Fizyka matematyczna/Podstawy mechaniki kwantowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Fizyka matematyczna

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przedstawimy podstawowe teorie mechaniki kwantowej będące podwalinami tejże teorii.

Spis treści

1 Zasada Huygensa
2 Dualizm korpuskularno-falowy
3 Energia kwantu energii w zależności od częstości fali
4 Efekt fotoelektryczny
5 Fale de Broglie'a
6 Ciało doskonale czarne według Plancka
- 6.1 Prawo Stefana-Boltzmanna
- 6.2 Prawo przesunięć Wiena
7 Paczki falowe w nowej teorii kwantów
8 Prędkość grupowa paczki falowej
9 Warunek Braggów a doświadczenie i fale materii

[edytuj] Zasada Huygensa

Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków.

Dyfrakcja falowa według zasady Huygensa.

Zasada Huygensa mówi, że rozchodząca się fala, która dotarła do pewnego punktu, który ten punkt jest znów źródłem nowych fal. Poszczególne fale ulegają superpozycji, czyli ich odchylenia od stanu normalnego dodają się jak dwie liczby zespolone i zapisujemy je następująco jako superpozycja dwóch fal:

$\psi=\psi_1+\psi_2\;$

(1.1)

Ogólnie jak superpozycja dowolnej liczby fal zapisujemy jako:

$\psi=\sum_{i}\psi_i\;$

(1.2)

Lub w postaci ciągłej, tzn. gdy parametr charakteryzujący poszczególne fale jest wielkością ciągłą:

$\psi(\underline{x},t)=\int \psi(\underline{x},t,\underline{k})d^n\underline{k}\;$

Jeśli rozważymy , że wektor $\vec{k}\;$ jest skalarem, a $\underline{x}\;$ jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, wtedy $\vec{r}=\underline{x}\;$ , zatem ostatnie równanie zapisujemy według:

$\psi(\vec{r},t)=\int\psi(\vec{r},t,k)dk\;$

(1.3)

[edytuj] Dualizm korpuskularno-falowy

Dualizm korpuskularno-falowy mówi , że jest to cecha obiektów fizycznych (np. światła czy elektronów) polegająca na tym, że w pewnych sytuacjach zachowują się one, jakby były cząstkami (korpuskułami), a w innych sytuacjach, jakby były falami. Przykładem są fotony, jak później się przekonamy. Jest również w mechanice kwantowej, że cząstka nie zachowuje się jak fala lub cząstka, a ma się pomiędzy nimi. Wtedy nie należy stosować ani teorię Huygensa (fala) lub mechaniki klasycznej (Newtona lub Einsteina w zależności od prędkości cząstki klasycznej), lecz w tym celu należy stosować mechanikę kwantową (klasyczną lub relatywistyczną w zależności od sytuacji jaką wartość prędkości taka cząstka przyjmuje).

[edytuj] Energia kwantu energii w zależności od częstości fali

Wiadomo, że fotony są cząstkami o charakterze korpuskularnym, zatem według teorii Plancka energia takiego fotonu zapisujemy jako funkcja jej częstości zdefiniowanej jako odwrotność jej okresu drgań, jeśli fotony przyjmniemy jako fale, zatem energia cząstki wiążąca jej charakter korpuskularny z jej charakterem falowym jest przedstawiana według definicji:

$E=h\nu\;$

(1.4)

Jeśli zdefiniujemy częstość kołową fali fotonów jako stosunek liczby $2\pi\;$ przez okres drgań omawianej fali, to wtedy jego energię w zależności od jej częstości kołowej drgań o stałej proporcjonalności równej stałej kreślonej Plancka zdefiniowanej jako $\hbar={{h}/{2\pi}}\;$ i ta energia korpuskułów będących fotonami jest ona równa:

$E=h\nu=h{{1}\over{T}}={{h}\over{2\pi}}{{2\pi}\over{T}}=\hbar\omega\;$

(1.5)

Zatem na podstawie (1.5) wiążący energią fotonu z jej częstością kołową jest przedstawiana wedle następującego sposobu:

$E=\hbar\omega\;$

(1.6)

Należy pamiętać, że wzory (1.4) (wiążących energię korpuskuły z jej częstością przy stałej proporcjonalności stałej Plancka) i (1.5) (wiążących energię korpuskuły z jej częstością kołową przy stałej proporcjonalności stałej kreślonej Plancka) są ze sobą równoważne, tylko ten pierwszy wyraża się poprzez częstość fali fotonów, a drugi przez częstość kołową fali fotonów.

