Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Podsumowanie

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Podsumowanie

Funkcja to sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

  • grafu
  • wykresu
  • wzoru
  • tabelki
  • opisu słownego

Dziedzina funkcji jest to zbiór wszystkich argumentów zmiennej (np. x), dla której funkcja ma sens.

Wyznaczając dziedzinę należy pamiętać o tym, że: w mianowniku nie może być 0, a pod pierwiastkiem nie może znajdować się liczba ujemna.

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Miejsce zerowe funkcji jest to punkt przecięcia wykresu z osią X.


Funkcja rosnąca

Funkcję f\colon X \to R nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów x_1\, , x_2\, \in X\, zachodzi:

x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)

Funkcja malejąca

Funkcję f\colon X \to R nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów x_1\, , x_2\, \in X\, zachodzi:

x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)

Funkcja stała

Funkcja jest stała, gdy dla każdego x: f(x)=c\,


Funkcja niemalejąca

Dla dowolnych argumentów x_1 , x_2\, :

x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leqslant(x_2)\,

Funkcja nierosnąca

Dla dowolnych argumentów x_1 , x_2\, :

x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geqslant(x_2)\,


Największa wartość funkcji

Funkcja f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość największą y_0=f(x_0)\, dla pewnego x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zachodzi nierówność f(x) \leq f(x_0)

Najmniejsza wartość funkcji

Funkcja f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość najmniejszą y_0=f(x_0)\, dla pewnego x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zachodzi nierówność f(x) \geq f(x_0)


Inne własności funkcji

  • funkcja różnowartościowa
  • funkcja parzysta
  • funkcja nieparzysta
  • okresowa

Podstawowe przekształcanie wykresu funkcji y=f(x)\,

  • przesuwanie wykresu o wektor (translacja) \vec u = [p,q] wzór - y = f(x-p)+q\,
  • symetria względem osi OX - wzór y = -f(x)\,
  • symetria względem osi OY - wzór y = f(-x)\,
  • symetria względem układu współrzędnych - wzór y = -f(-x)\,
  • nałożenie wartości bezwględnej
  • zmiana skali

[edytuj] Powinieneś umieć

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • czym jest funkcja, a także wykres funkcji
    • wyznaczyć dziedzinę funkcji
    • podać jaki jest zbiór wartości funkcji
    • wyznaczyć miejsce zerowe funkcji
    • wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale
    • podać monotoniczność funkcji
    • przesunąć wykres funkcji (translacja)
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • czym jest funkcja różnowartościowa
    • funkcja parzysta, nieparzysta i okresowa
    • przekształcać wykres funkcji przez zmianę skali i przez symetrię


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Funkcje_i_ich_w%C5%82asno%C5%9Bci/Podsumowanie”