Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja kwadratowa

Wiadomości wstępne[edytuj]

Co to jest funkcja kwadratowa? Czasem do opisu liczbowego nie wystarcza nam funkcja liniowa - np. gdy chcemy opisać pole powierzchni pewnego kwadratu, będzie ono wyrażone wzorem x2. Druga potęga iksa znajduje się właśnie we wzorze funkcji kwadratowej.

Definicja
DEFINICJA

Funkcję określoną wzorem  f(x)=ax^2+bx+c\ ,
gdzie  a,b,c,x \in \mathbb{R} \mbox{ i } a \neq 0
nazywamy funkcją kwadratową.

Wyrażenie  ax^2+bx+c\ , gdzie a\ne 0, jest nazywane trójmianem kwadratowym.

Przykłady[edytuj]

  •  f(x)=2x^2+3x+4\ \quad - tutaj: a = 2,\; b = 3,\; c = 4\
  •  f(x)=x^2+3x-5\ \quad - tutaj: a = 1,\; b = 3,\; c = -5\
  •  f(x)=-x^2+4\ \quad - teraz: a = -1,\; b = 0,\; c = 4\
  •  f(x)=x^2\ \quad - wreszcie tutaj: a = 1,\; b = 0,\; c = 0\ .

Przykład 'z treścią':

Powierzchnia pewnego lokalu ma kształt kwadratu, cena za 1m2 wynosi 7zł, dodatkowo do ceny należy doliczyć opłatę 150zł. Zapisz wzór na cenę lokalu, jeżeli długość boku kwadratu wynosi x.
Odp: Cenę y można obliczyć ze wzoru:   y=7\cdot x^2+150\,.

Wykres funkcji kwadratowej[edytuj]

Wykresem funkcji kwadratowej jest linia nazywana parabolą. Poniżej wykres funkcji  f(x)=x^2

Wykres y=x^2.png

Wyróżnik trójmianu kwadratowego (delta)[edytuj]

Charakterystyczną cechą wyróżnika jest to, że jego wartość określa, czy funkcja przecina oś OX - a jeśli przecina, to w ilu miejscach (1 lub 2). Stosowany jest więc głównie przy znajdowaniu miejsc zerowych.

  • oznacza się symbolem greckiej litery alfabetu \Delta (Delta)
  • oblicza się go ze wzoru:  \Delta~= b^2 - 4ac


Postać kanoniczna i wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej[edytuj]

Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.

Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji  y = x^{2} \, dla kilku kolejnych argumentów.


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 y=x^{2} 16 9 4 1 0 1 4 9 16

Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y. Punkty te nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:

X^2.jpg

Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji   y = -x^{2} \,

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 y=-x^{2} -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16

Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:

-x^2.jpg

Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji  y=x^2 , symetrycznie względem osi OX.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej[edytuj]

Jest to przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. Znacznie ułatwia rysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:
y = a(x - p)^{2} + q\,

  • gdzie:  p = -\tfrac{b}{2a} ,  natomiast  q = -\tfrac{\Delta}{4a},
  • wartości  p i q  nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli  W(X_{w},\; Y_{w}),  czyli  Xw = p,  Yw = q.

Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Postać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje   f(x) = 2x^{2} - 4x + 7  i   f(x) = 2(x-1)^{2} + 5  są sobie równe - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch różnych zapisach.

Aby narysować wykres funkcji, mając do dyspozycji postać kanoniczną, wystarczy wykres y=ax^2  przesunąć o wektor [p,\,q].

Porada Porada
Wzór funkcji a(x-p)2+q można postrzegać jako funkcję ax2 przesuniętą o wektor [p; q] -> z funkcji a(x-3)2-4 można wyczytać, że jest to funkcja ax2 przesunięta o wektor [3; -4]. Dla P bierzemy przeciwną wartość!

Dowód (informacje dodatkowe)

Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:
ax^2+bx+c = a(x-p)^2 + q
ax^2+bx+c = a(x^2-2xp+p^2) + q
ax^2+bx+c = ax^2 - 2apx + ap^2 + q
\color{Red}b\color{Black}x+\color{Blue}c\color{Black} = \color{Red}- 2ap\color{Black}x + \color{Blue}ap^2 + q
Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x2 nie występuje), B=-2ap (czyli wyraz przy x), C=ap^2+q (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:
\begin{cases} b = -2ap \\ c = ap^2 + q \end{cases}
\begin{cases} p = \frac{-b}{2a} \\ q = c - ap^2  \end{cases}
q = c - a\left (\frac{-b}{2a}\right )^2 \quad \quad q = c - \frac{b^2}{4a}
q = \frac{4ac}{4a} - \frac{b^2}{4a} \quad \quad \quad \quad q = \frac{4ac - b^2}{4a}
q = \frac{-(-4ac+b^2)}{4a} \quad \quad q = -\frac{b^2-4ac}{4a}
q = -\frac{\Delta}{4a}

Aby znaleźć minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>:

  • znajdujemy trzy wartości y: f(a), f(b), q
  • obliczamy p. Jeżeli wartość p nie należy do przedziału <a,b> - oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
  • największą z uzyskanych wartości f(a), f(b) oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) q przyporządkujemy maksimum, a najmniejszą - minimum.

Przykłady[edytuj]

Uwaga!

Zanim zaczniesz czytać dalej, przypomnij sobie informacje z działu Przekształcanie wykresu funkcji.

  • Przykład 1. (rysowanie wykresu)

Rozpatrzmy funkcję  y=(x-4)^2+2 . Patrząc na definicję postaci kanonicznej, dochodzimy do kilku wniosków:

1. Współczynnik kierunkowy a jest równy 1. Funkcja ma więc ramiona skierowane ku górze (gdyż a>0).

2. Współczynnik p jest równy 4. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 4 jednostki w prawą stronę układu współrzędnych.

3. Współczynnik q jest równy 2. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 2 jednostki w górę układu współrzędnych.

Punkty 2. i 3. oznaczają to samo, co: funkcję należy przesunąć o wektor [4, 2].