[edytuj] Efekt fotoelektryczny

W efekcie fotoelektrycznym fotony trafiają na ekran o pracy wyjścia W, i wybijają z niego elektrony o prędkości v. Część energii takiego fotonu jest marnowana na pracę wyjścia elektronu z metalu, a pozostałość na energię kinetyczną wybitego obiektu, zatem korzystając ze wzoru (1.4) i z wyrażenia na klasyczną energię kinetyczną elektronu, to z zasady zachowania energii mamy wzór:

$h\nu={{mv^2}\over{2}}+W\;$

(1.7)

Energię kinetyczną rozpatrujemy według mechaniki klasycznej a nie relatywistycznej, bo energia takiego fotonu nie jest o wiele większa od energii spoczynkowej rozważanego elektronu.

[edytuj] Fale de Broglie'a

Energia fotonu w zależności od jej częstości fali fotonów jest tak jak we wzorze (1.4). Według wzoru (1.4) energia fotonu jest zależna liniowo od jego częstości fali fotonów, jeśli potraktować fotony jako fale mający pewną długość fali pędzących z prędkością fazową c, a więc mających pewną częstość. Według szczególnej teorii względności jego energia całkowita względem jej masy relatywistycznej (foton nie ma masy spoczynkowej, jego masa spoczynkowa jest równa zero), można przedstawić fotony jako cząstki pędzące z prędkością grupową c, napisanej według:

$E=mc^2\;$

(1.8)

Wzory (1.4) i (1.8) przedstawiają tą samą energię fotonu raz jako fale pędzące z prędkością fazową równą c, a za drugim razem jako cząstki pędzące z prędkością grupową c, więc możemy je przyrównać do siebie, zatem dostajemy:

$h\nu=mc^2\;$

(1.9)

Wiemy, z definicji częstości dla fotonów pędzących z prędkością światła (prędkość fazowa), można przedstawić od długości fali światła pędzących z prędkością światła:

$\nu={{1}\over{T}}={{c}\over{cT}}={{c}\over{\lambda}}\Rightarrow \nu={{c}\over{\lambda}}\;$

(1.10)

Podstawiając wzór (1.10) przedstawiający częstość fali fotonów w zależności od długości fali tegoż obiektu do (1.9), wtedy dostajemy następujące równoważne równanie:

${{hc}\over{\lambda}}=mc^2\;$

(1.11)

Skracając obustronnie równanie (1.11) przez stałą prędkości światła w próżni c , wtedy ono przyjmuje postać wiążącą długość fali fotonów w zależności o jej masy relatywistycznej:

${{h}\over{\lambda}}=mc\;$

(1.12)

Ponieważ pęd fotonu jest wyrażony według wzoru $p=mc\;$ występującą w szczególnej teorii względności dla cząstek bezmasowych, to wtedy wzór na pęd fotonu możemy wykorzystać do wzoru (1.12) podstawiając za tą wielkość, by otrzymać pęd fotonu w zależności od długości fali fotonów pędzących z prędkością światła, zatem:

${{h}\over{\lambda}}=p\;$

(1.13)

Z równania de Broglie'a (1.13) możemy wyznaczyć długość fali fotonów, która jest przedstawiana w zależności od pędu fotonów, wtedy:

$\lambda={{h}\over{p}}\;$

(1.14)

Powyższe równanie jest słuszne tylko dla fotonu (dla cząstek nie mającej masy spoczynkowej}, ale można je uogólnić dla dowolnej cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera, czyli zachodzi: $m_0\neq 0\;$ , wtedy oznaczenia dla równanie (1.14) dla dowolnej cząstki są następujące:

$p\;$ - to jest pęd relatywistyczny lub klasyczny cząstki,
$h\;$ - stała Plancka,
$\lambda\;$ - długość fal materii de Broglie dla dowolnej cząstki, jeśli potraktować cząstki masowe lub fotony jako fale o pewnej długości fali i prędkości fazowej.

