Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Pojęcie funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje i ich własności[edytuj]

Pojęcie funkcji[edytuj]

Zanim zaznajomimy się z formalną definicją funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:

  • Przykład 1
    Ucząc się słów z języka angielskiego i ich polskich odpowiedników mamy do czynienia ze swoistą funkcją. Na przykład słysząc dog myślimy pies, słysząc cow - krowa, a horse - koń. Podobne „zjawisko” występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać f(dog)=pies, f(cow)=krowa, f(horse)=koń (choć być może taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja f byłaby odwzorowaniem, która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak  f\colon S_{angielski} \to S_{polski} , gdzie  S_{angielski} to zbiór angielskich słówek i analogicznie  S_{polski} - zbiór polskich słówek.
  • Przykład 2
    Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany pewien numer z dziennika.
  • Przykład 3
    Każdej liczbie możemy przyporządkować jej trzykrotność.

Podając te przykłady pominęliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowujemy dokładnie jeden element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru S_{angielski}(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z S_{polski}(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:

Definicja
DEFINICJA

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Taką funkcję oznaczamy przez  f \colon X \to Y .

Zbiór X jest nazywany dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną .

W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest S_{angielski}, a przeciwdziedziną S_{polski}.

Definicja
DEFINICJA

Zbiór wartości funkcji jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.

Przykład 4.

Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych –  X=\mathbb{Z} , a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych –  Y=\mathbb{Z} .

 f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}

Przykład 5.

Zobaczmy na poniższy graf przedstawiający pewną funkcję.

Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png

Łatwo zauważyć, że dziedziną jest  X=\{-1,0,1,2,3\} a przeciwdziedziną jest zbiór  Y=\{0,1,3,4,5,6,9\} . Zbiorem wartości tej funkcji jest  ZW_f=\{0,1,4,9\} , są to te elementy ze zbioru Y, które zostały połączone strzałką. Każdemu elementowi ze zbioru X musi zostać przyporządkowany dokładnie jeden element, dlatego wszystkie elementy ze zbioru X muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru Y muszą być połączone z grotem pewnej strzały np. w tym przykładzie 5,6 i 3. Z grafu widzimy, że:  f(-1)=1 , f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4 i  f(3)=9 . Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji f(6) czy też f(-2), ponieważ liczba 6 ani -2 nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.


Przykład 6.

Graf funkcji 1.png

Dziedziną funkcji jest zbiór  X=\{1,2,3,4,5\} , a przeciwdziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości ZW tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.


Przykład 7.

Nie każde odwzorowanie jest funkcją:

Graf niebędący funkcją.png

Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element d ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru Y – z elementem g i h.