Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą

Przykładem równania liniowego może być:

• 2x + 3 = 5
• -x + 2 = 0
• $\tfrac{7x + 2}{2} = 6$

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

DEFINICJA Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $ax+b=0\,$,  gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

• przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
• wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

• Aby rozwiązać równanie  $2x+3=5\,$,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.

Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.

$2x = 5-3\,$  czyli  $2x = 2\,$

Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli

$2x = 2 \quad / :2\,$

$x = 1\,$,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

• jeśli  $2x + 5 \;=\; 6$,  to  $2x \;=\; 6 - 5$,
• jeśli  $x - 4 \;=\; 2$,   to  $x \;=\; 2 + 4$.

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " $/\cdot 4$ " lub np. " $\,/: 3$ ".

• $\frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$ - obustronnie mnożymy przez 2
• $3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right.$ - obustronnie dzielimy przez 3
• $\tfrac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \tfrac{4}{3}\right.$ - obustronnie mnożymy przez ułamek $\tfrac{4}{3}$.

Przykłady

• Równanie $-x + 2 = 0\,$

$-x \,=\,0 -2$

$-x = -2\ \; /{\cdot}\ (-1)$

$x\,=\,2$

• Równanie $\tfrac{7x + 2}{2} = 6$

Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.

$\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$

$7x+2\,=\,12$

$7x = 10\ \; /{:}\ 7$

$x = \tfrac{10}{7}$

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

• jeśli $a \neq 0$, to istnieje jedno rozwiązanie $x = -\frac{b}{a}$,
• jeśli $a=0 \;\mbox{i}\; b=0\,$, to równanie przyjmie postać $0=0\,$. Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
• jeśli $a=0 \;\mbox{i}\; b\neq 0$, wówczas równanie może wyglądać np. tak: $0 = 3$, co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Zacznijmy od kilku przykładów:

• $2x > 3 \,$
• $5x - 2 < 2\,$
• $-2x + 4 \geq -3x + 5$
• $-\tfrac{1}{2} x + 3 \geq 5$

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

DEFINICJA Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. $ax + b > 0\,$, gdzie niewiadomą jest x. Inne postacie: $ax + b \geq 0, \; ax + b < 0 \;\mbox{lub}\; ax + b \leq 0$.

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od  $2x > 3 \,$ :

$2x > 3 \quad /{:}\ 2$

$x > 1\frac{1}{2}$

Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.

Odp. $x \in \left(1\frac{1}{2}; +\infty\right)$.

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu  $-2x + 4 \geq -3x + 5\,$ :

$-2x + 3x \geq 5 - 4$

$x \geq 1$

Odp. $x \in \langle1; +\infty)$.

Rozwiążmy teraz nierówność  $-5x - 2 < 2 \,$ :

$-5x < 2 + 2 \,$

$-5x < 4 \quad /{:} (-5)\,$

$x > -\frac{4}{5}$ - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.

Odp. $x \in \left(-\frac{4}{5}; \infty\right)$.

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

$3 < 4 \quad /\cdot (-2)$

${\color{Red}-6 < -8 } \,$  - fałsz, brakuje zmienionego znaku

$-6 > -8 \,$  - prawda, zmieniony znak na '>'.

Równanie z parametrem (R)

Dla jakich wartości parametru p funkcja y=2px+4-p jest malejąca oraz nieparzysta?

Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione.

1. a<0 aby funkcja była malejąca
2. Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej f(x)=ax+b zachodzi b=0, zatem w naszym przypadku zachodzi 4-p=0

• $\left\{\begin{matrix} 2p<0 \\ 4-p=0 \end{matrix} \right.$

Mamy:

• $\left\{\begin{matrix} p<0 \\ p=4 \end{matrix} \right.$

Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymamy wynik.