Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Matematyka dla liceum
Funkcja potęgowa i jej własności	Spis treści	Funkcja wykładnicza i jej własności

[edytuj] Rozwiązywanie równań potęgowych

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań potęgowych może być:

$x^{\frac{2}{3}}=9$ ,

$7x^{4}=2\sqrt{7}$ ,

$x+x^{\frac{1}{2}}=12$ .

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie $x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3}$ i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę:

$x^{\frac{3}{2}}= \sqrt{3}, D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

$x^{\frac{3}{2}}= 3^\frac{1}{2}$
Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi $\frac{2}{3}$ :

$\left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}$
Czyli:

$x=3^\frac{1}{3}$

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie $x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28$ :

Ustalamy dziedzinę:

$x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\}$
Podstawmy: $x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0$ i otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t 2 + 3 t - 28 = 0$
Czyli:

$t_1=-7,~\notin D$

$t_2=4,~\in D$
Otrzymujemy:

$x^\frac{1}{5}=t_2=4$

$x = 4 5 = 1024$

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: $\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3$ .

Ustalamy dziedzinę:

$4x+5 \geq 0 \and 2x-6 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{6}{2} \iff x \geq 3$

Czyli: $D=\left[3;+\infty\right)$
Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

$\begin{align} (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2&=9\\ 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6&=9\\ -2\sqrt{8x^2-14x-30}&=-6x+10\quad\Big/:(-2)\\ \sqrt{8x^2-14x-30}&=3x-5 \end{align}$
Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

$x \in \left[3;+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0$

$\iff x \in \left[3;+\infty\right) \and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3}$

$\iff x \in \left[3;+\infty\right)$
I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:

$8 x 2 - 14 x - 30 = (3 x - 5) 2$

$8 x 2 - 14 x - 30 = 9 x 2 - 30 x + 25$

$- x 2 + 16 x - 55 = 0$
Czyli:

$x_1=5,~\in \left[3;+\infty\right)$

$x_1=11,~\in \left[3;+\infty\right)$
Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Przykładem nierówności potęgowej może być:

x 2 > x - 3

$x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0$

$3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4}$

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

Ustalamy dziedzinę.
Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
1. $\frac{a}{b}>0 \iff ab>0$
2. $\frac{a}{b}<0 \iff ab<0$
Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez $x k$ , gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ $x k$ zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $x - 4 > x - 3$ .

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:

$x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$

$\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$
Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$\frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0$

$\frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0$

$- x 4 (x - 1) > 0$
Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:

$x 1 = 0$ o krotności 4

$x 2 = 1$ o krotności 1
Rozwiązaniem nierówności jest $x \in (-\infty;0) \cup (0;1)$

Nierówność $x - 4 > x - 3$ możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$ ) wymnażając obie strony przez $x 4$ , ponieważ $x 4 > 0$ dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

$\frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3}$ $/ \sdot x^4$

1 > x

Uwzględniając dziedzinę $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$ otrzymujemy, że $x \in (-\infty;0) \cup (0;1)$ . Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. $x 5$ (wykładnik nieparzysty), ponieważ $x 5$ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez $x 5$ nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez $x 4$ (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy $x 4 = 0$ , czyli gdy $x = 0$ . Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. $x+5 \geq 10$ przechodzi na $0 \geq 0$ (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy $x 4 = 0$ ), a także która z liczb $x \neq 0$ spełnia wymnożoną nierówność (wtedy $x^4 \neq 0$ ). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$ , czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.

« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 »

Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Rozwiązywanie równań potęgowych

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia