Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczby i ich zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

  • zbiór książek,
  • zbiór ciasteczek,
  • zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez K, składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,
„Matematyka dla liceum”,
„C++ w 24 godziny”,
„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi |K| = 4. Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać a \in K, ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy j \not\in K, ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób:  A \subset B lub  A \subseteq B . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

  • „Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
  • „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
  • „Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy  D_8 jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

 D_8=\{1,2,4,8\}
 B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

Ponieważ wszystkie elementy w  D_8 powtarzają się także w  B , więc zbiór  D_8 \subset B . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór  D_8 jest podzbiorem  B . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w  B znajdują się także w  D_8 np.  3 \notin D_8 . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów,  A=B , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Dwa zbiory A i Brówne, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli  A \subset B ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli  B \subset A ). Tak więc:

 (A=B) \iff (A \subset B \and B \subset A).

Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,2\frac{1}{2},3\} i  B=\{1,2,\frac{5}{2},3\} , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B -  A \subset B . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A -  B \subset A . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów[edytuj]

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

  • słownie:
    zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
  • wypisując wszystkie elementy:
     A=\{1,2,3,4,5,6,7\} ,
  • używając zapisu:
     A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8  \}

Zapis  A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \} czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8. Podobnie zapis  X=\{x: x \in \mathbb{R} \and x \in A \} możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład  X=\{ x: x \in \mathbb{R} \and x \geq 100 \} możemy zapisać jako  X=\{ x: x \geq 100 \} i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy  D_{15} jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ  D_{15}=\{1,3,5,15\} , więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:
 X=\varnothing .


Działania na zbiorach

Suma zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \} .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \cup B=\{1,2,3,4,5\} . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak:  A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \} . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \cap B=\{1\} . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak:  A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \} . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też  A-B .

Set difference2.svg


Jeśli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \backslash B=\{2,5\} . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako  A' lub  A^c . Dopełnienie możemy zapisać tak:  A'=\{ x: x \in U \and x \notin A \} .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A:  A'=U \backslash A. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement.svg


Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,3\} , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A'=\{4,5,6,7,8,\dots\} .

Przykład.

Jeśli  A=\{2,3,5,6\} , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A'=\{1,4,7,8,9\} , ponieważ:

 U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}
 A=\{2,3,5,6\}
 A'=U \backslash A=\{1,4,7,8,9\}

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana[edytuj]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  •  (A \cup B)'=A' \cap B' -- I prawo De Morgana
  •  (A \cap B)'=A' \cup B' -- II prawo De Morgana
  •  A \cup B = B \cup A -- przemienność dodawania zbiorów
  •  A \cap B = B \cap A -- przemienność mnożenia zbiorów
  •  (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) -- łączność dodawania zbiorów
  •  (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) -- łączność mnożenia zbiorów
  •  A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  •  A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór  A=\{1,2,3,4\} ,  B=\{1,3,5\} ,  C=\{3,5,9\} . Obliczyć  D=A \cap (B \cup C) :

 D=A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)=
 =(\{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5\}) \cup (\{1,2,3,4\} \cap \{3,5,9\})=
 =\{1,3\} \cup \{3\}=\{1,3\}

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)


Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru  \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy  \mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\} .

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór  \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez  \mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\} , a i-ta liczba pierwsza przez  p_i np.  p_3=5 .

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór  \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\} , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez  \mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\} . Łatwo zauważyć, że  \mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+ .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez  \mathbb{C} (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego  p \over q , gdzie  p \in \mathbb{Z} i  q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Q}_+ , a ujemnych przez  \mathbb{Q}_- .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez  \mathbb{W} .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego  p \over q , dla  p \in \mathbb{Z} i  q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie  \mathbb{NW} .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba  \pi=3,1415\cdots, czy też  \sqrt{2}=1,4142\cdots .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{R}_+ , a ujemnych przez  \mathbb{R}_- .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg
  •  \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
  •  \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}
  •  \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
  •  \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
  •  \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np.  \frac{1}{2}=0,5~,  \frac{1}{25}=0,04~,  \frac{2}{1}=2~. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie  1 \over 3 . Na pewno pamiętamy, że  {1 \over 3} = 0,333\dots . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

