[edytuj] Odległość

DEFINICJA

Odległość w niepustym zbiorze X to funkcja, która każdej parze ${a, b} \in X$ przyporządkowuje taką liczbę ${d(a, b)}\,$ , że:

) $\forall_{a,b \in X} { d(a, b) = 0 \iff a = b}\,$
) $\forall_{a,b \in X} { d(a, b) = d(b, a)}\,$
) $\forall_{a,b \in X} { d(a, b) \leq d(a, c) + d(c, b)}\,$

Czy jednak odległość może być ujemna? Zauważmy, że odpowiednio przekształcając podane warunki otrzymamy kolejny warunek, że $\forall_{a, b \in X} { d(a, b) \geq 0}\,$ :

${d(a, b) = {1 \over 2}(d(a, b) + d(a, b)) = {1 \over 2}(d(a, b) + d(b, a)) \geq {1 \over 2}d(a, a) = 0}\,$

Odległość nazywana jest też metryką.Istnieje wiele rodzajów metryk.

Jedną z nich jest metryka na prostej. Zbiorem X w którym określona jest odległość jest prosta. Między dwoma elementami należącymi do prostej zachodzi zależność: ${d(a, b) = |b - a|}\,$

Kolejną metryką jest powszechnie używana metryka euklidesowa na płaszczyźnie. Jeżeli mamy dwa punkty ${A = (a_1, a_2)}\,$ i ${B = (b_1, b_2)}\,$ , to odległość między tymi punktami wyraża się wzorem (wynika on z twierdzenia Pitagorasa):