Zapiszmy pęd cząstki w zależności od jej liczby falowej znając jej definicję oraz stałej kreślonej Plancka:

$p={{h}\over{\lambda}}=h{{1}\over{\lambda}}={{h}\over{2\pi}}{{2\pi}\over{\lambda}}=\hbar k\;$

(1.15)

Zatem pęd cząstki jest napisany w zależności od wartości liczby falowej przedstawianej następująco:

$p=\hbar k\;$

(1.16)

Ale wiadomo, że wektory $\vec{p}\;$ (pęd cząstki) i $\vec{k}\;$ (wektor liczby falowej) są współliniowe i mają te same zwroty), wtedy równanie (1.16) wektorowo możemy zapisać w postaci:

$\vec {p}=\hbar\vec{k}\;$

(1.17)

Oczywiste jest, że wzór skalarny (1.16) wynika ze wzoru wektorowego (1.17). Napiszmy wzór na energię kinetyczną cząstki znanego z mechaniki klasycznej przy pomocy wzoru (1.17). Z definicji energii kinetycznej wyrażonej przy pomocy pędu danej cząstki dla której jest liczona ta energia, i jeśli wektor pędu wyrazimy przy pomocy wzoru wektorowego wyznaczając kwadrat obu jego stron czyli dla równania (1.17), to wtedy jego energia w zależności od liczby falowej, jeśli poraktować cząstki jako fale materii o pewnej długości $\lambda\;$ , to zapisujemy ją w postaci:

$T={{p^2}\over{2m}}={{\hbar^2k^2}\over{2m}}\;$

(1.18)

Widzimy, że wzór na energię kinetyczną jest zależny od masy ciała i od liczby falowej, jeśli traktować cząstki jako fale de Broglie'a.

[edytuj] Ciało doskonale czarne według Plancka

Energia fotonu jest skwantowana tzn. jest zależna od całkowitego współczynnika n i częstości fotonów, jeśli potrakować je jako fale i jest przedstawia się następująco:

$E_n=nh\nu\;$

(1.19)

Energia fotonu (1.19) jest wielokrotnością energii podstawowej $E_0=h\nu\;$ , według postulatu Plancka, a ta energia fotonu jest zależna liniowo od częstości fali fotonów. Prawdopodobieństwo, że cząstka (foton) ma energię $E_n\;$ jest określona przez wzór Boltzmanna, w zależności od temperatury w jakim układ się znajduje, przy jakimś niezerowym paramerze, zatem:

$P(E_n)=A e^{-{{E_n}\over{k_BT}}}\;$

(1.20)

We wzorze (1.20) energia danego poziomu $E_n\;$ jest napisana przez równanie (1.19). Średnia energia fotonu jest opisana jako średnia energia fotonu w układzie wyrażona przy pomocy prawdopodobieństwa danego stanu o numerze n i jest określona przez wzór (1.20), zatem z definicji wartości średniej według podanego prawdopodobieństwa wyraża się on następująco:

$\overline{E}={{\sum^{\infty}_{n=0} E_n e^{-{{E_n}\over{k_BT}}}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-{{E_n}\over{k_BT}}}}}={{\sum^{\infty}_{n=0} n E_0 e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}}=k_BT{{\sum^{\infty}_{n=0} n {{E_0}\over{k_BT}} e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}}\;$

(1.21)

gdzie:

$E_0=h\nu\;$ , bo $E=nE_0\;$

Obierzmy wielkość, która zależy od temperatury układu i energii podstawowej stanu podstawowego (n=1) zależąca tylko od częstości fali fotonów w jakim może znajdować się bezmasowy foton:

$x_0={{E_0}\over{k_BT}}\;$

(1.22)

Średnia energia fononu w układzie napisanej wedle (1.21) z naszym podstawieniem (1.22) zależnej od temperatury układu i jego stanu podstawowego $E_0\;$ , zależnej znów od częstości fotonu znajdujących się w naszym rozważanym układzie jest napisana wzorem:

$\overline{E}=k_BT{{\sum^{\infty}_{n=0} n x_0 e^{-nx_0}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-nx_0}}}\;$

(1.23)

Wiadomo z analizy matematycznej, że zachodzi następująca tożsamość wynikająca z własności szeregu potęgowego, bo eksponens $e^{-nx_0}\;$ tworzy pewnego rodzaju szereg potęgowy o ilorazie $e^{-x_0}\;$ :

