Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Rozwiązywanie równań logarytmicznych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:

  •  \log_4 x= -2
  •  \log_{x+3} 27 = -2
  •  \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
    •  \log_n b=x \iff b=n^x np.  \log_{\frac{1}{2}} (3-x) = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2
    • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np.  \log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1 , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
  3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie  \log_2 x = 5 .

  1. Ustalamy dziedzinę:  x \in \mathbb{R}_+
  2. Własność  \log_n b=x \iff b=n^x sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
     \log_2 x = 5 \iff x = 2^5 = 32
  3. Odp.  x = 32


Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie  \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 . Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20
    Zatem mamy równanie  \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20)
  2. Z własności  \log_n b=x \iff b=n^x i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
     \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2
     -\frac{1}{5}x=5
     x=-25,~\in D
  3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie  \log_5 {x^2} = 3 .

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że  x^2 > 0 \iff x \neq 0 . Zatem  D = \mathbb{R} \backslash \{0\} .
  2.  \log_5 {x^2} = 3 \iff x^2 = 5^3 = 125
  3. I znajdujemy pierwiastki równania:
     x^2 - 125 = 0
     (x - 5\sqrt{5})(x + 5\sqrt{5}) = 0
    czyli  x_1 = 5\sqrt{5} \in D i  x_2 = -5\sqrt{5} \in D
  4. Odp.  x \in \{-5\sqrt{5}; 5\sqrt{5}\}

Przykład 4

Rozwiążmy równanie  \log^2_2 x  - 10 \log_2 x +16 = 0 . (Pamiętamy, że  \log^2_2 x = (\log_2 x)^2 , a nie  \log_2 (x^2) .)

  1. Ustalamy dziedzinę:  D = \mathbb{R}_+
  2. Podstawiamy zmienną pomocniczą  t = \log_2 x do równania  \log^2_2 x  - 10 \log_2 x + 16 i otrzymujemy:
     t^2 - 10t + 16
  3.  \Delta = 10^2 - 4 \cdot 16 = 36 ,  \sqrt{\Delta} = 6 .
  4.  t_1 = \frac{10-6}{2} = 2 ,  t_2 = \frac{10+6}{2} = 8
  5. Ponieważ  t = \log_2 x , więc:
     \log_2 x = t_1 = 2
     x = 2^2 = 4 \in D
    lub  \log_2 x = t_2 = 8
     x = 2^8 = 256 \in D
  6. Odp.  x \in \{4;256\}

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie  \log_2 x - \log_4 x = 3 .

  1. Ustalamy dziedzinę:  D = \mathbb{R}_+
  2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór 
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} .  \log_4 x możemy zapisać jako 
\frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} . Zatem nasze równanie przybierze postać:
     \log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} = 3
     \frac{\log_2 x}{2} = 3
    Obustronnie mnożymy przez 2:
     \log_2 x = 6
     x = 2^6 = 64
  3. Odp.  x = 64

Przykład 6

Rozwiążmy równanie  2\log_3 (x-3) - \log_\frac{1}{9} (x-3) = 5

  1. Ustalamy dziedzinę:  D = (3; +\infty)
  2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:
     2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{\log_3 \frac{1}{9}} = 5
     2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{-2} = 5
     \frac{5}{2}\log_3 (x-3) = 5
  3. Teraz obustronnie dzielimy przez  \frac{5}{2} i mamy:
     \log_3 (x-3) = 2
  4.  x-3 = 3^2 = 9 \implies x = 12
  5. Odp.  x = 12

Przykład 7

Rozwiążmy równanie  2\log_{x-3} 3 = 2 .

  1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów (0;1) \cup (1;+\infty):
     x-3 \in (0;1) \cup (1;+\infty)
    czyli  D = (3;4) \cup (4;+\infty)
  2. Skorzystamy z własności  k\log_a x = \log_a x^k :
     2\log_{x-3} 3 = 2 \iff \log_{x-3} 3^2 = 2
    zatem  \log_{x-3} 9 = 2
  3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
     9 = (x-3)^2
     9 = x^2-6x+9
     x(x-6) = 0
    Otrzymujemy:  x_1 = 0 \not\in D i  x_2 = 6 \in D
  4. Odp.  x = 6