 0,333\dots =x~~/ \cdot 10
 3,333\dots = 10x
 3+0,333\dots=10x , ponieważ  0,333\dots=x
 3+x=10x
 3=9x~~/:9
 {1 \over 3}=x

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest  0,123123123\dots . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa  41 \over 333 . Zobaczmy na rozwiązanie:

 0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000
 123,123123\dots=1000x , ponieważ  0,123123123\dots=x
 123+x=1000x
 123=999x~~/:999
 {123 \over 999}=x
 {41 \over 333}=x

Szukaną liczbą jest  {41 \over 333} .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że  0,999\dots = 1. Oto rozwiązanie:

 0,999\dots = x~~/ \cdot 10
 9,99\dots = 10 x , ponieważ  0,999\dots=x

Jeżeli:

 9 + 0,999\dots = 9,99\dots

to:

 9 + x = 10 x
 9 = 9x~~/:9
 1 = x

Skoro  0,999\dots = x , to:

 0,999\dots = 1

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład:  2,8 234 234 234\dots .

 2,8 234 234 234\dots = x~~/ \cdot 10
 28,234 234 234\dots = 10 x~~/ \cdot 1000
 28 234,234 234\dots = 10 000 x

Jeżeli:

 28 206 + 28,234 234 234\dots = 28 234,234 234\dots

to:

 28 206 + 10 x = 10 000 x
 28 206 = 9 990x~~/:9 990
 {28 206 \over 9 990} = x
 {1 567 \over 555} = x

Liczbę  \frac{1}{3}=0,333\dots możemy zapisać także w formie  0,(3)~. Podobnie  {41 \over 333}=0,123123123\dots możemy zapisać jako  0,(123)~, a także  4,171717\dots=4,(17)~. W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera  e=2,71828182\dots, a także liczba  1,232233222\dots~. Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.



Oś liczbowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Oś liczbowa jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę.

Przypomnijmy sobie, jak wygląda oś liczbowa:

Real number line.svg

Możemy przyporządkować każdej liczbie rzeczywistej dokładnie jeden punkt na osi liczbowej czyli np. 1, -1000,  \pi=3.1415\dots . Taką liczbę nazywamy współrzędną. Na powyższym rysunku zostały wyróżnione punkty o współrzędnych całkowitych, a także położenie trzech często spotykanych liczb niewymiernych.


Przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1.  <-4; 7> \, - przedział domknięty
  • Przykład 2.  (-4; 7) \, - przedział otwarty
  • Przykład 3.  (-4; 7> \, - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4.  (-4; +\infty) - przedział nieograniczony
  • Przykład 5.  (-\infty; 5)

Przedział domknięty[edytuj]

W podręczniku używany jest zapis  <a; b> \; oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: \langle a; b \rangle . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

  • Przykład 1. Pisząc  <-4; 7> \; mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy [ -50; -20] \,, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc <a; b> \, mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem domkniętym <a; b> \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a \leqslant x \leqslant b .

[a; b] =\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x \leqslant b \}

Przedział liczbowy [-4; 7] \, zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty[edytuj]

  • Przykład 2. Za pomocą  (-4; 7) \, oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale  (a; b) \, znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem otwartym  (a; b) \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a < x < b \,.

 (a; b)=\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \}

Przedział otwarty  (-4; 7) \, na osi zaznaczymy w ten sposób:

Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty[edytuj]

  • Przykład 3.  (-4; 7> \, oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) (a; b> \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a < x \leqslant b .

 (a; b> =\{ x \in \mathbb{R}: a < x \leqslant b \}


Przedział  (-4; 7> \, na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Przedział (-4;7)).png

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) [a; b) \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a \leqslant x < b .

[a; b)=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x < b \}

Przedziały nieograniczone[edytuj]

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności --  \infty .