Biorąc pod uwagę trzy powyższe warunki, konstruujemy wykres funkcji, który wygląda następująco:

(x-4)^2+2.jpg

  • Przykład 2. (rysowanie wykresu)

Zad. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję  y=-x^{2}-10x-19 oraz narysuj jej wykres.

Wypiszmy współczynniki a, b i c z tego równania:

a = -1, b = -10, c = - 19. Współczynnik kierunkowy a jest ujemny, więc ramiona będą skierowane w dół. Obliczmy teraz wartości p oraz q.

 p = \tfrac{- b}{2a}

 p = \tfrac{- (-10)}{2 \cdot (-1)} = -5


 q = \tfrac{-\Delta~}{4a}

Żeby obliczyć q musimy najpierw policzyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (Deltę).

 \Delta~ = b^{2} - 4ac

 \Delta~ = (-10)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 24


 q = \tfrac{-24}{4 \cdot (-1)} = 6

Teraz wprowadzamy wartości p i q do wzoru postaci kanonicznej i otrzymujemy:

 y = -(x-(-5))^{2} + 6

 y = -(x+5)^{2} + 6


Mając współrzędne p i q wierzchołka paraboli, rysujemy wykres:

-(x+5)^2+6.jpg

  • Przykład 3. (maksimum)

Zad. Napisz wzór funkcji, która osiąga maksimum w punkcie A=(3,4).

Funkcja kwadratowa osiąga maksimum w punkcie wierzchołka paraboli, gdy a<0 ramiona są skierowane do dołu (wierzchołek jest najwyższym punktem - funkcja osiąga w nim więc maksimum), natomiast gdy a>0, ramiona są skierowane do góry (wierzchołek jest najniższym punktem - funkcja osiąga więc w nim minimum). Szukamy maksimum, dlatego musimy założyć, że a < 0. Funkcja osiąga maksimum w punkcie A=(3,4), więc są to jednocześnie współrzędne wierzchołka, otrzymujemy x_w oraz y_w (kolejno, p i q). Mamy więc p=3 oraz q=4. Możemy zapisać postać kanoniczną:

 y = a(x-3)^{2} + 4

Pozostaje nam nieokreślona wartość a. Musi być ona ujemna, jednak czy wpływa na położenie rozpatrywanego przez nas wierzchołka paraboli? Okazuje się, że jaką wartość nie podstawimy za a, zmieni to jedynie wygląd ramion wykresu, jednak wierzchołek paraboli nadal będzie w punkcjie (3,4). Aby zapisać pełny wzór szukanej funkcji, podstawimy dowolne ujemne a'.

 y = -4(x-3)^{2} + 4

Zapiszmy jeszcze funkcję w postaci ogólnej.

 y = -4 * (x^2 - 6x + 9) + 4
 y = -4x^2 + 24x - 36 + 4
 y = -4x^2 + 24x - 32

Jako, że a mogliśmy obrać dowolne (ujemne), możemy wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele wzorów funkcji, spełniających warunki zadania (czyli o wierzchołku paraboli w punkcie (3,4) ).

  • Przykład 4. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji  f(x)=x^2-3x-10 w przedziale <-1, 3>.

Będziemy musieli policzyć 3 wartości - współrzędną y wierzchołka paraboli (o ile czyli wartość x należy do przedziału!) oraz wartości funkcji z krańców podanego przedziału, które to policzymy na poczatku:

f(-1) = -6

f(3) = -10

Współrzędna x wierzchołka (czyli p):

p=\frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} = 1.5

x=1.5 należy do przedziału <-1, 3> (gdyby tak nie było, wierzchołek leżałby poza rozpatrywanym przedziałem, wówczas już nas nie interesuje).

Ponieważ a>0 (a = 1), funkcja osiąga w punkcie wierzchołka minimum, o czym zaraz się przekonamy.

Porada

Alternatywną metodę znalezienia wartości q jest, mając obliczoną wartość p wierzchołka, obliczenie wartości funkcji dla p, czyli  q\,=\,f(p).

Obliczamy y wierzchołka (czyli q), korzystając z wartości p=1,5.

f( \frac{3}{2} ) = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot ( \frac{3}{2} ) - 10 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 10 = -\frac{49}{4}

Uzyskaliśmy więc: wartość -6 dla x=-1, wartość -10 dla x=3 oraz wartość -\tfrac{49}{4} dla x=1,5. Jak nie trudno się domyśleć, największa wartość będzie szukanym maksimum, najmniejsza - minimum.

Podsumowując, funkcja osiąga minimum dla x= 1,5 oraz maksimum dla x=-1 (biorąc pod uwagę przedzialał <-1, 3>).

Porada

Przy braku pewności co do obliczeń, zawsze można posłużyć się szkicem wykresu funkcji.

  • Przykład 5. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=-x^2-4x+12 w przedziale <-5, 3>.

Analogiczy przypadek jak powyżej.
Badamy wartość funkcji na krańcach przedziałów:

f(-5)=-(-5)^2 - 4 \cdot (-5) + 12 = -25 + 20 + 12 = 7

f(3)=-(3)^2-4 \cdot 3 + 12 = -9 - 12 + 12 = -9

Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału:

p=\frac{-b}{2a} = \frac{4}{-2} = -2

Wierzchołek paraboli należy do przedziału. Ponieważ a<0, funkcja osiąga w jego punkcie maksimum (ramiona są skierowane do dołu, wierzchołek jest najwyższym punktem).

f(-2) = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16

Funkcja osiąga minimum w punkcie x=3 oraz maksimum w punkcie x = -2.

Porada

Gdyby punkt wierzchołka nie należał do podanego przedziału, funkcja osiągałaby wartości największe i najmniejsze na jego krańcach.

Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Współrzędną x_{w} można wyznaczyć ze wzoru: x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} (średnia arytmetyczna), gdzie x_{1} i x_{2} są miejscami zerowymi funkcji (pierwiastkami). Jest to wynikiem tego, że wierzchołek leży zawsze w połowie ich odległości.

Współrzędne ekstemum paraboli (wierzchołka) można też łatwo obliczyć za pomocą pochodnej, jednakże rachunek różniczkowy i całkowy nie jest w podstawie programowej liceum.



