Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na
  • obliczeniu miejsc zerowych,
  • narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
  • wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.
Dla nierówności dwukwadratowych
  • rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. t=x^2),
  • uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy x^2. Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
  • np.   t \in (4; 5) \; \rightarrow \; t>4, \, t<5 \; \rightarrow \; x^2>4, \, x^2<5     i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratowe[edytuj]

  • Przykład 1.  x^2 - 2x - 15 > 0
  • Przykład 2.  -x^2- 4x + 45 \ge 0
  • Przykład 3.  x^2 - 5x + 8 < 0
  • Przykład 4.  -x^2 - 6x - 10 < 0
  • Przykład 5.  x^4 - 13x^2 + 36 > 0
  • Przykład 6.  x^2 + 4x - 12 < 0



  • Przykład 1

x^2 - 2x - 15 > 0

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64

x_{1} = \frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2} = -3

x_{2} = \frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2} = 5

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach (\Delta>0), wcześniej obliczonych:

Nierownosc1.jpg

Porada

Pamiętaj, że wykres ma na celu tylko ułatwienie znalezienia rozwiązań nierówności. Dlatego nie musi być dokładny.

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

 x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

-\infty - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.


  • Przykład 2

 -x^2 - 4x + 45 \ge 0

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (45) = 16 + 180 = 196

x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{-2} = \frac{4-14}{-2} = 5

x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{-2} = \frac{4+14}{-2} = -9

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

Nierownosc2.jpg

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

 x\in <-9, 5>

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność  f(x) \ge 0.


  • Przykład 3

 x^2 - 5x + 8 < 0

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7

\Delta < 0\ - czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

Wykres3.PNG

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:

 x \in \varnothing


  • Przykład 4

 -x^2 - 6x - 10 < 0

\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 36 - 40 = -4

\Delta < 0\ - znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

Wykres4.PNG

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.

 x \in R


  • Przykład 5 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^4 - 13x^2 + 36 \,>\, 0

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

t = x^2; \;\; t \ge 0

t^2 - 13t + 36 \,>\, 0

\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25

\sqrt{\Delta} = 5

t_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4

t_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9

Porada

UWAGA!

To, że policzyliśmy wartości t_{1}  i  t_{2} nie oznacza, że już w tym miejscu korzystamy z założenia t=x^{2} w taki sposób, w jaki używaliśmy go przy równaniach, bowiem jeśli tak to zrobimy, to otrzymane wyniki będą nieprawidłowe! Właśnie tutaj ukazuje się nam różnica pomiędzy równaniami i nierównościami dwukwadratowymi!

Szkicujemy wykres funkcji t^2 - 13t + 36 > 0 i zaznaczamy część dodatnią:

Wykres5.PNG

Rozwiązaniem jest:

t \in (-\infty, 4) \cup (9, +\infty)

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

 t < 4\  lub   t > 9\

Podstawiamy  t = x^2  i rozwiązujemy dwie nierówności:

 x^2 < 4\  lub   x^2 > 9\

1.    x^2 < 4\

 (x-2)(x+2) < 0\
 x \in (-2,2) (pomijamy rysowanie wykresu)

2.    x^2 > 9\

 (x-3)(x+3) > 0\
 x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) (także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:

 x \in (-\infty, -3) \cup (-2,2) \cup (3, +\infty)

Porada

Jeśli nie potrafisz odczytać takiego wyniku w pamięci, możesz narysować oś liczbową, zaznaczyć na niej przedziały, a następnie rozwiązanie odczytać z rysunku.


  • Przykład 6 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^2 + 4x - 12 < 0

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64

\sqrt{\Delta} = 8

x_{1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6

x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

(x-(x_{1}))(x-x_{2}) < 0

(x+6)(x-2) < 0

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

  1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
  2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

\begin{cases} x+6 > 0 \\ x-2 < 0 \end{cases} lub \begin{cases} x+6 < 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}

czyli

\begin{cases} x > -6 \\ x < 2 \end{cases} lub \begin{cases} x < -6 \\ x > 2 \end{cases}

Rozwiązaniem pierwszego układu jest x \in (-6,2) , natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

x \in (-6,2)

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.