  • Przykład 4. Przez  (-4; +\infty) oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od  +\infty) . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez [-4; +\infty) .
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym  (a; +\infty) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym [a; +\infty) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

(a; +\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x > a \}
[a; +\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant a \}

Przedział [-4; +\infty) możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;+oo).png

  • Przykład 5.  (-\infty; 5] oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez  (-\infty; 5) będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym  (-\infty; a) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym  (-\infty; a] nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

 (-\infty; a)=\{ x \in \mathbb{R}: x < a \}
 (-\infty; a]=\{ x \in \mathbb{R}: x \leqslant a \}

Przedział  (-\infty; 5) analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Przedział (-oo;5).png

Działania na przedziałach[edytuj]

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy  A \cup B ,  A \cap B ,  A \backslash B ,  B \backslash A ,  A' \, i  B' \,, gdzie  A= [-2; 3) \,, a  B=(1; 4) \,

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że:

  •  A \cup B= <-2; 4)
  •  A \cap B=(1; 3)
  •  A \backslash B=<-2; 1]
  •  B \backslash A=<3; 4)
  •  A'=(-\infty; -2) \cup <3; +\infty)
  •  B'=(-\infty; 1] \cup <4; +\infty)


Wartość bezwzględna liczby

Definicja
DEFINICJA

Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
 |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{ dla } x \geqslant 0 \\ -x, & \mbox{ dla } x<0 \end{matrix} \right. .

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

  •  |4|=4
  •  |-5|=5
  •  |30-40|=|-10|=10
  •  |4-3|=|1|=1
  •  |3-\pi|=\pi-3

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności[edytuj]

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

  •  |x| \geqslant 0
  •  |x| = x
  •  |x| = \sqrt{x^2}
  •  |x \cdot y|=|x| \cdot |y|
  •  \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},~y \neq 0

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Wartość bezwzględna jako odległość.png

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną[edytuj]

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

  •  |x|=a \iff (x=a \or x=-a)


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

|x+4|=2

x+4=2 \or x+4=-2

x=-2 \or x=-6

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

|x+4|+|x-2|=6

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale (-\infty; -4) i dodatnie w przedziale (-4; +\infty). Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale (-\infty; 2) i dodatnie w przedziale (2; +\infty). Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1. (-\infty; -4) gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2. [-4; 2) gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
  3. [2; +\infty) gdzie oba wyrażenia są nieujemne

Wykres math.svg

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli x<(-4) trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


 x \in (-\infty; -4)

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

-x-4-x+2=6

x=-4

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale x \in (-\infty; -4) równanie nie ma rozwiązań.


x \in [-4; 2)

x+4-x+2=6

6=6

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale x \in [-4; 2) każda liczba spełnia równanie.


x \in [2; \infty)

x+4+x-2=6

x=2

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

x \in [-4; 2]

Przykład 3.

|x+4|-|2x+3|+3|x-1|=7


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

x+4=0 \implies x=-4

2x+3=0 \implies x=-{3 \over 2}

x-1=0 \implies x=1


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

x \in (-\infty; -4)

-x-4+2x+3-3x+3=7

x=-{5 \over 2}

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


x \in \left[-4; -{3 \over 2}\right)

x+4+2x+3-3x+3=7

10=7

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.


x \in \left[-{3 \over 2} ; 1\right)

x+4-2x-3-3x+3=7

x=-{3 \over 4}

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.


x \in [1 ; \infty)

x+4-2x-3+3x-3=7

x={9 \over 2}

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując:

x \in \left\{-{3 \over 4} ; {9 \over 2}\right\}


To samo można zapisać w postaci:

x=-{3 \over 4} \or x={9 \over 2}

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

  •  |x| < a \iff -a < x < a \iff (x>-a \and x<a)
  •  |x| \leqslant a \iff -a \leqslant x \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a)
  •  |x| > a \iff (x < -a \or x > a)
  •  |x| \geqslant a \iff (x \leqslant -a \or x \geqslant a)

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:


 |x+5| \leqslant 10 wykorzystując własność  |x| \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a) , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

 |x+5| \leqslant 10 \iff (x+5 \geqslant -10 \and x+5 \leqslant 10)
 (x \geqslant -15 \and x \leqslant 5)

Odp.  x \in [-15;5] .


Postać wykładnicza

Definicja
DEFINICJA

Postać wykładnicza jest określona wzorem:
 a \cdot 10^b\,


 a \in [1;10)


 b\in\mathbb{Z}

Postać wykładniczą (notację naukową, notację wykładniczą) stosujemy do zapisu bardzo dużych lub bardzo małych liczb.


