Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Przekształcanie wykresu funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Do podstawowych przekształceń wykresu funkcji y = f(x) zaliczamy:

  • symetrię względem osi OX - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(x)
  • symetrię względem osi OY - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(-x)
  • symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(-x)
  • translacja (przesunięcie) o wektor \vec u = [a,b] - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(x - a) + b
  • nałożenie wartości bezwzględnej
  • zmiana skali

Symetria względem osi OX[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x i y'=-y=-f(x)=-f(x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OX będzie miał wzór y=-f(x).

Wykres y=f(x), y=-f(x).png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=3x+5 w symetrii względem osi OX.
y=-f(x)=-(3x+5)= -3x-5.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2log3(x+2) w symetrii względem osi OX.
y=-f(x)=-(2log3(x+2))=-2log3(x+2).

Symetria względem osi OY[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=y=f(x)=f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OY będzie miał wzór y=f(-x).

Wykres y=f(x), y=f(-x).png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=3x+5 po przekształceniu przez symetrię względem osi OY.
y=f(-x)=3(-x)+5= -3x+5

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2log3(x+2) po przekształceniu przez symetrię względem osi OY.
y=f(-x)=2log3(-x+2)

Symetria względem środka układu współrzędnych[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=-y=-f(x')=-f(-x), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem środka układu współrzędnych będzie miał wzór y=-f(-x).

Wykres y=f(x), y=-f(-x).png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)= -x3 po przekształceniu przez symetrię środkową względem środka układu współrzędnych- So.
y=-f(-x)=-(-(-x)3)=-x3.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2xpo przekształceniu przez symetrię środkową względem środka układu współrzędnych - So.
y=-f(-x)=-2(-x)=-2-x=-\left(\frac{1}{2}\right)^x .

Translacja[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez translację o wektor  \vec u=[a,b] to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x+a a y'=y+b. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez translację o wektor  \vec u=[a,b] , to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x+a i y'=y+b=f(x)+b=f(x'-a)+b, Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez translację o wektor  \vec u=[a,b] będzie miał wzór y=f(x-a)+b.

Wykres y=f(x), y=f(x-a)+b.png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=2x2 po przekształceniu przez translację o wektor  \vec u=[3,-2] .
y=f(x-a)+b= 2(x-3)2-2.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=log(x+2)-3 po przekształceniu przez translację o wektor  \vec u=[-3,5] .
y=f(x-a)+b=log(x+3+2)+5-3=log(x+5)+2.

Nałożenie wartości bezwzględnej[edytuj]

Wykres funkcji  y = f(|x|) tworzymy poprzez usunięcie funkcji po lewej stronie osi OY i symetryczne odbicie prawej strony względem tej osi.

Wykres funkcji  y = |f(x)| tworzymy poprzez przełożenie części funkcji znajdującej się pod osią OX nad nią.

Absolute.png