Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Przypomnienie działań na potęgach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna[edytuj]

Przypomnienie działań na potęgach[edytuj]

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

  •  a^1=a
  •  a^n=aa^{n-1}
  •  \begin{matrix}
a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\
 & n \mbox{ razy} \\
\end{matrix}
  •  a^0=1
  •  a^{-n}=\frac{1}{a^n}
  •  \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}
  •  a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  •  a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m
  •  {a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q}
  •  {a^p}:{a^q} = a^{p-q}
  •  (a^p)^q = a^{pq}
  •  {(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p}
  •  \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}

Kilka podstawowych przykładów[edytuj]

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a)  10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4
Rozwiązanie:
 10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =
 = 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =
 = 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =
 = 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6
b)  5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}
Rozwiązanie:
 5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =
 = 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}


Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a)  \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}}
 \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = 
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = 
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} =
\sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} =  \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = 
\sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} =
\sqrt{2^3\sqrt{2^{51 \over 8}}} =
\sqrt{2^3 \cdot 2^{51 \over 16}} = \sqrt{2^{63 \over 16}} = 2^{63 \over 32}
b)  \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}}
 \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} =
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = 
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} =
 = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} =
\sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} =
\sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} =
 = \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60}

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a)  \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8
 L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} =
\frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} =
\frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =
 = \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = 
\frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8
 P = 8
czyli  L = P
b)  \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8
 L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 
\frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = 
\frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 
4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8
 P = 4\sqrt{10} + 8
zatem  L = P
c)  \sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5
 L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} =
\sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} =
 = |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| =
(3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) =
3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5
 P = 5
 L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba  \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} jest wymierna:

 \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} =
 = |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} =
 = 12 \in \mathbb{Q}

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba  \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} jest niewymierna:

 \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} =
\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} =
 = |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| =
\sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 =
 = 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q}