Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Działania na wyrażeniach wymiernych

Działania na wyrażeniach wymiernych

W tym rozdziale przedstawimy niektóre metody przekształcania wyrażeń wymiernych. Będą to:

• skracanie
• rozszerzanie
• sprowadzanie wyrażeń wymiernych do wspólnego mianownika
• dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Jak widzimy, są to te same przekształcenia, jakie wykonujemy na zwykłych ułamkach (liczbach wymiernych). Jedyną różnicą jest to, że wszystkie operacje zamiast na liczbach, wykonujemy na wielomianach.

Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych

Jeżeli w liczbie wymiernej zapisanej w postaci ułamka zwykłego pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, wartość liczby wymiernej nie ulegnie zmianie:

$\frac{2}{3}=\frac{2 \cdot {\color{Blue}7}}{3 {\color{Blue}\cdot 7}}=\frac{14}{21}$

Jest to rozszerzanie ułamka. To samo możemy zrobić z wyrażeniem wymiernym - pomnożyć licznik i mianownik przez ten sam wielomian.

Przykład 1.

$\frac{x-1}{x+4}=\frac{(x-1)\cdot {\color{Blue}(x+1)}}{(x+4)\cdot {\color{Blue}(x+1)}}=\frac{x^2-1}{x^2+x+4x+4}=\frac{x^2-1}{x^2+5x+4}$

Otrzymane wyrażenie zazwyczaj jest równoważne poprzedniemu (w powyższym przykładzie nie dzieje się tak dla x=-1) - jego wartość po podstawieniu dowolnej wartości $x$ będzie taka sama jak w pierwotnym wyrażeniu.

Odwrotnością rozszerzania jest skracanie: jeżeli w liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego występuje ten sam czynnik, możemy przez niego skrócić nasze wyrażenie:

Przykład 2.

Czynniki, które skracamy, zaznaczone są niebieskim kolorem:

a) $\frac{(x^2+4){\color{Blue}(x^2-5x+2)}}{(x-1){\color{Blue}(x^2-5x+2)}}=\frac{x^2+4}{x-1}$

b) $\frac{(x^3+x-5){\color{Blue}(x+2)x^2}}{{\color{Blue}(x+2)}(x^3-1) {\color{Blue}x^2}}=\frac{x^3+x-5}{x^3-1}$

c) $\frac{x^3(x+4)}{x^4}=\frac{{\color{Blue}x^3}(x+4)}{{\color{Blue}x^3} \cdot x}=\frac{x+4}{x}$

Analizując powyższe przykłady może się nasunąć pytanie: co zrobić, jeśli w liczniku i mianowniku żaden wielomian się nie powtarza? Czy w takim przypadku skrócenie wyrażenia wymiernego także jest możliwe?
Okazuje się, że czasami takie wyrażenia wymierne możemy skrócić. Pomaga nam w tym rozłożenie wielomianów na czynniki ( patrz Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki).

Przykład 3.

Skrócimy wyrażenie

$\frac{x^2-4}{x^2+x-6}$

Najpierw rozkładamy wielomiany w liczniku i w mianowniku na czynniki.
Licznik rozkładamy wykorzystując wzory skróconego mnożenia:

$x^2-4 = (x+2)(x-2)$

Znajdujemy pierwiastki wielomianu w mianowniku i zamieniamy go na postać iloczynową:

$x^2+x-6$

$\Delta = (-1)^2-4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 + 24 = 25 \quad \sqrt{\Delta}=5$

$x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3 \quad x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$

$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$

Po rozłożeniu licznika i mianownika skracamy nasze wyrażenie:

$\frac{x^2-4}{x^2+x-6}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}=\frac{x+2}{x+3}$

Oto kolejny przykład, z wielomianami wyższych stopni:

$\frac{x^3+3x^2-4x-12}{3x^4-6x^3}=\frac{x^2(x+3)-4(x+3)}{3x^3(x-2)}=\frac{(x^2-4)(x+3)}{3x^3(x-2)}=\frac{(x-2)(x+2)(x+3)}{3x^3(x-2)} =\frac{(x+2)(x+3)}{3x^3}$

Jeśli po rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki możliwie najniższego stopnia żaden z nich się nie powtarza, oznacza to, że nie można skrócić danego wyrażenia.

Przykład 4.

$\frac{x^2-x-6}{x^4-4}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x^2-2)(x^2+2)}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x- \sqrt 2)(x+ \sqrt 2)(x^2 + 2)}$

Tych wielomianów nie możemy dalej rozkładać. Żaden czynnik nie powtarza się w liczniku i w mianowniku. Nie możemy skrócić tego ułamka.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wynikiem dodawania lub odejmowania wyrażeń wymiernych powinno być także wyrażenie wymierne. Kiedy obydwa mają równe mianowniki, postępujemy analogicznie jak w przypadku zwykłych ułamków:

1. Wielomian w mianowniku pozostawiamy bez zmian
2. Dodajemy (odejmujemy) wielomiany w liczniku

Przykład 5.

Tak dodajemy ułamki o jednakowym mianowniku:

$\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3+2}{7}=\frac{5}{7}$

A tak wyrażenia wymierne o jednakowym mianowniku:

$\frac{x^2-3x}{x-4}+\frac{2x-5}{x-4}=\frac{x^2-3x+2x-5}{x-4}= \frac{x^2-x-5}{x-4}$

Odejmujemy analogicznie:

$\frac{x^3+2x^2-5x+6}{x^2-1}-\frac{3x^3-4x+4}{x^2-1}=\frac{x^3+2x^2-5x+6-(3x^3-4x+4)}{x^2-1}= \frac{x^3+2x^2-5x+6{\color{Red}-}3x^3{\color{Red}+}4x{\color{Red}-}4}{x^2-1}=$

Przy odejmowaniu należy uważać na znaki. Minus przed nawiasem zamienia je na przeciwne. Zaznaczono to czerwonym kolorem. Teraz możemy uporządkować nasz wielomian w liczniku:

$\frac{x^3+2x^2-5x+6-3x^3+4x-4}{x^2-1}=\frac{-2x^3+2x^2-x+2}{x^2-1}$

Co zrobić, jeżeli wielomiany w mianowniku nie są równe? Sprowadzić wyrażenia wymierne do jednego mianownika:

Przykład 6.

Wykonamy działanie:

$\frac{x+2}{x-1} + \frac{x+5}{x+3}$

Wspólnym mianownikiem dla obydwu wyrażeń będzie iloczyn ich mianowników: $(x-1)(x+3)$. Aby go uzyskać, odpowiednio rozszerzamy ułamki:

$\frac{x+2}{\color{Blue}x-1} + \frac{x+5}{\color{Red}x+3}=\frac{(x+2)\color{Red}(x+3)}{{\color{Blue}(x-1)}\color{Red}(x+3)} + \frac{{\color{Blue} (x-1)}(x+5)}{{\color{Blue}(x-1)}\color{Red}(x+3)}$

Teraz możemy liczniki dodać do siebie:

$\frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{(x-1)(x+5)}{(x-1)(x+3)}=\frac{(x+2)(x+3)+(x-1)(x+5)}{(x-1)(x+3)}=$

$=\frac{x^2+2x+3x+6+x^2-x+5x-5}{(x-1)(x+3)}=\frac{2x^2+9x+1}{(x-1)(x+3)}$

Kolejny przykład:

$\frac{x+2}{x^2}+\frac{4}{x(x-1)}$

Wspólnym mianownikiem możemy uczynić $x^2 \cdot x(x-1)$, ale zauważmy, że może nim być też wielomian niższego stopnia, $x^2(x-1)$:

$\frac{x+2}{x^2}+\frac{4}{x(x-1)}=\frac{(x+2)(x-1)}{x^2(x-1)}+\frac{4 \cdot x}{x(x-1) \cdot x}=\frac{x^2+2x-x-2}{x^2(x-1)}+ \frac{4x}{x^2(x-1)}=$

$=\frac{x^2+x-2+4x}{x^2(x-1)}=\frac{x^2+5x-2}{x^2(x-1)}$

Na koniec przykład, w którym dodamy do siebie 3 wyrażenia wymierne:

$\frac{4}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{4(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)}+\frac{2x(x+2)}{x(x-1)(x+2)}+ \frac{3x(x-1)}{x(x-1)(x+2)}=\frac{4(x-1)(x+2)+2x(x+2)+3x(x-1)}{x(x-1)(x+2)}$

Pozostaje powymnażać nawiasy w liczniku i uporządkować otrzymany wielomian. Zostawiamy to jako ćwiczenie.

Rozłożenie wielomianów $=$ mniej rachunków

W bardziej rozbudowanych przykładach nieumiejętne przekształcanie wyrażeń wymiernych może doprowadzić do bardzo długich i żmudnych rachunków. Aby ich uniknąć, warto stosować następującą zasadę:

Przed wykonaniem działań na wyrażeniach wymiernych rozłóż wszystkie wielomiany w mianownikach.

Kosztować to będzie trochę pracy, ale zyskujemy niższy stopień wielomianów i prostsze obliczenia w póżniejszej fazie. Oto przykład:

Przykład 7.

Dodajmy wyrażenia

$\frac{x+3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-3x-5}{x^2+x-6}$

Najpierw za wspólny mianownik przyjmujemy iloczyn mianowników:

$\frac{\color{Blue}(x+3)(x^2+x-6)}{(x^2-x-2)(x^2+x-6)}+\frac{\color{Red}(x^2-3x-4)(x^2-x-2)}{(x^2-x-2)(x^2+x-6)}=$

$\frac{{\color{Blue}x^3+x^2-6x+3x^2+3x-18}+{\color{Red}x^4-x^3-2x^2-3x^3+3x^2+6x-4x^2+4x+8}}{(x^2-x-2)(x^2+x-6)}$

W liczniku mamy 15 składników. A jak wyglądać będą obliczenia, gdy zaczniemy od rozłożenia mianowników?

$\frac{x+3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-3x-5}{x^2+x-6}=\frac{x+3}{(x-2)(x+1)}+\frac{x^2-3x-5}{(x+3)(x-2)}$

Widzimy teraz, że za wspólny mianownik możemy przyjąć $(x+3)(x-2)(x+1)$

$\frac{x+3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-3x-5}{x^2+x-6}=\frac{x+3}{(x-2)(x+1)}+\frac{x^2-3x-5}{(x+3)(x-2)}= \frac{\color{Blue}(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-2)(x+1)}+\frac{\color{Red}(x^2-3x-5)(x+1)}{(x+3)(x-2)(x+1)}=$

$=\frac{{\color{Blue} x^2+6x+9}+ {\color{Red}x^3-3x^2-5x+x^2-3x-5}}{(x+3)(x-2)(x+1)}= \frac{x^3-x^2-2x+4}{(x+3)(x-2)(x+1)}$

Wielomiany w liczniku i mianowniku są teraz stopnia trzeciego (zamiast czwartego, jak poprzednio) i łatwo przekonać się, że nie skrócimy górnego wielomianu z dolnym (górny wielomian jest różny od zera dla x równego -3,2 bądź -1).

Czy wiesz, że... Wielomian otrzymany w mianowniku w tym przykładzie: (x+3)(x-2)(x+1) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością wielomianów $x^2-x-2$ i $x^2+x-6$. Czy dostrzegasz analogię do najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych? Czy umiałbyś znaleźć definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności dla wielomianów?