Fizyka matematyczna/Rachunek tensorowy

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Przestrzeń nieuklidesowa jest to przestrzeń, która jest nie jest płaska, tzn. Promień krzywizny jest na ogół różny od nieskończoności, czyli krzywizna jest różna od 0.

Spis treści

1 Tensor kowariantny
2 Tensor kontrawariantny
3 Definicja prostego tensora metrycznego
4 Definicja odwrotnego tensora metrycznego
5 Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego
6 Baza krzywoliniowa a tensor metryczny
7 Definicja symboli Christoffela
8 Pochodna kowariantna o współrzędnych kowariantnych
9 Pochodna kowariantna o współrzędnych kontrawariantnych
10 Pochodna tensorowa iloczynu tensorów
11 Właściwości przemienne kolejności wskaźników tensora Christoffela
12 Uogólnienie tensora absolutnego
13 Pochodna kowarianta o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych
14 Własności tensora metrycznego
15 Wyznaczanie symboli Christoffela
16 Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantny
17 Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych
18 Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych
19 Tensorowy charakter tensora krzywizny
20 Właściwości tensora krzywizny
21 Tożsamość Bianchiego
22 Tensor Ricciego
23 Tensor Einsteina
24 Linie geodezyjne
- 24.1 Linie geodezyjne a druga pochodna wielkości kontrwariantnej
- 24.2 Linie geodezyjne a druga pochodna wielkości kowariantnej

[edytuj] Tensor kowariantny

Tensorem kowarianty, nazywamy obiekt, który transformuje się według schematu:

$\widehat{B}_{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,..,\widehat{q}_m)= \sum^n_{j=1}\sum^{m}_{k_j=1}\left[\prod^{n}_{i=1}{{\partial q^{k_i}}\over{\partial \widehat{q}^{p_i}}}\right]B_{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;$

[edytuj] Tensor kontrawariantny

Tensorem kontrkowariantym nazywamy obiekt, który transformuje się według schematu;

$\widehat{A}^{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)=\sum^n_{j=1}\sum^m_{k_j=1}\left[\prod^n_{i=1}{{\partial\widehat{q}^{p_i}}\over{\partial q^{k_i}}}\right]A^{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;$

[edytuj] Definicja prostego tensora metrycznego

Mamy:

$ds=\sqrt{ dx_i dx_i}=\sqrt{\delta_{ij}dx_idx_j}=\sqrt{g_{kr}dp^kdp^r}\;$

a zatem:

$g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{ \partial p^r}}\;$

Ale:

$g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}} ={{1}\over{2}}\left(\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ \delta_{ji}{{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) ={{1}\over{2}}\delta_{ij}\left({{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ {{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) \;$

W powyższym wzorze gdy zamienimy mniejscami k na r i r na k, mamy: $g_{kr}=g_{rk}\;\;$ , czyli tensor metryczny jest symetryczny, czyli dla macierzy g tensora metrycznego mamy: $g=g^T\;$ , bo $g=[g_{ij}]_{nxn}\;$ .

[edytuj] Definicja odwrotnego tensora metrycznego

Tensor odwrotny do tensora $g k r$ , zdefiniujmy w postaci:

$g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}$ .

Oczywiste jest, że ten tensor jest symetryczny, bo:

$g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}={{1}\over{2}}\left(\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+\delta^{ji}{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)= {{1}\over{2}}\delta^{ij}\left({{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)$

W powyższym wzorze gdy zamienimy miejscami k na r i r na k, mamy: $g k r = g r k$ , czyli odwrotny tensor metryczny jest symetryczny.

[edytuj] Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego

Wykonajmy działanie:

${g^m}_k={g_k}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{\partial p^r}}\delta^{pq}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^r}}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}=$

$={\delta^i}_p\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^i}}= {{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m$ .

Doszliśmy do wniosku, że:

${g_k}^{m}={\delta_k}^m$ ,

lub:

${g^m}_k={\delta^m}_k$ .

