Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Inne przykłady ciągów

Przykłady ciągów

Ciąg harmoniczny

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako $(h_n)$, to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

$h_k = \frac{1}{k}$.

Czyli na przykład $a_{10} = \frac{1}{10}$, $a_{13} = \frac{1}{13}$, a $a_1 = 1$ itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku $1:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\dots$.

Liczby harmoniczne

$H_n$, czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \frac{1}{n}$.

Zobaczmy kilka przykładów:

$H_1 = 1$

$H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

$H_5 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Oznaczenie $H_n$ jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy $H_n$, to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez $(F_n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots)$. Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

$F_1 = 1$

$F_2 = 1$

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n>2$

Gdy $F_6 = 8$ i $F_7 = 13$, wówczas $F_8 = F_7 + F_6 = 13 + 8 = 21$. Podobnie, gdy wiemy, że:

$F_{44} = 701408733$

$F_{45} = 1134903170$,

wtedy:

$F_{46} = F_{45} + F_{44} = 1134903170 + 701408733 = 1836311903$.

Ktoś kiedyś pokazał, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

$F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n$ (wzór Bineta)