Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Matematyka dla liceum
Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych	Spis treści	Funkcja logarytmiczna

Spis treści

1 Logarytm
- 1.1 Pojęcie i własności logarytmu
  - 1.1.1 Logarytm naturalny i dziesiętny
  - 1.1.2 Przybliżenia

[edytuj] Logarytm

[edytuj] Pojęcie i własności logarytmu

DEFINICJA

Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie $a \in \mathbb{R}_+ \backslash \{1\}$ , nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.

$\log_a b=c \iff a^c=b$ , dla

a > 0

i $a \neq 1$ i

b > 0

a jest podstawą logarytmu

b jest liczbą logarytmowaną

c jest wartością logarytmu

Własności logarytmu:

$a^{\log_a b} = b$
$log a 1 = 0$
$log a a = 1$
$log a (m n) = log a m + log a n$
$\log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n$
$log a n b = b log a n$
$\log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a }$
$a > 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b > c$
$a < 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b < c$
warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą

Przykłady

log 10 100 = 2

log 10 10000 = 4

$100 < 1000 \quad 2 < 4$

log 0.1 0.01 = 2

log 0.1 0.0001 = 4

$0.01 > 0.001 \quad 2 < 4$

log 10 0.1 = - 1

log 10 0.01 = - 2

$0.1 > 0.01 \quad -1 > -2$

[edytuj] Logarytm naturalny i dziesiętny

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, $e$ oraz 10, stąd zapis:

$log 10 a = log a$ - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
$log e a = ln a$ - logarytm naturalny (którego podstawa $e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828...$ )
$log 2 a = lg a$