Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji

DEFINICJA Funkcja $f\colon X \to Y$ jest rosnąca w zbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$ i $x_2$ należących do zbioru A i $x_1 < x_2$ wynika $f(x_1) < f(x_2)$. $x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)$

Inaczej mówiąc wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Analogicznie definiujemy funkcję niemalejącą w zbiorze $A \subset X$, tylko nierówność nie jest ostra. Zachodzi wtedy:

$f(x_1) \leq f(x_2)$, dla $x_1 < x_2$

Zauważmy, że gdy nierówność jest rosnąca, to jest również niemalejąca, ale nie musi być odwrotnie.

DEFINICJA Funkcja $f\colon X \to Y$ jest malejąca w zbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$ i $x_2$ należących do zbioru A i $x_1 < x_2$ wynika $f(x_1) > f(x_2)$. $x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)$

Czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Podobnie możemy określić funkcję nierosnącą w zbiorze $A \subset X$. Mamy wtedy:

$f(x_1) \geq f(x_2)$, dla $x_1 < x_2$

Gdy nierówność jest malejąca, to jest również nierosnąca, ale nie musi zajść odwrotnie.

Przykład 1. Przyjrzyjmy się funkcji $y=x^2$.

Możemy powiedzieć o tej funkcji, że:

• jest rosnąca dla $x > 0$
• jest malejąca dla $x < 0$

Przykład 2.

Określmy monotoniczność funkcji na podstawie jej poniższego wykresu. Funkcja ta jest określona dla $x \in [-4; 4]$ (czyli $D_f = [-4; 4]$).

Z wykresu widzimy, że funkcja ta:

• rośnie w przedziałach $[-4; -2)$ oraz $(-1; 2)$
• maleje w przedziałach $(-2; -1)$ oraz $(2; 4)$

Przykład 3.

Spójrzmy teraz na najprostszy przykład. Jest to funkcja liniowa $f(x) = \frac{4-x}{2}$. Wykres tej funkcji będzie wyglądał tak:

Widać od razu, że funkcja ta jest malejąca dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$.

Przykład 4.

Poniższy wykres przedstawia funkcję niemalejącą.

Nazwa bierze się stąd, że wraz ze wzrostem argumentów nie maleją wartości funkcji, czyli dla coraz wyższych x $f(x) \geq f(x_0)$, gdzie $x_0$ jest dowolną liczbą mniejszą od x.

Przykład 5.

Poniżej przedstawiono wykres funkcji nierosnącej.

Widzimy z wykresu, że wraz ze wzrostem argumentów nie rosną wartości funkcji.

Przykład 6.

Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja $f(x)=2x+3$ jest rosnąca.

Funkcję liniową miałeś okazję poznać już w gimnazjum. Wiesz więc od razu, że jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to funkcja jest rosnąca. Jednak w zadaniu mam skorzystać z definicji funkcji rosnącej. Czytamy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnego $x_{1} < x_{2}$ zachodzi $f(x_{1}) < f(x_{2})$.

Weźmy więc dowolne $x_{1} < x_{2}$ i rozwiązmy nierówność $f(x_{1}) < f(x_{2})$.

$f(x_{1}) = 2 \cdot x_{1} + 3 = 2x_{1} + 3$

$f(x_{2}) = 2 \cdot x_{2} + 3 = 2x_{2} + 3$

$2x_{1} + 3 < 2x_{2} + 3$

$2x_{1} + 3 - 2x_{2} - 3 < 0$

$2x_{1} - 2x_{2} < 0$

$2 \cdot (x_{1} - x_{2}) < 0$

Z założenia mamy, że $x_{1} < x_{2}$, czyli $x_{1} - x_{2} < 0$. A co za tym idzie - wartość w nawiasie jest zawsze ujemna. Iloczyn liczby dodatniej (2) przez dowolną liczbę ujemną jest ujemny. Czyli nierówność $f(x_{1})< f(x_{2})$ spełniona jest zawsze. Co należało dowieść.