Równania kwadratowe

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy  ax^2 + bx + c  o współczynnikach rzeczywistych, a\not=0.

1. Jeżeli  \Delta~> 0, to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

2. Jeżeli  \Delta~= 0, to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

x_0=\frac{-b}{2a}

3. Jeżeli  \Delta~< 0, to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

a\left (x-p\right )^2 + q = 0

 a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a} \quad : a

 \left (x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni (4a^2 > 0). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy \Delta < 0 , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
2. Gdy \Delta = 0 , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:
 \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = 0     / Pierwiastkujemy obustronnie
 x = \frac{-b}{2a}
Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).
3. Gdy \Delta > 0 , otrzymujemy:
 \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{\Delta}{4a^2}    / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z   \sqrt{x^2} = |x|
|x+\frac{b}{2a}| = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
Przypadek 1: dla x+\frac{b}{2a} > 0 - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.
x_{1}+\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{b}{2a}
x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta} - b}{2a} \; = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Przypadek 2: dla x+\frac{b}{2a} < 0 - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:
-x_{2}-\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{2} = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
więc, dla \Delta > 0 rozwiązaniami są  x_{1} = \tfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}   oraz   x_{2} = \tfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.

Równania kwadratowe - w skrócie[edytuj]

Wzory na miejsca zerowe
  • dla  \Delta>0  2 miejsca zerowe:  x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},
  • dla  \Delta=0   1 miejsce zerowe:   x_0=\tfrac{-b}{2a},
  • dla  \Delta<0   miejsca zerowe nie istnieją.
Metoda wyłączania wspólnego czynnika
  • równanie postaci np.    x^2 + x = 0
  • przekształcamy do    x(x+1) = 0, po czym rozwiązujemy:   x=0   oraz   (x+1) = 0.
Wzory skróconego mnożenia
  • np.  x^2+6x+9 = 0 \; \; \rightarrow \;\;(x+3)^2 = 0
  • np.  x^2-9 = 0 \; \; \rightarrow \; \;(x+3)(x-3) = 0
Równanie dwukwadratowe
  • równanie postaci   ax^4 + bx^2 + c \,=\, 0  rozwiązujemy metodą podstawiania,
  • przy założeniu   t = x^2   rozwiązujemy   at^2 + bt + c \;=\; 0,
  • uzyskane pierwiastki  t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,t_{4},  które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Przykłady - równania kwadratowe[edytuj]

Rozwiąż równania:

  • Przykład 1.  x^{2}-3x-4=0
  • Przykład 2.  x^{2}-4=0
  • Przykład 3.  x^{2}-6x+9=0
  • Przykład 4.  x^{2}-2x=3x+5
  • Przykład 5.  -x^{2}-2x=0
  • Przykład 6.  x^{2}-5x+22=0
  • Przykład 7.  x^{4}-3x^{2}-4=0 (równanie dwukwadratowe)
  • Przykład 8.  x^{2}+6x-7=0
  • Przykład 9.  x^2-4|x|-12=0 (równanie z modułem)

  • Przykład 1

x^{2} - 3x - 4 = 0

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:  a = 1,\; b = -3,\; c = -4.

 \Delta~= b^2 - 4ac

\Delta~ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

\Delta~ = 25

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_1=\frac{3-5}{2} \;= -1

x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_2=\frac{3+5}{2} \; =4

Równanie ma więc dwa rozwiązania:  x_{1}=-1\   i   x_{2}=4\ .


  • Przykład 2

 x^{2}-4=0

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie  a=1, b=0, c=-4.  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

 a^{2} - b^{2} = (a-b) \cdot (a+b)\

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian  x^2-4 = 0  na postać iloczynową:

 (x-2) \cdot (x+2) = 0\

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.


  • Przykład 3

 x^{2}-6x + 9 = 0

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

a = 1, \; b=-6, \; c=9

 \Delta~= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9

 \Delta~= 36 - 36 \; =0

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

x_{0} = \frac{-b}{2a}

x_{0} = \frac{-(-6)}{2} \; =3

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

 (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\

Przyrównujemy w myślach    x^{2}-6x + 9 = 0   i   a^{2} - 2ab + b^{2}\ ...
 (x-3)^2 = x^2 - 2*1*3 + 3^2

Otrzymujemy:

 (x-3)^{2} = 0\

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).


  • Przykład 4

 x^{2}-2x = 3x + 5

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

 x^{2}-5x - 5 = 0

a = 1, \; b=-5, \; c=-5

 \Delta~= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) \; = 45

x_{1}=\tfrac{-(-5)-\sqrt{45}}{2}

x_{1}=\tfrac{5-3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

x_{2}=\tfrac{-(-5)+\sqrt{45}}{2}

x_{2}=\tfrac{5+3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

Rozwiązaniami tego równania są liczby    x_{1}=\tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}, \; \; \; x_{2}=\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}


  • Przykład 5

 -x^{2}-2x=0

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

 (-x^{2}-2x)=0\

 x(-x-2)=0\

Powyższe równanie zachodzi gdy:
 x= 0   lub    -x-2 = 0

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.


  • Przykład 6

 x^{2}-5x+22=0

Policzmy deltę:

a = 1, b=-5, c=22

 \Delta~= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 22

 \Delta~= 25 - 88 \; = -63

Wystarczy zauważyć, że   \Delta~<0  - równanie nie ma więc rozwiązań.


  • Przykład 7

 x^{4}-3x^{2}-4=0

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

 t = x^{2}\

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

 t^{2}-3t-4=0\

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki   t_{1}\   oraz   t_{2}\ .

 \Delta~= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \; = 25

t_{1}=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2} \; = -1

t_{2}=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2} \; = 4

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

 t = x^{2}\

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

 -1 = x^{2}\

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

 x^{2}+1=0\

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ \Delta~<0 Zauważmy, że samo równanie    -1 = x^{2}\   jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

 4 = x^{2}\

 x^{2}-4=0\

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy    (x-2)(x+2)=0\

Równanie ma dwa rozwiązania: x_{1} = 2 i x_{2} = -2 (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków x_{1} i x_{2} dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia  t = x^{2}\ można dodać warunek  t \ge 0 . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.


  • Przykład 8 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^{2}+6x-7=0

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.

 x^{2}+6x-7=0 (*)     - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności.

"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:

 (x+3)^2 = 0 (**)

Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: (x+3)^2 = x^2+6x+9. Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba jedno z nich "wyrównać".

Skoro mamy otrzymać  x^{2}+6x-7, to odejmijmy 16 od równania (**) - żeby "przywrócić równowagę":    (x+3)^2 - 16

Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy x^{2}+6x-7=0. Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać:   x^{2}+6x-7 = (x+3)^2 - 16.
Teraz po kolei liczymy:

 (x+3)^2 - 16 = 0

 (x+3)^2 = 16     / Pierwiastkujemy obustronnie

 \sqrt{(x+3)^2} = \sqrt{16}

 \sqrt{(x+3)^2} = 4

Korzystamy z własności:    \sqrt{x^2} = |x| ,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

Porada

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną jest opisane w dziale Liczby i ich zbiory.

 |x+3| = 4

 x_{1} = -7, \; \; x_{2} = 1

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)


  • Przykład 9 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

x^2 - 4|x| - 12 \;=\; 0

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy x \ge 0 i drugi, gdy  x < 0.

1 przypadek dla x \ge 0

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
x^2 - 4x - 12 = 0
Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem x \ge 0.
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64
x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2
x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia x \ge 0, więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla  x < 0\,

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.
x^2 + 4x - 12 = 0
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64
x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6
x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2
Teraz x_{2} nie spełnia naszego założenia x<0, odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania:  x_{1} = 6   i  x_{2} = -6.


Nierówności kwadratowe

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na
  • obliczeniu miejsc zerowych,
  • narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
  • wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.
Dla nierówności dwukwadratowych
  • rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. t=x^2),
  • uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy x^2. Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
  • np.   t \in (4; 5) \; \rightarrow \; t>4, \, t<5 \; \rightarrow \; x^2>4, \, x^2<5     i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratowe[edytuj]

  • Przykład 1.  x^2 - 2x - 15 > 0
  • Przykład 2.  -x^2- 4x + 45 \ge 0
  • Przykład 3.  x^2 - 5x + 8 < 0
  • Przykład 4.  -x^2 - 6x - 10 < 0
  • Przykład 5.  x^4 - 13x^2 + 36 > 0
  • Przykład 6.  x^2 + 4x - 12 < 0



  • Przykład 1

x^2 - 2x - 15 > 0

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64

x_{1} = \frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2} = -3

x_{2} = \frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2} = 5

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach (\Delta>0), wcześniej obliczonych:

Nierownosc1.jpg

Porada

Pamiętaj, że wykres ma na celu tylko ułatwienie znalezienia rozwiązań nierówności. Dlatego nie musi być dokładny.

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

 x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

-\infty - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.


  • Przykład 2

 -x^2 - 4x + 45 \ge 0

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (45) = 16 + 180 = 196

x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{-2} = \frac{4-14}{-2} = 5

x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{-2} = \frac{4+14}{-2} = -9

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

Nierownosc2.jpg

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

 x\in <-9, 5>

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność  f(x) \ge 0.


  • Przykład 3

 x^2 - 5x + 8 < 0

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7

\Delta < 0\ - czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

Wykres3.PNG

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:

 x \in \varnothing


  • Przykład 4

 -x^2 - 6x - 10 < 0

\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 36 - 40 = -4

\Delta < 0\ - znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

Wykres4.PNG

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.

 x \in R


  • Przykład 5 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^4 - 13x^2 + 36 \,>\, 0

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

t = x^2; \;\; t \ge 0

t^2 - 13t + 36 \,>\, 0

\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25

\sqrt{\Delta} = 5

t_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4

t_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9

Porada

UWAGA!

To, że policzyliśmy wartości t_{1}  i  t_{2} nie oznacza, że już w tym miejscu korzystamy z założenia t=x^{2} w taki sposób, w jaki używaliśmy go przy równaniach, bowiem jeśli tak to zrobimy, to otrzymane wyniki będą nieprawidłowe! Właśnie tutaj ukazuje się nam różnica pomiędzy równaniami i nierównościami dwukwadratowymi!

Szkicujemy wykres funkcji t^2 - 13t + 36 > 0 i zaznaczamy część dodatnią:

Wykres5.PNG

Rozwiązaniem jest:

t \in (-\infty, 4) \cup (9, +\infty)

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

 t < 4\  lub   t > 9\

Podstawiamy  t = x^2  i rozwiązujemy dwie nierówności:

 x^2 < 4\  lub   x^2 > 9\

1.    x^2 < 4\

 (x-2)(x+2) < 0\
 x \in (-2,2) (pomijamy rysowanie wykresu)

2.    x^2 > 9\

 (x-3)(x+3) > 0\
 x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) (także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:

 x \in (-\infty, -3) \cup (-2,2) \cup (3, +\infty)

Porada

Jeśli nie potrafisz odczytać takiego wyniku w pamięci, możesz narysować oś liczbową, zaznaczyć na niej przedziały, a następnie rozwiązanie odczytać z rysunku.


  • Przykład 6 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^2 + 4x - 12 < 0

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64

\sqrt{\Delta} = 8

x_{1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6

x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

(x-(x_{1}))(x-x_{2}) < 0

(x+6)(x-2) < 0

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

  1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
  2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

\begin{cases} x+6 > 0 \\ x-2 < 0 \end{cases} lub \begin{cases} x+6 < 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}

czyli

\begin{cases} x > -6 \\ x < 2 \end{cases} lub \begin{cases} x < -6 \\ x > 2 \end{cases}

Rozwiązaniem pierwszego układu jest x \in (-6,2) , natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

x \in (-6,2)

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.



Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy ax^2 + bx + c o współczynnikach rzeczywistych, gdzie x_{1} i x_{2} są rozwiązaniami trójmianu

1. Jeżeli  \Delta~> 0, to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

y=a(x-x_1)(x-x_2)

2. Jeżeli  \Delta~= 0, to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

y=a(x-x_0)^2

3. Jeżeli  \Delta~< 0, to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:
 a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0
Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.
 a[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2}] = 0
Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:
 a[(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2] = 0
I stosujemy wzór a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
 a(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})
 a(x+\frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}) (x+\frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a})
 a(x+\frac{-(-b + \sqrt{\Delta})}{2a}) (x+\frac{-(-b - \sqrt{\Delta})}{2a})
 a(x-\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) (x-\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a})
Gdy \Delta < 0 to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.


Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

y=2(x-3)(x+4)

y=(x-9)(x+4)

y=(x-3)^2

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

Przykłady - postać iloczynowa[edytuj]

  • Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

  • Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:x^2+4x-5=0

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36

\sqrt{\Delta} = 6

x_{1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5

x_{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1

\Delta > 0\ więc korzystamy ze wzoru: y=a(x-x_1)(x-x_2). Widzimy, że a = 1.

1 \cdot (x-(-5))(x-1)=0

(x+5)(x-1)=0\

  • Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:2x^2 - 4x + 2 = 0

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

x_{0} = \frac{4}{4} = 1

\Delta = 0\ - korzystamy więc ze wzoru: y=a(x-x_0)^2. a jest równe 2.

2(x-1)^2 = 0

  • Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

(x-(-3))(x-7)=0

(x+3)(x-7)=0

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

x^2-7x+3x-21=0

x^2-4x-21=0

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).


Wzory Viete'a[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeżeli równanie kwadratowe ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) ma rozwiązania x_{1}, x_{2} \ , to:
x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dowód

\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b-\sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}


\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2-\Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

  • Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji  y=x^{2}+5x+6

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

x_{1} + x_{2} = \frac{-5}{1} = -5

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{6}{1} = 6

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc x_{1} = -2 i x_{2} = -3

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

  • Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

  • a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco: (x_{1}+x_{2})^2 Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

(\frac{-b}{a})^2

  • b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

x_{1}^2 + x_{2}^2

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

(x_{1} + x_{2})^2\

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

x_{1}^2 + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element 2x_{1}x_{2}. Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

(x_{1} + x_{2})^2\ - 2x_{1}x_{2}

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{c}{a})

  • c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak: \frac{1}{x_{1}^2} + \frac{1}{x_{2}^2}

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez x_{2}^2)

\frac{1}{x_{1}^2} = \frac{1 \cdot x_{2}^2}{x_{1}^2 \cdot x_{2}^2} = \frac{x_{2}^2}{              x_{2}^2 x_{1}^2}

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez x_{1}^2:

\frac{1}{x_{2}^2} = \frac{1 \cdot x_{1}^2}{x_{2}^2 \cdot x_{1}^2} = \frac{x_{1}^2}{x_{2}^2              x_{1}^2}

Porada Sprowadzanie do wspólnego mianownika takich wyrażeń będzie jeszcze dokładnie omawiane przy wyrażeniach wymiernych.

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

\frac{x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} + \frac{x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = \frac{x_{1}^2 + x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = \frac{(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości: 
\frac{(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot \frac{c}{a}}{(\frac{c}{a})^2}

  • d) Kwadrat różnicy: (x_{1} - x_{2})^2

(x_{1} - x_{2})^2 = x_{1}^2 - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2 = x_{1}^2 + x_{2}^2 - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 4x_{1}x_{2}

Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:

(\frac{-b}{a})^2 - 4 \cdot \frac{c}{a}

  • e) Suma sześcianów: x_{1}^3 + x_{2}^3

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:


(x_{1}+x_{2})(x_{1}^2 - x_{1}x_{2} + x_{2}^2) = (x_{1}+x_{2})(x_{1}^2 + x_{2}^2- x_{1}x_{2}) =

=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - x_{1}x_{2}) = (x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2 - 3x_{1}x_{2})\

Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy:

(-\frac{b}{a})((-\frac{b}{a})^2 - 3 \cdot \frac{c}{a})


Równania i nierówności z parametrem

  • Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-m \cdot x + 2=0 ma dwa różne miejsca zerowe?
  • Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-(m-2)\cdot x+4=0 ma jedno miejsce zerowe?
  • Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie (m^2-1)x^2+(m+1) \cdot x+1 = 0 ma jedno miejsce zerowe?
  • Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność m \cdot x^2 + (m+3) \cdot x - m + 1 < 0 jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?
  • Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x^2 + (m-3) \cdot x + m-2 = 0 osiąga minimum?
  • Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie (1-m)x^2 - 2m \cdot x + m + 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania ujemne?
  • Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie (1-m) \cdot x^2 - 2m \cdot x + m + 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania dodatnie?
  • Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji  \left | x^2-6x+5 \right | = m w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
  • Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-4m \cdot x+4m^2 - 1=0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

  • Przykład 1

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-mx+2=0 ma dwa różne miejsca zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a = 1, b = -m, c = 2

Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy \Delta > 0 . Policzmy więc deltę:

\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = m^2 - 8

Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy \Delta > 0 to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:

m^2 - 8 > 0

(m-\sqrt{8})\cdot(m+\sqrt{8}) > 0 pomijamy szkicowanie wykresu, nierówność rozwiązujemy pamięciowo

m_{1} = -\sqrt{8}, m_{2} = \sqrt{8}

m \in (-\infty, -\sqrt{8}) \cup ({\sqrt{8}, +\infty})

Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.

Porada W tym miejscu warto zwrócić uwagę na dokładnie ułożoną treść zadania - mamy policzyć kiedy równanie ma dwa różne miejsca zerowe. Gdy \Delta = 0 przyjmuje się, że funkcja ma dwa miejsca zerowe takie same . Gdybyśmy więc mieli obliczyć dla jakiej wartości parametru m funkcja ma dwa miejsca zerowe musielibyśmy postawić założenie \Delta \ge 0 , a nie \Delta > 0 . Jednak gdy mamy obliczyć kiedy funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe to stawiamy założenie \Delta = 0, co jest swoistym paradoksem. Należy więc zawsze dokładnie czytać treść zadania.

