Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu

[edytuj] Sumy częściowe

Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być $a_1 + a_2$ , czy też $a_2 + a_4 + a_6$ dla pewnego ciągu $(a_n)$ .

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ zdefiniowanego wzorem $a_n = 2 \cdot |n-3|$ . Mamy $a_1 = 2 \cdot |1-3| = 2 \cdot 2 = 4$ , $a_2 = 2 \cdot |2-3| = 2$ , $a_3 = 2 \cdot |3-3| = 0$ , $a_4 = 2 \cdot |4-3| = 2$ , czyli:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4 + 2 + 0 + 2 = 8$

Podobnie policzmy sumę wyrazów $c_2 + c_{10} + c_{30} + c_{51} + c_{1001}$ ciągu arytmetycznego $(c_n)$ , gdzie $c_1 = 10$ , a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

$c_2 = 10 + (2-1)\cdot(-3) = 7$

$c_{10} = 10 + (10-1)\cdot(-3) = -17$

$c_{30} = 10 + 29 \cdot (-3) = -77$

$c_{51} = 10 + 50 \cdot (-3) = -140$

$c_{1001} = 10 + 1000 \cdot (-3) = -2990$

Zatem suma $c_2 + c_{10} + c_{30} + c_{51} + c_{1001} = 7 - 17 - 77 - 140 - 2990 = -3217$ .

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_n$ z reguły oznaczamy jako $S_n$ . Kilka przykładów ...:

$S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$

$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$

$S_{50} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{50}$

$S_{1} = a_1$

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

$a_3 + a_4 + a_5 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - (a_1 + a_2) = S_5 - S_2$

$a_5 + a_6 + a_7 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7) - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = S_7 - S_4$

$a_{50} + a_{51} + a_{52} + \dots + a_{100} = (a_1 + a_2 + \dots + a_{49} + a_{50} + \dots + a_{100}) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{49}) = S_{100} - S_{49}$

W ogólności suma $a_{k} + a_{k+1} + \dots + a_{n} = (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k + a_n) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}) = S_n - S_{k-1}$ .

[edytuj] Suma częściowa ciągu arytmetycznego

TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę $S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10$ . Widzimy, że $n = 10$ i ponadto $a_1 = 1$ i $a_{10} = 10$ . Zatem $S_{10} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1+10}{2} \cdot 10 = 55$ .

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli $a_1 = 1$ , a n-tą liczbą jest $a_n = n$ . Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$ ,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu $(t_n)$ , gdzie $t_1 = 10$ i $r = 4$ . Wiemy, że $n = 31$ , ale nie znamy wartości $t_{31}$ , dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$t_{31} = 10 + (31-1) \cdot 4 = 10 + 120 = 130$

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

$S_n = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_{31} = \frac{t_1 + t_{31}}{2} \cdot 31 =$

$= \frac{10 + 130}{2} \cdot 31 = 2170$ .

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n, $a_1$ i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że $a_n = a_1 + (n-1)\cdot r$ . Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n$

Po drobnym przekształceniach mamy:

$S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2}$

(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)

Czy wzór $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ , a ponieważ $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym, więc $a_k = a_1 + (k-1)\cdot r$ . Z tych dwóch zależności wynika, że:

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = [a_1 + (1-1) \cdot r] + [a_1 + (2-1) \cdot r] + \dots + [a_1 + (n-1) \cdot r]$ ,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

$S_n = [a_1 + (n-1) \cdot r] + [a_1 + (n-2) \cdot r] + \dots + [a_1 + (2-1) \cdot r] + [a_1 + (1-1) \cdot r]$

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

	$S_n$	$=$	$[a_1 + (1-1) \cdot r]$	$+$	$[a_1 + (2-1) \cdot r]$	$+$	$[a_1 + (3-1) \cdot r]$	$+$	$\dots$	$+$	$[a_1 + (n-1) \cdot r]$
$+$	$S_n$	$=$	$[a_1 + (n-1) \cdot r]$	$+$	$[a_1 + (n-2) \cdot r]$	$+$	$[a_1 + (n-3) \cdot r]$	$+$	$\dots$	$+$	$[a_1 + (n-n) \cdot r]$
	$2S_n$	$=$	$[2a_1 + (n-1) \cdot r]$	$+$	$[2a_1 + (n-1) \cdot r]$	$+$	$[2a_1 + (n-1) \cdot r]$	$+$	$\dots$	$+$	$[2a_1 + (n-1) \cdot r]$

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

$2S_n = [2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n$

Po podzieleniu przez dwa mamy:

$S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2}$

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

[edytuj] Suma częściowa ciągu geometrycznego

TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

dla ilorazu $q = 1$ :

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = n \cdot a_1$
dla ilorazu $q \neq 1$

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli $S_{100} = 2 + 2 + 2 + 2 + \dots + 2$ . Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc $S_{100} = 100 \cdot 2 = 200$ , proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ $q = 1$ , więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując $S_{100} = n \cdot a_1 = 100 \cdot 2 = 200$ .

Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$ , gdzie:

$b_1 = 11$ ,

$\frac{b_{k+1}}{b_k} = 3 \mbox{ dla } k \in \mathbb{Z}_+$ .

Ponieważ $q = 3$ , więc wykorzystamy wzór dla $q \neq 1$ :

$S_4 = a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q} = 11 \cdot \frac{1-3^4}{1-3} = 11 \cdot \frac{-80}{-2} = 440$ .

Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę $S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 64$ . Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że $a_1 = 1$ , ponadto $q = 2$ . Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że $a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$ , a z sumy do policzenia, że $a_n = 64$ . Więc $a_n = 2^{n-1} = 64 = 2^6$ , czyli $n-1=6 \implies n=7$ . Ponieważ $q = 2 \neq 1$ , więc wykorzystamy wzór drugi:

$S_7 = a_1 \cdot \frac{1-q^7}{1-q} = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = \frac{-127}{-1} = 127$ .

Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu $(s_n)$ zdefiniowanego wzorem:

$s_k = 11 \cdot (-10)^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+$ .

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

$a_k = a_1 \cdot q^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+$

Zauważmy, że gdybyśmy jako $a_1$ podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg $(s_n)$ . Zatem musi zachodzić $s_1 = 11$ , a $q = -10$ . Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ $q \neq 0$ mamy:

$S_{9} = 11 \cdot \frac{1-(-10)^{9}}{1-(-10)} = \frac{1-(-10)^{9}}{1} = (10)^{9} + 1$

Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

$c_k = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2k}$

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

$c_1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 0} = 2$

$c_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

$c_3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2} = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$

...

Zatem widzimy, że $c_1 = 2$ , a $q = \frac{c_2}{c_1} = \frac{c_3}{c_2} = \dots = \frac{1}{4}$ . Otrzymujemy:

$S_{10} = 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)} = 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{\frac{3}{4}} = 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot (1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}) = \frac{8}{3} \cdot \left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\right]$

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu $(d_n)$ , w którym $d_1 = 3$ i $q = 5$ . Ponieważ $q \neq 1$ możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

$S_n = d_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = 3 \cdot \frac{1-5^n}{1-5} = 3 \cdot \frac{(-1) \cdot (5^n-1)}{(-1) \cdot 4} = 3 \cdot \frac{5^n-1}{4}$ .

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

$d_k = 3 \cdot 5^{k-1}$