Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Pojęcie i własności logarytmu

Logarytm

Pojęcie i własności logarytmu

DEFINICJA Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie $a \in \mathbb{R}_+ \backslash \{1\}$, nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b. $\log_a b=c \iff a^c=b$, dla $a>0$ i $a \neq 1$ i $b > 0$ a jest podstawą logarytmu b jest liczbą logarytmowaną c jest wartością logarytmu

Własności logarytmu:

• $a^{\log_a b} = b$
• $\log_a 1 = 0$
• $\log_a a = 1$
• $\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$
• $\log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n$
• $\log_a{n^b} = b \log_a{n}$
• $\log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a }$
• $a > 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b > c$
• $a < 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b < c$
• warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą

Przykłady

$\log_{10} 100 = 2$

$\log_{10} 10000 = 4$

$100 < 1000 \quad 2 < 4$

$\log_{0.1}{0.01} = 2$

$\log_{0.1}{0.0001} = 4$

$0.01 > 0.001 \quad 2 < 4$

$\log_{10} 0.1 = -1$

$\log_{10} 0.01 = -2$

$0.1 > 0.01 \quad -1 > -2$

Logarytm naturalny i dziesiętny

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, $e$ oraz 10, stąd zapis:

• $\log_{10} a = \log a$ - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
• $\log_e a = \ln a$ - logarytm naturalny (którego podstawa $e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828...$)
• $\log_{2} a = \lg a$

Uwaga! Oznaczenia $\log$, $\lg$ oraz $\ln$ mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania!

Przybliżenia

W obliczeniach chemicznych często przybliża się:

• $\log_{10} 2 \approx 0.3$