Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Przypomnienie działań na potęgach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Matematyka dla liceum

Ćwiczenia

 Spis treści

Funkcja potęgowa i jej własności


[edytuj] Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

[edytuj] Przypomnienie działań na potęgach

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

  • a1 = a
  • an = aan − 1
  • \begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ razy} \\ \end{matrix}
  • a0 = 1
  • a^{-n}=\frac{1}{a^n}
  • \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}
  • a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  • a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m
  • {a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q}
  • ap:aq = ap − q
  • (ap)q = apq
  • {(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p}
  • \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}

[edytuj] Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) 10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4
Rozwiązanie:
10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =
= 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =
= 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =
= 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6
b) 5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}
Rozwiązanie:
5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
= 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
= 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}


Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}
\sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} =
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} =
\sqrt{2^3\sqrt{2^{51 \over 8}}} = \sqrt{2^3 \cdot 2^{51 \over 16}} = \sqrt{2^{63 \over 16}} = 2^{63 \over 32}
b) \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}}
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} =
= \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} =
= \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60}

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8
L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = \frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = \frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =
= \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = \frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8
P = 8
czyli L = P
b) \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8
L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8
P = 4\sqrt{10} + 8
zatem L = P
c) \sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5
L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} =
= |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| = (3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) = 3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5
P = 5
L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} jest wymierna:

\sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} =
= |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} =
= 12 \in \mathbb{Q}

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} jest niewymierna:

\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} =
= |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| = \sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 =
= 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q}


« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 »



Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Funkcja_wyk%C5%82adnicza_i_logarytmiczna/Przypomnienie_dzia%C5%82a%C5%84_na_pot%C4%99gach”