Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Matematyka dla liceum

Pojęcie ciągu

 Spis treści

Ciąg arytmetyczny


[edytuj] Monotoniczność ciągu

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

(a_n) = (5, 10, 30, 50, 90, 100, 1000, 10000)\

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli 5 < 10 < 30 < 50 < \dots < 10000 . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli a_{n} < a_{n+1}\ , a to możemy zapisać jako:
a_{n+1} - a_{n} > 0\
(ciąg rosnący)


Podobnie ciąg:

(b_n) = (1000, 999, 998, 997, 996, 995, 994, \dots)

będzie ciągiem malejącym, ponieważ 1000 > 999 > 998 > 997 > \dots . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli a_n > a_{n+1}\ , czyli:
a_{n+1} - a_{n} < 0\
(ciąg malejący)


Zobaczmy kolejny przykład:

(c_n) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots) .

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. c_2 = c_3 = 2\ . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:
a_{n+1} - a_{n} \geq 0
(ciąg niemalejący)


Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

(d_n) = (16, 16, 16, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 2, 2, 2, \dots)

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:
a_{n+1} - a_{n} \leq 0
(ciąg nierosnący)
Definicja
 DEFINICJA

Ciągiem monotonicznym nazywamy ciąg, który jest funkcją monotoniczną.

Ciągiem rosnącym nazywamy ciąg, który jest funkcją rosnącą.

Ciągiem malejącym nazywamy ciąg, który jest funkcją malejącą.

Ciągiem niemalejącym lub ciągiem słabo rosnącym nazywamy ciąg, który jest funkcją niemalejącą.

Ciągiem nierosnącym lub ciągiem słabo malejącym nazywamy ciąg, który jest funkcją nierosnącą.

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

(c_n) = (1, -10, 203, -50, 30, 40, -80, 100, \dots)

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

Definicja
 DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.


« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 »

Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Ci%C4%85gi_liczbowe/Monotoniczno%C5%9B%C4%87_ci%C4%85gu”