Matematyka dla liceum/Geometria analityczna

Pojęcie prostej

Prosta to nieskończony zbiór punktów współliniowych, spełniających równanie ogólne prostej.

DEFINICJA Prostą nazywamy szczególny rodzaj krzywej, której współrzędne punktów spełniają równanie ogólne prostej, wyrażone wzorem: $Ax + By + C = 0$ , gdzie stałe $A,B,C \in \mathbb{R}$.

Szczególny rodzaj równania prostej to równanie kierunkowe prostej, które wygląda następująco:

$y=ax + b$, gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Współczynnik a można obliczyć jako tangens kąta zawartego pomiędzy wykresem prostej w kartezjańskim układzie współrzędnych a osią OX:

$a = tg \alpha$

Prosta przechodząca przez dwa dane punkty

Mając współrzędne dwóch danych punktów: $A=(x_0, y_0)$ i $B=(x_1, y_1)$ możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty. Oto równanie tejże prostej:

$y - y_0 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)$

Warunek równoległości prostej

TWIERDZENIE Dwie proste, o równaniach ogólnych: $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ oraz $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są równoległe $\iff$ gdy $\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} \and B_1, B_2 \neq 0$ (dwie proste niepionowe).

Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Opisywanie półpłaszczyzny za pomocą nierówności

Odległość

DEFINICJA Odległość w niepustym zbiorze X to funkcja, która każdej parze ${a, b} \in X$ przyporządkowuje taką liczbę ${d(a, b)}\,$, że: ) $\forall_{a,b \in X} { d(a, b) = 0 \iff a = b}\,$ ) $\forall_{a,b \in X} { d(a, b) = d(b, a)}\,$ ) $\forall_{a,b \in X} { d(a, b) \leq d(a, c) + d(c, b)}\,$

Czy jednak odległość może być ujemna? Zauważmy, że odpowiednio przekształcając podane warunki otrzymamy kolejny warunek, że $\forall_{a, b \in X} { d(a, b) \geq 0}\,$:

${d(a, b) = {1 \over 2}(d(a, b) + d(a, b)) = {1 \over 2}(d(a, b) + d(b, a)) \geq {1 \over 2}d(a, a) = 0}\,$

Odległość nazywana jest też metryką.Istnieje wiele rodzajów metryk.

Jedną z nich jest metryka na prostej. Zbiorem X w którym określona jest odległość jest prosta. Między dwoma elementami należącymi do prostej zachodzi zależność: ${d(a, b) = |b - a|}\,$

Kolejną metryką jest powszechnie używana metryka euklidesowa na płaszczyźnie. Jeżeli mamy dwa punkty ${A = (a_1, a_2)}\,$ i ${B = (b_1, b_2)}\,$, to odległość między tymi punktami wyraża się wzorem (wynika on z twierdzenia Pitagorasa):

${d(A, B) = \sqrt{{|b_1 - a_1|}^2 + {|b_2 - a_2|}^2}}\,$

Wprowadzamy następującą definicję okręgu:

Okrąg to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a wartość R promieniem okręgu.

Analogicznie wprowadzamy definicję koła:

Koło to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R, lub jest mniejsza od R. Punkt S nazywamy środkiem koła, a wartość R promieniem koła.

Okrąg i koło można przedstawić w układzie współrzędnych jako rozwiązanie równania (okrąg) lub nierówności (koło). Spróbujmy wyznaczyć równanie okręgu. Niech punkt $S = (x_s, y_s)$ będzie środkiem okręgu, a $r > 0$ jego promieniem. Zgodnie z definicją okrąg to zbiór punktów odległych od $S$ o $r$, zatem dla przykładowego punktu $P = (x, y)$ możemy zdefiniować wektor $\overrightarrow{S P} = [x - x_s, y - y_s]$, którego długość będzie równa $r$. Czyli:

$\sqrt{ (x - x_s)^2 + (y - y_s)^2} = r$,

ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy podnieść je równoważnie do kwadratu:

$(x - x_s)^2 + (y - y_s)^2 = r^2$,

otrzymując równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Wykonajmy podane działania:

$x^2 - 2x_s \cdot x + {x_s}^2 + y^2 - 2y_s \cdot y + {y_s}^2 = r^2$

Teraz podstawmy:

$a = -2*x_s, b = -2*y_s, c = {x_s}^2 + {y_s}^2 - r^2$

i otrzymujemy:

${x}^2 + y^2 + ax + by + c = 0$

czyli równanie okręgu w postaci zredukowanej.

Możliwości sytuacji prostej i okręgu: Jak powszechnie wiadomo mając prostą i okrąg mogą zachodzić trzy sytuacje: 1) Prosta posiada jeden punkt wspólny z okręgiem; 2) Prosta nie posiada punktów wspólnych z okręgiem; 3) Prosta posiada dwa punkty wspólne z okręgiem (prosta przecina okrąg).

Sytuacje te uzależnione są od odległości prostej od środka okręgu. 

Sytuacja pierwsza (punkt 1) odległość prostej od środka okręgu jest równa promieniowi okręgu.

---

Sytuacja druga (punkt 2) odległość prostej od środka okręgu jest większa niż długość promienia.

---

Sytuacja trzecia (punkt 3) odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza niż długość promienia.

Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Zadania z rozwiązaniami Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Ćwiczenia