Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Funkcja liniowa

[edytuj] Funkcja liniowa

[edytuj] Wstęp

Co zawiera dział
Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa oraz jej wykres. Jak się rozwiązuje równania liniowe. Jak rozwiązać nierówność. Przypadek dwóch niewiadomych w równości liniowej. Układ równań i jakimi metodami można go rozwiązać. Zastosowanie macierzy w rozwiązywaniu układu równań. Jak poradzić sobie z parametrem w równaniu. W zadaniach pojawią się przykłady zadań tekstowych i sposób ich zapisu w postaci funkcji liniowej.

Zakres programowy

a) wykres funkcji liniowej,

b) wzór funkcji liniowej pozyskany z zadanych własności,

c) rozwiązanie równania i nierówności liniowej z jedną niewiadomą,

d) określenie liczby rozwiązań równania liniowego z jedną niewiadomą,

e) rozwiązanie zadań tekstowych prowadzących do równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą,

f) rozwiązanie algebraicznie i graficznie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi,

g) rozwiązanie zadania tekstowego prowadzącego do układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Z zakresu programowego odeszło:

h) (R) rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi,

i) (R) rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z parametrem (w tym określenie liczby rozwiązań układu w zależności od parametru)

[edytuj] Informacje bazowe

Definicja

DEFINICJA

Funkcję $\mathbf{f(x)=ax+b}\$ , gdzie $a,b,x \in \mathbb{R}$ nazywamy funkcją liniową.

Funkcja liniowa f, zapis:

$f(x)=ax+b \,$ lub $y=ax+b\,$ lub też $f\!\!: y=ax+b\,$

gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym, b wyrazem stałym.

Przykładowe funkcje liniowe

$f(x)=5x+7 \,$
$f(x)=\frac{3}{2}x$
$f(x)=6 \,$ - funkcja stała

Przykłady
Podać wzór funkcji liniowej na podstawie własności

Funkcja f przecina oś OX w punkcie -3, czyli (-3,0), natomiast oś OY w punkcie 3, czyli (0, 3). Znajdź wzór tej funkcji.

$y = ax+b\,$ ,

Za x i y podstawiamy współrzędne podanych punktów (x,y):

$0 = -3a + b \qquad \; 3 = 0\cdot a + b$ ,

Z ostatniego równania

3 = b

otrzymujemy b, podstawiamy do poprzedniego otrzymując

0 = - 3 a + 3

, obliczamy a.

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcij: $f(x)=x+3\,$

[edytuj] Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć współrzędne dowolnych dwóch punktów tej funkcji i poprowadzić przez nie prostą.

Prosta, która jest wykresem funkcji y=ax+b, nachylona jest do osi OX pod takim kątem, że

$a = tg \alpha \qquad \alpha \in (0, \tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2}, \pi)$

gdzie: a to współczynnik przy x,

α

to kąt między prostą a osią OX

Prosta przecina oś OY w punkcie (0,b) oraz oś OX w punkcie (-b/a, 0) - można to łatwo wyznaczyć z jej wzoru, y=ax+b (podstawiając 0 za y lub za x).

TWIERDZENIE

Wykresem funkcji liniowej $f (x) = a x$ jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych o współczynniku kierunkowym a.

Wykresem funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ jest prosta przechodząca przez punkt (0;b) o współczynniku kierunkowym a.

[edytuj] Własności funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji jest punktem, w którym funkcja przecina oś OX, oblicza się je z $x_0= -\tfrac{b}{a}$

W zależności od współczynnika a możemy określić, czy wartości funkcji rosną lub nie:

$a > 0$ funkcja jest rosnąca
$a < 0$ funkcja jest malejąca
$a = 0$ funkcja jest stała

Przykład
Funkcja $y = - 3 x + 1$ jest malejąca.

Parzystość
Funkcja jest parzysta, gdy a=0 (funkcja stała).
Funkcja jest nieparzysta, gdy b=0 (przechodzi przez środek układu wsp.).

Różnowartościowość
Funkcja jest różnowartościowa, jeśli $a\neq 0$ , w przeciwnym wypadku nie jest różnowartościowa (jest stała i zawsze przyjmuje tę samą wartość).

Wykresy dwóch funkcji
Jeśli porównać wykresy dwóch funkcji, to mogą one być:

równoległe, gdy $a 1 = a 2$ - oba współczynniki są równe
prostopadłe, gdy $a_1 = \tfrac{-1}{a_2}$

Przykład
Wykresy funkcji: $f (x) = 3 x + 1$ i $g (x) = 3 x - 7$ są liniami równoległymi do siebie.

[edytuj] Równanie liniowe z jedną niewiadomą

Przykładem równania liniowego może być:

2x + 3 = 5
-x + 2 = 0
$\tfrac{7x + 2}{2} = 6$

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

DEFINICJA

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $a x + b = 0$ , gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

Aby rozwiązać równanie $2x+3=5\,$ , wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.

Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.

$2x = 5-3\,$ czyli $2x = 2\,$

Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli

$2x = 2 \quad / :2\,$

$x = 1\,$ , tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

jeśli $2x + 5 \;=\; 6$ , to $2x \;=\; 6 - 5$ ,
jeśli $x - 4 \;=\; 2$ , to $x \;=\; 2 + 4$ .