$\sum^{\infty}_{n=0}e^{-nx_0}=\lim_{n\rightarrow \infty}{{1-e^{(n+1)n}}\over{1-e^{-x_0}}}={{1}\over{1-e^{-x_0}}}\;$

(1.24)

Tożsamość (1.24) możemy wykorzystać do policzenia mianownika wyrażenia (1.23). Zróżniczkujemy obustronnie równanie (1.24) względem $x_0\;$ , wtedy dostajemy tożsamość:

$\sum^{\infty}_{n=0}-ne^{-nx_0}=-{{-(-e^{-x_0})}\over{(1-e^{-x_0})^2}} \Rightarrow\sum^{\infty}_{n=0}ne^{-nx_0}=\;$
$={{e^{-x_0}}\over{(1-e^{-x_0})^2}} \Rightarrow\sum^{\infty}_{n=0}nx_0e^{-nx0}=x_0{{e^{-x_0}}\over{(1-e^{-x_0})^2}}\;$

(1.25)

Tożsamość (1.25) możemy użyć do policzenia licznika równania (1.23). Po podstawieniu tożsamości (1.25) i (1.24) do wzoru (1.23) oraz wykorzystując podstawienie (1.22) dostajemy wzór na średnią energię fotonu o danej częstości w układzie:

$\overline{E}=k_BT{{x_0{{e^{-x_0}}\over{(1-e^{-x_0})^2}}}\over{{{1}\over{1-e^{-x_0}}}}}=k_BTx_0{{e^{-x_0}}\over{1-e^{-x_0}}}{{e^{x_0}}\over{e^{x_0}}}=k_BT x_0{{1}\over{e^{x_0}-1}}=\;$
$= k_BT{{h\nu}\over{k_BT}}{{1}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}= h\nu{{1}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}} \;$

(1.26)

A zatem średnia energia całkowita fotonu w układzie jest zależna od jej częstości i temperatury układu fotonów i jest wyrażona według wzoru (1.26) następująco:

$\overline{E}={{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\;$

(1.27)

Zakładamy, że mamy sześcian o boku L, którego wartość odchyleń aplitud fali fotonów na brzegach jednakowa sześcianu jest równa zero, a zatem:

$\sum_i n_i{{\lambda_i}\over{2}}=L\Rightarrow [n_1,n_2,n_3][\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]=L\;$

(1.28)

Ponieważ wektor liczb falowych nieujemnych $\vec{n}=[n_1,n_2,n_3]\;$ jest wektorem równoległym do wektora $\vec{\lambda}=[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]\;$ , także $\vec{\lambda}^2=\lambda^2\;$ i jest to kwadrat długości fali fotonów, i te wektory również mają ten sam zwrot, zatem mając wyrażenie (1.28) podnosimy je do kwadratu i z definicji iloczynu skalarnego dla wektorów mających ten sam kierunek i zwrot:

$(n_1^2+n_2^2+n_3^2)\lambda^2=\left(2L\right)^2\Rightarrow n_1^2+n_2^2+n_3^2=\left({{2L}\over{\lambda}}\right)^2\;$

(1.29)

Promień naszej kuli według (1.29), w której są pewne wartości $n_i\;$ i która jest zależna od jakieś długości fali w jakim może znajdować się foton, wtedy on przedstawia się następująco:

$R={{2L}\over{\lambda}}={{2L}\over{c}}\nu\;$

(1.30)

Ale musi zachodzić $n_i\geq 0\;$ , aby ten warunek był spełniony musimy rozważyć ${{1}\over{8}}\;$ sfery o grubości $dR\;$ , jeszcze trzeba uwzględnić to, że foton, który ma spin 1 występuje w dwóch stanach, zatem liczba stanów, których może znajdować się foton częstotliwości podstawowej $\nu\;$ w danej objętości $V\;$ jest zapisana wedle schematu:

$dn=2{{1}\over{8}}4\pi R^2 dR=\pi R^2 dR=\pi\left({{2L}\over{c}}\right)^3\nu^2 d\nu=8\pi V{{\nu^2}\over{c^3}} d\nu\;$

(1.31)

