Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układy równań

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Układ równań z dwiema niewiadomymi[edytuj]

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:

  • 
\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y \\
x - 5 = y
\end{matrix}
 \right.
  • 
\left\{\begin{matrix}
-3x - 6y + 4 = 0 \\
5x - 5 = y
\end{matrix}
 \right.

Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.

Metoda podstawiania[edytuj]

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:


\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
x - 5 = y & (1.2)
\end{matrix}
 \right.

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:

y = x - 5 \!

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

 2x + 1 = 3 \cdot \left( x-5 \right) \!
 2x + 1 = 3x - 15 \!

i otrzymujemy:

 x= 16\,

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

 y = 16 - 5 = 11\, .

Odp.  x = 16\, i  y = 11\,

Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:

2x + 1 = 3y\,
2x = 3y - 1\ \ /{:} 2
x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

 \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} - 5 = y
 \frac{3}{2}y - 5\frac{1}{2} = y
 \frac{3}{2}y - y = 5\frac{1}{2}
 \frac{1}{2}y = 5\frac{1}{2} \quad \ /{\cdot} 2
 y = 11 .

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

 x = \frac{3}{2} \cdot 11 - \frac{1}{2} = \frac{33}{2} - \frac{1}{2} = \frac{32}{2} = 16 .

Odp.  x = 16 i  y = 11 .

Drugi układ

\left\{\begin{matrix}
-3x-6y+4=0 \\
5x-5=y
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
-3x-6(5x-5)+4=0 \\
y=5x-5
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
-3x-30x+30+4=0 \\
y=5x-5
\end{matrix}
 \right.

-33x=-34 \quad /:(-33)\,

 x= \frac{34}{33}\,

y=5 \cdot \frac{34}{33}-5\,

y= \frac{170}{33}-5\,

y= \frac{5}{33}\,

 x= \frac{34}{33}\,
Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.

Metoda przeciwnych współczynników[edytuj]

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:


\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
x - 5 = y & (1.2)
\end{matrix}
 \right.

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

x - 5 = y \quad /{\cdot} (-2)
-2x + 10 = -2y \ .

Teraz należy wstawić to do układu:


\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
-2x + 10 = -2y & (1.2)
\end{matrix}
 \right.

i dodać stronami:

 2x + (-2x) +11 =3y + (-2y) \
 11 = y \

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

 x - 5 = 11 \
 x = 16 \

Odp.  x = 16 i  y = 11 .

Drugi przykład:

  • 
\left\{\begin{matrix}
-3x - 6y + 4 = 0 \\
5x - 5 = y
\end{matrix}
 \right.

Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.



\left\{\begin{matrix}
-3x-6y+4=0 \\
   5x-5-y=0  \quad /\cdot (-6) 
\end{matrix}
 \right.

Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.



\left\{\begin{matrix}
-3x-6y+4=0 \\
-30x+30+6y=0
\end{matrix}
 \right.

Teraz rozwiązujemy.


 -3x-6y+4-30x+30+6y=0\,


Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:


 -33x+34=0\,


Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.


 -33x=-34 \quad / : (-33)\,


Ostatecznie x wynosi:


 x=\frac{34}{33}

Podstawiamy x i wyliczamy.


 5\cdot\frac{34}{33}-5=y\,

 \frac{170}{33}-5=y


Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.


 y=\frac{5}{33}

Odpowiedź  x=\frac{34}{33} i  y=\frac{5}{33}

Metoda graficzna[edytuj]

Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.

Zróbmy taki przykład


\left\{\begin{matrix}
x+y=4 \\
2x+3y=12
\end{matrix}
 \right.

Przekształcamy układ to postaci kierunkowej


\left\{\begin{matrix}
y=-x+4 \\
y=4-\frac{2}{3}x
\end{matrix}
 \right.

Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:

\left\{\begin{matrix}
x=0 \\
y=4
\end{matrix}
 \right.

Metoda wyznacznikowa[edytuj]


\left\{\begin{matrix}
a_1x+b_1y=c_1 \\
a_2x+b_2y=c_2
\end{matrix}
 \right.


W=\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2&b_2 \end{bmatrix}= a_1b_2 - a_2b_1


W_x=\begin{bmatrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{bmatrix}=c_1b_2 - c_2b_1


W_y=\begin{bmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{bmatrix}=a_1c_2 - a_2c_1

Jeśli  W \neq 0, to układ równań ma jedno rozwiązanie  x= \frac{W_x}{W} i  y= \frac {W_y}{W} .

Jeśli  W = 0\, i  W_x = 0\, i W_y = 0\, to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

Jeśli  W=0\, i W_x  \neq  0  \vee W_y \neq 0 to układ równań jest sprzeczny.

Przykład

\left\{\begin{matrix}
2x+5y=16 \\
5x+y=17
\end{matrix}
 \right.

 W=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 5&1 \end{bmatrix}= 2\cdot 1 - 5 \cdot 5 = 2-25 = -23

 W_x=\begin{bmatrix} 16 & 5 \\ 17 & 1 \end{bmatrix}=16 \cdot 1 - 17 \cdot 5 = 16-85=-69

 W_y=\begin{bmatrix} 2 & 16 \\ 5 & 17 \end{bmatrix}=2 \cdot 17-5 \cdot 16=34-80=-46

 x= \frac{W_x}{W} = \frac{-69}{-23} = 3\,

 y= \frac{W_y}{W} = \frac{-46}{-23}=2\,


Do zrobienia W przygotowaniu:
  • napisać, co to jest układ zależny, niezależny i sprzeczny
  • parametr