Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Liczby i ich zbiory
- 1.1 Pojęcie zbioru
  - 1.1.1 Zawieranie i równość zbiorów
  - 1.1.2 Definiowanie zbiorów
2 Działania na zbiorach
3 Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
4 Oś liczbowa
5 Przedziały liczbowe
6 Wartość bezwzględna liczby
7 Przybliżenia liczbowe
- 7.1 Błąd przybliżenia
- 7.2 Zaokrąglanie liczb
8 Obliczenia procentowe
9 Podsumowanie
10 Ćwiczenia
- 10.1 Zadania dodatkowe

Liczby i ich zbiory

[edytuj] Pojęcie zbioru

W [[../../Zaczynamy/Zbiory|poprzednim rozdziale]] tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

zbiór książek,
zbiór ciasteczek,
zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez $K$ , składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,

„Matematyka dla liceum”,

„C++ w 24 godziny”,

„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi $| K | = 4$ . Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać $a \in K$ , ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy $j \not\in K$ , ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

[edytuj] Zawieranie i równość zbiorów

DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: $A \subset B$ lub $A \subseteq B$ . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

„Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
„Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
„Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy $D 8$ jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

D 8 = {1,2,4,8}

B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Ponieważ wszystkie elementy w $D 8$ powtarzają się także w $B$ , więc zbiór $D_8 \subset B$ . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór $D 8$ jest podzbiorem $B$ . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w $B$ znajdują się także w $D 8$ np. $3 \notin D_8$ . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, $A = B$ , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

DEFINICJA

Dwa zbiory A i B są równe, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli $A \subset B$ ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli $B \subset A$ ). Tak więc:

$(A=B) \iff (A \subset B \and B \subset A).$

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,2\frac{1}{2},3\}$ i $B=\{1,2,\frac{5}{2},3\}$ , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - $A \subset B$ . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - $B \subset A$ . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

[edytuj] Definiowanie zbiorów

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

słownie:

zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
wypisując wszystkie elementy:

$A = {1,2,3,4,5,6,7}$ ,
używając zapisu:

$A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \}$

Zapis $A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \}$ czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8”. Podobnie zapis $X=\{x: x \in \mathbb{R} \and x \in A \}$ możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład $X=\{ x: x \in \mathbb{R} \and x \geq 100 \}$ możemy zapisać jako $X=\{ x: x \geq 100 \}$ i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy $D 15$ jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ

D 15 = {1,3,5,15}

, więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:

$X=\varnothing$ .

Działania na zbiorach

[edytuj] Suma zbiorów

DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: $A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \}$ .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Przykład.

Jeżeli $A = {1,2,5}$ i $B = {1,3,4}$ , to $A \cup B=\{1,2,3,4,5\}$ . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

[edytuj] Iloczyn zbiorów

DEFINICJA

Iloczynem zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: $A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \}$ . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Przykład.

Jeśli $A = {1,2,5}$ i $B = {1,3,4}$ , to $A \cap B=\{1\}$ . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

[edytuj] Różnica zbiorów

DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: $A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \}$ . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też $A - B$ .

Jeśli $A = {1,2,5}$ i $B = {1,3,4}$ , to $A \backslash B=\{2,5\}$ . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

[edytuj] Dopełnienie zbioru

DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako $A'$ lub $A c$ . Dopełnienie możemy zapisać tak: $A'=\{ x: x \in U \and x \notin A \}$ .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: $A'=U \backslash A$ . Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Przykład.

Jeśli $A = {1,2,3}$ , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A'=\{4,5,6,7,8,\dots\}$ .

Przykład.

Jeśli $A = {2,3,5,6}$ , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A' = {1,4,7,8,9}$ , ponieważ:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {2,3,5,6}

$A'=U \backslash A=\{1,4,7,8,9\}$

[edytuj] Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

$(A \cup B)'=A' \cap B'$ -- I prawo De Morgana
$(A \cap B)'=A' \cup B'$ -- II prawo De Morgana
$A \cup B = B \cup A$ -- przemienność dodawania zbiorów
$A \cap B = B \cap A$ -- przemienność mnożenia zbiorów
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ -- łączność dodawania zbiorów
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ -- łączność mnożenia zbiorów
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania

Przykład.