Macierz ${g^m}_k$ jest macierzą diagonalną i jednoskową a także tensor jako macierz $g i j$ jest macierzą odwrotną do macierzy(tensora) $g i j$ .

[edytuj] Baza krzywoliniowa a tensor metryczny

W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa w którym zanurzony jest układ krzywolinowy.

$\vec{r}=\vec{k}_i x^i(q^j)\;$

Nieunormowane wektory bazowe można zdefiniować w postaci:

$\vec{e}_m={{\partial \vec{r}}\over{\partial q^m}}={{\partial \left(\vec{k}_i x^i\right)}\over{\partial q^m}}=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}\;$

A zatem definicja wektora bazowego przyjmuje postać:

$\vec{e}_m=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}\;$ .

Następnie policzymy:

$\vec{e}_m\vec{e}_n=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}} \vec{k}_j{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=g_{mn}\;$ .

Udowodniliśmy, że:

$g_{mn}=\vec{e}_m\vec{e}_n\;$

Można również udowodnić, że podnosząc wskaźnik m do góry, a zatem ostatecznie otrzymujemy:

${g^{m}}_{n}=\vec{e}^m\vec{e}_n\;$

[edytuj] Definicja symboli Christoffela

Symbol Christofela zdefiniowany jest w następujący sposób dla wektorów bazy kowariantnych:

$\nabla_le_j={\Gamma^k}_{lj}e_k.\;$

Symbol Christofela zdefiniowany jest w następujący sposób dla wektorów bazy kontrawariantnych:

$\nabla_le^j=-{\Gamma^j}_{lk}e^k\;$

Udowodnijmy teraz równoważność obu definicji symboli Christoffela.

A teraz do pierwszej definicji pomnóżmy przez $e_r\;$

$(\nabla_le_j)e_r={\Gamma^k}_{lj}e_ke_r\;$

$(\nabla_le_j)e_r={\Gamma^k}_{lj}g_{kr}\;$

A teraz pomnóżmy przez $g^{kr}\;$ obustronnie.

$(\nabla_le_j)e_rg^{kr}={\Gamma^k}_{lj}\;$

A teraz pomnóżmy przez $e^j\;$ ,mamy:

$(\nabla_le_j)e_rg^{kr}e^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

Korzystamy teraz z: $e_rg^{kr}=e^k\;\;$ A także:

$e^ie_k=e^i g_{sk}e^s=g_{sk}e^ie^s=g_{sk}g^{is}={g^i}_k={\delta^i}_k\;$

$(\nabla_le_j)e^ke^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

$\nabla_l (e_je^ke^j)-(\nabla_l e^k) e_je^j-(\nabla_l e^j)e_je^k={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

$(\nabla_le^kg^{j}_j)-(\nabla_l e^k) g^j_j-(\nabla_l e^j)g^k_j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

Ale $g^i_j=\delta^i_j\;$

$(\nabla_l e^k)g^{j}_j-(\nabla_le^k)g^{j}_j-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

A teraz pierwsze dwa wyrazy redukują się:

$-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

A zatem: $(\nabla_le^k)=-{\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

W tej chwili otrzymaliśmy drugą definicję symboli Christoffela z pierwszej.

[edytuj] Pochodna kowariantna o współrzędnych kowariantnych

W tym rozdziale policzymy pochodna kowariantną o współrzędnych kowariantnych. Oznaczmy jako:

$A=A^ie_i\;\;$

A teraz różniczkujemy wielość wektorową A

$dA=dA^i e_i+A^i de_i\;\;$

Ale $de_i={{\partial e_i}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_i dx^l={\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;$

A zatem: $dA={{\partial A^i}\over{\partial x^l}}dx^le_i+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;$

A teraz po przemianowaniu indeksów:

$dA={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}dx^le_k+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;$

Policzmy:

${{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li} \right){{dx^l}\over{du}}e_k\;$

