Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania i nierówności z parametrem

Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-m \cdot x + 2=0$ ma dwa różne miejsca zerowe?

Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-(m-2)\cdot x+4=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(m^2-1)x^2+(m+1) \cdot x+1 = 0$ ma jedno miejsce zerowe?

Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność $m \cdot x^2 + (m+3) \cdot x - m + 1 < 0$ jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania $x^2 + (m-3) \cdot x + m-2 = 0$ osiąga minimum?

Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)x^2 - 2m \cdot x + m + 2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m) \cdot x^2 - 2m \cdot x + m + 2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie?

Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji $\left | x^2-6x+5 \right | = m$ w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-4m \cdot x+4m^2 - 1=0$ ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Przykład 1

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-mx+2=0$ ma dwa różne miejsca zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a = 1, b = -m, c = 2

Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy $\Delta > 0$ . Policzmy więc deltę:

$\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = m^2 - 8$

Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy $\Delta > 0$ to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:

$m^2 - 8 > 0$

$(m-\sqrt{8})\cdot(m+\sqrt{8}) > 0$ pomijamy szkicowanie wykresu, nierówność rozwiązujemy pamięciowo

$m_{1} = -\sqrt{8}, m_{2} = \sqrt{8}$

$m \in (-\infty, -\sqrt{8}) \cup ({\sqrt{8}, +\infty})$

Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.

W tym miejscu warto zwrócić uwagę na dokładnie ułożoną treść zadania - mamy policzyć kiedy równanie ma dwa różne miejsca zerowe. Gdy $\Delta = 0$ przyjmuje się, że funkcja ma dwa miejsca zerowe takie same . Gdybyśmy więc mieli obliczyć dla jakiej wartości parametru m funkcja ma dwa miejsca zerowe musielibyśmy postawić założenie $\Delta \ge 0$ , a nie $\Delta > 0$ . Jednak gdy mamy obliczyć kiedy funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe to stawiamy założenie $\Delta = 0$ , co jest swoistym paradoksem. Należy więc zawsze dokładnie czytać treść zadania.

Przykład 2

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2 - (m-2) \cdot x + 4=0$ ma jedno miejsce zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a=1, b =-(m-2), c=4

Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy $\Delta = 0$ . Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.

$\Delta = [-(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = [-m+2]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 -4m + 4 - 16 = m^2 - 4m -12$

Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania $m^2 - 4m -12$

$\Delta_{m} = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

$\sqrt{\Delta_{m}} = 8$

$m_{1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$

$m_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6$

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla $m = -2$ lub $m = 6$ . Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.

Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie $(m^2-1) \cdot x^2+(m+1) \cdot x+1 = 0$ ma jedno miejsce zerowe?

Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy $m \neq 1$ i $m \neq -1$ .

Bardzo ważne jest to, że nie wolno liczyć delty jeśli nie wiemy czy mamy do czynienia z funkcją liniową czy kwadratową - jest to wtedy błąd rzeczowy. Dlatego gdy parametr występuje przy wartości $x^2$ trzeba rozważyć kilka przypadków!

Pierwszy przypadek dla m= -1

$[(-1)^2-1] \cdot x^2 + (-1+1) \cdot x + 1 = 0$

$0x^2 + 0x + 1 = 0$

$1 = 0$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.

Drugi przypadek dla m=1

$[1^2 -1] \cdot x^2 + 2x + 1 = 0$

$0x^2 + 2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla $m = 1$ .

Trzeci przypadek dla $m \neq 1$ i $m \neq -1$ . Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.

$\Delta = (m+1)^2 - 4 \cdot (m^2 -1) \cdot 1 = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 4 = -3m^2 + 2m + 5$

Znowu mamy równanie kwadratowe.

$\Delta_{m} = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 + 60 = 64$

$\sqrt{\Delta_{m}} = 8$

$m_{1} = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac {5}{3}$

$m_{2} = \frac{-2 + 8}{-6} = -1$

Jak widać -1 odpada na mocy założenia " $m \neq 1$ i $m \neq -1$ ". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.

Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla $m=1$ i $m=\frac{5}{3}$ .

Przykład 4

Dla jakiej wartości parametru m nierówność $m \cdot x^2 + (m+3) \cdot x - m + 1 < 0$ jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Znowu mamy parametr przy $x^2$ . Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):

Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.

1 przypadek m=0

$0x^2 + 3x - 0 + 1 < 0$

$3x < -1$

$x < -\frac{1}{3}$

Nierówność jest spełniona tylko dla $x < -\frac{1}{3}$ , czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli $\Delta$ musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:

$\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$

1. $a < 0 \iff m < 0$

2. $\Delta < 0$

$\Delta = (m+3)^2 - 4 \cdot m \cdot (-m + 1)$

$m^2 + 6m + 9 - 4m \cdot (-m + 1) < 0$

$m^2 + 6m + 9 + 4m^2 - 4m < 0$

$5m^2 + 2m + 9 < 0$

$\Delta_{m} = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 4 - 180 = -176$

Delta jest zawsze dodatnia ( $a > 0$ i $\Delta_{m} < 0$ ). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.