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " $/\cdot 4$ " lub np. " $\,/: 3$ ".

$\frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$ - obustronnie mnożymy przez 2
$3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right.$ - obustronnie dzielimy przez 3
$\tfrac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \tfrac{4}{3}\right.$ - obustronnie mnożymy przez ułamek $\tfrac{4}{3}$ .

Przykłady

Równanie $-x + 2 = 0\,$

$-x \,=\,0 -2$

$-x = -2\ \; /{\cdot}\ (-1)$

$x\,=\,2$

Równanie $\tfrac{7x + 2}{2} = 6$

Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.

$\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$

$7x+2\,=\,12$

$7x = 10\ \; /{:}\ 7$

$x = \tfrac{10}{7}$

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

jeśli $a \neq 0$ , to istnieje jedno rozwiązanie $x = -\frac{b}{a}$ ,
jeśli $a=0 \;\mbox{i}\; b=0\,$ , to równanie przyjmie postać $0=0\,$ . Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
jeśli $a=0 \;\mbox{i}\; b\neq 0$ , wówczas równanie może wyglądać np. tak: $0 = 3$ , co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

[edytuj] Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Zacznijmy od kilku przykładów:

$2x > 3 \,$
$5x - 2 < 2\,$
$-2x + 4 \geq -3x + 5$
$-\tfrac{1}{2} x + 3 \geq 5$

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

DEFINICJA

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. $ax + b > 0\,$ , gdzie niewiadomą jest x.
Inne postacie: $ax + b \geq 0, \; ax + b < 0 \;\mbox{lub}\; ax + b \leq 0$ .

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od $2x > 3 \,$ :

$2x > 3 \quad /{:}\ 2$

$x > 1\frac{1}{2}$

Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.

Odp. $x \in \left(1\frac{1}{2}; +\infty\right)$ .

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu $-2x + 4 \geq -3x + 5\,$ :

$-2x + 3x \geq 5 - 4$

$x \geq 1$

Odp. $x \in \langle1; +\infty)$ .

Rozwiążmy teraz nierówność $-5x - 2 < 2 \,$ :

$-5x < 2 + 2 \,$

$5x < 4 \quad /{:} (-5)\,$

$x > \frac{4}{5}$ - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.

Odp. $x \in \left(-\infty; \frac{4}{5}\right)$ .

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

$3 < 4 \quad /\cdot (-2)$

${\color{Red}-6 < -8 } \,$ - fałsz, brakuje zmienionego znaku

$-6 > -8 \,$ - prawda, zmieniony znak na '>'.

[edytuj] Równanie z parametrem (R)

[edytuj] Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładowe układy równań:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y \\ x - 5 = y \end{matrix} \right.$
$\left\{\begin{matrix} -3x - 6y + 4 = 0 \\ 5x - 5 = y \end{matrix} \right.$

Poznamy dwie możliwości rozwiązywania takich układów.

[edytuj] Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ x - 5 = y & (1.2) \end{matrix} \right.$

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y z (1.2), czyli:

$y = x - 5 \!$

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

$2x + 1 = 3 \cdot \left( x-5 \right) \!$

$2x + 1 = 3x - 15 \!$

i otrzymujemy:

x = 16

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

y = 16 - 5 = 11

.

Odp. $x = 16$ i $y = 11$ .

Drugim wariantem tej metodody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:

2 x + 1 = 3 y

$2x = 3y - 1\ \ /{:} 2$

$x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}$ (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

$\frac{3}{2}y - \frac{1}{2} - 5 = y$

$\frac{3}{2}y - 5\frac{1}{2} = y$

$\frac{3}{2}y - y = 5\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}y = 5\frac{1}{2} \ \ /{\cdot} 2$

y = 11

.

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

$x = \frac{3}{2} \cdot 11 - \frac{1}{2} = \frac{33}{2} - \frac{1}{2} = \frac{32}{2} = 16$ .

Odp. $x = 16$ i $y = 11$ .

Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.

[edytuj] Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ x - 5 = y & (1.2) \end{matrix} \right.$

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

$x - 5 = y \ \ /{\cdot} -2$

$-2x + 10 = -2y \$ .

Teraz należy wstawić to do układu:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ -2x + 10 = -2y & (1.2) \end{matrix} \right.$

i dodać stronami:

$2x + (-2x) +11 =3y + (-2y) \$

$11 = y \$

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

$x - 5 = 11 \$

$x = 16 \$

Odp. $x = 16$ i $y = 11$ .

Do zrobienia:

-rozwiązanie graficzne
-parametr
-układ - macierz

[edytuj] Podsumowanie

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą jest

równanie postaci $a x + b = 0$ (lub każde dające się sprowadzić do tej postaci), gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami (lub parametrami).

Równanie liniowe rozwiązujemy następująco

przeniesienie niewiadomej na jedną stronę, a liczb (bądź parametrów) na drugą,
wymnożenie lub podzielenie obu stron przez wartość tak, aby pozbyć się liczby przy niewiadomej x (np. $3x=9 \,\rightarrow \; x=3$ ),
przy przenoszeniu liczby na drugą stronę równania, zmieniamy jej znak na przeciwny.