  • Przykład 2

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2 - (m-2) \cdot x + 4=0 ma jedno miejsce zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a=1, b =-(m-2), c=4

Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy \Delta = 0. Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.

\Delta = [-(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = [-m+2]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 -4m + 4 - 16 = m^2 - 4m -12

Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania m^2 - 4m -12

\Delta_{m} = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64

\sqrt{\Delta_{m}} = 8

m_{1} = \frac{4 - 8}{2} = -2

m_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla  m = -2 lub m = 6. Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.


  • Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie (m^2-1) \cdot x^2+(m+1) \cdot x+1 = 0 ma jedno miejsce zerowe?

Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy m \neq 1 i m \neq -1.

Porada Bardzo ważne jest to, że nie wolno liczyć delty jeśli nie wiemy czy mamy do czynienia z funkcją liniową czy kwadratową - jest to wtedy błąd rzeczowy. Dlatego gdy parametr występuje przy wartości x^2 trzeba rozważyć kilka przypadków!

Pierwszy przypadek dla m= -1

[(-1)^2-1] \cdot x^2 + (-1+1) \cdot x + 1 = 0

0x^2 + 0x + 1 = 0

1 = 0

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.

Drugi przypadek dla m=1

[1^2 -1] \cdot x^2 + 2x + 1 = 0

0x^2 + 2x + 1 = 0

2x = -1

x = -\frac{1}{2}

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla m = 1.

Trzeci przypadek dla m \neq 1 i m \neq -1. Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.

 \Delta = (m+1)^2 - 4 \cdot (m^2 -1) \cdot 1 = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 4 = -3m^2 + 2m + 5

Znowu mamy równanie kwadratowe.

\Delta_{m} = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 + 60 = 64

\sqrt{\Delta_{m}} = 8

m_{1} = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac {5}{3}

m_{2} = \frac{-2 + 8}{-6} = -1

Jak widać -1 odpada na mocy założenia "m \neq 1 i m \neq -1". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.

Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla m=1 i m=\frac{5}{3}.


  • Przykład 4

Dla jakiej wartości parametru m nierówność m \cdot x^2 + (m+3) \cdot x - m + 1 < 0 jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Znowu mamy parametr przy x^2. Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):

Wykres6.PNG

Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.

1 przypadek m=0

0x^2 + 3x - 0 + 1 < 0

3x < -1

x < -\frac{1}{3}

Nierówność jest spełniona tylko dla x < -\frac{1}{3} , czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli \Delta musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:

\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}

1. a < 0 \iff m < 0

2. \Delta < 0

\Delta = (m+3)^2 - 4 \cdot m \cdot (-m + 1)

m^2 + 6m + 9 - 4m \cdot (-m + 1) < 0

m^2 + 6m + 9 + 4m^2 - 4m < 0

5m^2 + 2m + 9 < 0

\Delta_{m} = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 4 - 180 = -176

Delta jest zawsze dodatnia (a > 0 i \Delta_{m} < 0). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.

m \in \varnothing


  • Przykład 5

Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x^2 + (m-3) \cdot x + m - 2 = 0 osiąga minimum?

Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:

\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_{1}^2+x_{2}^2 - min \end{cases}

Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.

\Delta = (m-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-2) = m^2 - 6m + 9 - 4m + 8 = m^2 - 10m + 17

\Delta_{m} = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 32

m_{1} = \frac{10 - 4\sqrt{2}}{2} = 5 - 2\sqrt{2}

m_{1} = \frac{10 + 4\sqrt{2}}{2} = 5 + 2\sqrt{2}

m \in (-\infty, 5 - 2\sqrt{2}> \cup <{5 + 2\sqrt{2}, +\infty})

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:

(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} = (\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{c}{a})

Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:

f(m) = (\frac{-m+3}{1})^2 - 2 \cdot (\frac{m-2}{1})

f(m) = m^2 - 6m + 9 - 2m + 4 = m^2 - 8m + 13\

Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:

f_{min} = m_{w} = \frac{8}{2} = 4

Punkt m=4 \notin (-\infty, 5 - 2\sqrt{2}) \cup ({5 + 2\sqrt{2}, +\infty}). Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:

f(5 - 2\sqrt{2}) = (5 - 2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (5 - 2\sqrt{2}) + 13 = 25 - 20\sqrt{2} + 8 - 40 + 16\sqrt{2} + 13 = 6 -4\sqrt{2}

f(5 + 2\sqrt{2}) = (5 + 2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (5 + 2\sqrt{2}) + 13 = 25 + 20\sqrt{2} + 8 - 40 - 16\sqrt{2} + 13 = 6 + 4\sqrt{2}

Funkcja osiąga minimum dla  m = 5 - 2\sqrt{2}


  • Przykład 6

Dla jakiej wartości parametru m równanie (1-m)x^2 - 2mx + m+2 = 0 ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.

Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które może mieć maksimum 1 rozwiązanie.

a \neq 0

Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:

\Delta > 0

Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. -3 \cdot -5 = 15), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. -3 + (-5) = -8). Mamy więc:

 x_{1} + x_{2} < 0 i  x_{1} \cdot x_{2} > 0

Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:

\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0  \\ x_{1} + x_{2} < 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}>0 \end{cases}

1. a \neq 0 \iff m \neq 1 - można odgadnąć pamięciowo.

2. \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot (1-m) \cdot (m+2) = 4m^2 - 4 (-m + 2 -m^2) = 4m^2 +4m -8 + 4m^2 = 8m^2 + 4m - 8 = 2m^2 +m - 2

\Delta > 0 \iff 2m^2 +m - 2 > 0

\Delta_{m} = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1+16 = 17

m_{1} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}

m_{2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}

m \in (-\infty, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17}) \cup (-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{17}, +\infty)

3. \frac{-b}{a} < 0

\frac{2m}{1-m} < 0

Porada Podaną nierówność można rozwiązać poprzez zamianę ilorazu na iloczyn. Znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu. Taka technika będzie jeszcze omawiana przy okazji funkcji homograficznej/wymiernej.