Przykłady[edytuj]

Liczba Postać
wykładnicza
 1\,  1 \cdot 10^0
 10\,  1 \cdot 10^1
 300 000 000\,  3 \cdot 10^{8}
 456000000000\,  4,56 \cdot 10^{11}
 0,000000000000005\,  5 \cdot 10^{-15}
 0,0000000034\,  3,4 \cdot 10^{-10}

Jak to zapisać? (intuicyjnie)[edytuj]

Mamy np. liczbę  5400000000000\, . Piszemy teraz 5,4 razy 10 do potęgi 12. Dlaczego 12? Ponieważ liczymy ilość cyfr od 4 włącznie do końca liczby. Przy mnożeniu przecinek przesuwa się w prawo i po doliczeniu do 12 wychodzi liczba 5400000000000. Czyli liczba  5400000000000\, to jest to samo co  5,4 \cdot 10^{12} \,

Drugi przykład - liczba  0,0000004\, . Robimy podobnie jak w powyższym przykładzie. Zapisujemy 4 razy 10 do potęgi -7, ponieważ od 4 do ostatniego przecinka przed ostatnim zerem jest 7 cyfr. Teraz jednak zapisujemy -7, ponieważ jest to 'mała liczba'. Czyli liczba  0.0000004\, jest tym samym co  4 \cdot 10^{-7}\,

Przybliżenia liczbowe[edytuj]

Przykład 1. Często wykonując pewne obliczenia przybliżamy, czy też zaokrąglamy pewne wartości np. kupując telewizor za 999 zł i 99 gr, z reguły jak ktoś się spyta odpowiemy, że kosztował 1000 zł (ewentualnie dla niektórych 900 zł). Wartość 1000 zł jest podana z nadmiarem, bo jest większa od wartości telewizora. Natomiast wartość 900 zł jest podana z niedomiarem, ponieważ wartość ceny telewizora jest trochę większa.

Przykład 2. Liczba  2 \over 3 wynosi  0,66666~66666\dots , w przybliżeniu będzie ona równa 0,666 (z niedomiarem) lub 0,667 (z nadmiarem).

Przykład 3. Jak wszyscy dobrze wiemy  \pi=3,14159~26535~89793~23846\dots . Pamiętanym przez większość z nas przybliżeniem dziesiętnym tej liczby jest 3,14, co zapisujemy  \pi \approx 3,14 . Przybliżeniem tej liczby z niedomiarem będzie na przykład  \pi \approx 3,1415 , a z nadmiarem  \pi \approx 3,1416 .

Błąd przybliżenia[edytuj]

Aby obliczyć błąd przybliżenia pewnej liczby odejmujemy przybliżenie tej liczby od naszej liczby:  x-x_0 , gdzie  x jest przybliżeniem liczby  x_0 .

Przykład 4. Dla liczby  0,334 , przybliżeniem tej liczby może być  0,36 . Wtedy błąd przybliżenia będzie wynosił  0,36-0,334=0,026 .

Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie będzie z nadmiarem. Natomiast jeśli będzie liczbą ujemną, to nasze przybliżenie będzie z niedomiarem.

Zaokrąglanie liczb[edytuj]

Jeśli chcemy zaokrąglić pewien ułamek dziesiętny, to odrzucamy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zasady:

  1. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest któraś z cyfr od 0 do 4, to zaokrąglamy z niedomiarem (czyli pozostawiamy bez zmian)
  2. natomiast jeśli pierwsza odrzucana jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zaokrąglamy z nadmiarem.

Przykład 6. Liczbę 3,02456 zaokrąglona z dokładnością do 0,01 będzie wynosiła 3,02, ponieważ odrzuciliśmy 456. Ponieważ pierwszą wykreśloną liczbą jest 4, więc 2 zostawiamy bez zmian (1).

Przykład 6. Liczba 2,076899 zaokrąglona z dokładnością 0,001 będzie wynosiła 2,077, ponieważ odrzuciliśmy 899, a pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc stosujemy zasadę 2 i zamieniamy 6 na 7.

Przykład 7. Liczbę 2,982 zaokrąglona z dokładnością do 0,1 będzie wynosiła 3,0, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc użyliśmy zasady 2 i do liczby 2,9 dodaliśmy dodatkowo 0,1.


Obliczenia procentowe[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Jeden procent to setna część całości, jest to inny zapis ułamka o mianowniku 100.

Zobaczymy teraz kilka przykładów.

Przykład 1. Oblicz 17% liczby 50.

17\% \cdot 50=\frac{17}{100} \cdot 50=\frac{17}{2}


Przykład 2. Jaki procentem liczby 25 jest liczba 7?

