Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

DEFINICJA Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są: $\log x > 5$ $\log_2 (x^2+1) \leq 3$ $\log_{x+1} 4 = 4$

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału $(0;1)$, dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w $(1;+\infty)$ zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność $\log_3 x >4$.

1. Ustalamy dziedzinę: $x \in \mathbb{R}_+$
2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:

   $\log_3 x >4 \iff x > 3^4$

   $x > 81$

3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:

   $(x \in (81;+\infty) \and x \in (0;+\infty)) \iff x \in (81;+\infty)$

4. Odp. $x \in (81;+\infty)$

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność $\log_{0{,}5} (x^2) < 4$

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^2 > 0 \iff x \neq 0$, czyli:

   $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$

2. Podstawa logarytmu (czyli $0{,}5$)zawiera się w przedziale $(0;1)$, więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:

   $\log_{0{,}5} (x^2) < 4 \iff x^2 > (0{,}5)^4$ i otrzymujemy, że:

   $x^2 - (0{,}5)^4 > 0 \iff x^2 - (0{,}25)^2 > 0 \iff (x - 0{,}25)(x + 0{,}25) > 0$

   czyli $x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)$

3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:

   $x \in ((-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)) \cap (\mathbb{R} \backslash \{0\}) \iff x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)$

   Odp. $x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)$

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością $\log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4$:

1. $D = R \backslash \{0\}$
2. $\log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 \iff x^2 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^4$, ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
3. $x^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^4 \geq 0$
4. $\left(x - \frac{1}{9}\right)\left(x + \frac{1}{9}\right) \geq 0$
5. Czyli $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)$
6. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)$
7. Odp. $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)$

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność $\log_{3x-3} 16 < 2$:

1. Ustalamy dziedzinę:

   Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru $(0;1) \cup (1;+\infty)$, więc będzie także w tym przypadku. Mamy:

   $(3x-3) \in (0;1) \cup (1;+\infty)$

   czyli $D = \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$

2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$ i gdy $x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$, ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
   • dla $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$

     $\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 > (3x-3)^2 \iff (3x-3)^2-16 < 0$, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

     $(3x-3-4)(3x-3+4) < 0 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) < 0$

     czyli $x \in \left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right)$, a także $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$ (z założenia)

     czyli $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)$

   • dla $x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$

     $\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 < (3x-3)^2 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) > 0$

     czyli $x \in \left(-\infty;-\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$ i $x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)$

     czyli $x \in \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$

3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$
4. Odp. $x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$