A zatem

${A^k}_{;l}={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li}\;$

Wyrażenie ${A^k}_{;l}\;$ nazywamy pochodna absolutną i jest jednocześnie pochodną kowariantną

[edytuj] Pochodna kowariantna o współrzędnych kontrawariantnych

W tym rozdziale policzymy pochodna kowariantną o współrzędnych kontrwariantnych. Wiadomo,że:

$B=B_je^j\;\;$

$dB=dB_je^j+Bde^j\;\;$

Ale $de^j={{\partial e^j}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e^jdx^l\;$

$dB={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}e^jdx^l+B_j\nabla_le^jdx^l={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}dx^le^j-B_j{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;$

A teraz policzmy po przemianowaniu indeksów:

${{dB}\over{du}}=\left({{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k=\left( {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k\;$

A zatem pochodna kowariantną jest:

$B_{k;l}= {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\;$

[edytuj] Pochodna tensorowa iloczynu tensorów

Niech mamy pochodną tensorową tensorów kowariantnych: Udowodnijmy, że:

$(A^iB^j)_{;k}={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;$

Zatem:

$(A^iB^j)_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma^{i}}_{ks}C^{sj}+ {\Gamma^{j}}_{ks}C^{is}={(A^iB^j)}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^sB^j+{\Gamma^j}_{ks}A^iB^s=\;$

$={A^i}_{,k}B^j+A^i{B^j}_{,k}+({\Gamma^i}_{ls}A^s)B^j+({\Gamma^j}_{ks}B^s)A^i=\;$

$=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)=\;$

$={A^i}_{;k}B^j+A_i{B^j}_{;k}\;$

Co kończy dowód.

Niech mamy podchodną tensorów kontrwariantnych: Udowodnijmy, że:

$(A_iB_j)_{;k}={A_i}_{;k}B_j+A_i{B_j}_{;k}\;$

Zatem:

$(A_iB_i)_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma^s}_{ik} C_{sj}-{\Gamma^s}_{jk}C^{is}=(A_iB_i)_{,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}A_iB_s=\;$

$=A_iB_{j,k}+A_{i,k}B_j-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}B_sA_i=\;$

$=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=\;$

$=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;$

Co kończy dowód.

[edytuj] Właściwości przemienne kolejności wskaźników tensora Christoffela

Niech mamy pochodną tensorową pewnego skalaru:

$\phi_{,\alpha,\beta}={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}{{\partial}\over{\partial x^{\beta}}}\phi\;$

Również zachodzi:

$\phi_{;\beta;\alpha}=\phi_{;\alpha;\beta}\;$

$\phi_{,\alpha}=\phi_{;\alpha}\;$ ,

a więc zwykła pochodna zwykłej funkcji jest tensorem.

Z definicji pochodnej kowariantnej, oraz korzystając,że pochodna funkcjii jest tensorem, mamy:

$\phi_{,\beta,\alpha}-\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\beta\alpha}=\phi_{,\alpha,\beta}-\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;$

Ponieważ zachodzi:

$\phi_{,\beta,\alpha}=\phi_{,\alpha,\beta}\;$

To mamy:

$\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\beta\alpha}=\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;$

Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej, mamy:

${\Gamma^{\mu}}_{\beta\alpha}={\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;$

Udowodnijmy teraz inne twierdzenie, że:

${\Gamma^k}_{ij}={{\Gamma_i}^k}_j\;$

Z definicji,mamy:

$\nabla_i e_j={\Gamma^k}_{ij}e_k\;$ ,

a także zdefiniujmy,że:

$\nabla_i e_j={{\Gamma_i}^k}_je_k\;$

Odejmując obie strony tych równań otrzymujemy:

$0=({{\Gamma_i}^k}_j-{\Gamma^k}_{ij})e_k\;$ .