Zapiszmy równanie, które brzmi: x procent z 25 wynosi 7

x \cdot 25 = 7

Rozwiążmy i zapiszmy x w postaci procentów, tzn. w formie /100

x = \frac{7}{25}
x = \frac{28}{100}

Odpowiedź: liczba 7 to 28% z liczby 25


Przykład 3. Cenę towaru podniesiono o 20%, a następnie powiększono o 50%. Po tych dwóch podwyżkach cena towaru wynosiła 225 zł. Ile wynosiła pierwotna cena towaru?

Oznaczmy przez x pierwotną cenę towaru.
Po pierwszej podwyżce cena towaru zwiększyła się o 1/5, czyli wynosi:
 x+\frac{1}{5}x \;=\;\frac{6}{5}x
Po drugiej podwyżce cena towaru zwiększyła się o 1/2, więc wynosiła:
 \frac{6}{5}x + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{6}{5}x\right) \;= \;\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}x \;=\; \frac{9}{5}x
Wiemy też, że  \frac{9}{5}x=225
Otrzymujemy  x=125


Przykład 4.

Oblicz liczbę znając jej procent. 6% pewnej liczby wynosi 42.

Chcesz obliczyć 100%, czyli szukaną liczbę x. Można spróbować obliczyć ile wynosi 1% tej liczby, po czym pomnożyć to przez 100 - uzyskamy wtedy 100%.

 \tfrac{6}{100}x=42

Dzielimy przez 6 obustronnie:

 \tfrac{6}{100}x  = 42 \quad |:6
 \tfrac{1}{100}x=7 \quad \ | \cdot 100
 x=700

Przykład 5.

Sylwia za ubezpieczenie swojego czerwonego skutera zapłaciła w Towarzystwie Ubezpieczeniowym 92,00 PLN. Powiedziała przy tym, że ma zniżkę 10% za bezszkodową jazdę w zeszłym roku, oraz 5% za kontynuowanie ubezpieczenia. Piotr wie, że Sylwia nie ma już 18 lat i nie obowiązuje jej zwyżka(10%) za wiek, choć sam będzie musiał ją zapłacić. Ile w tym samym Towarzystwie Ubezpieczeniowym powinien zapłacić Piotr przy takich warunkach, uwzględniając brak dyskryminacji płci?


Najpierw musimy ustalić jaka jest kwota bazowa. W tym celu policzymy procent sumy jaki zapłaciła Sylwia  100%-10%-5%=90%-5%=85%
Znając procent tej liczby obliczymy ją, oznaczając przez x
 \frac{85}{100}x=92


 \frac{85}{100}x ||:85 = 92 ||:85


 \frac{1}{100}x=\frac{92}{85}


 1x=\frac{92*100}{85}


 x~=108,23


Teraz musimy doliczyć zwyżkę Piotra(10%):  \frac{92*100}{85}+\frac{92*100}{85}\left(\frac{10}{100}\right) =\frac{92*100}{85}\left(1+\frac{110}{100}\right) =\frac{92*100}{85}\left(\frac{110}{100}\right) =\frac{92*110}{85}=\frac{10120}{85}


Co wynosi ok. 119,06 (PLN).


Podsumowanie[edytuj]

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • prawa rachunku zdań
    • czym jest zbiór, a także wyznaczać jego sumę, iloczyn i różnicę
    • czym jest zbiór liczb rzeczywistych, a także znać jego podzbiory
    • prawa dotyczące działań arytmetycznych
    • czym jest potęga o wykładniku wymiernym, a także znać prawa działań na potęgach
    • czym jest oś liczbowa
    • czym jest przedział, zaznaczać go na osi i wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę przedziałów
    • definicję wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną
    • przybliżać i zaokrąglać liczby, a także wiedzieć czym jest błąd przybliżenia
    • czym jest procent, a także jak wykonuje się obliczenia procentowe
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • wyznaczać dopełnienie zbioru i przedziałów
    • stosować prawa logiczne w dowodzeniu twierdzeń
    • rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną


Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

Zadania dodatkowe[edytuj]

1*. Pokaż, że "zbiór wszystkich zbiorów" nie tworzy zbioru. Wskazówka: Niech Z - "zbiór wszystkich zbiorów" będzie zbiorem. Rozważ jego podzbiór (jest on zbiorem) W=\{x\in Z: x\not\in W\}