Mamy zbiór $A = {1,2,3,4}$ , $B = {1,3,5}$ , $C = {3,5,9}$ . Obliczyć $D=A \cap (B \cup C)$ :

$D=A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)=$

$=(\{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5\}) \cup (\{1,2,3,4\} \cap \{3,5,9\})=$

$=\{1,3\} \cup \{3\}=\{1,3\}$

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

[edytuj] Zbiór liczb naturalnych

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnym mamy na myśli liczby należące do zbioru $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy $\mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\}$ .

DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez $\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\}$ , a i-ta liczba pierwsza przez $p i$ np. $p 3 = 5$ .

[edytuj] Zbiór liczb całkowitych

DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór $\mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\}$ .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\}$ , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez $\mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\}$ . Łatwo zauważyć, że $\mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+$ .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez $\mathbb{C}$ (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

[edytuj] Zbiór liczb wymiernych

DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q$ , gdzie $p \in \mathbb{Z}$ i $q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$ .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb{Q}_+$ , a ujemnych przez $\mathbb{Q}_-$ .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez $\mathbb{W}$ .

[edytuj] Zbiór liczb niewymiernych

DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q$ , dla $p \in \mathbb{Z}$ i $q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}$

Zbiór liczb niewymiernych nie ma ogólnie przyjętego międzynarodowego oznaczenia. Możemy go zapisać wykorzystując polskie oznaczenie $\mathbb{NW}$ (które nie jest wykorzystywane na całym świecie), czy też jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba $\pi=3,1415\cdots$ , czy też $\sqrt{2}=1,4142\cdots$ .

[edytuj] Zbiór liczb rzeczywistych

DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb{R}_+$ , a ujemnych przez $\mathbb{R}_-$ .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
$\mathbb{NW}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

[edytuj] Rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. $\frac{1}{2}=0,5~,$ $\frac{1}{25}=0,04~,$ $\frac{2}{1}=2~.$ Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie $1 \over 3$ . Na pewno pamiętamy, że ${1 \over 3} = 0,333\dots$ . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

$0,333\dots =x~~/ \cdot 10$

$3,333\dots = 10x$

$3+0,333\dots=10x$ , ponieważ $0,333\dots=x$

3 + x = 10 x

$3=9x~~/:9$

${1 \over 3}=x$

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest $0,123123123\dots$ . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa $41 \over 333$ . Zobaczmy na rozwiązanie:

$0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000$

$123,123123\dots=1000x$ , ponieważ $0,123123123\dots=x$

123 + x = 1000 x

$123=999x~~/:999$

${123 \over 999}=x$

${41 \over 333}=x$

Szukaną liczbą jest ${41 \over 333}$ .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że $0,999\dots = 1$ . Oto rozwiązanie:

$0,999\dots = x~~/ \cdot 10$

$9,99\dots = 10 x$ , ponieważ $0,999\dots=x$

Jeżeli:

$9 + 0,999\dots = 9,99\dots$

to:

9 + x = 10 x

$9 = 9x~~/:9$

1 = x

Skoro $0,999\dots = x$ , to:

$0,999\dots = 1$

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: $2,8 234 234 234\dots$ .

$2,8 234 234 234\dots = x~~/ \cdot 10$

$28,234 234 234\dots = 10 x~~/ \cdot 1000$

$28 234,234 234\dots = 10 000 x$

Jeżeli:

$28 206 + 28,234 234 234\dots = 28 234,234 234\dots$

to:

28206 + 10 x = 10000 x

$28 206 = 9 990x~~/:9 990$

${28 206 \over 9 990} = x$

${1 567 \over 555} = x$

Liczbę $\frac{1}{3}=0,333\dots$ możemy zapisać także w formie $0,(3)~.$ Podobnie ${41 \over 333}=0,123123123\dots$ możemy zapisać jako $0,(123)~,$ a także $4,171717\dots=4,(17)~.$ W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera $e=2,71828182\dots,$ a także liczba $1,232233222\dots~.$ Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.

[edytuj] Oś liczbowa

DEFINICJA

Oś liczbowa jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę.

Przypomnijmy sobie, jak wygląda oś liczbowa:

Możemy przyporządkować każdej liczbie rzeczywistej dokładnie jeden punkt na osi liczbowej czyli np. 1, -1000, $\pi=3.1415\dots$ . Taką liczbę nazywamy współrzędną. Na powyższym rysunku zostały wyróżnione punkty o współrzędnych całkowitych, a także położenie trzech często spotykanych liczb niewymiernych.