\frac{2m}{1-m} < 0 \iff 2m(1-m) < 0

2m(1-m) < 0

m_{1} = 0

m_{2} = 1

m \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

4. \frac{c}{a} > 0

\frac{m+2}{1-m} > 0 \iff (m+2)(1-m) > 0

m_{1} = -2

m_{2} = 1

m \in (-2, 1)

Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)

Przedzialy.PNG

Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:

(-2, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17})

który jest rozwiązaniem całego zadania.

m \in (-2, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17})


  • Przykład 7

Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.

Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:

\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases}

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:

\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases}


  • Przykład 8

Ustal liczbę rozwiązań funkcji  |x^2-6x+5| = m w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:

\begin{matrix} \underbrace{ |x^2-6x+5| =} \\ f(x) \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ m } \\ g(x) \end{matrix}

Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).

\Delta = 16

x_{1} = 1

x_{2} = 5

p = 3

q = -4

Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):

Bezwzgl.PNG

Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.

q' = 4

Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:

Bezwzgl2.PNG

Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:

0 rozwiązań dla m \in (-\infty, 0)

2 rozwiązańia dla m = 0

4 rozwiązania dla m \in (0, 4)

3 rozwiązania dla m = 4

2 rozwiązania dla m \in (4, +\infty)

Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:

Wykres7.PNG


  • Przykład 9

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-4mx+4m^2-1=0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że \Delta > 0 aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) ((x_{w} \in (-3,1)). Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:

Wykres8.PNG

Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera:

Wykres9.PNG

Czyli inaczej f(-3)>0 i f(1)>0.W ten sposób doprowadzamy parabolę do stanu, który jest podany w zadaniu. Mamy więc układ warunków:

\begin{cases} \Delta > 0 \\ x_{w} \in (-3,1) \\ f(-3) > 0 \\f(1) > 0 \end{cases}

1. \Delta > 0

\Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m^2-1) = 16m^2 - 16m^2 + 4 = 4

\Delta = 4 , czyli jest zawsze większa od 0. \Delta \in R

2. x_{w} \in (-3, 1)

\frac{-b}{2a} \in (-3, 1)

-3 < \frac{-b}{2a} < 1

\begin{cases} \frac{-b}{2a} > -3 \\ \frac{-b}{2a}<1 \end{cases}

Porada W tym miejscu nierówność podwójna, w celu uzyskania większej czytelności, została zapisana jako koniunkcja dwóch nierówności.

a) \frac{-b}{2a} > -3

\frac{4m}{2} > -3

2m > -3

m > -1.5

b) \frac{-b}{2a} < 1

2m < 1

m < \frac{1}{2}

m \in (-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

3. f(-3) > 0

f(x) = x^2 - 4mx+ 4m^2 - 1

f(-3) = (-3)^2 - 4 \cdot m \cdot (-3) + 4m^2 - 1 =  9 + 12m + 4m^2 - 1 = 4m^2 + 12m + 8

4m^2 + 12m + 8 > 0

\Delta = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 144 - 128 = 16

m_{1} = \frac{-12 - 4}{8} = -2

m_{2} = \frac{-12 + 4}{8} = -1

m \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)

4. f(1) > 0

f(1) = 1^2 - 4m + 4m^2 - 1 = 4m^2 - 4m

4m^2 - 4m > 0

4m(m-1) > 0

m_{1} = 0

m_{2} = 1

m \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

Częścią wspólną układu tych warunków jest przedział m \in (-1, 0) (najlepiej nałożyć rozwiązania na oś liczbową w celu lepszego odczytania wyniku).


Podsumowanie[edytuj]

  • f(x)=ax^2+bx+c, \;\; x\in\mathbb{R} \quad - funkcja kwadratowa w postaci ogólnej. Dodatkowo a\ne0.
  •  \Delta\,= b^2 - 4ac    - Delta (inaczej: wyróżnik kwadratowy)
  • Parabola     - nazwa wykresu funkcji kwadratowej (przypomina 'wzniesienie' lub też 'dolinę')
    • Dla a > 0 ramiona paraboli są skierowane ku górze.
    • Dla a < 0 ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.
    • (Dla a = 0 funkcja jest funkcją liniową)
  • Wierzchołek paraboli - ma współrzędne (xw, yw) lub (p, q):
p=\frac{-b}{2a}   oraz   q=\frac{-\Delta}{4a}  (p, q to odpowiednio x, y wierzchołka).
wierzchołek jest miejscem, gdzie funkcja osiąga ekstremum (minimum lub maksimum, w zależności, jak są skierowane ramiona).
  • Miejsca zerowe (pierwiastki) - ich ilość zależy od wartości delty \Delta\,:
    • Dla \Delta\,>0  są 2 miejsca zerowe równe x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
    • Dla \Delta\,=0  jest 1 miejsce zerowe, powyższe wzory sprowadzają się do x_0=\frac{-b}{2a}
    • Dla \Delta\,<0  nie ma miejsc zerowych
  • Postać iloczynowa - zawiera w swoim zapisie wartości pierwiastków, w zależności od delty \Delta\,:
    • Dla \Delta\,> 0  postać z dwoma pierwiastkami  y=a(x-x_1)(x-x_2)\,
    • Dla \Delta\,= 0  powyższy wzór można zapisać jako  y=a(x-x_0)^2\,
    • Dla \Delta\,< 0  nie istnieje postać iloczynowa
  • Postać kanoniczna - zawiera w swoim zapisie wartości współrzędnych wierzchołka paraboli:
y = a(x - p)^2 + q \quad \mbox{czyli} \quad y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}
zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji - wystarczy wykres  y = ax^2\,  przesunąć o wektor  [ p,\, q ].

Rozszerzone

  • Wzory Viete'a
x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a} \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Dodatkowe

  • Współczynnik c to miejsce przecięcia się funkcji z osią OY.
  • Wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie odległości pomiędzy miejscami zerowymi, x1 i x2.



Zadania z rozwiązaniami

Miejsca zerowe[edytuj]

  1. Wyznaczanie miejsc zerowych.
  2. (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała określoną ilość miejsc zerowych.
  3. (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała pierwiastki spełniające dane warunki.