Ponieważ wektory kowariantne mogą być dowolne, to mamy:

${{\Gamma_i}^k}_j={\Gamma^k}_{ij}\;$

[edytuj] Uogólnienie tensora absolutnego

Definicja takiego tensora ma się:

$A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}e_{k_1}e_{k_2}\cdot ...\cdot e_{k_r} e^{r_1}e^{r_2}\cdot ... \cdot e^{r_m}\;\;$

Oznaczmy $(k_1,k_2,..k_r)=up\;\;$ oraz $(r_1,r_2,...,r_m)=down\;\;$

A zatem otrzymujemy:

$A=A^{up}_{down}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;$

A szczególnym przypadkiem powyższej definicji jest:

$A=A^ie_i\;\;$ lub $A=A_ie^i\;\;$

[edytuj] Pochodna kowarianta o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych

Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji z poprzedniego rozdziału.

$dA=d(A^{up}_{down})(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i})=\;$

$=d(A^{up}_{down})(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i})+A^{up}_{down}(\sum^r_{q=1}de_q\prod^r_{i=1}e_{k_i})+A^{up}_{down}(\sum^m_{q=1}de^q\prod^m_{i=1}e^{k^i})\;$

Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela,mamy:

$de_q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_q dx^l={\Gamma^k}_{lq}e_kdx^l\;$

oraz:

$de^q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_le^qdx^l=-{\Gamma^q}_{lk}e^kdx^l\;$

A zatem wzór na różniczką przedstawia się następująco:

$dA={{\partial A^{up}_{down}}\over{\partial x^l}}dx^l(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i})+A^{up}_{down}\sum^r_{q=0}{\Gamma^k}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}+\sum^m_{q=1}-{\Gamma^{q}}_{lj}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l)\;$

A zatem:

${{dA}\over{du}}=({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{f_q,f_2,f_3,..,f_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{q=1} A^{...,q,...}_{down}{\Gamma^{k_q}}_{lq}-\sum^m_{q=1} A^{up}_{...,q,...}{\Gamma^q}_{lf_q}){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;$

A więc pochodna tensorowa przedstawia się następująco:

$A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{f_q,f_2,f_3,..,f_m;l}={{\partial A^{up}_{down}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{q=1} A^{...,q,...}_{down}{\Gamma^{k_q}}_{lq}-\sum^m_{q=1} A^{up}_{...,q,...}{\Gamma^q}_{lf_q}\;$

Dla tensorów dwuwskaźnikowych przedstawia się następująco:

${A^{ij}}_{;l}={{\partial A^{ij}}\over{\partial x^l}}+A^{qj}{\Gamma^i}_{lq}+A^{iq}{\Gamma^j}_{lq}\;$

Oraz:

$A_{ij;l}={{\partial A_{ij}}\over{\partial x^l}}-A_{kj}{\Gamma^k}_{li}-A_{ik}{\Gamma^k}_{lj}\;$

A nawet:

${A^i}_{j;l}={{\partial {A^i}_j}\over{\partial x^l}}+{A^{m}}_j{\Gamma^i}_{lm}-{A^{i}}_m{\Gamma^{m}}_{lj}\;$

[edytuj] Własności tensora metrycznego

Mamy dla dowolnego tensora $V\;\;$

$V_{\alpha}=g_{\alpha\mu} V^{\mu}\;\;$

Dla spółrzędnych kartezjańskich,tensor metryczny jest jako:

$g_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}\;\;$

a także:

$V_{\alpha;\beta}=V_{\alpha,\beta}\;\;$

Tensor dla dowolnego układu współrzędnych, mamy: $g_{ij}\;\;$ jest tensorem odwrotnym do $g^{ij}\;\;$ , wynika stąd:

$g_{ij}g^{jk}=g_{i}^{k}={\delta_i}^k\;\;$

Różniczkując pierwsze równanie,mamy:

$V_{\alpha;\beta}=g_{\alpha\mu;\beta}V^{\mu}+g_{\alpha\mu}{V^{\mu}}_{;\beta}\;\;$

