Fizyka matematyczna/Statystyki w fizyce kwantowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Statystyka w fizyce kwantowej dla cząstek - Każda cząstka podlega pewnemu rozkładowi statystycznemu, tak samo jak fermiony i bozony. Dla fermionów w jednym stanie kwantowym może znajdować się conaj wyżej tylko jedna cząstka. Dla bozonów liczba tych cząstek może być bardzo duża.

Spis treści

1 Obliczanie sumy statystycznej
2 Wielka suma statystyczna dla fermionów i bozonów
3 Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego Einsteina
4 Parastatystyki

[edytuj] Obliczanie sumy statystycznej

Obliczmy teraz w sposób ogólny wielką sumę k statystyczną według (17.3) w fizyce kwantowej, gdy mamy skwantowane poziomy energii i w danej objętości może się znajdować się różna ilość cząstek według następującego wzoru:.

$Q=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\alpha}e^{-\beta(E_{\alpha}-\mu N)}$

(20.1)

Energia układu cząstek i liczba cząstek jest napisana według wzorów:

$E_{\alpha}=\sum_k n_k\epsilon_k\;$

(20.2)

$N=\sum_k n_k\;$

(20.3)

Wtedy wielką sumę statystyczną napiszmy według (20.1) ze zmiankami (20.2) i (20.2) w następujący sposób:

$Q=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\{n_{k_i}\}}e^{-\sum_{n_{k_i}}\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)n_{k_i}} =\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{N=\sum k_i}\prod_{k_i}e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)n_{k_i}}=$
$=\sum_{n_{k_1}}\sum_{n_{k_2}}...\sum_{n_{k_i}}e^{-\beta(\epsilon_{k_1}-\mu)n_{k_1}}e^{-\beta(\epsilon_{k_2}-\mu)n_{k_2}}\cdot...\cdot e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)n_{k_i}}= \prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}]^{n_{k_i}}$

(20.4)

Doszliśmy do wniosku, ze wzoru (20.4) wynika następujący wzór:

$Q=\prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}]^{n_{k_i}}$

(20.5)

[edytuj] Wielka suma statystyczna dla fermionów i bozonów

Korzystając ze wniosku z poprzedniego rozdziału ze wzoru (20.5), musimy pamiętać, że dla fermionów $n_{k_i}$ przebiega od 0 do 1, a dla bozonów przebiega od 0 do $\infty$ . A więc znajdujemy ogólny na wielką sumę statystyczną następujący wzór:

$Q=\begin{cases} \prod_{k_i}(1+e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})\mbox{ fermiony}\\ \prod_{k_i}{(1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})}^{-1}\mbox{ bozony} \end{cases}$

(20.6)

A wzór na potencjał termodynamiczny (17.18) jest następujący:

$\Omega=pV=\pm k_BT\sum_{k_i}\ln(1\pm e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})$

(20.7)

We wzorze (20.7) górne znaki są dla fermionów a dolne dla bozonów.

[edytuj] Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego Einsteina

Statystyki Fermiego-Diraca

Porównanie statystyk kwantowych

Ogólnie dla fermionów i bozonów korzystając ze wzory (20.7) na potencjał termodynamiczny,możemy policzyć liczbę cząstek wchodzących w skład układu według (17.7), wtedy mamy:

$\overline{N}=\left({{\partial \Omega}\over{\partial \mu}}\right)_{TV}=\pm k_BT\sum_{k_i}{{\pm {{1}\over{k_BT}}e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1\pm e^{-\mu{(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}}=$
$=\sum_{k_i}{{ e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1\pm e^{-\mu{(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}} {{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}=$
$=\sum_{k_i}{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}\pm 1}}$

(20.8)

Z równości (20.8) otrzymujemy następującą równość:

$\overline{N}=\sum_{k_i}{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}\pm 1}}=\sum_{k_i} \overline{n_{k_i}}$

(20.9)

Ogólnie ilość fermionów lub bozonów znajdujących się w stanach o energiach $\epsilon_{k_i}\;$ według (20.9) jest następująca:

$\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} {{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}}\mbox{ fermiony}&\mbox{ (a)}\\ {{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}\mbox{ bozony}&\mbox{ (b)}\\ \end{cases}$

(20.10)

[edytuj] Parastatystyki

Wiemy, ze statystyki Fermiego-Diraca, że w przypadku fermionów w danym stanie może przebywać tylko jedna cząstka, a dla bozonów w jednym stanie może przebywać nieskończenie wielka ilość cząstek. Uogólniając przyjmijmy, że w danym stanie może przebywać najwięcej p cząstek. Wielka suma statystyczna według (20.5) przebiera następującą postać:

$Q=\prod_{k_i}\sum^p_{n=0}[e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}]^n$

(20.11)

Korzystając z twierdzenia o sumie ciągu geometrycznego mamy:

$Q=\prod_{k_i}{{1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}$

(20.12)

Potencjał termodynamiczny (17.8) przyjmuje następującą postać:

$\Omega=k_BT \ln Q=k_BT\sum_{k_i}\ln{{1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}$
$=k_BT \sum_{k_i}\ln({1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}})-\ln(1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)})$

(20.13)

Policzmy teraz liczbę cząstek $\overline{N}$ , wielkim zespole kanonicznym według wzoru (17.7), a zatem:

$\overline{N}=k_BT\sum_{k_i}\left[-{{(p+1)\beta e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{{1-e^{-(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}}+{{\beta e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}\over{1-e^{-\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}}}\right]$

(20.14)

Korzystamy z definicji $\beta\;$ według (12.29) we wzorze (20.14), wtedy dostajemy, że:

$\overline{N}=\sum_{k_i}\left\{{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}\right\}$

(20.15)

Ze wzoru (20.15) otrzymujemy, że liczba cząstek znajdująca się wstanie o energii $\epsilon_{k_i}\;$ jest następująca:

$\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}$

(20.16)

Gdy $p\rightarrow \infty$ ,to ze wzoru (20.16) mamy:

$\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}$

(20.17)

Zatem otrzymaliśmy statystykę Bosego-Einsteina. Gdy p=1,to z (20.16), wtedy mamy:

$\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}-{{2}\over{e^{2\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}(1-{{2}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}})$
$={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}{{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1-2}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}+1}}$

(20.18)

Otrzymaliśmy rozkład Fermiego-Diraca.

Dokonajmy następującego podstawienia:

$x=(\epsilon_q-\mu)\beta\;$

(20.19)

we wzorze (20.16) i niech $x\rightarrow 0$ , czyli:

$\lim_{x\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\lim_{x\rightarrow 0}({{1}\over{e^x-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)x}-1}})=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-(p+1)(e^x-1)}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=$
$=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-p e^x+p-e^x+1}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{x(p+1)}-pe^x+p-e^x}\over{e^{x(p+2)}-e^x-e^{x(p+1)}+1}}$

(20.20)

Teraz stosujemy twierdzenie de-Hospitala.

$\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)e^{x(p+1)}}}$

(20.21)

I jeszcze raz stosujemy twierdzenie de-Hospitala.

$\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)^2e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)^2e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)^2e^{x(p+1)}}}$
$={{p^2+2p+1-p-1}\over{p^2+4p+4-1-p^2-2p-1}}={{p^2+p}\over{2(p+1)}}={{p(p+1)}\over{2(p+1)}}={{p}\over{2}}$

(20.22)

Oznacza to podobnie jak przy bozonach, kondensacje energii o najniższej energii,tym razem ilość cząstek jest ${{p}\over{2}}$

Rozpatrzmy statystykę dla $T\rightarrow 0$ , wtedy:

$\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q<\mu\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q>\mu \end{cases}$

(20.23)

Cząstki o tej statystyce zachowują się jak fermiony, dla T=0 funkcja ta przypomina funkcję schodkową o wysokości p. A przypadku fermionów wysokość schodka jest równa 1. Substancja zachowująca się jak ten rozkład raz zachowuje się jak kondensat Bosego-Einsteina,a za innym razem jak fermiony.

« Zespoły statystyczne w fizyce statystycznej kwantowej

Spis treści

Statystyki Fermiego oraz Bosego »

Autor: Mirosław Makowiecki

Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Strona jest na licencji: GNU Free Documentation License