Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Rozwiązywanie równań potęgowych

Przykładami równań potęgowych może być:

$x^{\frac{2}{3}}=9$,

$7x^{4}=2\sqrt{7}$,

$x+x^{\frac{1}{2}}=12$.

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie $x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}$ i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^{\frac{3}{2}}= \sqrt{3}, D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$

2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

   $x^{\frac{3}{2}}= 3^\frac{1}{2}$

3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi $\frac{2}{3}$:

   $\left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}$

4. Czyli:

   $x=3^\frac{1}{3}$

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie $x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28$:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$

2. Podstawmy: $x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0$ i otrzymujemy równanie kwadratowe:

   $t^2+3t-28=0$

3. Czyli:

   $t_1=-7,~\notin D$

   $t_2=4,~\in D$

4. Otrzymujemy:

   $x^\frac{1}{5}=t_2=4$

   $x=4^5=1024$

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: $\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3$.

1. Ustalamy dziedzinę:

   $4x+5 \geq 0 \and 2x-6 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{6}{2} \iff x \geq 3$

   Czyli: $D=\left[3;+\infty\right)$

2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

   $\begin{align} (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2&=9\\ 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6&=9\\ -2\sqrt{8x^2-14x-30}&=-6x+10\quad\Big/:(-2)\\ \sqrt{8x^2-14x-30}&=3x-5 \end{align}$

3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

   $x \in \left[3;+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0$

   $\iff x \in \left[3;+\infty\right) \and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3}$

   $\iff x \in \left[3;+\infty\right)$

4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:

   $8x^2-14x-30=(3x-5)^2$

   $8x^2-14x-30=9x^2-30x+25$

   $-x^2+16x-55=0$

5. Czyli:

   $x_1=5,~\in \left[3;+\infty\right)$

   $x_1=11,~\in \left[3;+\infty\right)$

6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Przykładem nierówności potęgowej może być:

$x^2>x^{-3}$

$x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0$

$3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4}$

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

1. Ustalamy dziedzinę.
2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
   1. $\frac{a}{b}>0 \iff ab>0$
   2. $\frac{a}{b}<0 \iff ab<0$
4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez $x^k$, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ $x^k$ zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $x^{-4}>x^{-3}$.

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:

   $x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$

   $\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$

2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:

   $\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0$

3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

   $\frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0$

   $\frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0$

   $-x^4(x-1)>0$

4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:

   $x_1=0$ o krotności 4

   $x_2=1$ o krotności 1

   

5. Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty;0) \cup (0;1)$

Nierówność $x^{-4}>x^{-3}$ możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$) wymnażając obie strony przez $x^4$, ponieważ $x^4 > 0$ dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

$\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$ $/ \sdot x^4$

$1>x$

Uwzględniając dziedzinę $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$ otrzymujemy, że $x \in (-\infty;0) \cup (0;1)$. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. $x^5$ (wykładnik nieparzysty), ponieważ $x^5$ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez $x^5$ nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez $x^4$ (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy $x^4 = 0$, czyli gdy $x = 0$. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. $x+5 \geq 10$ przechodzi na $0 \geq 0$ (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy $x^4=0$), a także która z liczb $x \neq 0$ spełnia wymnożoną nierówność (wtedy $x^4 \neq 0$). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$, czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.