Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pojęcie ciągu[edytuj]

Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.

Spojrzmy teraz na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem nazywamy funkcję, która jest określona dla kolejnych liczb całkowitych dodatnich.

Jeśli są to wszystkie liczby całkowite dodatnie, wówczas ciąg taki nazywamy ciągiem nieskończonym.

Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb mniejszych lub równych pewnej liczbie n, ciąg ten jest nazywany ciągiem skończonym.

Co to oznacza? Jeśli mamy funkcję a(x) i wiemy, że jest ciągiem, to dziedzina funkcji a zawiera się w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, czyli  D_a \subset \mathbb{Z}_+ . Ponadto jeśli ciąg jest nieskończony, wówczas a(1), a(2), a(3), a(4), ... jest zdefiniowane, zatem  D_a = \mathbb{Z}_+ .

Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie a(1), a(2), a(3), ..., a(n), czyli  D_a = \{1, 2, 3, \dots, n \} .

Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. a(100) jest zdefiniowane, wówczas a(99) będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie a(98) także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast czy a(101) jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla której właśnie ten ciąg jest określony.

Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy  a_1 zamiast  a(1) ,  a_2 zamiast  a(2) ,  a_3 zamiast  a(3) itd. W ogólności zamiast  a(n) napiszemy  a_n .

 a_1 ,  a_{10} , czy też  a_n są nazywane wyrazami ciągu.  a_1 to pierwszy wyraz ciągu,  a_5 to piąty wyraz ciągu, a a_k to k-ty wyraz ciągu itd.

Pisząc  (a_n) mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy  a_1 ,  a_2 ,  a_3 , ...,  a_n , ..., a nie tylko jeden wyraz  a_n .

Zamiast a może być dowolna inna litera.

Popatrzmy na kolejny przykład ciągu:  a_1 = 1 ,  a_2 = 4 ,  a_3 = 2 ,  a_4 = 10 . Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że wartościami tego ciągu są liczby np. 10 dla wyrazu  a_4 . Ciąg taki nazywamy ciągiem liczbowym.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem liczbowym, jeśli wartości tego ciągu są liczbami.

Przykład przedstawiony na samym początku nie jest ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśki, Mietka czy Maryśki do liczb nie zakwalifikujemy.

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy przykład ciągu nieskończonego  (b_n) , w którym zachodzi:

 b_n = 2 \cdot n

O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest ciągiem liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:

 b_1 = 2 \cdot 1 = 2 ,  b_2 = 2 \cdot 2 = 4 ,  b_3 = 2 \cdot 3 = 6 .

Ciąg ten możemy zapisać także jako:

 (b_n) = (2, 4, 6, 8, \dots) .


Kolejnym przykładem ciągu liczbowego jest  (c_n) , gdzie

 c_n = 2(n-4) \mbox{ dla } 1 \leq n \leq 8.

Wypiszmy wszystkie wyrazy tego ciągu:

 c_1 = 2\cdot (1-4) = -6 ,  c_2 = 2 \cdot (2-4) = -4 ,  c_3 = 2 \cdot (3-4) = -2 ,  c_4 =  2 \cdot (4-4) = 0 ,  c_5 =  2 \cdot (5-4) = 2 , c_6 =  2 \cdot (6-4) = 4 ,  c_7 =  2 \cdot (7-4) = 6 ,  c_8 = 2 \cdot (8-4) = 8 .

Jak dla każdej funkcji określonej w podzbiorze liczb rzeczywistych, także dla ciągu możemy narysować wykres. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak:

Wykres ciągu c n=2(n-4) dla 1 leq n leq 8.png

Wykres ciągu liczbowego zawsze będzie składał się z punktów, ponieważ dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich lub jego pewien podzbiór, a zbiór liczb całkowitych, w przeciwieństwie do zbioru liczb rzeczywistych nie jest wszędzie gęsty.


Monotoniczność ciągu[edytuj]

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

 (a_n) = (5, 10, 30, 50, 90, 100, 1000, 10000)\

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli  5 < 10 < 30 < 50 < \dots < 10000 . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli  a_{n} < a_{n+1}\ , a to możemy zapisać jako:


 a_{n+1} - a_{n} > 0\
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n > 0\,

Podobnie ciąg:

 (b_n) = (1000, 999, 998, 997, 996, 995, 994, \dots)

będzie ciągiem malejącym, ponieważ  1000 > 999 > 998 > 997 > \dots . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli  a_n > a_{n+1}\ , czyli:


 a_{n+1} - a_{n} < 0\
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n < 0\,

Zobaczmy kolejny przykład:

 (c_n) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots) .

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np.  c_2 = c_3 = 2\ . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:


 a_{n+1} - a_{n} \geqslant 0
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n \geqslant 0\,

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

 (d_n) = (16, 16, 16, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 2, 2, 2, \dots)

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:


 a_{n+1} - a_{n} \leqslant 0
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n \leqslant 0\,


 (e_n) = (-5, -5, -5, -5, \dots) Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

 (f_n) = (1, -10, 203, -50, 30, 40, -80, 100, \dots)

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.


Ciąg arytmetyczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

  •  (a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots)
  •  (b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, \dots)
  •  (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots)
  •  (d_n) = (15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, \dots)

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu  (c_n) o 10. W  (a_n) już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy  (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ  a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 i  a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że  a_{n+1} to pewien wyraz,  a_{n} to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica  a_{n+1} - a_{n} będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

 r = a_{n+1} - a_n
(różnica ciągu)

Wzór ogólny[edytuj]

Powróćmy do ciągu  (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz  c_1 = 3 , a różnica ciągu wynosi  r = 23 - 13 = 10 . Ponieważ  r = c_2 - c_1 = 10 , więc  c_2 = c_1 + 10 , podobnie  c_3 - c_2 = 10 \implies c_3 = c_2 + 10 ,  c_4 - c_3 = 10 \implies c_4 = c_3 + 10 itd. Więc zrobimy tak:

 c_1 = 3
 c_2 = c_1 + 10 = 3 + 10
 c_3 = c_2 + 10 = (3 + 10) + 10 = 3 + 2 \cdot 10
 c_4 = c_3 + 10 = (3 + 2 \cdot 10) + 10 = 3 + 3 \cdot 10
 c_5 = c_4 + 10 = (3 + 3 \cdot 10) + 10 = 3 + 4 \cdot 10
 c_6 = c_5 + 10 = (3 + 4 \cdot 10) + 10 = 3 + 5 \cdot 10
...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór c_n = 3 + (n-1) \cdot 10 .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu  (a_n) , gdzie wiemy ile wynosi  a_1 i znamy różnicę ciągu  r . Czyli:

 a_1 jest dane
 a_2 = a_1 + r
 a_3 = a_2 + r = (a_1 + r) + r = a_1 + 2r
 a_4 = a_3 + r = (a_1 + 2r) + r = a_1 + 3r
...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

 a_n = a_1 + (n-1)r
(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że a_{n-1} = a_1 + (n - 2)r oraz a_{n+1} = a_1 + nr. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: a_1 + nr + a_1 + (n-2)r = 2a_1 + nr + nr - 2r = 2a_1 + 2nr - 2r Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: 2(a_1 + nr -r) = 2(a_1 + r[n- 1]) = 2a_n

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego  (a_n) zachodzi:


 a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \mbox{dla} \quad n \in \mathbb{N}_+ \backslash \{1\}

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

  • ciąg jest rosnący, gdy różnica  r > 0 ,
  • ciąg jest stały, gdy różnica  r = 0 ,
  • ciąg jest malejący, gdy różnica  r < 0 .

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla r > 0 ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

Definicja
DEFINICJA

 ({a_{n}}) jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: \forall_{{b, c} \in N}  b < c \Leftrightarrow a_b < a_c

Załóżmy więc, że \, r > 0 oraz: \,b < c , zbadajmy różnicę \,a_c - a_b: \,
a_c - a_b = \; a_1 + (c - 1)r - (a_1 + (b - 1)r) \; = a_1 + cr - r - a_1 - br + r = cr - br = r(c - b)

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c-b jest dodatnia(b<c). Zatem a_c - a_b > 0\,, co oznacza, że ciąg jest rosnący.