Energia fotonów wypromieniowana na jednostkę czasu, objętości i jego częstości, o średniej energii $\overline{E}\;$ , która też zależy od częstości, zatem nasza moc wypromieniowania z układu fotonu o danej częstości fotonów jest równa:

$r_{\nu}={{1}\over{V}}{{dn}\over{d\nu}}\overline{E}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}\overline{E}\;$

(1.32)

Jeśli przyjmować będziemy fizykę klasyczną, to średnia energia fotonu jest zapisana jako energia zależna tylko od temperatury układu kwantowego $\overline{E}=k_BT\;$ , to wzór Plancka można napisać następująco:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}k_BT\;$

(1.33)

Wzór (1.33) nazywamy wzorem Rayleigha-Jeansa. Z tego wzoru wynika nieskończoną wartość $r_{\nu}\;$ dla $\nu\;$ bardzo dużego, co nazywamy katastrofą ultrafioletową. Gdy przyjmować będziemy według Plancka, tzn. podstawiając za średnią energię wzór (1.27) zależnych, nie tylko od temperatury układu, ale też od częstości fotonów wypromieniowanej z układu, wtedy moc wypromieniowana z układu jest wyrażona wzorem:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\;$

(1.34)

Rozkład Plancka dla różnych temperatur. Moc (kJ/s) promieniowania ciała o powierzchni 1m² do kąta bryłowego pełnego w zakresie długości fal 1 nm.

Gdy uwzględnimy $h\;$ bardzo małe, czyli matematycznie mówiąc $h\rightarrow 0\;$ , to wtedy wzór (1.34) przechodzi w równanie:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\rightarrow {{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{{{h\nu}\over{k_BT}}}}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}k_BT\;$

(1.35)

Czyli po tych zabiegach dochodzimy znów do wzoru Rayleigha-Jeansa wyprowadzonej w pozycji (1.33). Dla dużych częstotliwości ,tzn.: $\nu{>>}0\;$ , wzór (1.34) w których eksponens wystepujący w mianowniku staje się bardzo duży w stosunku do jedynki, zatem tą jedynkę możemy pominąć, co staje się jasne:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\rightarrow{{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}}}=\;$
$={{8\pi h\nu^3}\over{c^3}}e^{-{{h\nu}\over{k_BT}}}={{8\pi\nu^2}\over{c^2}}h\nu e^{-{{h\nu}\over{k_BT}}}={{8\pi\nu^2}\over{c^2}}\underbrace{h\nu P(\nu)}_{\underline{E}}\;$

(1.36)

W ten sposób dochodzimy do wzoru Wiena.

Wzór Wiena możemy otrzymać również ze wzoru (1.32) podstawiając za średnią energię fotonu układu, która jest iloczynem energii fotonu (1.4) i prawdopodobieństwa, że układ będzie miał energię według wzoru wspomnianego wcześniej, która liczymy według wzoru rozkładu Boltzmanna.

[edytuj] Prawo Stefana-Boltzmanna

Całkowita energia wypromieniowana przez ciało doskonale czarne o wszystkich możliwych częstotliwościach liczona przy pomocy wzoru wyrażenia dla jednej częstotliwości, która jest przedstawiona przez wzór (1.34), i jest całką mocy promieniowania dla jednej częstości fotonu w jakim występuje foton względem częstości fotony na jednostkę objętości:

$R_{\nu}=\int^{\infty}_{\nu=0}r_{\nu}d\nu=\int^{\infty}_{\nu=0}{{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}d\nu={{8\pi h}\over{c^3}}\int^{\infty}_{\nu=0}{{\nu^3}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}d\nu= \begin{Bmatrix} x={{h\nu}\over{k_BT}}\\ \nu={{xk_BT}\over{h}}\\ d\nu={{k_BT}\over{h}}dx \end{Bmatrix}= \;$
$={{8\pi h}\over{c^3}}\int^{\infty}_{0}{{({{k_BT}\over{h}})^4x^3 }\over{e^x-1}}dx= {{8\pi k_B^4}\over{c^3h^3}}T^4\int^{\infty}_{0}{{x^3}\over{e^x-1}}dx={{8\pi k_B^4}\over{c^3h^3}}T^4{{\pi^4}\over{15}}={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}T^4=\sigma T^4 \;$

(1.37)

W równaniu (1.37) dokonaliśmy następującego podstawienia w końcowym wyniku:

$\sigma={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}\;$

(1.37a)

Jest ona zależna od stałych fizycznych, tzn. od stałej Boltzmanna ( $k_B\;$ ), stałej prędkości światła w próżni ( $c\;$ ), stałej Plancka ( $h\;$ ) i jednej stałej matematycznej $\pi\;$ . Całkowita energia na jednostkę objętości jest zapisana według wzoru:

$R_{\nu}=\sigma T^4\;$

(1.37b)

We wzorze(1.37b) stała $\sigma\;$ została wyjaśniona w punkcie (1.37a). Jest ona zależna od czwartej potęgi temperatury T (wyrażonej w kelwinach) przy stałej proporcjonalności (1.37a) i jest to moc wypromieniowana przy ciało doskonale czarne przy wszystkich możliwych częstościach na jednostkę objętości.

[edytuj] Prawo przesunięć Wiena

Wyznaczmy dla jakich $\nu\;$ funkcja $r_{\nu}\;$ według (1.34) (rozkładu Placka ciała doskonale czarnego) przyjmuje maksimum dla danej temperatury $T\;$ układu, czyli dla jakich $\nu\;$ , natężenie promieniowania jest największe, czyli matematycznie mówiąc maksimum występuje gdy pochodna natężenia promieniowania na jednostkę objętości w rozkładzie Plancka jest równa zero, czyli musimy policzyć pochodną wyrażenia (1.34) względem częstości fotonów w jakich może wystepować foton w postaci fali, wtedy zapisując:

$0={{dr_{\nu}}\over{d\nu}}={{8\pi h}\over{c^3}}{{d}\over{d\nu}}{{\nu^3}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}-1}}}= {{8\pi h}\over{c^3}}{{\left(3\nu^2\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)-\nu^3{{h}\over{k_BT}}e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}\right)}\over{\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)^2}} \;$

(1.38)

Wartość zerową przyjmuje licznik wyrażenia (1.38) i mianownik jest nierówny zero dla niezerowych częstości promieniowania wypromieniowanego z układu, który na ogół jest nierówny zero dla dowolnej skończonej temperatury większej od zera, co wynika z wiadomości z algebry, zatem otrzymujemy wyrażenie:

$0=3\nu^2\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)-\nu^3{{h}\over{k_BT}}e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}\;$

(1.39)

Dzielimy równanie (1.39) obustronnie przez kwadrat częstości fotonów $\nu^2\;$ i wiemy, że w ogólności częstość fali fotonów jest różna od zera, zatem dochodzimy do wniosku, że:

$0=3\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)-\nu{{h}\over{k_BT}}e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}\;$

(1.40)

Obierzmy jako podstawienie we wzorze (1.40), czyli wielkość zależną od temperatury układu i częstości fali fotonów wypromieniowanej z układu o maksymalnym natężeniu i która jest wielkością bezwymiarową, czyli dokonajmy następującego podstawienia:

$x={{h\nu}\over{k_BT}}\;$

(1.41)

zatem równanie (1.40) według podstawienia bezwymiarowego (1.41), przedstawia się on w postaci:

$3(e^x-1)-xe^x=0\Rightarrow 3e^x-xe^x-3=0\;$

(1.42)

Rozwiązując równanie (1.42) numerycznie dla $x\neq 0\;$ , których jest ściśle określone x, a zatem jeśli mamy x, to ze wzoru (1.41) dostajemy następujące równanie po wyznaczeniu częstości zależącej od x i temperatury układu:

$\nu=x{{k_BT}\over{h}}\;$

(1.43)

Wiemy jednak, że częstość fali jest zależna od odwrotności długości fali fotonów w następujący sposób: $\nu={{c}\over{\lambda}}\;$ oraz przyjmujemy, że fotony będziemy przyjmować jako fale o długości $\lambda\;$ rozchodzących się z prędkością fazową $c\;$ , wtedy mamy że:

${{c}\over{\lambda}}=x{{k_BT}\over{h}}\Rightarrow\lambda={{ch}\over{xk_B}}{{1}\over{T}}\Rightarrow\lambda={{C}\over{T}}\;$

(1.44)

W równaniu (1.44) widzimy, że czym większa temperatura układu, to jest mniejsza długość fali promieniowania o największej mocy wypromieniowana z układu. A zatem z równania (1.44), dostajemy następne równoważne równanie:

$\lambda T=C\;$ , gdzie: $C=2.9\cdot 10^{-3} m\cdot K\;$

(1.45)

Iloczyn długości fali promieniowania o największej mocy z układu przez temperaturę układu jest wielkością stałą i jest wielkością niezależną od innych parametrów charakteryzujących układ.

[edytuj] Paczki falowe w nowej teorii kwantów

Paczka falowa inaczej zwany pakiet falowy, jest to fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach według zasada Huygensa.

Paczka falowa jako superpozycja fal harmonicznych z pewnego przedziału dla liczb falowych

Aby w tym celu usunąć całkowitą lokalizację cząstki a jej delokalizacją wprowadza się funkcję falową opisującą falę płaską o długości fali zależnej od jej liczby falowej, która też charakteryzuje falę w sposób $\lambda={{2\pi}\over{k}}\;$ propagującą w kierunku osi x, którą można przedstawić w postaci:

$\psi(x,t)=Ce^{i(\omega t-kx)}\;$

(1.46)

Wykorzystajmy wzór (1.6) oraz (1.17), wtedy wyrażenie (funkcję falową) (1.46) zapisujemy jako funkcję energii cząstki o ściśle określonym pędzie, gdy ona znajduje się w położeniu x i w czasie t, i która przedstawia się następująco:

$\psi(x,t)=Ce^{{{i}\over{\hbar}}(Et-px)}\;$

(1.47)

W prowadźmy superpozycję fal o liczbach falowych z przedziału $(k_0-\Delta k,k_0+\Delta k)\;$ i o różnych aplitudach od k przy pomocy liczb funkcji falowych z definiowanych wedle schematu (1.46) i obierzmy jego całkę po omawianych zakresie zmienności liczby falowej k.

$\psi(x,t)=\int^{k_0+\Delta k}_{k_0-\Delta k}C(k)e^{i(\omega t-kx)}dk\;$

(1.48)

Rozłóżmy w szereg Taylora częstotliwość kołową drgań cząstki względem funkcji falowej fali k naszej rozważanej fali płaskiej i napiszmy wtedy nasz szereg Taylora do drugiego rzędu wyrazy włącznie a dalsze wyrazy oznaczając wielokropkami:

$\omega(k)=\omega_0+\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}(k-k_0)+{{1}\over{2}}\left({{d^2\omega}\over{dk^2}}\right)_{k=k_0}(k-k_0)^2+...\;$

(1.49)

Zakładamy, że jest małe odchylenie zmiennej k od punktu $k_0\;$ , wtedy w wyrazeniu (1.49) wyrazy kwadratowe i wyższe pomijamy, zatem wyrazenie (1.48), przy czym zakładając że C(k) słabo zależy od k w tymże rozważanym przedziale zmienności k, zatem możemy przejąć w przybliżeniu, że zachodzi: $C(k)\simeq C(k_0)\;$ , przy tych założeniach (1.48) zapisujemy następująco:

$\psi(x,t)=\;$
$=e^{i(\omega_0 t-k_0x)}\int^{k_0+\Delta k}_{k_0-\Delta k}C(k) e^{i\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}(k-k_0)t-(k-k_0) x\right]}dk\simeq C(k_0)e^{i(\omega_0t-k_0x)}\int^{\Delta k}_{-\Delta k}e^{i\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\xi}d\xi=\;$
$=2C(k_0)\Delta ke^{i(\omega_0t-k_0x)}{{e^{i\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}-x\right]\Delta k}-e^{-i\left[{{d\omega}\over{dk}}-x\right]\Delta k}}\over{2i\left[\Delta k\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}-x\right]}}= 2C(k_0)\Delta ke^{i(\omega_0t-k_0x)}{{\sin\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}\over{\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}}\;$

Na podstawie obliczeń występujących w ostatnich dokonanych operacjach na formułach otrzymujemy ostateczny wzór dla paczki falowej, która jest superpozycją fal prostych o bardzo małym zakresie zmienności wartości stałej falowej k wokół liczby falowej $k_0\;$ , zatem:

$\psi(x,t)= 2C(k_0)\Delta ke^{i(\omega_0t-k_0x)}\left\{{{\sin\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}\over{\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}}\right\}\;$

(1.50)

Wyrazenie (1.50) przedstawia pewną paczkę, która jest superpozycją różnych fal o małym zakresie zmienności liczby falowej wokół punktu $k_0\;$ , którego wykres w czasie jest przedstawiony obok.

