Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Miejsca zerowe funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Definicja
DEFINICJA

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli f(x)=0].

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

  • Przykład 1

Funkcja  f(x)=x+2 ma jedno miejsce zerowe dla x=-2. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie  f(x)=0 :

 x+2=0
 x=-2

Wykres y=x+2.png

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

  • Przykład 2

Funkcja  f(x)=x+3 , gdzie  D_f=(-2;+\infty) nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie: Wykres y=x+3 (x=(-2;+oo)).png

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

 \begin{cases} x+3=0 \\
x \in (-2;+\infty)
\end{cases} \iff \begin{cases} x=-3 \\
x \in (-2;+\infty)
\end{cases} \iff x \in \emptyset


  • Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = 2(x - 2)(x + 3) .

 f(x) = 0 \iff 2(x - 2)(x + 3) = 0
możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy
 (x-2)(x+3) = 0 \iff (x - 2 = 0 \or x + 3 = 0) \iff (x = 2 \or x=-3)

Zatem  f(x) = 0 \iff x \in \{-3, 2\}.


  • Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których f(x) = 0, a  f(x) = 9 - x^2 . Czyli:

 f(x) = 0 \iff 9 - x^2=0
 x^2 - 9 = 0
Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia  (x-a)(x+a) = x^2 - a^2 otrzymujemy:
 (x-3)(x+3) = 0 , czyli  x-3 = 0 lub  x+3 = 0 .

Zatem  f(x) = 0 , gdy  x = 3 lub  x = -3 .

  • Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = \left|x+1\right| + |x-3| - 4.

Dla x<-1 (czyli x+1<0), funkcję f można wyrażać jako f(x)= -(x+1)+(-(x-3))-4 = -2x-2. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze \{x: x<-1\}.

Dla x>3 (czyli x-3>0), funkcję f można wyrażać jako f(x)= (x+1)+(x-3)-4 = 2x-6. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze \{x: x>3\}.

Dla  -1\le x \le 3 (czyli x+1\ge 0 i  x-3 \le 0. funkcja f(x)  =(x+1)+(-(x-3))-4 = 0 jest stała z wartością 0.

Zatem  f(x) = 0 , gdy  -1\le x \le 3 .