Zauważając,że:

$g_{\alpha\mu}V^{\mu}_{;\beta}=V_{\alpha\beta}\;\;$

Wykorzystując tą powyższą równość, mamy:

$V_{\alpha;\beta}=g_{\alpha\mu;\beta}V^{\mu}+V_{\alpha;\beta}\;\;$

Jeśli powyższa równość ma być spełniona dla dowolnego $V_{\alpha}\;\;$ , to musi być spełnione:

$g_{\alpha\mu;\beta}=0\;\;$

[edytuj] Wyznaczanie symboli Christoffela

Korzystając z definicji pochodnej kowariantnej tensora metrycznego otrzymujemy:

(j,r,l)-> ${{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-\Gamma^k_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;$

Poprzez permutację wskaźników, otrzymujemy równania:

(r,l,j)-> ${{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;$

(l,j,r)-> ${{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;$

Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symboli Christoffer'a z k na p, mamy:

${{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;$ .

Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez $g^{kr}\;\;$ , otrzymujemy:

${\Gamma^p}_{lj}g_{pr}g^{kr}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;$

Po przekształceniach, mamy:

${\Gamma^p}_{lj}{\delta^k}_p={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;$

${\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;$

Co można zapisać inaczej:

${\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{jr,l}+g_{rl,j}-g_{lj,r}\right)\;$

[edytuj] Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantny

Teraz udowodnimy że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są równe,tzn.:

${a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}\;$

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna:

${a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;$

Dostajemy:

${a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm})_{;n}-({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm})_{;l}=\;$

$=\left[({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm})_{,n}+({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}){\Gamma^k}_{nr}-({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;$

$-\left[({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm})_{,l}+({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}){\Gamma^k}_{lr}-({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;$

$=(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l})+a^m({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr})+a^m({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}})\;$

$=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;$

A zatem:

${a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}={R^k}_{mnl}a^m\;$

gdzie:

${R^k}_{mnl}={{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;$

[edytuj] Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych

Teraz udowodnimy że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są równe,tzn.:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}\;\;$

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna dla współrzednych kowariantnych przedstawia się:

$B_{k;l}= {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\;$

Obliczmy teraz:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=\left({{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{;n} -\left({{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{;l}=\;$

$=\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{,n}-\left( {{\partial a_r}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lr} \right){\Gamma^r}_{nk}-({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}+a_m{\Gamma^m}_{sk}){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;$

$-\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{,l}- \left({{\partial a_r}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nr}\right){\Gamma^r}_{lk}-({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}-a_m{\Gamma^m}_{sk}){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;$

$=(a_{k,l,n}-a_{k,n,l})+a_m\left({{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}\right)+a_m\left({\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}\right)\;$

A zatem ostateczny wynik:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=({{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}+{\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk})a_m\;$

A zatem Tensor Riemanna-Christoffela, czyli tensor krzywizny, wynosi:

${{R^{m}}}_{kln}={{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}+{\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}=-{R^m}_{knl}\;$

Ostatecznie różnica pochodnych kowariantnych dla tensorów kowariantnych wynosi:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=-{{R^{m}}}_{knl}a_m\;\;$

[edytuj] Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych

Tensor Christofera jest zdefiniowany jako:

${\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{jr,l}+g_{rl,j}-g_{lj,r}\right)\;\;$

A tensor krzywizny Riemanna-Christoffela jako:

${R^k}_{mnl}={{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;$

Policzmy teraz tensor krzywizny:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{mr,l,n}+g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{mr,n,l}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+\;$

$+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;$

Ale mamy:

$0={g^{kr}}_{;n}={g^{kr}}_{,n}+{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;$

stąd mamy:

${g^{kr}}_{,n}=-{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}-{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;$

A więc tensor krzywizny, ma się jako:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+\;$ $-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+ {{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+\;$ $+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;$ ${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+\;$ $+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+ {{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;$

