Fizyka matematyczna/Fizyka statystyczna/Wstęp do fenomenologicznych równań stanu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Fizyka matematyczna | Fizyka statystyczna

Fenomenologicznym równaniem stanu gazu nazywamy równanie stanu gazu wyprowadzonej empirycznie, czyli za pomocą doświadczenia i jest to równanie (1.4).

[edytuj] Definicja jednego mola

Jednym molem nazywamy taką liczność materii, w którym znajduje się atomów w 12 gramach węgla-12(izotopu węgla o liczbie masowej A=12).

Przy pomocy doświadczenia wykazano, że w jednym molu znajduje się $6.02\cdot 10^{23}$ atomów(cząsteczek), i tą wielkość dla jednego mola substancji nazywamy stałą Avogadro i oznaczamy $N_A\;$ . W literaturze stałą Avogadra piszemy następująco:

$N_A=6,02\cdot 10^{23}mol^{-1}$

(6.1)

Można przeliczyć liczbę moli $n\;$ na ilość cząsteczek $N\;$ według wzoru:

$N=N_An\;$

(6.2)

[edytuj] Objętość molowa

Objętością molwą gazu nazywamy iloraz objętości zajmowanej przez ciało przez liczbę moli cząstek znajdujących w danym badanym układzie, który można przeliczyć na liczbę cząstek według wzoru (6.2).

$V_{mol}={{V}\over{n}}$

(6.3)

Często równanie (6.3) zapisuje się następująco jako iloczyn objętości molowej równej liczbowo objętości gazu zajmowanej przez jeden mol przez liczbę moli danej substancji:

$V=V_{mol}n\;$

(6.4)

Powyższe równanie stosuje się w celu wyznaczenia objętości gazu znając jego objętość molową $V_{mol}\;$ i jego liczność "n".

[edytuj] Stała gazowa

Stałą gazową definiuje się jako iloczyn stałej Boltzmanna $k_B\;$ i stałej Avogadra przedstawiająca liczbę cząstek zajmowanej przez jeden mol danej substancji:

$R=k_BN_A\;$

(6.5)

Stała gazowa według ostatniego wzoru jest równa:

$R=k_BN_A=1,38\cdot 10^{-23}\cdot 6,02\cdot 10^{23}=8,31{{J}\over{mol\cdot K}}$

(6.6)

[edytuj] Wirialne równanie stanu gazu

Ogólnym równaniem stanu gazu rzeczywistego jest równanie zwane wirialne równaniem stanu zdefiniowanej następująco:

$pV_{mol}=RT+{{A(T)}\over{V_{mol}}}+{{B(T)}\over{V^2_{mol}}}+{{C(T)}\over{V^3_{mol}}}+...$

(6.7)

gdzie współczynniki: $A (T), B (T), C (T),...$ są to funkcję zależne od temperatury bezwzględnej $T$ , a także:

$V_{mol}\;$ jest to objętość molowa gazu.

[edytuj] Zasada ekwipartycji energii

Każdemu stopniowi swobody odpowiada energia wyrażona przez wyrażenie poniżej jest równa połowie iloczynu stałej Boltzmanna i temperatury układu jaki on posiada:

$E={{1}\over{2}}k_BT\;$

(6.8)

Ponieważ w gazie jednoatomowym jest N cząsteczek mogących się poruszać w trzech niezależnych kierunkach, wtedy liczba stopni swobody wynosi 3N, zatem całkowita energia układu jest następująca:

$U=3NE={{3}\over{2}}Nk_BT={{3}\over{2}}nRT\;$

(6.9)

Jego ciepło właściwe właściwe po policzeniu pochodnej cząstkowej (6.9) względem temperatury pod stałą objętością jest wyrażona wzorem:

$C_V=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_V={{3}\over{2}}nR\;$

(6.10)

W szczególności cząsteczki mogą być dwuatomowe, trójatomowe, oczywiście połączone (w pojedynczych cząsteczkach dla atomów) sprężynkami, które mogą być z dobrym przybliżeniem oscylatorami harmonicznymi. Dla gazu dwuatomowego mamy $3N\cdot 2-N=5N\;$ stopni swobody, a więc jego energia wewnętrzna jest następująca:

$U=5NE={{5}\over{2}}Nk_BT={{5}\over{2}}nRT\;$

(6.11)

A jego ciepło molowe pod stałym cisnieniem jest wyrażona dla dwuatomowego gazu.

$C_V={{5}\over{2}}nR\;$

(6.12)

Zasadę ekwipartycji energii można udowodnić za pomocą statystyki fizycznej.

[edytuj] Prawo Dulonga-Petita

Twierdzenie

Ciepło molowe pierwiastków w stanie stałym tworzących sieć prostą jest wielkością stałą i niezależną od właściwości substancji i jest równe:

$C_V^{mol}=3R\;$

(6.13)

Atomy w ciele stałym można założyć, że są ułożone w sieć prostą, którego każdy atom oddziaływuje z sześcioma przyjaciółmi a więc na jeden atom przypada 6 stopni swobody, ale ponieważ atomów w sieci jest N, a więc całkowita energia kryształu jest:

$U=6NE={{6}\over{2}}Nk_BT=3Nk_BT=3nRT\;$

(6.14)

Z definicji ciepła właściwego dla danej substancji pod stałą objętością (5.36) dochodzimy do wniosku, że ono jest wielkością stałą zależną od liczby moli danej substancji i jest nastepujące:

$C_V={{\partial U}\over{\partial T}}=3nR\;$

(6.15)

A więc jego ciepło molowe pod stałą objętością, którą otrzymamy dzieląc rozwiązanie (6.15) przez liczbę moli substancji, jest wielkością stałą niezależna od ilości i właściwości substancji, którego kryształy tworzą sieć prostą i jest równa: