Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Przekształcanie wykresu funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Funkcje i ich własności

Do podstawowych przekształceń wykresu funkcji y = f(x) zaliczamy:

symetrię względem osi OX - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(x)
symetrię względem osi OY - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(-x)
symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(-x)
translacja (przesunięcie) o wektor $\vec u = [a,b]$ - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(x - a) + b
nałożenie wartości bezwzględnej
zmiana skali

Spis treści

1 Symetria względem osi OX
2 Symetria względem osi OY
3 Symetria względem środka układu współrzędnych
4 Translacja
5 Nałożenie wartości bezwzględnej

[edytuj] Symetria względem osi OX

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x i y'=-y=-f(x)=-f(x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OX będzie miał wzór y=-f(x).

[edytuj] Symetria względem osi OY

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=y=f(x)=f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OY będzie miał wzór y=f(-x).

[edytuj] Symetria względem środka układu współrzędnych

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=-y=-f(x)=-f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem środka układu współrzędnych będzie miał wzór y=-f(-x).

[edytuj] Translacja

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez translację o wektor $\vec u=[a,b]$ to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x+a a y'=y+b. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez translację o wektor $\vec u=[a,b]$ , to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x+a i y'=y+b=f(x)+b=f(x'-a)+b, Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez translację o wektor $\vec u=[a,b]$ będzie miał wzór y=f(x-a)+b.