Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Matematyka dla liceum
Monotoniczność ciągu	Spis treści	Ciąg geometryczny

[edytuj] Ciąg arytmetyczny

[edytuj] Definicja

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

• 
• 
• 
• 

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu (c_n) o 10. W (a_n) już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

DEFINICJA Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy (a_n) = (1,3,5,7,10,12,...) będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ a₂ − a₁ = 3 − 1 = 2 i a₅ − a₄ = 10 − 7 = 3, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że a_{n + 1} to pewien wyraz, a_n to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica a_{n + 1} − a_n będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

r = an + 1 − an

(różnica ciągu)

[edytuj] Wzór ogólny

Powróćmy do ciągu . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz c₁ = 3, a różnica ciągu wynosi r = 23 − 13 = 10. Ponieważ r = c₂ − c₁ = 10, więc c₂ = c₁ + 10, podobnie , itd. Więc zrobimy tak:

c₁ = 3

c₂ = c₁ + 10 = 3 + 10

...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu (a_n), gdzie wiemy ile wynosi a₁ i znamy różnicę ciągu r. Czyli:

a₁ jest dane

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r

...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

an = a1 + (n − 1)r

(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że a_{n − 1} = a₁ + (n − 2)r oraz a_{n + 1} = a₁ + nr. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: a₁ + nr + a₁ + (n − 2)r = 2a₁ + nr + nr − 2r = 2a₁ + 2nr − 2r Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: 2(a₁ + nr − r) = 2(a₁ + r[n − 1]) = 2a_n

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego (a_n) zachodzi:

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

• ciąg jest rosnący, gdy różnica r > 0,
• ciąg jest stały, gdy różnica r = 0,
• ciąg jest malejący, gdy różnica r < 0.

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla r > 0 ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

DEFINICJA (an) jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy:

Załóżmy więc, że r > 0 oraz:b < c, zbadajmy różnicę a_b − a_c: a_b − a_c = a₁ + (b − 1)r − (a₁ + [c − 1]r) = a₁ + br − r − a₁ − cr + r = br − cr = r(b − c) Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica b-c też jest dodatnia. Zatem różnica a_b − a_c > 0, co oznacza, że ciąg jest rosnący.