Matematyka dla liceum/Kosz/Przekształcanie równań

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szablon:MDL:NawGórna


Przekształcanie równań[edytuj]

Załóżmy, że mamy równanie typu  a + b = c + d . Możemy przenieść którąś zmienną z jednej strony równania na drugą, jednak należy zmienić znak na przeciwny, czyli np. przenosząc d na lewą stronę otrzymamy:

 a + b - d = c

i mamy wzór na c. Podobnie w powyższym równaniu możemy a przenieść na prawą stronę otrzymując:

 b - d = c - a .

Do każdego równania możemy obustronnie dodać lub odjąć pewną liczbę, wówczas otrzymane równanie będzie równoważne poprzedniemu. Na przykład:

Równanie  a + b = c + d jest równoważny  a + b + 5 = c + d + 5 , dodaliśmy 5.
 2a + b = c jest równoważne  2a + b - 5 = c -5 .
 a - 2b = c jest równoważne równaniu  a - b = c + b , zostało dodane b; zmienne też można dodawać.

Każde równanie możemy obustronnie wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, która musi być różna od 0. Na przykład:

  • Równanie  a + b = 10 jest równoważne równaniu  3a + 3b = 30 , ponieważ gdy równanie pierwsze obustronnie wymnożymy przez 3 otrzymamy równanie drugie.
  • Równanie  2a - c^2 = b^2 jest równoważne równaniu  -2a + c^2 = -b^2 , ponieważ otrzymamy je, gdy pierwsze równanie obustronnie wymnożymy przez -1.
  • Równanie  3a + 12b = 3c + 24d - 9z odpowiada równaniu  a + 4b = c + 8d - 3z , ponieważ równanie drugie otrzymamy po obustronnym podzieleniu przez 3.

Nierówności[edytuj]

Powyższe własności odnoszą się także do nierówności, tylko z jednym wyjątkiem:

Przy obustronnym wymnażaniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak na przeciwny.

Powyższa zasada nie liczy się dodawania i odejmowania, tylko mnożenia i dzielenia.

Spójrzmy na kilka przykładów:

 a + b < c wtedy i tylko wtedy, gdy  a + b - 5 < c - 5 .
Nierówność  -2a - 2b \geq -10 jest równoważna nierówności  a + b \leq 5 ; musieliśmy zmienić znak na przeciwny, ponieważ dzieliliśmy obustronnie przez -2 \in \mathbb{R_-}.
 a - b \geq 5 wtedy i tylko wtedy, gdy  a \geq 5 + b .


Szablon:MDL:NawDolna