Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

$(a_n) = (5, 10, 30, 50, 90, 100, 1000, 10000)\$

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli $5 < 10 < 30 < 50 < \dots < 10000$. Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli $a_{n} < a_{n+1}\$, a to możemy zapisać jako:

$a_{n+1} - a_{n} > 0\$

DEFINICJA Ciąg $(a_n)$ nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby $n \in \N_+ \,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1} - a_n > 0\,$

Podobnie ciąg:

$(b_n) = (1000, 999, 998, 997, 996, 995, 994, \dots)$

będzie ciągiem malejącym, ponieważ $1000 > 999 > 998 > 997 > \dots$. W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli $a_n > a_{n+1}\$, czyli:

$a_{n+1} - a_{n} < 0\$

DEFINICJA Ciąg $(a_n)$ nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby $n \in \N_+ \,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1} - a_n < 0\,$

Zobaczmy kolejny przykład:

$(c_n) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots)$.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. $c_2 = c_3 = 2\$. Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

$a_{n+1} - a_{n} \geqslant 0$

DEFINICJA Ciąg $(a_n)$ nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby $n \in \N_+ \,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1} - a_n \geqslant 0\,$

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

$(d_n) = (16, 16, 16, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 2, 2, 2, \dots)$

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

$a_{n+1} - a_{n} \leqslant 0$

DEFINICJA Ciąg $(a_n)$ nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby $n \in \N_+ \,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1} - a_n \leqslant 0\,$

$(e_n) = (-5, -5, -5, -5, \dots)$ Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.

DEFINICJA Ciąg $(a_n)$ nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

$(f_n) = (1, -10, 203, -50, 30, 40, -80, 100, \dots)$

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

DEFINICJA Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.