Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Zadania z rozwiązaniami

Miejsca zerowe

1. Wyznaczanie miejsc zerowych.
2. (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała określoną ilość miejsc zerowych.
3. (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała pierwiastki spełniające dane warunki.

---

Zad. (miejsca zerowe, delta) 

Znajdź miejsca zerowe funkcji $f(x)=2x^2+3x-2\,$

Dane: a=2, b=3, c=-2

Znalezienie miejsc zerowych jest tym samym, co rozwiązanie równania $f(x)=0\,$, czyli  $2x^2+3x-2 = 0\,$. 

Obliczamy wartość $\Delta~$, po czym obliczamy wartości pierwiastków x₁ i x₂. W tym przypadku $\Delta=25\,$, a pierwiastkami są liczby $x_1=-2,\;x_2=\tfrac{1}{2}$.

---

Zad. (parametr, liczba miejsc zerowych) 

Wyznacz wartości współczynnika b, dla których funkcja $f(x)=x^2+bx+9$  posiada conajmniej jedno miejsce zerowe.

Określmy warunek z zadania: dla delty mniejszej niż 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych, dla pozostałych wartości posiada jedno lub dwa miejsca. Musi zachodzić więc $\Delta\ge 0$.

Po podstawieniu, otrzymujemy nierówność $b^2-36 \ge 0\,$.

Po narysowaniu uproszczonego wykresu, uzyskujemy rozwiązanie $b\in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty )$, to które spełnia warunek zadania.

Postać kanoniczna i wykresy funkcji

1. Rysowanie wykresu.

x²+5x-6=0

Właściwości funkcji

1. Zbiór wartości - wykres.
2. Przedziały monotoniczności - wykres.
3. Wyznaczanie wzoru funkcji z wykresu.
4. Punkt przecięcia z osią OY.
5. Określ zbiór wartości dla funkcji w danym przedziale.
6. Znajdź minimum i maksimum funkcji w danym przedziale.
7. (R) Szkicowanie wykresu funkcji.

Wierzchołek paraboli

1. Wierzchołek paraboli.
2. Najmniejsza (największa) wartość funkcji (R - z parametrem).
3. Zadania optymalizacyjne.
4. (R) Parametr.

Równania

1. Znajdowanie rozwiązań równania.
2. (R) Określanie liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru.
3. (R) Określanie liczby rozwiązań równania z wartością bezwzględną.
4. (R) Układ równań.
5. (R) Wyznaczanie wartości parametru, dla którego zbiorem rozwiązań jest R / dziedziną funkcji jest R

---

Zad. (R)(liczba rozwiązań, wart. bezwzględna) 

Określ liczbę rozwiązań równania $|x^2-2x-1|=m\,$  w zależności od wartości parametru m.

Zadanie należy rozwiązać graficznie, dlatego też zaczniemy od rysowania funkcji f(x)=|x²-2x-1|, znajdujemy miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli (p, q). Miejscami zerowymi są $1-\sqrt{2}\; \mbox{oraz} \;1+\sqrt{2}$, natomiast wierzchołkiem paraboli jest W(1, -2). Rysujemy wykres, odbijając wartości ujemne na dodatnią oś Y (wierzchołek będzie w punkcie (1, 2) po odbiciu).

Aby odczytać, ile funkcja ma w danym przedziale rozwiązań, możemy poprowadzić w dowolnym miejscu prostą równoległą do osi Ox, będzie to y=m. W danym miejscu ma tyle rozwiązań, ile razy się przecina z wykresem (np. prosta pokrywająca się z osią Ox, y=0 (dla m=0) ma 2 rozwiązania).

Otrzymujemy: dla m<0 jest 0 rozwiązań,   dla $m\in (2,+\infty)\cup\{0\}$ są 2 rozwiązania,   dla m=2 są 3 rozwiązania,   dla $m\in(0,2)$ są 4 rozwiązania.

---

Zad. (R)(parametr dla dziedziny R) 

Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych,  $f(x)=\frac{5x}{\sqrt{(m-3)x^2-2(m+1) + m + 1}}$.

Na dziedzinę wpływają następujące rzeczy: mianownik ułamka musi być różny od zera, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Razem daje to warunek:

$(m-3)x^2-2(m+1) + m + 1 > 0\,$

Znajdujemy wartości m, dla których zachodzi powyższa nierówność - jak w zwykłej nierówności kwadratowej z parametrem.

Wzory Viete'a

1. (R) Obliczanie wyrażeń zawierających pierwiastki równania.

---

Zad. (R)(przekształcenia wzorów Vietea) 

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $g(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,  gdzie x₁ i x₂ są dwoma miejscami zerowymi funkcji $f(x)=\;x^2+(m-1)x + m^2 + 3m -4\,$.

Próbujemy przekształcić postać funkcji g(m), aby zawierała w sobie bezpośrednio wzory Viete'a:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2+x_1}{x_1x_2} = \frac{\tfrac{-b}{a}}{\tfrac{c}{a}}$

$g(m)=\frac{-b}{c}\;=\;\frac{-(m-1)}{m^2+3m-4}= -\frac{1}{m+4}$

Określamy dziedzinę funkcji g, biorąc pod uwagę mianownik m²+3m-4 = (m-1)(m+4) (branie tylko m+4 ze skróconej wersji byłoby błędem), $D_g = R\setminus\{-4,1\}$