Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Równanie prostej na płaszczyźnie

Pojęcie prostej

Prosta to nieskończony zbiór punktów współliniowych, spełniających równanie ogólne prostej.

DEFINICJA Prostą nazywamy szczególny rodzaj krzywej, której współrzędne punktów spełniają równanie ogólne prostej, wyrażone wzorem: $Ax + By + C = 0$ , gdzie stałe $A,B,C \in \mathbb{R}$.

Szczególny rodzaj równania prostej to równanie kierunkowe prostej, które wygląda następująco:

$y=ax + b$, gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Współczynnik a można obliczyć jako tangens kąta zawartego pomiędzy wykresem prostej w kartezjańskim układzie współrzędnych a osią OX:

$a = tg \alpha$

Prosta przechodząca przez dwa dane punkty

Mając współrzędne dwóch danych punktów: $A=(x_0, y_0)$ i $B=(x_1, y_1)$ możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty. Oto równanie tejże prostej:

$y - y_0 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)$

Warunek równoległości prostej

TWIERDZENIE Dwie proste, o równaniach ogólnych: $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ oraz $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są równoległe $\iff$ gdy $\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} \and B_1, B_2 \neq 0$ (dwie proste niepionowe).