczamy podobnie jak wyprowadzeniu (2.10), tylko tutaj potencjał chemiczny dla tego rozkładu na wartość zetową.

[edytuj] Parastatystyki

Wiemy, że statystyki Fermiego-Diraca, że w przypadku fermionów w danym stanie może przebywać tylko najwyżej jedna cząstka, a dla bozonów w jednym stanie może przebywać nieskończenie wielka ilość cząstek. Uogólniając przyjmijmy, że w danym stanie może przebywać najwięcej "p" cząstek. Wielka suma statystyczna policzona ogólnie (dla wszystkich przypadków) według (20.5) przebiera postać w zależności od liczby "p" wedle sposobu:

$Q=\prod_{k_i}\sum^p_{n=0}[e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}]^n$

(20.11)

Korzystając z twierdzenia o sumie ciągu geometrycznego występującego pod iloczynem dla welkiej sumy statystycznej (20.11), którego n przebiega od n=0 do n=p, a tych wszystkich składników jest ich "n" wyrazów, w tejże sumie.

$Q=\prod_{k_i}{{1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}$

(20.12)

Potencjał termodynamiczny napisanej według wzoru (17.8) przyjmuje w przypadku wielkiej sumy statystycznej (20.12) następującą postać:

$\Omega=k_BT \ln Q=k_BT\sum_{k_i}\ln{{1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}$
$=k_BT \sum_{k_i}\ln({1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}})-\ln(1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})$

(20.13)

Policzmy teraz średnią liczbę cząstek $\overline{N}$ znajdujących się w tym układzie statystycznym według wielkiego zespołu kanonicznego wedłe wzoru (17.7), żatem tą średnią możemy napisać wedle:

$\overline{N}=k_BT\sum_{k_i}\left[-{{(p+1)\beta e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{{1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}}+{{\beta e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}\right]$

(20.14)

Korzystamy z definicji $\beta\;$ według schematu napisanego w punkcie (12.26) we wzorze (20.14), wtedy ten wspomniany wzór możemy napisać następująco:

$\overline{N}=\sum_{k_i}\left\{{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}\right\}$

(20.15)

Ze wzoru (20.15) otrzymujemy, że średnia liczba cząsteczek znajdująca się wstanie o energii $\epsilon_{k_i}\;$ jest napisana wedle wzoru:

$\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}$

(20.16)

Gdy liczba "p" dąży do nieskończoności, wtedy mamy do czynienia z bozonami ,to wzór (20.16) przy tym warunku przechodzi w bardzo znany rozkład:

$\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}$

(20.17)

Zatem otrzymaliśmy statystykę Bosego-Einsteina we wzorze (20.17). Gdy maksymalna liczba cząstek jakie mogą obsadzać stan o pewnej energii wynosi jeden, czyli p=1, to wyrażenie (20.16) po krókich przekształceniach też przechodzi w bardzo znany rozkład:

$\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}-{{2}\over{e^{2\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}(1-{{2}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}})$
$={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}{{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1-2}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}}$

(20.18)

Otrzymaliśmy rozkład Fermiego-Diraca we wzorze końcowym (20.18).

Dokonajmy następującego podstawienia tak by nowy parametr był równy zero, gdy energia energia danego poziomu $\epsilon_q\;$ jest równa potencjałowi chemicznemu, zatem te nasze podstawienie wygląda następująco:

$x=(\epsilon_q-\mu)\beta\;$

(20.19)

we wzorze na średnią liczbą cząstek w stanie o energii $\epsilon_p\;$ napisanej wedle wzoru (20.16) przejdźmy w nim do granicy, gdy zmienna zdefiniowana w punkcie (20.19) dąży do wartości zerowej, czyli pisząc to matematycznie dla wspomnianego wzoru:

$\lim_{x\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\lim_{x\rightarrow 0}({{1}\over{e^x-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)x}-1}})=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-(p+1)(e^x-1)}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=$
$=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-p e^x+p-e^x+1}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{x(p+1)}-pe^x+p-e^x}\over{e^{x(p+2)}-e^x-e^{x(p+1)}+1}}$

(20.20)

Teraz stosujemy twierdzenie de-Hospitala dla powyższego wyrażenia:

$\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)e^{x(p+1)}}}$

(20.21)

I jeszcze raz stosujemy twierdzenie de-Hospitala.

$\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)^2e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)^2e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)^2e^{x(p+1)}}}$
$={{p^2+2p+1-p-1}\over{p^2+4p+4-1-p^2-2p-1}}={{p^2+p}\over{2(p+1)}}={{p(p+1)}\over{2(p+1)}}={{p}\over{2}}$

(20.22)

Oznacza to podobnie jak przy bozonach kondensacja cząstek przy energii równej potencjałowi chemicznemu przy którym z dowodu przeprowadzonego powyżej jest równa połowie liczby "p", czyli równej ${{p}\over{2}}$ .

Rozpatrzmy statystykę (20.16) dla temperatury bezwzględnej dążącej do zera, wtedy ten wspomniany rozkład przechodzi w wtedy w funkcję schodkową, przy którym schodek zniża się z "p" do zera dla energii równej potencjałowi chemicznemu.

$\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q<\mu\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q>\mu \end{cases}$

(20.23)

Cząstki o tej statystyce zachowują się jak fermiony, dla T=0 funkcja ta przypomina funkcję schodkową o wysokości p. A przypadku fermionów wysokość schodka jest równa 1. Substancja zachowująca się jak ten rozkład raz zachowuje się jak kondensat Bosego-Einsteina, a za innym razem jak cząstki zwane fermionami.

« Zespoły statystyczne w fizyce statystycznej...

Spis treści

Statystyki Fermiego oraz Bosego »

Autor: Mirosław Makowiecki

Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Strona jest na licencji: GNU Free Documentation License