Ciąg geometryczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy to na kilku przykładach:

  •  (a_n) = (1, 2, 4, 8, 16, \dots)
  •  (b_n) = (2, 6, 18, 54, 162, \dots)
  •  (c_n) = (100, 20, 4, \frac{4}{5}, \frac{4}{25}, \dots)
  •  (d_n) = (10, 100, 1000, 10000, 100000, \dots)

Popatrzmy na ciąg  (a_n) . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście  \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{16}{8} = \dots = 2 . Podobnie w ciągu  (b_n) mamy  \frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = \dots = 3 . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym  {a_{n+1} \over a_{n}} jest stałe.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz  \frac{a_{n+1}}{a_n} nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

 q = \frac{a_{n+1}}{a_n}
(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być q\neq 0 w przeciwnym wypadku a_2=a_3=0 i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

 a_{n+1} = a_n \cdot q ...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny[edytuj]

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element a_1, a także iloraz q i wiemy, że zachodzi  a_{n+1} = a_n \cdot q . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

  •  a_1
  •  a_2 = a_1 \cdot q
  •  a_3 = a_2 \cdot q = (a_1 \cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2
  •  a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 \cdot q^3
  •  a_5 = a_4 \cdot q = (a_1 \cdot q^3) \cdot q = a_1 \cdot q^4
  • ...

Widzimy, że a_n jest postaci  a_1 \cdot q^{pewna\ liczba} , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym  (a_n) także zachodzi:


 a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}
Twierdzenie
TWIERDZENIE

Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) a_1>0 \and q>1, to (an) jest ciągiem rosnącym;
2) a_1>0 \and q \in (0,1), to (an) jest ciągiem malejącym;
3) a_1<0 \and q>1, to (an) jest ciągiem malejącym;
4) a_1<0 \and q \in (0,1), to (an) jest ciągiem rosnącym;
5) q<0, to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.


Sumy częściowe[edytuj]

Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być  a_1 + a_2 , czy też  a_2 + a_4 + a_6 dla pewnego ciągu  (a_n) .

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu  (a_n) zdefiniowanego wzorem  a_n = 2 \cdot |n-3| . Mamy  a_1 = 2 \cdot |1-3| = 2 \cdot 2 = 4 ,  a_2 = 2 \cdot |2-3| = 2 ,  a_3 = 2 \cdot |3-3| = 0 ,  a_4 = 2 \cdot |4-3| = 2 , czyli:

 a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4 + 2 + 0 + 2 = 8

Podobnie policzmy sumę wyrazów  c_2 + c_{10} + c_{30} + c_{51}  + c_{1001} ciągu arytmetycznego  (c_n) , gdzie  c_1 = 10 , a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

 c_2 = 10 + (2-1)\cdot(-3) = 7
 c_{10} = 10 + (10-1)\cdot(-3) = -17
 c_{30} = 10 + 29 \cdot (-3) = -77
 c_{51} = 10 + 50 \cdot (-3) = -140
 c_{1001} = 10 + 1000 \cdot (-3) = -2990

Zatem suma  c_2 + c_{10} + c_{30} + c_{51}  + c_{1001} = 7 - 17 - 77 - 140 - 2990 = -3217 .

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli  a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_n z reguły oznaczamy jako  S_n . Kilka przykładów ...:

 S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5
 S_3 = a_1 + a_2 + a_3
 S_{50} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{50}
 S_{1} = a_1

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

 a_3 + a_4 + a_5 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - (a_1 + a_2) = S_5 - S_2
 a_5 + a_6 + a_7 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7) - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = S_7 - S_4
 a_{50} + a_{51} + a_{52} + \dots + a_{100} = 
(a_1 + a_2 + \dots + a_{49} + a_{50} + \dots + a_{100}) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{49}) = S_{100} - S_{49}

W ogólności suma  a_{k} + a_{k+1} + \dots + a_{n} = (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k + a_n) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}) = S_n - S_{k-1} .

Suma częściowa ciągu arytmetycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

 S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę  S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 . Widzimy, że n = 10 i ponadto  a_1 = 1 i  a_{10} = 10 . Zatem S_{10} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1+10}{2} \cdot 10 = 55 .

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli  a_1 = 1 , a n-tą liczbą jest  a_n =  n . Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

 S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2} ,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu  (t_n) , gdzie t_1 = 10 i  r = 4 . Wiemy, że  n = 31 , ale nie znamy wartości  t_{31} , dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

 t_{31} = 10 + (31-1) \cdot 4 = 10 + 120 = 130

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

S_n = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_{31} = \frac{t_1 + t_{31}}{2} \cdot 31 =
 = \frac{10 + 130}{2} \cdot 31 = 2170 .

