Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcja liniowa

Ten moduł został umieszczony przez jednego z wikipedystów na liście modułów do natychmiastowego skasowania.
Użytkownik, który zasugerował usunięcie artykułu podał następujące uzasadnienie:
"przeniesiony materiał"

Jeśli się nie zgadzasz z tą decyzją, napisz o tym na stronie Wikibooks:Strony do usunięcia.

Do zrobienia:

Dokończyć tzn. rozwiązać kilka przykładów różnymi metodami
Poprawki językowe itp.

[edytuj] Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ równań, gdzie mamy dwie niewiadome np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładów układów równań:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y \\ x - 5 = y \end{matrix} \right.$ (1)
$\left\{\begin{matrix} -3x - 6y + 4 = 0 \\ 5x - 5 = y \end{matrix} \right.$ (2)
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x + 2 = 3y + x \\ 5y - 4x - 5 = y \end{matrix} \right.$ (3)

Rozwiążmy jak zwykle każdy z tych przykładów.

Mamy wiele możliwości rozwiązywania takich równań.

[edytuj] Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób równanie (1):

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ x - 5 = y & (1.2) \end{matrix} \right.$

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y z (1.2), czyli:

$y = x - 5 \!$

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

$2x + 1 = 3 \cdot \left( x-5 \right) \!$

$2x + 1 = 3x - 15 \!$

i otrzymujemy:

x = 16

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

y = 16 - 5 = 11

.

Odp. $x = 16$ i $y = 11$ .

Drugim wariantem w tej metodzie będzie ten - kiedy najpierw wyznaczymy x z (1.1), czyli:

2 x + 1 = 3 y

$2x = 3y - 1\ \ /{:} 2$

$x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}$ (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

$\frac{3}{2}y - \frac{1}{2} - 5 = y$

$\frac{3}{2}y - 5\frac{1}{2} = y$

$\frac{3}{2}y - y = 5\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}y = 5\frac{1}{2} \ \ /{\cdot} 2$

y = 11

.

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

$x = \frac{3}{2} \cdot 11 - \frac{1}{2} = \frac{33}{2} - \frac{1}{2} = \frac{32}{2} = 16$ .

Odp. $x = 16$ i $y = 11$ .

Jak widać, wybór zmiennej którą chcemy wyznaczyć na początku nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana zmienna może czasami znacznie ułatwić zadanie i uwolnić nas od konieczności długiego i skomplikowanego liczenia na ułamkach (choć nie zawsze).

[edytuj] Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób by współczynniki przy jednej zmiennej miały przeciwne wartości . Rozwiążmy w ten sposób równanie (1):

$\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ x - 5 = y & (1.2) \end{matrix} \right.$

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

$x - 5 = y \ \ /{\cdot} -2$