Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcja kwadratowa

[edytuj] Wzory Viete'a

TWIERDZENIE

Jeżeli równanie kwadratowe $a x 2 + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ ma rozwiązania $x_{1}, x_{2} \$ , to:
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dowód

$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b-\sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2-\Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji $y = x 2 + 5 x + 6$

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

$x_{1} + x_{2} = \frac{-5}{1} = -5$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{6}{1} = 6$

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc $x 1 = - 2$ i $x 2 = - 3$

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco: $(x 1 + x 2) 2$ Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

$(\frac{-b}{a})^2$

b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

$x_{1}^2 + x_{2}^2$

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

$(x_{1} + x_{2})^2\$

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

$x_{1}^2 + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2$

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element $2 x 1 x 2$ . Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

$(x_{1} + x_{2})^2\ - 2x_{1}x_{2}$

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

$(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{c}{a})$

c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak: $\frac{1}{x_{1}^2} + \frac{1}{x_{2}^2}$

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez $x_{2}^2$ )

$\frac{1}{x_{1}^2} = \frac{1 \cdot x_{2}^2}{x_{1}^2 \cdot x_{2}^2} = \frac{x_{2}^2}{ x_{2}^2 x_{1}^2}$

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez $x_{1}^2$ :

$\frac{1}{x_{2}^2} = \frac{1 \cdot x_{1}^2}{x_{2}^2 \cdot x_{1}^2} = \frac{x_{1}^2}{x_{2}^2 x_{1}^2}$

Sprowadzanie do wspólnego mianownika takich wyrażeń będzie jeszcze dokładnie omawiane przy wyrażeniach wymiernych.

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

$\frac{x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} + \frac{x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = \frac{x_{1}^2 + x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = \frac{(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}$

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości: $\frac{(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot \frac{c}{a}}{(\frac{c}{a})^2}$

d) Kwadrat różnicy: $(x 1 - x 2) 2$

$(x_{1} - x_{2})^2 = x_{1}^2 - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2 = x_{1}^2 + x_{2}^2 - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 4x_{1}x_{2}$