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n,  a_1 i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że  a_n = a_1 + (n-1)\cdot r. Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

 S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n

Po drobnym przekształceniach mamy:

 S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2}
(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)

Czy wzór  S_n =  \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że  S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n , a ponieważ (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, więc  a_k = a_1 + (k-1)\cdot r . Z tych dwóch zależności wynika, że:

 S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = [a_1 + (1-1) \cdot r] + [a_1 + (2-1) \cdot r] + \dots + [a_1 + (n-1) \cdot r] ,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

 S_n = [a_1 + (n-1) \cdot r] + [a_1 + (n-2) \cdot r] + \dots + [a_1 + (2-1) \cdot r] + [a_1 + (1-1) \cdot r]

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

S_n =  [a_1 + (1-1) \cdot r]  +  [a_1 + (2-1) \cdot r]  +  [a_1 + (3-1) \cdot r]  +  \dots  +  [a_1 + (n-1) \cdot r]
 +  S_n  =  [a_1 + (n-1) \cdot r]  +  [a_1 + (n-2) \cdot r]  +  [a_1 + (n-3) \cdot r]  +  \dots  +  [a_1 + (n-n) \cdot r]
 2S_n  =  [2a_1 + (n-1) \cdot r]  +  [2a_1 + (n-1) \cdot r]  +  [2a_1 + (n-1) \cdot r]  +  \dots  +  [2a_1 + (n-1) \cdot r]

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

 2S_n = [2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n

Po podzieleniu przez dwa mamy:

 S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2}

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

Suma częściowa ciągu geometrycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

  1. dla ilorazu q = 1:
     S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = n \cdot a_1
  2. dla ilorazu q \neq 1
     S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli  S_{100} = 2 + 2 + 2 + 2 + \dots + 2 . Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc  S_{100} = 100 \cdot 2 = 200 , proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ  q = 1 , więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując  S_{100} = n \cdot a_1 = 100 \cdot 2 = 200 .


Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu  (b_n) , gdzie:

 b_1 = 11 ,
 \frac{b_{k+1}}{b_k} = 3 \mbox{ dla } k \in \mathbb{Z}_+ .

Ponieważ  q = 3 , więc wykorzystamy wzór dla  q \neq 1 :

 S_4 = a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q} = 11 \cdot \frac{1-3^4}{1-3} = 11 \cdot \frac{-80}{-2} = 440 .


Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę  S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 64 . Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że  a_1 = 1 , ponadto  q = 2 . Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że  a_n = 1 \cdot 2^{n-1} , a z sumy do policzenia, że  a_n = 64 . Więc  a_n = 2^{n-1} = 64 = 2^6 , czyli n-1=6 \implies n=7. Ponieważ  q = 2 \neq 1 , więc wykorzystamy wzór drugi:

 S_7 = a_1 \cdot \frac{1-q^7}{1-q} = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = \frac{-127}{-1} = 127 .


Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu  (s_n) zdefiniowanego wzorem:

 s_k = 11 \cdot (-10)^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+ .

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

 a_k = a_1 \cdot q^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+

Zauważmy, że gdybyśmy jako a_1 podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg  (s_n) . Zatem musi zachodzić s_1 = 11, a  q = -10 . Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ  q \neq 0 mamy:

 S_{9} = 11 \cdot \frac{1-(-10)^{9}}{1-(-10)} = \frac{1-(-10)^{9}}{1} = (10)^{9} + 1


Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

 c_k = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2k}

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

 c_1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 0} = 2
 c_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
 c_3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2} = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}
...

Zatem widzimy, że  c_1 = 2 , a  q = \frac{c_2}{c_1} = \frac{c_3}{c_2} = \dots = \frac{1}{4} . Otrzymujemy:

 S_{10} = 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)} 
= 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{\frac{3}{4}}
= 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot (1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10})
= \frac{8}{3} \cdot \left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\right]

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu  (d_n) , w którym d_1 = 3 i  q = 5 . Ponieważ  q \neq 1 możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

 S_n = d_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = 3 \cdot \frac{1-5^n}{1-5}
= 3 \cdot \frac{(-1) \cdot (5^n-1)}{(-1) \cdot 4} = 3 \cdot \frac{5^n-1}{4} .

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

 d_k = 3 \cdot 5^{k-1}
 S_n = d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_n
= 3 + 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 3 \cdot 5^{(n-1)} .


