[edytuj] Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy $ax^2 + bx + c$ o współczynnikach rzeczywistych, gdzie $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami trójmianu

1. Jeżeli $\Delta~> 0$ , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

2. Jeżeli $\Delta~= 0$ , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

$y=a(x-x_0)^2$

3. Jeżeli $\Delta~< 0$ , to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:

$a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0$

Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.

$a[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2}] = 0$

Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:

$a[(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2] = 0$

I stosujemy wzór $a^2-b^2$ = (a-b)(a+b)

$a(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})$

$a(x+\frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}) (x+\frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a})$

$a(x+\frac{-(-b + \sqrt{\Delta})}{2a}) (x+\frac{-(-b - \sqrt{\Delta})}{2a})$

$a(x-\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) (x-\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a})$

Gdy $\Delta < 0$ to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.

Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

$y=2(x-3)(x+4)$

$y=(x-9)(x+4)$

$y=(x-3)^2$

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

[edytuj] Przykłady - postać iloczynowa

Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie: $x^2+4x-5=0$

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36$

$\sqrt{\Delta} = 6$

$x_{1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$

$x_{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$

$\Delta > 0\$ więc korzystamy ze wzoru: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Widzimy, że a = 1.

$1 \cdot (x-(-5))(x-1)=0$

$(x+5)(x-1)=0\$

Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie: $2x^2 - 4x + 2 = 0$

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0$

$x_{0} = \frac{4}{4} = 1$

$\Delta = 0\$ - korzystamy więc ze wzoru: $y=a(x-x_0)^2$ . a jest równe 2.

$2(x-1)^2 = 0$

Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

$(x-(-3))(x-7)=0$