Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Matematyka dla liceum
Funkcja wykładnicza i jej własności	Spis treści	Pojęcie i własności logarytmu

[edytuj] Rozwiązywanie równań wykładniczych

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań wykładniczych mogą być:

$3^x=27 \$

$\left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2}$

$2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0$

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

Ustalamy dziedzinę.
Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
Rozwiązujemy równanie.
Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
Podajemy odpowiedź.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie $\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3}$ , możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę:

$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R}$
Sprowadzamy do tej samej podstawy:

$\begin{align} (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\ 4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6} \end{align}$
Z równości potęg wynika równość wykładników:

$\begin{align} -\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\ -2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\ x&=-2,~\in D \end{align}$
Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
Możemy sprawdzić rozwiązanie:

$L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}= \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16$

$P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \$

Zatem $L=P \$

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie $2^x+2^{7-x}=24 \!$ , możemy to zrobić w ten sposób:

Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:

$2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R}$

$2^x+\frac{2^7}{2^x}=24$
Podstawiamy $2^x=t, t \in \mathbb{R}_+$

$t+\frac{128}{t}=24$ $/ \sdot t$

$t^2-24t+128=0 \$
Otrzymujemy:

$t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+$

$t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+$
Ponieważ $2^x=t \$ :

$2^x=t_1\$ lub $2^x=t_2\$

$2^x=2^3\$ lub $2^x=2^4\$

$x=3\$ lub $x=4\$
Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Przykładami nierówności wykładniczych są:

$2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}}$

$3^{x^2-2}<3\sqrt{3}$

$\left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x}$

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

Ustalić dziedzinę
Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:

dla $a \in (1;+\infty)$

$a^n>a^m \iff n>m$

$a^n<a^m \iff n<m$

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

dla $a \in (0;1)$

$a^n>a^m \iff n<m$

$a^n<a^m \iff n>m$

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie $2^{2x-1} \geq 2^{3-x}$ , możemy je przekształcić na równanie $2x-1 > 3-x\$ , ponieważ $a=2 \in (1;+\infty)$ . Natomiast $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x$ , ponieważ $a=\frac{1}{2} \in (0;1)$ .

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $\left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}$ . W tym celu:

Ustalamy dziedzinę:

$\left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\}$
Sprowadzamy do tych samych podstaw:

$\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}$
Ponieważ $a=\frac{1}{2}$ , wykorzystujemy prawo $a^n>a^m \iff n<m$ :

$2x<\frac{2x}{x+1}$
Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$2x-\frac{2x}{x+1}<0$

$\frac{2x^2}{x+1}<0$
Z własności $\frac{a}{b}<0 \iff ab<0$ , wynika że:

$2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0$ , krotność 2 i $x_2=-1 \!$ o krotności 1.
Czyli $x \in (-\infty;-1)$