Teza:

 S_n = 3 \cdot \frac{5^n-1}{4}


Dowód:

Sumę  S_n = 3 + 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 3 \cdot 5^{(n-1)} możemy wymnożyć przez  q = 5 :

 5 S_n = 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 3 \cdot 5^n

Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:

S_n =  3  +  3 \cdot 5^1  +  3 \cdot 5^2  +  3 \cdot 5^3  +  \dots  +  3 \cdot 5^{(n-1)}
 - 5S_n =  3 \cdot 5^1  +  3 \cdot 5^2  +  3 \cdot 5^3  +  \dots  +  3 \cdot 5^{(n-1)}  +  3 \cdot 5^{n}
 -4S_n  =  3  +  0  +  0  +  0  +  0  +  0  -  3 \cdot 5^{n}


Czyli -4S_n = 3 - 3 \cdot 5^{n} = 3(1 - 5^{n}) , po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:

 S_n = 3 \cdot \frac{1 - 5^{n}}{-4} = 3 \cdot \frac{5^{n} - 1}{4} ,

a co chcieliśmy udowodnić.


Przykłady ciągów[edytuj]

Ciąg harmoniczny[edytuj]

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako  (h_n) , to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

 h_k = \frac{1}{k} .

Czyli na przykład  a_{10} = \frac{1}{10} ,  a_{13} = \frac{1}{13} , a  a_1 = 1 itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku  1:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\dots .

Liczby harmoniczne[edytuj]

 H_n , czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

 H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \frac{1}{n} .

Zobaczmy kilka przykładów:

 H_1 = 1
 H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}
 H_5 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}

Oznaczenie  H_n jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy  H_n , to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego[edytuj]

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez  (F_n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots) . Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

 F_1 = 1
 F_2 = 1
 F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n>2


Gdy  F_6 = 8 i  F_7 = 13 , wówczas  F_8 = F_7 + F_6 = 13 + 8 = 21 . Podobnie, gdy wiemy, że:

 F_{44} = 701408733
 F_{45} = 1134903170 ,

wtedy:

 F_{46} = F_{45} + F_{44} = 1134903170 + 701408733 = 1836311903 .


Można łatwo przez indukcję dowieść, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

 F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n (wzór Bineta)


Rekurencja[edytuj]

Ze wzorami opisywanymi rekurencyjnie spotkaliśmy się już wcześniej. Na przykład, wiemy, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 zachodzi:

 a_{n+1} = a_n + 5 ,

czyli każdy wyraz ciągu jest większy o 5 od poprzedniego. Podobnie wiemy, że w ciągu geometrycznym o ilorazie q=7 zachodzi:

 a_{n+1} = a_n \cdot 7 .

Podobnie, gdy powiemy, że w kolejce pierwszy przy kasie stoi Józek, za Józkiem stoi Maryśka, za Maryśką stoi Krzysiek, a za Krzyśkiem Kaśka, także się posłużymy rekurencją, nazywaną także rekursją.

Ciężko podać konkretną definicję rekurencji. Jest to pewien sposób określania pewnych zależności na podstawie innych. Innym przykładem rekurencji jest czynność sprzątania zabawek:

chwyć zabawkę, schowaj ją do szafy i sprzątaj dalej... (aż nie posprzątasz)

czy też liczenia od 100 do 0:

mamy 100. odejmujemy 1 i mamy 99 i liczymy dalej, tym razem od 99 do 0.

Zobaczmy kilka przykładów ciągów określonych rekurencyjnie:

  • ciąg arytmetyczny  (a_n) określony wzorem:
     a_n = \left\{\begin{matrix}
3 & \mbox{ dla } n = 1 \\
a_{n-1} + 2 & \mbox{ dla } n > 1
\end{matrix}\right.

W tym przypadku widzimy na przykład, że:


a_{5} = a_4 + 2 = (a_3 + 2) + 2 = ((a_2 + 2) + 2) + 2 = (((a_1 + 2) + 2) + 2) + 2 = (((3 + 2) + 2) + 2) + 2 = 11 . Wiedząc, że  a_1 = 3 i  r = 2 i korzystając, ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy wynik  a_5 = 3 + (5-1) \cdot 2 = 11 , dochodzimy, do takiego samego wyniku.

  • ciąg geometryczny  (b_n) , gdzie:
     a_1 = 10
     a_{n+1} = a_n \cdot 6 \mbox{ dla } n \geq 1

W tym przypadku widzimy, że n-ty wyraz jest 6 razy większy od poprzedniego. Ze wzoru rekurencyjnego możemy wyliczyć, że:

 a_3 = a_2 \cdot 6 = (a_1 \cdot 6) \cdot 6 = (10 \cdot 6) \cdot 6 = 360 .

W poprzednim rozdziale widzieliśmy nieco skomplikowany ciąg nazywany, który jest zdefiniowany wzorem:

  •  F_1 = 1
     F_2 = 1
     F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n > 2.

Policzmy teraz  F_5 :

 F_5 = F_4 + F_3 = (F_3 + F_2) + (F_1 + F_2) = ((F_2 + F_1) + 1) + (1 + 1) = ((1 + 1) + 1) + (1 + 1) = 5 .

Powinniśmy już pamiętać, że ciąg zdefiniowany wzorem:

 a_1 = x
 a_{n+1} = a_{n} + r \mbox{ dla } n \geq 1 ,

posiada postać zwartą, czyli bez rekurencji, w postaci:

 a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \mbox{ dla } n \geq 1 . (Jak pamiętamy, jest to ciąg arytmetyczny.)

Natomiast postać zwarta ciągu geometrycznego zdefiniowanego wzorem:

 a_1 = x
 a_{n+1} = a_n \cdot q \mbox{ dla } n \geq 1

będzie postaci:

 a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \mbox{ dla } n \geq 1,

a co już zresztą wiemy.

Indukcja matematyczna[edytuj]

Indukcja matematyczna to jeden ze sposobów dowodzenia pewnych twierdzeń. Pokazujemy, że dane twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości początkowej (np. dla 10), a następnie uzasadniamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla większych wartości (np. dla 11, 12, 13 itd.), korzystając z prawdziwości twierdzenie dla mniejszych wartości (czyli np. uzasadniamy, że dla 11 twierdzenie jest prawdziwe, wykorzystując do tego 10). Teoretyczne podstawy już znamy (przynajmniej teoretycznie), to przejdźmy do praktyki.

Udowodnijmy za pomocą indukcji, że jeśli dodamy sto jedynek, to otrzymamy liczbę sto. Zauważmy, że dodając k jedynek (np. k=30), najpierw dodajemy k-1 jedynek (np. k-1=30-1=29), a potem jeszcze jedną, czyli:

 S_1 = 1
 S_k = S_{k-1} + 1 np.  S_{30} = S_{29} + 1

Z tego co jest napisane wyżej o indukcji, wynika, że najpierw musimy uzasadnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej początkowej wartości, więc weźmy jedynkę:

 S_1 = 1 . Dodając jedną jedynkę otrzymujemy po prostu 1, czyli wszystko OK.

Możemy jeszcze sprawdzić dla dwójki:

 S_2 = 1 + 1 = 2 i znowu się zgadza.

Czyli pewnie wzór będzie się zgadzał dla wszystkich liczb  i \in \{1, 2, ..., 10\} , czy też nawet dla  i \in \{1, 2, ..., k\} (dla pewnego określonego k np. równego 50), co zapiszemy:

 S_i = i \mbox{ dla } i \in \{1, 2, ..., k\} (nasze założenie)

Czy wzór będzie się zgadzał dla  i = k + 1 ? Sprawdźmy:

 S_i = S_{k+1} = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}S_k} + 1 (skorzystaliśmy ze wzoru  S_{i} = S_{i-1} + 1 ).

Wiemy z założenia przedstawionego ciut wyżej, że  {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}S_k = k} , zatem:

 S_{k+1} = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6} k} + 1 = k + 1 .

Czyli do zbioru dla którego nasze twierdzenie jest prawdziwe  \{1, 2, ..., k\} możemy wepchać następną liczbę, czyli k+1. I tak dokładając 2, 3, 4 i następne liczby dochodzimy aż do 100. Zatem udowodniliśmy to twierdzenie. Już jesteśmy pewni, że jeśli dodamy sto jedynek otrzymamy liczbę sto!

Podsumujmy w skrócie, co zrobiliśmy. Otóż wykonaliśmy poniższe kroki:

  1. Pokazaliśmy, że jest prawdziwe dla 1.
  2. Założyliśmy, że w takim razie będzie prawdziwe dla 1, 2, 3, ..., k.
  3. Pokazaliśmy, że skoro jest prawdziwe od 1 do k, więc musi być także prawdziwe dla k + 1.
  4. Stwierdziliśmy, że musi być prawdziwe dla wszystkich n, czyli także 100.


Teraz udowodnijmy, że  1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} .

Najpierw musimy sprawdzić dla n=1:
 L = 1 , ponieważ dodaliśmy tylko jedną liczbę -- 1.
 P = \frac{1\cdot(1+1)}{2} = 1 .
Zgadza się,  L = P .

Czyli teraz możemy stworzyć odpowiednie założenie.

Założenie indukcyjne dla n = k:
 {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}} .

I pokażemy, że skoro dla k jest prawdziwe to będzie także dla  k + 1 , ale najpierw postawmy tę tezę.

Teza indukcyjna:
 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k+1)[(k+1) + 1]}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}

No i w końcu przedstawimy dowód.

Dowód tezy indukcyjnej:
 L = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}1 + 2 + 3 + \dots + k} + (k+1) = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}\frac{k(k+1)}{2}} + (k+1)
 = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+2)(k+1)}{2}
 P = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
Czyli L = P.

Ponieważ stwierdziliśmy, że wzór jest prawdziwy dla n=1, a także z prawdziwości wzoru dla  n = k wynika prawdziwość wzoru dla  n = k + 1 , więc dzięki zasadzie indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego całkowitego n \geq 1.


Definicja
DEFINICJA

Liczba g jest granicą ciągu (a_n) - co oznaczamy \lim_{n \to \infty} a_n=g lub a_n\rightarrow g dla n\rightarrow\infty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej \varepsilon prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n) znajdują się w odległości mniejszej niż \varepsilon od g.

Definicja
DEFINICJA

Liczba g jest granicą ciągu (a_n) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej \varepsilon istnieje taka liczba \delta, że dla każdej liczby naturalnej n> \delta zachodzi nierówność |a_n-g|<\varepsilon.
Zapis symboliczny:\lim_{n \to \infty} a_n=g\Leftrightarrow \forall_{\varepsilon>0} \exist_\delta \forall_{n>\delta} |a_n-g|<\varepsilon


Do zrobienia W przygotowaniu:
  • Ilustracje obrazujące granicę ciągu
  • Przykłady


Procent składany[edytuj]

Procent składany przydaje się do łatwego obliczenia wartość lokat po zadanej liczbie okresów kiedy naliczane jest oprocentowanie.

Ogólny wzór na procent składany ma postać:

w_n = w_0{(1+{p \over 100%})}^n,

gdzie

  • w_n - kwota końcowa
  • w_0 - kwota wpłacona na początku
  • p - oprocentowanie
  • n - liczba okresów kiedy będą naliczane odsetki

Jeżeli konto ma kapitalizację roczną, to n równe jest ilości lat w których oszczędzamy. Jeśli kapitalizacja następuje trzy razy w roku (czyli co 4 miesiące), to procent musimy podzielić na trzy, a liczba kapitalizacji (n) w ciągu roku wynosi wtedy 3, w ciągu dwóch lat 6, a np. w ciągu 16 miesięcy n=4 (bo 4 razy występuje okres 4 miesięcy).

Przykład[edytuj]

Załóżmy, że mamy 5 000 zł i chcemy je oddać do banku, gdzie oprocentowanie roczne wynosi 4,52%. Bank nalicza odsetki co dwa miesiące. Jaki będzie stan konta po dwóch latach, zakładając że nie wpłacamy ani wypłacamy żadnych pieniędzy?

Zauważmy, że kapitalizacja następuje co dwa miesiące, więc w roku tych kapitalizacji będzie sześć. W ciągu dwóch lat liczba kapitalizacji wyniesie dwanaście. Oprócz tego oprocentowanie roczne, wynoszące 4,52% (9,04% w skali 2 lat) musimy podzielić przez liczbę kapitalizacji. W tym przypadku wynosi ono: 4,52% / 6 = 0,753%. Zgodnie ze wzorem:

w_n = 5000\cdot{(1+{0,753 \over 100})}^{12} = 5000\cdot{1,00753}^{12} = 5000\cdot{1.09419} = 5470,98


Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Podsumowanie Oblicz 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego: a_1=2 \quad q=5

\begin{matrix}
a_2=a_1\cdot q\\
a_2=10\\
\\
a_3=a2\cdot q\\
a_3=50\\
\\
a_4=a3\cdot q\\
a_4=250\\

\end{matrix}


Odp. 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego a_1=2 \;i\; q=5 \;\mbox{to: }\; 2,10,50,250


Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ćwiczenia