Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozwiązywanie równań wykładniczych[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań wykładniczych mogą być:  3^x=27
 \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15
 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2}
 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
  3. Rozwiązujemy równanie.
  4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
  5. Podajemy odpowiedź.


Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie  \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R}
  2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
  3.  
\begin{align}
    (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\
    4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6} 
\end{align}
  4. Z równości potęg wynika równość wykładników:
  5. 
\begin{align}
-\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\
-2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\
x&=-2,~\in D 
\end{align}
  6. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
  7. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
  8.  L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}=
\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16
     P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \
    Zatem  L=P \

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie  2^x+2^{7-x}=24 \!, możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
  2.  2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R}
  3.  2^x+\frac{2^7}{2^x}=24
  4. Podstawiamy  2^x=t, t \in \mathbb{R}_+
  5.  t+\frac{128}{t}=24  / \sdot t
  6.  t^2-24t+128=0 \
  7. Otrzymujemy:
  8. t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+
  9. t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+
  10. Ponieważ  2^x=t \ :
  11. 2^x=t_1\ lub 2^x=t_2\
  12. 2^x=2^3\ lub 2^x=2^4\
  13. x=3\ lub x=4\
  14. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych[edytuj]

Przykładami nierówności wykładniczych są:

 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}}
 3^{x^2-2}<3\sqrt{3}
 \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x}

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
  3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
    dla  a \in (1;+\infty)
     a^n>a^m \iff n>m
     a^n<a^m \iff n<m
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
    dla  a \in (0;1)
     a^n>a^m \iff n<m
     a^n<a^m \iff n>m
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
  4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
  5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie  2^{2x-1} \geq 2^{3-x} , możemy je przekształcić na równanie  2x-1 \geq 3-x\ , ponieważ  a=2 \in (1;+\infty) . Natomiast  \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x, ponieważ  a=\frac{1}{2} \in (0;1) .


Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność  \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} . W tym celu:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\}
  2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:
     \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}
     \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}
  3. Ponieważ  a=\frac{1}{2} , wykorzystujemy prawo  a^n>a^m \iff n<m :
     2x<\frac{2x}{x+1}
  4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
     2x-\frac{2x}{x+1}<0
     \frac{2x^2}{x+1}<0
  5. Z własności  \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 , wynika że:
     2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0 , krotność 2 i  x_2=-1 \! o krotności 1.
    Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png
  6. Czyli  x \in (-\infty;-1)