Przedziały liczbowe

Zobaczmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

Przykład 1. $\langle-4;7\rangle$ - przedział domknięty
Przykład 2. $(-4;7) \,$ - przedział otwarty
Przykład 3. $(-4;7\rangle$ - przedział lewostronnie otwarty
Przykład 4. $(-4;+\infty)$ - przedział nieograniczony
Przykład 5. $(-\infty;5)$

[edytuj] Przedział domknięty

Przykład 1. Pisząc $\langle-4; 7\rangle$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy $\langle -50; -20\rangle$ , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc $\langle a; b\rangle$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:

DEFINICJA

Przedziałem domkniętym $\langle a;b\rangle$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a \leq x \leq b$ .

$\langle a;b\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b \}$

Przedział liczbowy $\langle -4;7\rangle$ zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

[edytuj] Przedział otwarty

Przykład 2. Za pomocą $( - 4;7)$ oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale $(a; b)$ znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.

DEFINICJA

Przedziałem otwartym $(a; b)$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a < x < b$ .

$(a;b)=\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \}$

Przedział otwarty $( - 4;7)$ na osi zaznaczymy w ten sposób:

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

[edytuj] Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty

Przykład 3. $(-4;7\rangle$ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:

DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) $(a;b\rangle$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a < x \leq b$ .

$(a;b\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: a < x \leq b \}$

Przedział $(-4;7\rangle$ na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) $\langle a;b)$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a \leq x < b$ .

$\langle a;b)=\{ x \in \mathbb{R}: a \leq x < b \}$

[edytuj] Przedziały nieograniczone

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- $\infty$ .

Przykład 4. Przez $(-4;+\infty)$ oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od $+\infty$ ). Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez $\langle -4;+\infty)$ .

DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym $(a;+\infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym $\langle a;+\infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

$(a;+\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x > a \}$

$\langle a;+\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x \geq a \}$

Przedział $\langle -4;+\infty)$ możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przykład 5. $(-\infty;5\rangle$ oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez $(-\infty;5)$ będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.

DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym $(-\infty;a)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym $(-\infty;a\rangle$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

$(-\infty;a)=\{ x \in \mathbb{R}: x < a \}$

$(-\infty;a\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: x \leq a \}$

Przedział $(-\infty;5)$ analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

[edytuj] Działania na przedziałach

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.

Przykład 6

Wyznaczmy $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A'$ i $B'$ , gdzie $A=\langle -2;3)$ , a $B = (1;4)$

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Z rysunku widzimy, że:

$A \cup B=\langle -2;4)$
$A \cap B=(1;3)$
$A \backslash B=\langle -2;1\rangle$
$B \backslash A=\langle 3;4)$
$A'=(-\infty;-2) \cup \langle 3;+\infty)$
$B'=(-\infty;1\rangle \cup \langle 4;+\infty)$

Wartość bezwzględna liczby

DEFINICJA

Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem:
$|x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{ dla } x \geq 0 \\ -x, & \mbox{ dla } x<0 \end{matrix} \right.$ .

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

$| 4 | = 4$
$| - 5 | = 5$
$| 30 - 40 | = | - 10 | = 10$
$| 4 - 3 | = | 1 | = 1$
$| 3 - π | = π - 3$

[edytuj] Własności

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

$|x| \geq 0$
$| x | = | - x |$
$|x| = \sqrt{x^2}$
$|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$
$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},~y \neq 0$
$| x - y | = | y - x |$

[edytuj] Interpretacja geometryczna

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

[edytuj] Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

$|x|=a \iff (x=a \or x=-a)$

Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

$| x + 4 | = 2$

$x+4=2 \or x+4=-2$

$x=-2 \or x=-6$

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

$| x + 4 | + | x - 2 | = 6$

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartościa bezwzględną jest ujemne w przedziale $(-\infty; -4)$ i dodatnie w przedziale $(-4; +\infty)$ . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale $(-\infty; 2)$ i dodatnie w przedziale $(2; +\infty)$ . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

$(-\infty; -4)$ gdzie oba wyrażenia są ujemne
$( - 4;2)$ gdzie pierwsze jest dodatnie a drugie ujemne
$(2; +\infty)$ gdzie oba wyrażenia są dodatnie

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli $x < ( - 4)$ trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy wyliczyć równanie do każdego z przedziałów.

$x \in (-\infty; -4)$

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

$- x - 4 - x + 2 = 6$

$x = - 4$

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale $x \in (-\infty; -4)$ równanie nie ma rozwiązań.

$x \in [-4; 2)$

$x + 4 - x + 2 = 6$

$6 = 6$

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale $x \in [-4; 2)$ każda liczba spełnia równanie.

$x \in [2; \infty)$

$x + 4 + x - 2 = 6$

$x = 2$

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując wcześniejsze wyliczenia należy podsumować, że:

$x \in [-4; 2]$

Przykład 3.

$| x + 4 | - | 2 x + 3 | + 3 | x - 1 | = 7$

Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

$x+4=0 \implies x=-4$

$2x+3=0 \implies x=-{3 \over 2}$

$x-1=0 \implies x=1$

W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

$x \in (-\infty; -4)$

$- x - 4 + 2 x + 3 - 3 x + 3 = 7$

$x=-{5 \over 2}$

W tym przedziale nie ma rozwiązań.

$x \in \left[-4; -{3 \over 2}\right)$

$x + 4 + 2 x + 3 - 3 x + 3 = 7$

$10 = 7$

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.

$x \in \left[-{3 \over 2} ; 1\right)$

$x + 4 - 2 x - 3 - 3 x + 3 = 7$

$x=-{3 \over 4}$

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

$x \in [1 ; \infty)$

$x + 4 - 2 x - 3 + 3 x - 3 = 7$

$x={9 \over 2}$

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując:

$x \in \left\{-{3 \over 4} ; {9 \over 2}\right\}$

To samo można zapisać w postaci:

$x=-{3 \over 4} \or x={9 \over 2}$

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

$|x| < a \iff -a < x < a \iff (x>-a \and x<a)$
$|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a \iff (x \geq -a \and x \leq a)$
$|x| > a \iff (x < -a \or x > a)$
$|x| \geq a \iff (x \leq -a \or x \geq a)$

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:

Przykład 4. Rozwiążmy równanie $|x+5| \leq 10$ wykorzystując własność $|x| \leq a \iff (x \geq -a \and x \leq a)$ , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

$|x+5| \leq 10 \iff (x+5 \geq -10 \and x+5 \leq 10)$

$(x \geq -15 \and x \leq 5$

Odp. $x \in [-15;5]$ .

[edytuj] Przybliżenia liczbowe

Przykład 1. Często wykonując pewne obliczenia przybliżamy, czy też zaokrąglamy pewne wartości np. kupując telewizor za 999 zł i 99 gr, z reguły jak ktoś się spyta odpowiemy, że kosztował 1000 zł (ewentualnie dla niektórych 900 zł). Wartość 1000 zł jest podana z nadmiarem, bo jest większa od wartości telewizora. Natomiast wartość 900 zł jest podana z niedomiarem, ponieważ wartość ceny telewizora jest trochę większa.

Przykład 2. Liczba $2 \over 3$ wynosi $0,66666~66666\dots$ , w przybliżeniu będzie ona równa 0,666 (z niedomiarem) lub 0,667 (z nadmiarem).

Przykład 3. Jak wszyscy dobrze wiemy $\pi=3,14159~26535~89793~23846\dots$ . Pamiętanym przez większość z nas przybliżeniem dziesiętnym tej liczby jest 3,14, co zapisujemy $\pi \approx 3,14$ . Przybliżeniem tej liczby z niedomiarem będzie na przykład $\pi \approx 3,1415$ , a z nadmiarem $\pi \approx 3,1416$ .

[edytuj] Błąd przybliżenia

Aby obliczyć błąd przybliżenia pewnej liczby odejmujemy przybliżenie tej liczby od naszej liczby: $x - x 0$ , gdzie $x$ jest przybliżeniem liczby $x 0$ .

Przykład 4. Dla liczby $0,334$ , przybliżeniem tej liczby może być $0,36$ . Wtedy błąd przybliżenia będzie wynosił $0,36 - 0,334 = 0,026$ .

Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie będzie z nadmiarem. Natomiast jeśli będzie liczbą ujemną, to nasze przybliżenie będzie z niedomiarem.

[edytuj] Zaokrąglanie liczb

Jeśli chcemy zaokrąglić pewien ułamek dziesiętny, to odrzucamy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zasady:

jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest któraś z cyfr od 0 do 4, to zaokrąglamy z niedomiarem (czyli pozostawiamy bez zmian)
natomiast jeśli pierwsza odrzucana jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zaokrąglamy z nadmiarem.

Przykład 5. Liczbę 3,02456 zaokrąglona z dokładnością do 0,01 będzie wynosiła 3,02, ponieważ odrzuciliśmy 456. Ponieważ pierwszą wykreśloną liczbą jest 4, więc 2 zostawiamy bez zmian (1).

Przykład 6. Liczba 2,076899 zaokrąglona z dokładnością 0,001 będzie wynosiła 2,077, ponieważ odrzuciliśmy 899, a pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc stosujemy zasadę 2 i zamieniamy 6 na 7.

Przykład 7. Liczbę 2,982 zaokrąglona z dokładnością do 0,1 będzie wynosiła 3,0, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc użyliśmy zasady 2 i do liczby 2,9 dodaliśmy dodatkowo 0,1.

[edytuj] Obliczenia procentowe

DEFINICJA

Jeden procent to setna część całości, jest to inny zapis ułamka o mianowniku 100.

Zobaczymy teraz kilka przykładów.

Przykład 1. Oblicz 17% liczby 50.

$17\% \cdot 50=\frac{17}{100} \cdot 50=\frac{17}{2}$

Przykład 2. Jaki procentem liczby 25 jest liczba 7?

$\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=28 \%$

Przykład 3. Cenę towaru podniesiono o 20%, a następnie powiększono o 50%. Po tych dwóch podwyżkach cena towaru wynosiła 225 zł. Ile wynosiła pierwotna cena towaru?

Oznaczmy przez x pierwotną cenę towaru.

Po pierwszej podwyżce cena towaru wynosiła: $\frac{1}{5}x+x=\frac{6}{5}x$

Po drugiej podwyżce cena towaru wynosiła: $\frac{1}{2}\left(\frac{6}{5}x\right)+\frac{6}{5}x=\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}x=\frac{9}{5}x$

Czyli $\frac{9}{5}x=225$

Otrzymujemy

x = 125

[edytuj] Podsumowanie

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

na poziomie podstawowym:
- prawa rachunku zdań
- czym jest zbiór, a także wyznaczać jego sumę, iloczyn i różnicę
- czym jest zbiór liczb rzeczywistych, a także znać jego podzbiory
- prawa dotyczące działań arytmetycznych
- czym jest potęga o wykładniku wymiernym, a także znać prawa działań na potęgach
- czym jest oś liczbowa
- czym jest przedział, zaznaczać go na osi i wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę przedziałów
- definicję wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną
- przybliżać i zaokrąglać liczby, a także wiedzieć czym jest błąd przybliżenia
- czym jest procent, a także jak wykonuje się obliczenia procentowe
a na poziomie rozszerzonym:
- wyznaczać dopełnienie zbioru i przedziałów
- stosować prawa logiczne w dowodzeniu twierdzeń
- rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną

Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

[edytuj] Zadania dodatkowe

1*. Pokaż, że "zbiór wszystkich zbiorów" nie tworzy zbioru. Wskazówka: Niech $Z$ - "zbiór wszystkich zbiorów" będzie zbiorem. Rozważ jego podzbiór (jest on zbiorem) $W=\{x\in Z: x\not\in W\}$

Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

Liczby i ich zbiory

[edytuj] Pojęcie zbioru

[edytuj] Zawieranie i równość zbiorów

[edytuj] Definiowanie zbiorów

Działania na zbiorach

[edytuj] Suma zbiorów

[edytuj] Iloczyn zbiorów

[edytuj] Różnica zbiorów

[edytuj] Dopełnienie zbioru

[edytuj] Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

[edytuj] Zbiór liczb naturalnych

[edytuj] Zbiór liczb całkowitych

[edytuj] Zbiór liczb wymiernych

[edytuj] Zbiór liczb niewymiernych

[edytuj] Zbiór liczb rzeczywistych

[edytuj] Rozwinięcie dziesiętne

[edytuj] Oś liczbowa

Przedziały liczbowe

[edytuj] Przedział domknięty

[edytuj] Przedział otwarty

[edytuj] Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty

[edytuj] Przedziały nieograniczone

[edytuj] Działania na przedziałach

Wartość bezwzględna liczby

[edytuj] Własności

[edytuj] Interpretacja geometryczna

[edytuj] Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

[edytuj] Przybliżenia liczbowe

[edytuj] Błąd przybliżenia

[edytuj] Zaokrąglanie liczb

[edytuj] Obliczenia procentowe

[edytuj] Podsumowanie

Ćwiczenia

[edytuj] Zadania dodatkowe

Widok

osobiste

nawigacja

Szukaj

narzędzia