Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Inne przykłady ciągów

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Matematyka dla liceum
Suma częściowa ciągu	Spis treści	Rekurencja i indukcja matematyczna

Spis treści 1 Przykłady ciągów 1.1 Ciąg harmoniczny 1.2 Liczby harmoniczne 1.3 Ciąg Fibonacciego

[edytuj] Przykłady ciągów

[edytuj] Ciąg harmoniczny

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako (h_n), to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

.

Czyli na przykład , , a a₁ = 1 itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku .

[edytuj] Liczby harmoniczne

H_n, czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

.

Zobaczmy kilka przykładów:

H₁ = 1

Oznaczenie H_n jako n-tą liczbę harmoniczną jest na powszechnie znane. Jeśli napiszemy H_n, to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

[edytuj] Ciąg Fibonacciego

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez . Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

F₁ = 1

F₂ = 1

F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} dla n > 2

Gdy F₆ = 8 i F₇ = 13, wówczas F₈ = F₇ + F₆ = 13 + 8 = 21. Podobnie, gdy wiemy, że:

F₄₄ = 701408733

F₄₅ = 1134903170,

wtedy:

F₄₆ = F₄₅ + F₄₄ = 1134903170 + 701408733 = 1836311903.

Ktoś kiedyś pokazał, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

(wzór Bineta)