$m \in \varnothing$

Przykład 5

Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania $x^2 + (m-3) \cdot x + m - 2 = 0$ osiąga minimum?

Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:

$\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_{1}^2+x_{2}^2 - min \end{cases}$

Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.

$\Delta = (m-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-2) = m^2 - 6m + 9 - 4m + 8 = m^2 - 10m + 17$

$\Delta_{m} = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 32$

$m_{1} = \frac{10 - 4\sqrt{2}}{2} = 5 - 2\sqrt{2}$

$m_{1} = \frac{10 + 4\sqrt{2}}{2} = 5 + 2\sqrt{2}$

$m \in (-\infty, 5 - 2\sqrt{2}> \cup <{5 + 2\sqrt{2}, +\infty})$

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:

$(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} = (\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{c}{a})$

Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:

$f(m) = (\frac{-m+3}{1})^2 - 2 \cdot (\frac{m-2}{1})$

$f(m) = m^2 - 6m + 9 - 2m + 4 = m^2 - 8m + 13\$

Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:

$f_{min} = m_{w} = \frac{8}{2} = 4$

Punkt $m=4 \notin (-\infty, 5 - 2\sqrt{2}) \cup ({5 + 2\sqrt{2}, +\infty})$ . Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:

$f(5 - 2\sqrt{2}) = (5 - 2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (5 - 2\sqrt{2}) + 13 = 25 - 20\sqrt{2} + 8 - 40 + 16\sqrt{2} + 13 = 6 -4\sqrt{2}$

$f(5 + 2\sqrt{2}) = (5 + 2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (5 + 2\sqrt{2}) + 13 = 25 + 20\sqrt{2} + 8 - 40 - 16\sqrt{2} + 13 = 6 + 4\sqrt{2}$

Funkcja osiąga minimum dla $m = 5 - 2\sqrt{2}$

Przykład 6

Dla jakiej wartości parametru m równanie $(1-m)x^2 - 2mx + m+2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.

Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które może mieć maksimum 1 rozwiązanie.

$a \neq 0$

Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:

$\Delta > 0$

Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. $-3 \cdot -5 = 15$ ), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. $-3 + (-5) = -8$ ). Mamy więc:

$x_{1} + x_{2} < 0$ i $x_{1} \cdot x_{2} > 0$

Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:

$\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1} + x_{2} < 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}>0 \end{cases}$

1. $a \neq 0 \iff m \neq 1$ - można odgadnąć pamięciowo.

2. $\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot (1-m) \cdot (m+2) = 4m^2 - 4 (-m + 2 -m^2) = 4m^2 +4m -8 + 4m^2 = 8m^2 + 4m - 8 = 2m^2 +m - 2$

$\Delta > 0 \iff 2m^2 +m - 2 > 0$

$\Delta_{m} = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1+16 = 17$

$m_{1} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$

$m_{2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

$m \in (-\infty, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17}) \cup (-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{17}, +\infty)$

3. $\frac{-b}{a} < 0$

$\frac{2m}{1-m} < 0$

Podaną nierówność można rozwiązać poprzez zamianę ilorazu na iloczyn. Znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu. Taka technika będzie jeszcze omawiana przy okazji funkcji homograficznej/wymiernej.

$\frac{2m}{1-m} < 0 \iff 2m(1-m) < 0$

$2m(1-m) < 0$

$m_{1} = 0$

$m_{2} = 1$

$m \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$

4. $\frac{c}{a} > 0$

$\frac{m+2}{1-m} > 0 \iff (m+2)(1-m) > 0$

$m_{1} = -2$

$m_{2} = 1$

$m \in (-2, 1)$

Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)

Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:

$(-2, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17})$

który jest rozwiązaniem całego zadania.

$m \in (-2, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17})$

Przykład 7

Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.

Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:

$\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases}$

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:

$\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases}$

Przykład 8

Ustal liczbę rozwiązań funkcji $|x^2-6x+5| = m$ w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:

$\begin{matrix} \underbrace{ |x^2-6x+5| =} \\ f(x) \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ m } \\ g(x) \end{matrix}$

Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).

$\Delta = 16$

$x_{1} = 1$

$x_{2} = 5$

$p = 3$

$q = -4$

Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):

Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.

q' = 4

Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:

Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:

0 rozwiązań dla $m \in (-\infty, 0)$

2 rozwiązańia dla $m = 0$

4 rozwiązania dla $m \in (0, 4)$

3 rozwiązania dla $m = 4$

2 rozwiązania dla $m \in (4, +\infty)$

Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:

Przykład 9

Dla jakiej wartości parametru m równanie $x^2-4mx+4m^2-1=0$ ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że $\Delta > 0$ aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) $((x_{w} \in (-3,1))$ . Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:

Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera: