Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe

[edytuj] Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy $ax^2 + bx + c$ o współczynnikach rzeczywistych, $a\not=0$ .

1. Jeżeli $\Delta~> 0$ , to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

2. Jeżeli $\Delta~= 0$ , to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

$x_0=\frac{-b}{2a}$

3. Jeżeli $\Delta~< 0$ , to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

$a\left (x-p\right )^2 + q = 0$

$a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a} \quad : a$

$\left (x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę dodatnią). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni ( $4a^2 > 0$ ). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy $\Delta < 0$ , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).

2. Gdy $\Delta = 0$ , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:

$\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = 0$ / Pierwiastkujemy obustronnie

$x = \frac{-b}{2a}$

Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).

3. Gdy $\Delta > 0$ , otrzymujemy:

$\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$ / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z $\sqrt{x^2} = |x|$

$|x+\frac{b}{2a}| = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:

Przypadek 1: dla $x+\frac{b}{2a} > 0$ - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.

$x_{1}+\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{b}{2a}$

$x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta} - b}{2a} \; = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Przypadek 2: dla $x+\frac{b}{2a} < 0$ - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:

$-x_{2}-\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_{2} = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

więc, dla $\Delta > 0$ rozwiązaniami są $x_{1} = \tfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_{2} = \tfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

[edytuj] Równania kwadratowe - w skrócie

Wzory na miejsca zerowe

dla $\Delta>0$ 2 miejsca zerowe: $x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ,
dla $\Delta=0$ 1 miejsce zerowe: $x_0=\tfrac{-b}{2a}$ ,
dla $\Delta<0$ miejsca zerowe nie istnieją.

Metoda wyłączania wspólnego czynnika

równanie postaci np. $x^2 + x = 0$
przekształcamy do $x(x+1) = 0$ , po czym rozwiązujemy: x=0 oraz (x+1) = 0.

Wzory skróconego mnożenia

np. $x^2+6x+9 = 0 \; \; \rightarrow \;\;(x+3)^2 = 0$
np. $x^2-9 = 0 \; \; \rightarrow \; \;(x+3)(x-3) = 0$

Równanie dwukwadratowe

równanie postaci $ax^4 + bx^2 + c \,=\, 0$ rozwiązujemy metodą podstawiania,
przy założeniu $t = x^2$ rozwiązujemy $at^2 + bt + c \;=\; 0$ ,
uzyskane pierwiastki $t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,t_{4}$ , które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

[edytuj] Przykłady - równania kwadratowe

Rozwiąż równania:

Przykład 1. $x^{2}-3x-4=0$
Przykład 2. $x^{2}-4=0$
Przykład 3. $x^{2}-6x+9=0$
Przykład 4. $x^{2}-2x=3x+5$
Przykład 5. $-x^{2}-2x=0$
Przykład 6. $x^{2}-5x+22=0$
Przykład 7. $x^{4}-3x^{2}-4=0$ (równanie dwukwadratowe)
Przykład 8. $x^{2}+6x-7=0$
Przykład 9. $x^2-4|x|-12=0$ (równanie z modułem)

Przykład 1

$x^{2} - 3x - 4 = 0$

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą: $a = 1,\; b = -3,\; c = -4$ .

$\Delta~= b^2 - 4ac$

$\Delta~ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)$

$\Delta~ = 25$

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

$x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

$x_1=\frac{3-5}{2} \;= -1$

$x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

$x_2=\frac{3+5}{2} \; =4$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: $x_{1}=-1\$ i $x_{2}=4\$ .

Przykład 2

$x^{2}-4=0$

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie $a=1, b=0, c=-4$ . Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$a^{2} - b^{2} = (a-b) \cdot (a+b)\$

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian $x^2-4 = 0$ na postać iloczynową:

$(x-2) \cdot (x+2) = 0\$

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są: 2 oraz -2.

Przykład 3

$x^{2}-6x + 9 = 0$

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

$a = 1, \; b=-6, \; c=9$

$\Delta~= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9$

$\Delta~= 36 - 36 \; =0$

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

$x_{0} = \frac{-b}{2a}$

$x_{0} = \frac{-(-6)}{2} \; =3$

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\$

Przyrównujemy w myślach $x^{2}-6x + 9 = 0$ i $a^{2} - 2ab + b^{2}\$ ...
$(x-3)^2 = x^2 - 2*1*3 + 3^2$

Otrzymujemy:

$(x-3)^{2} = 0\$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).

Przykład 4

$x^{2}-2x = 3x + 5$

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

$x^{2}-5x - 5 = 0$

$a = 1, \; b=-5, \; c=-5$

$\Delta~= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) \; = 45$

$x_{1}=\tfrac{-(-5)-\sqrt{45}}{2}$

$x_{1}=\tfrac{5-3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}$

$x_{2}=\tfrac{-(-5)+\sqrt{45}}{2}$

$x_{2}=\tfrac{5+3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}$

Rozwiązaniami tego równania są liczby $x_{1}=\tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}, \; \; \; x_{2}=\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}$

Przykład 5

$-x^{2}-2x=0$

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

$(-x^{2}-2x)=0\$

$x(-x-2)=0\$

Powyższe równanie zachodzi gdy:
$x= 0$ lub $-x-2 = 0$

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.

Przykład 6

$x^{2}-5x+22=0$

Policzmy deltę:

$a = 1, b=-5, c=22$

$\Delta~= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 22$

$\Delta~= 25 - 88 \; = -63$

Wystarczy zauważyć, że $\Delta~<0$ - równanie nie ma więc rozwiązań.

Przykład 7

$x^{4}-3x^{2}-4=0$

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

$t = x^{2}\$

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

$t^{2}-3t-4=0\$

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki $t_{1}\$ oraz $t_{2}\$ .

$\Delta~= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \; = 25$

$t_{1}=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2} \; = -1$

$t_{2}=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2} \; = 4$

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

$t = x^{2}\$

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

$-1 = x^{2}\$

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

$x^{2}+1=0\$

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ $\Delta~<0$ Zauważmy, że samo równanie $-1 = x^{2}\$ jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

$4 = x^{2}\$

$x^{2}-4=0\$

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy $(x-2)(x+2)=0\$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 2$ i $x_{2} = -2$ (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków $x_{1}$ i $x_{2}$ dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia $t = x^{2}\$ można dodać warunek $t \ge 0$ . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.

Przykład 8 (R)

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

$x^{2}+6x-7=0$

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.

$x^{2}+6x-7=0$ (*) - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności.

"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:

$(x+3)^2 = 0$ (**)

Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: $(x+3)^2 = x^2+6x+9$ . Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba jedno z nich "wyrównać".

Skoro mamy otrzymać $x^{2}+6x-7$ , to odejmijmy 16 od równania (**) - żeby "przywrócić równowagę": $(x+3)^2 - 16$

Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy $x^{2}+6x-7=0$ . Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać: $x^{2}+6x-7 = (x+3)^2 - 16$ .
Teraz po kolei liczymy:

$(x+3)^2 - 16 = 0$

$(x+3)^2 = 16$ / Pierwiastkujemy obustronnie

$\sqrt{(x+3)^2} = \sqrt{16}$

$\sqrt{(x+3)^2} = 4$

Korzystamy z własności: $\sqrt{x^2} = |x|$ , po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną jest opisane w dziale Liczby i ich zbiory.

$|x+3| = 4$

$x_{1} = -7, \; \; x_{2} = 1$

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)