Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Miejsca zerowe funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

DEFINICJA Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli f(x) = 0].

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

• Przykład 1

Funkcja f(x) = x + 2 ma jedno miejsce zerowe dla x = − 2. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie f(x) = 0:

x + 2 = 0

x = − 2

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

• Przykład 2

Funkcja f(x) = x + 3, gdzie nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie:

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

• Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = 2(x − 2)(x + 3).

możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy

Zatem .

• Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których f(x) = 0, a f(x) = 9 − x². Czyli:

x² − 9 = 0

Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia (x − a)(x + a) = x² − a² otrzymujemy:

(x − 3)(x + 3) = 0, czyli x − 3 = 0 lub x + 3 = 0.

Zatem f(x) = 0, gdy x = 3 lub x = − 3.

• Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji .

Dla x < − 1 (czyli x + 1 < 0), funkcję f można wyrażać jako f(x) = − (x + 1) + ( − (x − 3)) − 4 = − 2x − 2. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze {x:x < − 1}.

Dla x > 3 (czyli x − 3 > 0), funkcję f można wyrażać jako f(x) = (x + 1) + (x − 3) − 4 = 2x − 6. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze {x:x > 3}.

Dla (czyli i . funkcja f(x) = (x + 1) + ( − (x − 3)) − 4 = 0 jest stała z wartością 0.

Zatem f(x) = 0, gdy .