Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Wiadomości wstępne

Wiadomości wstępne

Co to jest funkcja kwadratowa? Czasem do opisu liczbowego nie wystarcza nam funkcja liniowa - np. gdy chcemy opisać pole powierzchni pewnego kwadratu, będzie ono wyrażone wzorem x². Druga potęga iksa znajduje się właśnie we wzorze funkcji kwadratowej.

DEFINICJA Funkcję określoną wzorem $f(x)=ax^2+bx+c\$, gdzie $a,b,c,x \in \mathbb{R} \mbox{ i } a \neq 0$ nazywamy funkcją kwadratową.

Wyrażenie $ax^2+bx+c\$, gdzie $a\ne 0$, jest nazywane trójmianem kwadratowym.

Przykłady

• $f(x)=2x^2+3x+4\ \quad -$ tutaj: $a = 2,\; b = 3,\; c = 4\$
• $f(x)=x^2+3x-5\ \quad -$ tutaj: $a = 1,\; b = 3,\; c = -5\$

• $f(x)=-x^2+4\ \quad -$ teraz: $a = -1,\; b = 0,\; c = 4\$
• $f(x)=x^2\ \quad -$ wreszcie tutaj: $a = 1,\; b = 0,\; c = 0\$.

Przykład 'z treścią':

Powierzchnia pewnego lokalu ma kształt kwadratu, cena za 1m² wynosi 7zł, dodatkowo do ceny należy doliczyć opłatę 150zł. Zapisz wzór na cenę lokalu, jeżeli długość boku kwadratu wynosi x.

Odp: Cenę y można obliczyć ze wzoru:  $y=7\cdot x^2+150\,$.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest linia nazywana parabolą. Poniżej wykres funkcji $f(x)=x^2$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego (delta)

Charakterystyczną cechą wyróżnika jest to, że jego wartość określa, czy funkcja przecina oś OX - a jeśli przecina, to w ilu miejscach (1 lub 2). Stosowany jest więc głównie przy znajdowaniu miejsc zerowych.

• oznacza się symbolem greckiej litery alfabetu $\Delta$ (Delta)
• oblicza się go ze wzoru: $\Delta~= b^2 - 4ac$