Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Przypomnienie działań na potęgach

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypomnienie działań na potęgach

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

• $a^1=a$
• $a^n=aa^{n-1}$
• $\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ razy} \\ \end{matrix}$
• $a^0=1$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$
• $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
• $a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m$
• ${a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q}$
• ${a^p}:{a^q} = a^{p-q}$
• $(a^p)^q = a^{pq}$
• ${(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p}$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}$

Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4$

Rozwiązanie:

$10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =$

$= 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =$

$= 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =$

$= 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6$

b) $5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}$

Rozwiązanie:

$5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}$

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) $\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}$

$\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} =$

$\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} =$

$\sqrt{2^3\sqrt{2^{51 \over 8}}} = \sqrt{2^3 \cdot 2^{51 \over 16}} = \sqrt{2^{63 \over 16}} = 2^{63 \over 32}$

b) $\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}}$

$\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} =$

$= \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} =$

$= \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60}$

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) $\frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8$

$L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = \frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = \frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =$

$= \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = \frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8$

$P = 8$

czyli $L = P$

b) $\frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8$

$L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8$

$P = 4\sqrt{10} + 8$

zatem $L = P$

c) $\sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5$

$L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} =$

$= |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| = (3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) = 3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5$

$P = 5$

$L = P$

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba $\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}}$ jest wymierna:

$\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} =$

$= |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} =$

$= 12 \in \mathbb{Q}$

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$ jest niewymierna:

$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} =$

$= |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| = \sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 =$

$= 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q}$