Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układy równań

Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:

• $\left\{{\begin{matrix}2x+1=3y\\x-5=y\end{matrix}}\right.$
• $\left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.$

Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.

Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:

$\left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\x-5=y&(1.2)\end{matrix}}\right.$

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:

$y=x-5\!$

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

$2x+1=3\cdot \left(x-5\right)\!$

$2x+1=3x-15\!$

i otrzymujemy:

$x=16\,$

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

$y=16-5=11\,$.

Odp. $x=16\,$ i $y=11\,$

Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:

$2x+1=3y\,$

$2x=3y-1\ \ /{:}2$

$x={\frac {3}{2}}y-{\frac {1}{2}}$ (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

${\frac {3}{2}}y-{\frac {1}{2}}-5=y$

${\frac {3}{2}}y-5{\frac {1}{2}}=y$

${\frac {3}{2}}y-y=5{\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{2}}y=5{\frac {1}{2}}\quad \ /{\cdot }2$

$y=11$.

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

$x={\frac {3}{2}}\cdot 11-{\frac {1}{2}}={\frac {33}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {32}{2}}=16$.

Odp. $x=16$ i $y=11$.

Drugi układ
$\left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}-3x-6(5x-5)+4=0\\y=5x-5\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}-3x-30x+30+4=0\\y=5x-5\end{matrix}}\right.$

$-33x=-34\quad /:(-33)\,$

$x={\frac {34}{33}}\,$

$y=5\cdot {\frac {34}{33}}-5\,$

$y={\frac {170}{33}}-5\,$

$y={\frac {5}{33}}\,$

$x={\frac {34}{33}}\,$
Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.

Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:

$\left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\x-5=y&(1.2)\end{matrix}}\right.$

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

$x-5=y\quad /{\cdot }(-2)$

$-2x+10=-2y\$.

Teraz należy wstawić to do układu:

$\left\{{\begin{matrix}2x+1=3y&(1.1)\\-2x+10=-2y&(1.2)\end{matrix}}\right.$

i dodać stronami:

$2x+(-2x)+11=3y+(-2y)\$

$11=y\$

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

$x-5=11\$

$x=16\$

Odp. $x=16$ i $y=11$.

Drugi przykład:

• $\left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5=y\end{matrix}}\right.$

Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.

$\left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\5x-5-y=0\quad /\cdot (-6)\end{matrix}}\right.$

Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.

$\left\{{\begin{matrix}-3x-6y+4=0\\-30x+30+6y=0\end{matrix}}\right.$

Teraz rozwiązujemy.

$-3x-6y+4-30x+30+6y=0\,$

Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:

$-33x+34=0\,$

Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.

$-33x=-34\quad /:(-33)\,$

Ostatecznie x wynosi:

$x={\frac {34}{33}}$

Podstawiamy x i wyliczamy.

$5\cdot {\frac {34}{33}}-5=y\,$

${\frac {170}{33}}-5=y$

Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.

$y={\frac {5}{33}}$

Odpowiedź $x={\frac {34}{33}}$ i $y={\frac {5}{33}}$

Metoda graficzna

Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.

Zróbmy taki przykład

$\left\{{\begin{matrix}x+y=4\\2x+3y=12\end{matrix}}\right.$

Przekształcamy układ to postaci kierunkowej

$\left\{{\begin{matrix}y=-x+4\\y=4-{\frac {2}{3}}x\end{matrix}}\right.$

Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:
$\left\{{\begin{matrix}x=0\\y=4\end{matrix}}\right.$

Metoda wyznacznikowa

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{matrix}}\right.$

$W={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

$W_{x}={\begin{bmatrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}$

$W_{y}={\begin{bmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{bmatrix}}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}$

Jeśli $W\neq 0$, to układ równań ma jedno rozwiązanie $x={\frac {W_{x}}{W}}$ i $y={\frac {W_{y}}{W}}$.

Jeśli $W=0\,$ i $W_{x}=0\,$ i $W_{y}=0\,$ to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

Jeśli $W=0\,$ i $W_{x}\neq 0\vee W_{y}\neq 0$ to układ równań jest sprzeczny.

Przykład
$\left\{{\begin{matrix}2x+5y=16\\5x+y=17\end{matrix}}\right.$

$W={\begin{bmatrix}2&5\\5&1\end{bmatrix}}=2\cdot 1-5\cdot 5=2-25=-23$

$W_{x}={\begin{bmatrix}16&5\\17&1\end{bmatrix}}=16\cdot 1-17\cdot 5=16-85=-69$

$W_{y}={\begin{bmatrix}2&16\\5&17\end{bmatrix}}=2\cdot 17-5\cdot 16=34-80=-46$

$x={\frac {W_{x}}{W}}={\frac {-69}{-23}}=3\,$

$y={\frac {W_{y}}{W}}={\frac {-46}{-23}}=2\,$