Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Miejsca zerowe funkcji

DEFINICJA Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli $f(x)=0$].

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

• Przykład 1

Funkcja $f(x)=x+2$ ma jedno miejsce zerowe dla $x=-2$. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie $f(x)=0$:

$x+2=0$

$x=-2$

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

• Przykład 2

Funkcja $f(x)=x+3$, gdzie $D_f=(-2;+\infty)$ nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie:

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

$\begin{cases} x+3=0 \\ x \in (-2;+\infty) \end{cases} \iff \begin{cases} x=-3 \\ x \in (-2;+\infty) \end{cases} \iff x \in \emptyset$

• Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x) = 2(x - 2)(x + 3)$.

$f(x) = 0 \iff 2(x - 2)(x + 3) = 0$

możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy

$(x-2)(x+3) = 0 \iff (x - 2 = 0 \or x + 3 = 0) \iff (x = 2 \or x=-3)$

Zatem $f(x) = 0 \iff x \in \{-3, 2\}$.

• Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których $f(x) = 0$, a $f(x) = 9 - x^2$. Czyli:

$f(x) = 0 \iff 9 - x^2=0$

$x^2 - 9 = 0$

Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia $(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$ otrzymujemy:

$(x-3)(x+3) = 0$, czyli $x-3 = 0$ lub $x+3 = 0$.

Zatem $f(x) = 0$, gdy $x = 3$ lub $x = -3$.

• Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x) = \left|x+1\right| + |x-3| - 4$.

Dla $x<-1$ (czyli $x+1<0$), funkcję $f$ można wyrażać jako $f(x)= -(x+1)+(-(x-3))-4 = -2x-2$. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze $\{x: x<-1\}$.

Dla $x>3$ (czyli $x-3>0$), funkcję $f$ można wyrażać jako $f(x)= (x+1)+(x-3)-4 = 2x-6$. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze $\{x: x>3\}$.

Dla $-1\le x \le 3$ (czyli $x+1\ge 0$ i $x-3 \le 0$. funkcja $f(x) =(x+1)+(-(x-3))-4 = 0$ jest stała z wartością 0.

Zatem $f(x) = 0$, gdy $-1\le x \le 3$.