Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
[edytuj] Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych
| DEFINICJA Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:
|
Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału (0;1), dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w
zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.
Przykład 1
Rozwiążmy nierówność log3x > 4.
- Ustalamy dziedzinę:

- Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:

- x > 81
- Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
- Odp.

Przykład 2
Rozwiążmy nierówność log0,5(x2) < 4
- Ustalamy dziedzinę:
, czyli:
- Podstawa logarytmu (czyli 0,5)zawiera się w przedziale (0;1), więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
i otrzymujemy, że:
- czyli

- Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:

- Odp.

Przykład 3
Zajmijmy się teraz taką nierównością
:

, ponieważ podstawa jest mniejsza od 1

- Czyli
![x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)](http://upload.wikimedia.org/math/c/3/b/c3b86fcbd6932b1f42aaeef44fb7c218.png)
- Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że
![x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)](http://upload.wikimedia.org/math/c/3/b/c3b86fcbd6932b1f42aaeef44fb7c218.png)
- Odp.
![x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right)](http://upload.wikimedia.org/math/c/3/b/c3b86fcbd6932b1f42aaeef44fb7c218.png)
Przykład 4
Rozwiążmy nierówność log3x − 316 < 2:
- Ustalamy dziedzinę:
- Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru
, więc będzie także w tym przypadku. Mamy: 
- czyli

- Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru
- Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy
i gdy
, ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
- dla
, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
- czyli
, a także
(z założenia) - czyli

- dla

- czyli
i 
- czyli

- dla
- Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że

- Odp.