Zad. (miejsca zerowe, delta) 
Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x)=2x^2+3x-2\,

Dane: a=2, b=3, c=-2

Znalezienie miejsc zerowych jest tym samym, co rozwiązanie równania f(x)=0\,, czyli  2x^2+3x-2 = 0\,

Obliczamy wartość \Delta~, po czym obliczamy wartości pierwiastków x1 i x2. W tym przypadku \Delta=25\,, a pierwiastkami są liczby x_1=-2,\;x_2=\tfrac{1}{2}.


Zad. (parametr, liczba miejsc zerowych) 
Wyznacz wartości współczynnika b, dla których funkcja f(x)=x^2+bx+9  posiada conajmniej jedno miejsce zerowe.

Określmy warunek z zadania: dla delty mniejszej niż 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych, dla pozostałych wartości posiada jedno lub dwa miejsca. Musi zachodzić więc \Delta\ge 0.

Po podstawieniu, otrzymujemy nierówność b^2-36 \ge 0\,.

Po narysowaniu uproszczonego wykresu, uzyskujemy rozwiązanie b\in  (-\infty, -6] \cup [6, +\infty ), to które spełnia warunek zadania.

Postać kanoniczna i wykresy funkcji[edytuj]

  1. Rysowanie wykresu.

x2+5x-6=0

Właściwości funkcji[edytuj]

  1. Zbiór wartości - wykres.
  2. Przedziały monotoniczności - wykres.
  3. Wyznaczanie wzoru funkcji z wykresu.
  4. Punkt przecięcia z osią OY.
  5. Określ zbiór wartości dla funkcji w danym przedziale.
  6. Znajdź minimum i maksimum funkcji w danym przedziale.
  7. (R) Szkicowanie wykresu funkcji.

Wierzchołek paraboli[edytuj]

  1. Wierzchołek paraboli.
  2. Najmniejsza (największa) wartość funkcji (R - z parametrem).
  3. Zadania optymalizacyjne.
  4. (R) Parametr.

Równania[edytuj]

  1. Znajdowanie rozwiązań równania.
  2. (R) Określanie liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru.
  3. (R) Określanie liczby rozwiązań równania z wartością bezwzględną.
  4. (R) Układ równań.
  5. (R) Wyznaczanie wartości parametru, dla którego zbiorem rozwiązań jest R / dziedziną funkcji jest R

Zad. (R)(liczba rozwiązań, wart. bezwzględna) 
Określ liczbę rozwiązań równania |x^2-2x-1|=m\,  w zależności od wartości parametru m.

Zadanie należy rozwiązać graficznie, dlatego też zaczniemy od rysowania funkcji f(x)=|x2-2x-1|, znajdujemy miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli (p, q). Miejscami zerowymi są 1-\sqrt{2}\; \mbox{oraz} \;1+\sqrt{2}, natomiast wierzchołkiem paraboli jest W(1, -2). Rysujemy wykres, odbijając wartości ujemne na dodatnią oś Y (wierzchołek będzie w punkcie (1, 2) po odbiciu).

Aby odczytać, ile funkcja ma w danym przedziale rozwiązań, możemy poprowadzić w dowolnym miejscu prostą równoległą do osi Ox, będzie to y=m. W danym miejscu ma tyle rozwiązań, ile razy się przecina z wykresem (np. prosta pokrywająca się z osią Ox, y=0 (dla m=0) ma 2 rozwiązania).

Otrzymujemy: dla m<0 jest 0 rozwiązań,   dla m\in (2,+\infty)\cup\{0\} są 2 rozwiązania,   dla m=2 są 3 rozwiązania,   dla m\in(0,2) są 4 rozwiązania.


Zad. (R)(parametr dla dziedziny R) 
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych,  f(x)=\frac{5x}{\sqrt{(m-3)x^2-2(m+1) + m + 1}}.

Na dziedzinę wpływają następujące rzeczy: mianownik ułamka musi być różny od zera, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Razem daje to warunek:

(m-3)x^2-2(m+1) + m + 1 > 0\,

Znajdujemy wartości m, dla których zachodzi powyższa nierówność - jak w zwykłej nierówności kwadratowej z parametrem.

Nierówności[edytuj]

F(x)=pierwiastek x^2+(k+2)x+2x+1

Wzory Viete'a[edytuj]

  1. (R) Obliczanie wyrażeń zawierających pierwiastki równania.

Zad. (R)(przekształcenia wzorów Vietea) 
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji g(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},  gdzie x1 i x2 są dwoma miejscami zerowymi funkcji f(x)=\;x^2+(m-1)x + m^2 + 3m -4\,.

Próbujemy przekształcić postać funkcji g(m), aby zawierała w sobie bezpośrednio wzory Viete'a:

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2+x_1}{x_1x_2} = \frac{\tfrac{-b}{a}}{\tfrac{c}{a}}
g(m)=\frac{-b}{c}\;=\;\frac{-(m-1)}{m^2+3m-4}= -\frac{1}{m+4}

Określamy dziedzinę funkcji g, biorąc pod uwagę mianownik m2+3m-4 = (m-1)(m+4) (branie tylko m+4 ze skróconej wersji byłoby błędem), D_g = R\setminus\{-4,1\}


Ćwiczenia - funkcja kwadratowa[edytuj]

Zad. Podaj wszystkie właściwości funkcji kwadratowej określonej wzorem:

 y=2x^2-4x-6\,

 y=-x^2+2x+8\,

 y=3x^2-4,5x-3\,

 y=-x^2+2x+3\,

 y=0,5x^2+x-4\,

 y=-x^2+0,5x+1,5\,


Właściwości funkcji kwadratowej (dla pomocy)

1) Dziedzina funkcji
2) Punkty przecięcia z osią oy
3) Punkty przecięcia z osią ox
4) Miejsca zerowe funkcji
5) Współrzędne wierzchołka
6) Wykres
7) Oś symetrii
8) Zbiór wartości
9) Przedziały monotoniczności
10) Wartości dodatnie
11) Wartości ujemne
12) Wartości nieujemne
13) Najmniejsza i największa wartość
14) Postać kanoniczna
15) Postać iloczynowa