[edytuj] Prędkość grupowa paczki falowej

Prędkość grupową nazywamy pochodną częstości kołowej fali materii względem jej liczby falowej i zapiszemy je jako pochodną energii cząstki względem jej wartości pędu co udowodnimy poniżej wedle następującego schematu:

$v_g={{d\omega}\over{dk}}={{d\hbar\omega}\over{d\hbar k}}={{dE}\over{dp}}\;$

(1.51)

Zastosujmy wzór (1.51) i wyrażenie na energię kinetyczną znanej z mechaniki klasycznej Newtona zapisanej przy pomocy wartości pędów:

$v_g={{d}\over{dp}}{{p^2}\over{2m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;$

(1.52)

Widzimy, że według mechaniki klasycznej prędkość grupowa fali materii jest równa prędkości cząstki klasycznej co nie powinno być zaskoczeniem. Następnie rozpatrzmy cząstkę relatywistyczną o energii relatywistycznej wyrażonej przy pomocy pędu cząstki i jej masy spoczynkowej $m_0\;$ , która może być równa zero:

$v_g={{d}\over{dp}}\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}={{2c^2p}\over{2\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}}}= {{c^2p}\over{\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2p}\over{mc^2}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;$

(1.53)

We obliczeniach (1.52)(mechanika klasyczna) i (1.53)(mechanika relatywistyczna) widzimy, że prędkość grupowa cząstki jest równa samej prędkości cząstki, tak jak się spodziewaliśmy.

[edytuj] Warunek Braggów a doświadczenie i fale materii

Rysunek pozwalający wyprowadzenie warunku Braggów.

Różnica dróg optycznych między górnym a dolnym promieniem jest zależna od odległości pomiędzy warstwami między dwoma płaszczyznami atomów i od kąta $\theta\;$ do płaszczyzny z atomami pod którą pada fala elektromagnetyczna X:

${{\delta}\over{d}}=\sin\theta\Rightarrow \Delta s=2\delta=2d\sin\theta\;$

(1.54)

Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zatem tą różniczę dróg optyczną możemy zapisać następująco:

${{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}\Delta s={{2\pi}\over{\lambda}}2d\sin\theta={{4d\pi\sin\theta}\over{\lambda}}\;$

(1.55)

Równanie fal materii pierwszej i drugiej, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu tegoż obiektu, a więc zapisujemy je wedle sposobu:

$\psi_1=Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0)}\;$

(1.56)

$\psi_2=Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;$

(1.57)

Według zasady Huygensa musimy dodać fale (1.56) do (1.57), które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych:

$\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)= Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)=\;$
$= 2Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos({{\Delta\phi}\over{2}})= 2Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos {{2d\pi\sin\theta}\over{\lambda}}\;$

(1.58)

W wyrażeniu (1.58) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden gdy wyrażeniu pod kosinusem jest $n\pi\;$ , wtedy moduł wyrażenia (1.58) przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi następująca zależność:

$n\pi={{2d\pi\sin\theta}\over{\lambda}}\Rightarrow n\lambda=2d\sin\theta\;$

(1.59)

Na podstawie ostatniego wyrażenia w (1.59) dochodzimy do wniosku, że równanie Braggów jest zapisywana w następującej postaci:

$2d\sin\theta=n\lambda\;$

(1.60)

Jest ona zależna od odległości między dwoma płaszczyznami d, od długości fali $\lambda\;$ i od kąta $\theta\;$ padania promieniowania elektromagnetycznego X, dzięki któremu fala elektromagnetyczne ulegnie wzmocnieniu na ekranie na której badamy wzmocnienia fal elektromagnetycznych dla jakiegoś parametru n, jeśli w ogóle istnieje.

Spis treści

Teoria atomu wodoru Bohra »

Autor: Mirosław Makowiecki

Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Strona jest na licencji: GNU Free Documentation License