Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Rozwiązywanie równań logarytmicznych

DEFINICJA Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są: $\log_4 x= -2$ $\log_{x+3} 27 = -2$ $\log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1$

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

1. Ustalić dziedzinę
2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
   • $\log_n b=x \iff b=n^x$ np. $\log_{\frac{1}{2}} (3-x) = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2$
   • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. $\log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1$, ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie $\log_2 x = 5$.

1. Ustalamy dziedzinę: $x \in \mathbb{R}_+$
2. Własność $\log_n b=x \iff b=n^x$ sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy

   $\log_2 x = 5 \iff x = 2^5 = 32$

3. Odp. $x = 32$

Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie $\log_3(4-\frac{1}{5}x)=2$. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20$

   Zatem mamy równanie $\log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20)$

2. Z własności $\log_n b=x \iff b=n^x$ i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:

   $\log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2$

   $-\frac{1}{5}x=5$

   $x=-25,~\in D$

3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $\log_5 {x^2} = 3$.

1. Ustalamy dziedzinę:

   Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że $x^2 > 0 \iff x \neq 0$. Zatem $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$.

2. $\log_5 {x^2} = 3 \iff x^2 = 5^3 = 125$
3. I znajdujemy pierwiastki równania:

   $x^2 - 125 = 0$

   $(x - 5\sqrt{5})(x + 5\sqrt{5}) = 0$

   czyli $x_1 = 5\sqrt{5} \in D$ i $x_2 = -5\sqrt{5} \in D$

4. Odp. $x \in \{-5\sqrt{5}; 5\sqrt{5}\}$

Przykład 4

Rozwiążmy równanie $\log^2_2 x - 10 \log_2 x +16 = 0$. (Pamiętamy, że $\log^2_2 x = (\log_2 x)^2$, a nie $\log_2 (x^2)$.)

1. Ustalamy dziedzinę: $D = \mathbb{R}_+$
2. Podstawiamy zmienną pomocniczą $t = \log_2 x$ do równania $\log^2_2 x - 10 \log_2 x + 16$ i otrzymujemy:

   $t^2 - 10t + 16$

3. $\Delta = 10^2 - 4 \cdot 16 = 36$, $\sqrt{\Delta} = 6$.
4. $t_1 = \frac{10-6}{2} = 2$, $t_2 = \frac{10+6}{2} = 8$
5. Ponieważ $t = \log_2 x$, więc:

   $\log_2 x = t_1 = 2$

   $x = 2^2 = 4 \in D$

   lub $\log_2 x = t_2 = 8$

   $x = 2^8 = 256 \in D$

6. Odp. $x \in \{4;256\}$

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie $\log_2 x - \log_4 x = 3$.

1. Ustalamy dziedzinę: $D = \mathbb{R}_+$
2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. $\log_4 x$ możemy zapisać jako $\frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$. Zatem nasze równanie przybierze postać:

   $\log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} = 3$

   $\frac{\log_2 x}{2} = 3$

   Obustronnie mnożymy przez 2:

   $\log_2 x = 6$

   $x = 2^6 = 64$

3. Odp. $x = 64$

Przykład 6

Rozwiążmy równanie $2\log_3 (x-3) - \log_\frac{1}{9} (x-3) = 5$

1. Ustalamy dziedzinę: $D = (3; +\infty)$
2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:

   $2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{\log_3 \frac{1}{9}} = 5$

   $2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{-2} = 5$

   $\frac{5}{2}\log_3 (x-3) = 5$

3. Teraz obustronnie dzielimy przez $\frac{5}{2}$ i mamy:

   $\log_3 (x-3) = 2$

4. $x-3 = 3^2 = 9 \implies x = 12$
5. Odp. $x = 12$

Przykład 7

Rozwiążmy równanie $2\log_{x-3} 3 = 2$.

1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów $(0;1) \cup (1;+\infty)$:

   $x-3 \in (0;1) \cup (1;+\infty)$

   czyli $D = (3;4) \cup (4;+\infty)$

2. Skorzystamy z własności $k\log_a x = \log_a x^k$:

   $2\log_{x-3} 3 = 2 \iff \log_{x-3} 3^2 = 2$

   zatem $\log_{x-3} 9 = 2$

3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:

   $9 = (x-3)^2$

   $9 = x^2-6x+9$

   $x(x-6) = 0$

   Otrzymujemy: $x_1 = 0 \not\in D$ i $x_2 = 6 \in D$

4. Odp. $x = 6$