Policzmy tensory cząstkowe:

${\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}={\Gamma_{pn}}^k{\Gamma^p}_{lm}= {{\Gamma_p}^k}_n{\Gamma^p}_{lm}={\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}\;$

a także:

${\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}={\Gamma_{pl}}^k{\Gamma^p}_{nm}={\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;$

Wykorzystując te wnioski, teraz możemy policzyć promień krzywizny:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+ {{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}+\;$

$-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;$

Stąd otrzymujemy, że tensor krzywizny ma się jak:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;$

Można powiedzieć, że:

$R_{imnl}=g_{ik}{R^k}_{mnl}=g_{ik}{{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;$

Stąd mamy:

$R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,m,n}-g_{lm,i,n}-g_{in,m,l}+g_{nm,i,l}\right)\;$

[edytuj] Tensorowy charakter tensora krzywizny

Definicja tensora krzywizny ma się jako:

${R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm,n}-{\Gamma^k}_{nm,l}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;$

Z definicji pochodnej tensora, mamy:

${\Gamma^k}_{lm;n}={\Gamma^k}_{lm,n}+{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}- {\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^{k}}_{sm}-{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}\;$

Tensor krzywizny jest równy: ${R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}+{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}- {\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^k}_{sl}{\Gamma^s}_{mn}-{\Gamma^s}_{ml}{\Gamma^k}_{ns}-{\Gamma^s}_{nl}{\Gamma^k}_{sm}+\;$ $+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;$

${R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}\;$

W ten sposób udowodniliśmy, że : ${R^k}_{mnl}\;$ jest tensorem.

[edytuj] Właściwości tensora krzywizny

Ze względu na przestawinie wskaźników w pierwszej parze wskaźników: $R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{ml,in}-g_{lm,mn}-g_{mn,il}+g_{ni,ml}\right)=-R_{minl}\;\;$

Ze względu na przestawinoie wskaźników w drugiej parze wskaźników: $R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{in,ml}-g_{nm,il}-g_{il,mn}+g_{lm,in}\right)=-R_{imln}\;\;$

Ze względu na przestawienie pary wskaźników:

$R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= {{}\over{}}\left(g_{nm,li}-g_{ml,ni}-g_{ni,lm}+g_{il,lm}\right)=R_{imnl}\;\;$

Stwierdziliśmy,że:

$R_{imnl}=-R_{minl}=-R_{imln}=R_{nlim}\;\;$

Przejdźmy do następnej tożsamości:

$R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)+\;\;$

$+{{1}\over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;$

Zatem udowodniliśmy, że:

$R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}=0\;\;$

[edytuj] Tożsamość Bianchiego

Pochodna zwykła tensora krzywizny przyjmuje postać:

$R_{imnl,p}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)\;\;$

Policzmy wyrażenie:

$R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}= {{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)+\;\;$

$+{{1}\over{2}}\left(g_{in,mpl}-g_{nm,ipl}-g_{ip,mnl}+g_{pm,inl}\right)+ {{1}\over{2}}\left(g_{ip,mln}-g_{pm,iln}-g_{il,mpn}+g_{lm,ipn}\right)=0\;\;$

Powyższą tożsamość jest spełniona, bo różniczkowanie jest przemienne, czyli udowodniliśmy:

$R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=0\;\;$

Zdefiniujmy tensor w postaci:

$K_{nl}=g^{im}R_{imnl}\;\;$

Można udowodnić, że: $K_{nl}=-K_{ln}\;\;$ .

Udowodnijmy,to:

$K_{nl}=g^{im}R_{imnl}=g^{im}(-R_{imln})=-g^{im}R_{imln}=-K_{ln}\;\;$

Udowodniliśmy, że tensor $K_{nl}\;\;$ , jest tensorem antysymetrycznym.

Pochodna tensorowa tensora $K_{nl}\;\;$ ma się jako:

$K_{nl;p}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}\;\;$

Policzmy wyrażenie:

$K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}+K_{pn,l}-{\Gamma^k}_{pl}K_{kn}-{\Gamma^k}_{nl}K_{pk}+\;\;$

$+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})+\;\;$

$-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;$

Udowodniliśmy, że zależność ma się jak:

$K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;$

Teraz wykorzystamy, z definicji : $K_{nl}\;\;$ mamy:

$L=K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=(R_{imnl}g^{im})_{;p}+(R_{impn}g^{im})_{;l}+(R_{imlp}g^{im})_{;n}=\;$

$=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;$

A także mamy:

$P=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;$

Dochodzimy do wniosku jeśli $L=P\;$ , mamy:

$g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;$

Można udowodnić, że:

${{\partial R_{imnl}}\over{\partial g^{im}}}=0\;\;$ ,

bo tensor krzywizny zależy tylko od drugich pochodnych tensora metrycznego, a nie od samego tensora krzywizny.

Oraz także mamy:

${{\partial (R_{imnl}g^{im})_{,p}}\over{\partial g^{ij}}}=\left({{\partial (R_{imnl}g^{im})}\over{\partial g^{im}}}\right)_{,p}=R_{imnl,p}\;$

Zróżniczkujmy obie strony przedostatniego równania tensorowego względem : $g^{im}\;\;$ , dochodzimy do wniosku z przemienności różniczkowania zwykłego, a zatem mamy:

$R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}\;\;$

Wcześniej udowodniliśmy, że:

$R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=0\;\;$

Tożsamość Bianchiego przyjmuje zatem postać:

$R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=0\;\;$

[edytuj] Tensor Ricciego

Definicja tensora Ricciego jest następująca:

$R_{ml}={R^k}_{mkl}=R_{lm}\;$

A oto jego dowód:

$R_{ml}={R^k}_{mkl}= {{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,mk}-g_{lm,rk}-g_{rk,ml}+g_{km,rl}\right)=\;$

$={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{km,rl}-g_{rk,ml}-g_{lm,rk}+g_{rl,mk}\right)=R_{lm}\;$

Co kończy dowód.

Tensor Ricciego można zdefiniować również:

$R_{ln}=g^{km}R_{klmn}\;$

A skalar Ricciego można zdefiniować:

$R=g^{ln}R_{ln}=g^{ln}g^{km}R_{klmn}\;$

[edytuj] Tensor Einsteina

Zastosujmy zwężenie tensora Ricciego do tożsamości Bianchiego:

$g^{in}\left[R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}\right]=0\;$

przekształcając,mamy:

$R_{ml;p}-R_{mp;l}+{R^n}_{mlp;n}=0\;$

Powyżej z skorzystaliśmy, z:

$g^{in}R_{impn;l}=-g^{in}R_{imnp;l}=-R_{mp;l}\;$

Dokonajmy teraz ponownego zwężania, ostatnie równości:

$g^{ml}\left[R_{ml;p}-R_{mp;l}+{R^n}_{mlp;n}\right]=0\;$

$R_{;p}-{R^l}_{p;l}-R^n_{p;n}=0\;$

Powyżej skorzystaliśmy,z:

$g^{ml}{R^n}_{mlp;n}=-g^{ml}{{R_m}^n}_{lp}=-{R^n}_{p;n}\;$

Zatem,mamy po przemianowaniu wskaźników:

$R_{;p}-{R^n}_{p;n}-{R^l}_{p;l}=0\;$

Następnie wykorzystując deltę Kroneckera, mamy:

$R_{;l}{\delta^{l}}_{p}-2{R^n}_{p;n}=0\;$

${R^l}_{p;l}-{{1}\over{2}}{\delta^{l}}_{p}R_{;l}=0\;$

Idąc dalej by mieć górne wskażnik przy tensorach, mamy:

