Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg arytmetyczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

  •  (a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots)
  •  (b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, \dots)
  •  (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots)
  •  (d_n) = (15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, \dots)

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu  (c_n) o 10. W  (a_n) już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy  (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ  a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 i  a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że  a_{n+1} to pewien wyraz,  a_{n} to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica  a_{n+1} - a_{n} będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

 r = a_{n+1} - a_n
(różnica ciągu)

Wzór ogólny[edytuj]

Powróćmy do ciągu  (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz  c_1 = 3 , a różnica ciągu wynosi  r = 23 - 13 = 10 . Ponieważ  r = c_2 - c_1 = 10 , więc  c_2 = c_1 + 10 , podobnie  c_3 - c_2 = 10 \implies c_3 = c_2 + 10 ,  c_4 - c_3 = 10 \implies c_4 = c_3 + 10 itd. Więc zrobimy tak:

 c_1 = 3
 c_2 = c_1 + 10 = 3 + 10
 c_3 = c_2 + 10 = (3 + 10) + 10 = 3 + 2 \cdot 10
 c_4 = c_3 + 10 = (3 + 2 \cdot 10) + 10 = 3 + 3 \cdot 10
 c_5 = c_4 + 10 = (3 + 3 \cdot 10) + 10 = 3 + 4 \cdot 10
 c_6 = c_5 + 10 = (3 + 4 \cdot 10) + 10 = 3 + 5 \cdot 10
...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór c_n = 3 + (n-1) \cdot 10 .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu  (a_n) , gdzie wiemy ile wynosi  a_1 i znamy różnicę ciągu  r . Czyli:

 a_1 jest dane
 a_2 = a_1 + r
 a_3 = a_2 + r = (a_1 + r) + r = a_1 + 2r
 a_4 = a_3 + r = (a_1 + 2r) + r = a_1 + 3r
...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

 a_n = a_1 + (n-1)r
(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że a_{n-1} = a_1 + (n - 2)r oraz a_{n+1} = a_1 + nr. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: a_1 + nr + a_1 + (n-2)r = 2a_1 + nr + nr - 2r = 2a_1 + 2nr - 2r Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: 2(a_1 + nr -r) = 2(a_1 + r[n- 1]) = 2a_n

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego  (a_n) zachodzi:


 a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \mbox{dla} \quad n \in \mathbb{N}_+ \backslash \{1\}

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

  • ciąg jest rosnący, gdy różnica  r > 0 ,
  • ciąg jest stały, gdy różnica  r = 0 ,
  • ciąg jest malejący, gdy różnica  r < 0 .

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla r > 0 ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

Definicja
DEFINICJA

 ({a_{n}}) jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: \forall_{{b, c} \in N}  b < c \Leftrightarrow a_b < a_c

Załóżmy więc, że \, r > 0 oraz: \,b < c , zbadajmy różnicę \,a_c - a_b: \,
a_c - a_b = \; a_1 + (c - 1)r - (a_1 + (b - 1)r) \; = a_1 + cr - r - a_1 - br + r = cr - br = r(c - b)

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c-b jest dodatnia(b<c). Zatem a_c - a_b > 0\,, co oznacza, że ciąg jest rosnący.