$g^{pr}\left({R^l}_{p;l}-{{1}\over{2}}{\delta^{l}}_{p}R_{;l}\right)=0\;$

$R^{lr}_{;l}-{{1}\over{2}}g^{lr}R_{;l}=0\;$

Wyłączając pochodną tensorową przed nawias, mamy:

$\left(R^{lr}-{{1}\over{2}}g^{lr}R\right)_{;l}=0\;$

Tensor:

$G^{lr}=R^{lr}-{{1}\over{2}}g^{lr}R\;$

Nazwijmy tensorem Einsteina, udowodniliśmy, że zachodzi:

$G^{lr}_{;r}=0\;$

Ten tensor w postaci bezwskaźnikowej wygląda następująco:

$\mathbf{G}=\mathbf{R}-{{1}\over{2}}\mathbf{g}R\;$

[edytuj] Linie geodezyjne

W przestrzeni euklidesowej linia prosta jest to krzywa, której przenosi swój własny wektor w sposób równoległy, w przestrzeni nieuklidesowej mamy jakąś krzywą która jest prostą w tym naszym układzie, i aby nasz wektor własny był przenoszony równolegle to musi być stycznie do tej prostej, czyli musi być spełniony warunek:

$\vec{U}_{;l}=0\;\;$ .

[edytuj] Linie geodezyjne a druga pochodna wielkości kontrwariantnej

Z definicji pochodnej kontrwariantnej,mamy:

$0={U^k}_{;l}={U^{k}}_{;l}={U^k}_{,l}+U^s{\Gamma^k}_{sl}\;\;$

Pomnóżmy przez $U^l\;\;$ , otrzymujemy:

$0=U^l{U^k}_{,l}+U^sU^l{\Gamma^k}_{sl}\;\;$

Niech zachodzi:

$U^k={{d x^k}\over{ds}}\;\;$

A teraz policzmy wyrażenie, że:

$U^l{U^k}_{,l}={{dx^l}\over{ds}}{{d}\over{dx^l}}\left({{dx^k}\over{ds}}\right)={{d}\over{ds}}\left({{d x^k}\over{ds}}\right)={{dU^k}\over{ds}}\;\;$

Udowodniliśmy, że:

$0={{dU^k}\over{ds}}+{\Gamma^k}_{sl}U^sU^l\;\;$

Podstawiając, za współrzędne wektora $\vec{U}\;\;$ ,mamy:

$0={{d}\over{ds}}\left({{dx^k}\over{ds}}\right)+{\Gamma^k}_{sl}{{dx^s}\over{ds}}{{dx^l}\over{ds}}\;\;$

Co w postaci bezwskaźnikowej,mamy:

$0={{d\vec{U}}\over{ds}}+\vec{U}^T\Gamma\vec{U}\;\;$ .

Otrzymaliśmy równanie, dzięki której wektor $\vec{U}\;\;$ jest przenoszony równolegle, stycznie wzdłuż naszej prostej.

Jeśli w prowadzimy $s=a\lambda+b\;\;$ , to można udowodnić w sposób łatwy,korzystająć z poprzedniego równania na line geodezyjne, mamy:

$0={{d}\over{d\lambda}}\left({{dx^k}\over{d\lambda}}\right)+{\Gamma^k}_{sl}{{dx^s}\over{d\lambda}}{{dx^l}\over{d\lambda}}\;\;$

W przestrzeni euklidesowej mamy na pewno: ${\Gamma^k}_{sl}=0\;\;$ ,to mamy:

${{d}\over{ds}}\left({{dx^k}\over{d\lambda}}\right)=0\;\;$ , rozwiązując to równanie:

$x^k=a^k\lambda+b^k\;\;$ , co jest równaniem prostej.

[edytuj] Linie geodezyjne a druga pochodna wielkości kowariantnej

Przedstawimy teraz inne podejście do linii geodezyjnej w sposób kowariantny. Jeśli $\vec{U}_{;l}=0\;$ , to mamy z definicji pochodnej kowariantnej, mamy: